先进数学教材 Go Math 学习“数学思维”和“地道数学语言”

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Go Math！是美国近期出版的幼儿园到初中完整数学教科书体系（2016），由美国著名教科书出版社 Houghton Mifflin Harcourt （霍顿米夫林哈考特出版社 "HMH"）根据美国zui新科学教育大纲CCSS编写，反映了美国K-12数学教育zui前沿的理念、方法和内容；这些理念、方法和我们的数学教育存在很大差异。

美国数学是啥样？作为首次整体引入国内的数学原版教材，Go Math 给我们的第一印象，就是好厚重！这次进入我们花生团的是K-8九个年级的课本；K-5年级，每个年级都有上下两大册，加起来有700页上下（包括幼儿园）；9个年级合在一起，能堆这么高！

关于美国的数学教育、数学教科书，我们已经研究了快一年。我们认为，中国的孩子能通过 Go Math 这样的美国主流数学教材补上中国数学教育缺失的重要部分，从中收获崭新的数学思路、打下坚实的数学基础，并在这个过程中掌握数学的标准英语表达方式！

这样系统的美国数学学习对孩子未来发展，将是无价之宝。现代的自然科学、社会科学（如经济学、社会学），都需要建立在坚实的数学基础上。哪怕高考数学分数不错，很多孩子进大学后，发现很难理解微积分、线性代数、统计学等高等数学领域的内容。究其原因，还是因为我们对数学基础概念的掌握并不到位；那么多年，做了那么多题后，很多人终究没有明白数学是什么，为什么要学数学？

还记得大学时那些让你头晕目眩的微积分么？

幸运的是，这一代的孩子有更好的机会！把学校的数学教育和 Go Math 所代表的美国数学教育理念结合，将为孩子打下真正牢固的数学基础。这套书虽然厚重，但对中国孩子来说，使用难度并不高。孩子们可以将已有的优势（运算、解题）和书中处处体现的数学思维结合，从数学“技工”成长为真正能用数学去解决问题、发明创造的人。

决心开始带孩子用 Go Math，会是一次经过认真考虑的选择。所以今天的介绍，会比较长，有5个部分，读下来需要一点耐心，建议仔细阅读后再做购买决定：

1、理念：为什么美国数学值得学
2、价值：弥补国内数学教育的5项短板
3、英语：学会用英文方式准确表述数学问题
4、内容：每个年级都在学什么
5、适用：为什么中国孩子反而可以用的轻松用的好

一、为什么美国数学值得学？

从小到大，数学可以说是我们中国孩子zui重要的一门课；到高中毕业，我们要花费12年以上光阴去和数学玩“智力游戏”。吊轨的是，长大后，对大多数人来说，除了简单的四则运算，数学不再和我们有关系；那些复杂的数学公式、运算技巧，也随风而去，基本忘光。

很多人不禁在问：除了应付考试、升学，学数学的意义究竟在哪里？我为什么要学这些概念、公式？

这样的问题，美国的数学教育从幼儿园开始就试图去回答；他们的数学教育理念，思路和我们大不一样！

说到美国数学教育理念，不得不提美国2010年发布的新课标CCSS（Common Core State Standards）。CCSS定义了美国中小学英语和数学教育标准。我们熟悉的 Wonders 就是根据这个标准来编写的英语教材，而今天的 Go Math，就是根据CCSS编写的主流数学教科书，美国有大约70%的学校在用。

注：美国孩子从小到大，有四门主线课程：英语（English language arts / literacy），数学（Mathematics），科学（Science）和社会人文（Social Studies）。这期花生团，我们同时推出了三门学科的当今主流教科书：英语 Wonders, 数学 Go Math 和科学 Science Dimensions；有志于参照美国学科学习路径和标准的朋友，可以考虑一并收入。

CCSS数学标准要求K-12学生有序而系统地掌握一系列数学技能、数学概念，特别鼓励学生用数学解决现实问题。

The Common Core concentrates on a clear set of math skills and concepts. Students will learn concepts in a more organized way both during the school year and across grades. The standards encourage students to solve real-world problems.

CCSS所反映的美国数学教育理念中，特别强调“数学理解 - mathematical understanding"的重要性。

数学教育，要同时注重运算技能（procedural skills）和理解（mathematical understanding）。如果缺乏理解，这个学生就会过度依赖计算技巧，由此在解决一个问题时，他们的思考是非常单一和片面的：
他们不会充分考虑到可类比情况（analogous situations），
不会努力去连贯而完整地表达问题（represent problems coherently），
不能说服别人接受自己的结论（justify conclusions），
不会用数学去解决实际问题，
在解决技术问题时不擅长应用数学手段，
不能向其他人把数学讲清楚，
也不能冷静审视自己的解决方案是否zui优，
更不会尝试用常规以外的方法另辟捷径 ...
一句话，数学理解的短缺，使得这个学生无法进行有效的数学实践（math practices）。

那么，一个数学好的孩子应该具备什么样的能力呢？CCSS标准也说得很清楚：

遇到一个数学问题时，数学好的学生首先会问自己：这个问题包含的意义是什么（meaning to a problem），从而寻找解决问题的入口（entry point）；他们会分析问题中的给定条件（givens）、约束（constraints）、关系（relationships）、目标（goals）；他们会构建解决问题的路径（pathway），而不是马上跳进去直接答题。而且，数学好的学生能自如地用方程式、语言、图表去描述或解决各种数学问题。数学好的学生，还有一个重要的特征，他们尊重数学，从心里认同数学是理性的、有用的、值得努力去学习的一门学科（sensible, useful and worthwhile) 。

关于中美国数学教育理念的差异，中科院博士生导师胡卫平教授曾做过研究和分析：

这种教育理念的差距一方面体现为中国学生超强且牢固的技能，另一方面也使得他们在“提出问题、分析问题、设计整体解决方案”上不如英美学生（中国学生提出问题的能力明显低于解决问题的能力）。除解决问题一项能力之外，中国学生在发现问题能力、想象能力、实验设计能力、技术开发能力、产品改进能力和应用能力的得分都低于英美学生。

美国小学数学课

再和大家分享一个生活中的例子。教美学者黄全愈的儿子转学到美国后，带回来的数学作业看上去比较简单，于是这位父亲向学校“抱怨”，儿子的老师因此专门回了他一封信，信中有这么一段，对美国数学的教育理念有非常到位的阐述：

数学不是算术，更不是用一个似懂非懂的公式去计算一个只有公式才能告诉你的答案。公式告诉你，做什么，怎么做，我们充其量像个计算器。要真正理解为什么这么做是对的？为什么那么做是不对的？问题就不那么简单了。

我们更强调的是孩子对那些隐藏在数字后面的概念的理解，从而在口头上和书写中能够使用他们所学的东西进行交流，而不是对算术法则的记忆。比如，我们会让孩子在记住乘除法则之前已能理解乘除法的实际意义。
我们的目标是培养孩子成为解决问题的能手，让他们学会思考，建立自信，从而去珍视数学。KK（作者儿子）当然是一个具有计算技巧的优秀学生，然而，算术仅仅是整个数学课程中的一个部分。我们在数学课里，会运用许多教学活动来挑战他的思维，从而也对他本身形成一种挑战。

这段话，生动地体现了中美数学教育理念的不同。

这里有必要说明，我们的数学不是不强，不过和英美体系里培养出来的数学优等生强的地方不一样。我们在解题、运算上比较强，但论对数学概念的深入理解、灵活运用，我们还有待提高。

估计看到这里，你会想：如果我的孩子能在拥有中国“特色”的运算技巧基础上，借鉴到美国的“数学思维”，就好了！

这个，借助今天的这套主流美国数学教材，其实不难做到。既然英国人引进了中国人的《一课一练》，觉得他们的短板我们可以帮助弥补，我们的短板英美人也能帮忙弥补。下面，我就来和大家说说为什么 ...

二、美国数学能弥补我们的5项短板

跟着 Go Math 这样的教材一步步走下来，能弥补我们孩子在数学学习上的5大短板，大大加强对基本概念的深入理解、提升数学表达能力、学会用数学去解决现实问题、在螺旋上升的学习中冲破认知障碍、为高阶数学学习打下牢固基础。

1、大大加强对基本概念的深入理解

美国数学，zui'为人称道的还是引导孩子深入理解数学概念的教育思路。

就从zui开始讲起吧。美国数学教育，是从K年级（相当于我们的幼儿园大班）正式开始的。大家先感受幼儿园教材，上下两册，加起来有720页。你会想，“小屁孩”的数学启蒙，用得着那么复杂么？

然而，幼儿园小朋友的数学学习，zui讲究章法。学前数学启蒙有三大部分，虽然都是zui简单的概念，却是将来建“数学高楼大厦”的基础，一切都从这儿开始 ...

Number and Operations（数字和运算）
Geometry and Positions （几何和位置）
Measurement and Data （测量和数据）

光光第一部分，就占据了一整册。学什么呢？学数字和实物之间的关系（represent），学100以内数数（count）；学用图画或简单的文字表述数学问题、数学现象（write），学20以内数字比大小，学加减法概念，会10以内加减 ...

简单中蕴藏“玄机”。比如，让孩子练习5以内的加法。总数是5（红圈圈+黄圈圈），让孩子画出各种组合，5=4+1，5=2+3 ... 不只是找到一个答案，而是具象化地探索各种可能性的存在，这么简单的尝试，就是代数思维形成的开始（Algebraic Thinking）。

这些练习的设计，来头大有讲究。幼儿园这册的主要作者，有专门研究数学教育的教授、大学校长、K-12课程设计专家、一线数学老师，等等。

为什么这么“大牌”？因为，让小朋友从无到有理解这些zuizui开始的数学概念，其实是zui难的。还记得几年前那个视频么？一个小女孩被爹妈逼着背乘法口诀表，却无论如何记不住“三五一十五”，不由得放声大哭，让人看得心酸！

为什么？很简单，因为她不理解啊！

好希望，普天下给孩子做数学启蒙的父母，能借鉴更符合孩子认知规律的数学学习方法，不急于求成，让孩子真正能学懂学通，靠理解、而非记忆，为将来的数学学习打下牢固的基础。

2、大大提升数学表达能力

中国孩子学数学，大量遇到的都是公式、计算，我们很少会花时间用语言去恰当论述一个问题，或者用各种图形来把数学问题“视觉化”（visualize）。

而在美国数学里，这方面对学生要求很高，处处鼓励学生在“情境”中获取数学信息，再用言语和图形进行表达。他们认为这么做会大大提升学生的理解程度、数学思维能力，表达的差异其实就是思维的差异。

比如在 Go Math 里，每一章几乎都有 Journal 部分 - The Write Way，要求学生组织语言去回答问题、描述一个问题解决过程，等等。

比如3年级，继续学习 Measurement & Data （测量和数据），让孩子任意选取三个度量名词（gram, kilo, liter, mass, volume），写一段话；解释一个测量过程；自己提出两个关于时间的问题 ...

Go Math 每一章的内容，主要是按照“问题-概念-练习”这条线来组织的，尤其注重让孩子在一个个精心设计的 practice 里理解数学；practice 中处处都有这种 Math Talk - 随时提醒孩子，不光要解题，而且要思考和表达。

比如，如何 Reason abstractly（抽象化分析），Generalize（归纳总结），Look for Strucutre（寻找结构），Analyze relationship（分析关系），等等。这些技能在幼儿园到小学阶段要逐渐培养，到了初中以后更会强化学习。

每次练习 Problem Solving，不光算个答案就是了，而是要孩子 Write Math，组织语言，把思路写下来，写下来！比如，解释两种乘法运算方式有什么区别？

就算是教简单的四则运算，每个步骤的字符表达、语言表达，都列示的极为清晰，要求学生能如此描述答题过程。

Measurement and Data（测量和数据）是美国数学从幼儿园就开始学的内容，从简单的大小、长短、轻重比较，一路走到几何面积、体积测量，再走到让不少人望而却步的“数理统计”（Statistics）。

这其中，整个小学阶段都在学的一项“基本功”就是 Represent and Interpret Data（展现和解析数据），用模型去描述和理解数量关系。

比如，一年级时，先学 Read and make Picture Graph，然后学 Read and make Bar Graph（柱状图），接着学 Read and make Tally Chart，从具象一点点走向抽象，学习读图、做图。这些都是长大后做研究、做项目必不可少的思维方式 ...

Picture Graph 非常具象。

BAR Graph 就开始有归纳总结成分了。

Tally Chart 归纳更精炼，抽象成分就更多。

复杂的数学问题，往往包含一大堆杂乱的现象、数据，习惯于套用公式去解决问题的中国孩子，往往觉得难以着手。而从小学会用语言提炼问题、用图形表格等可视化方式去展现数据结构，能帮孩子从纷繁中看到规律、找到线索，从而解决问题。这方面的能力，我们的孩子需要大力加强。

3、学会用数学去解决现实问题

这一点，大家都特别能理解。伽利略的名言“自然是由数学的语言而书写的”，真的是理性又浪漫。

数学是与自然现象、与我们的生活实际紧密结合的学问；只有让孩子深刻感受到这一点，他才会理解学习数学的意义。美国这些年的科学课标、数学课标，都大力强调孩子的学习要和解决现实世界问题紧密结合。

Go Math 里每个数学主题的展开，都是来自生动的现实世界场景。每一章，都会有解决现实问题（Problem solving - real world）这个部分，让孩子 Unlock the problem，为问题“解锁” ...

比如四年级学数位和整数运算 Place Value and Operations with Whole Numbers , 就从国际空间站的运行说起，引入高位数，让孩子理解为什么会有数位概念 ...

到了7年级（相当于我们的初二，美国一般学校的学制是小学5年，初中3年，高中4年），开始学习概率论和模拟（Theoretical Probability and Simulations - 光看名称是不是就有点晕？)，也是从一个类似赌博游戏的实际例子出发，把孩子引入概率主导的现实世界。

4、在螺旋上升的学习中冲破学习障碍

身边很多女性朋友反映（估计男生不好意思自己说），中学数学某种程度上是一个“小噩梦”。立体几何、解析几何、线性代数 ... 随着抽象程度的上升，感觉越来越难把握。

其实，这和一个人的聪明与否并没有特别大的关系。在从小到大的学习过程中，这个孩子在某些环节掉了“链”，没有打好基础：当时通过大量做习题练套路过关了，但没有真正理解。而数学就像一幢高楼，可以耸入云霄，但一块基石都不能少。理解的缺失，终究会让孩子的数学学习在某个阶段“轰然而塌”。

在 Go Math 这样的美国数学教科书里，学习结构，是螺旋上升的，一环扣一环。比如，一般美国孩子数学学得不错，可以从初中开始正式学习代数 Algebra；为此，从幼儿园到小学整个阶段，他们都在循序渐进地培养孩子的代数思维（Algebraic Thinking）。

这是2年级课本目录，注意到很多小标题前有Algebra 的标注么，这就是包含代数思维的部分，初中前每个年级都有。

所谓代数思维，包括辨别和分析规律（Patterns），理解和描述关系（Relationships），归纳总结（Generalizations），和分析事物的变化（How things change）。他们认为，孩子们要在学习运用抽象的代数符号解决问题前，先行建立很强的代数思维，而一开始学数学就要逐渐建立起这种思维。如果不是这样，代数终有一天会让你“痛不欲生”。

Trying to understand abstract symbolism without a foundation in thinking algebraically is likely to lead to frustration and failure. Algebraic thinking can begin when students begin their study of mathematics.

学到这种符号阶段之前，孩子要做充分的培养“代数思维”准备

zui初的代数思维，来自孩子对规律（Patterns）的观察、归纳、分类等（比如颜色、形状、声音、字母、数字等）。

在整个小学阶段，Patterns 也是孩子们理解数学概念的一个重要工具。比如，一年级学加减乘除时，通过各种呈现出某种规律的实物，帮孩子理解数字和运算的意义。

大家体会一下这么帮孩子练习总和超过10的加法，孩子会不会很容易理解？

3年级的课本里也能看到咱们孩子从小就背得滚瓜烂熟的乘法表，让孩子观察横行和纵列体现的数字规律（pattern）；比如孩子可以马上说出 “六八四十八”，但这张表，可以帮她理解这个结果是怎么来的，为什么 “六八四十八”是 make sense 的 ...

到了6年级后，形成代数思维的一个学习重点，是对比例（proportionality）的理解 - 这是贯穿整个K-12数学课程的zui重要联系点（most important connecting idea）。如果学生能真正理解这个概念，他们就可以开始学习更正式的代数，此时，开始学习线性特征和线性方程（linearity and linear functions），就很自然而然了。这是7年级在学辨别比例关系（identifying proportional relationships） ...

代数的学习会一直延伸到高中、大学。形式会越来越复杂。比如，高中的解析几何就曾经让很多人十分头疼，用代数方程去描述几何问题。

然而，这一切都起始于幼儿园那一年那三个数学领域的启蒙：

Number and Operations（数字和运算）
Geometry and Positions （几何和位置）
Measurement and Data （测量和数据）

数学思维，包括代数思维的养成，是一个过程（process），而非通过做题能快速掌握的事件（event）。如果把孩子置于一个建立在理解基础上的学习体系中，注重这个过程，配合积极的心态、适当的努力，没有理由她不能学好基础数学。

5、为未来的数学学习打下牢固方法论基础

6年级（相当于咱们初中一年级），是美国中小学数学学习的一个分水岭，此时。从6年级开始，数学的学习，除了学科内容，还要特别加强对数学过程的学习（mathematical processes - the way you learn, study and think about mathematics）。6-8年级的孩子，需要学习8个方面的数学过程。以6年级为例，简单来说一说：

（1）Problem Solving / 解决问题

学习解决问题的方法论。解决问题，必须从理解问题开始，分析信息，确定目标，规划步骤，zui后检查和评价所用方法，继续改进 ... 这种方式，也适用于解决科学问题或很多其它领域的问题。

（2）Abstract and Quantitative Reasoning / 抽象和量化分析

学生必须学会用符号和数量语言去体现和解决现实世界中的数学问题。

（3）Use and Evaluate Logical Reasoning / 逻辑分析

数学是训练逻辑思维能力的绝佳渠道。锻炼的方式，就是学会有理有据地把自己的想法表达清楚，论证自己的结论 - communicate math ideas, critique reasoning, look for a pattern（沟通、思辨、寻找规律）。长期的训练，会让学生很容易分辨自己和别人的思维漏洞。下图中的 H.O.T 是训练高阶思维的意思。

（4）Mathematical Modeling / 数学建模

现实世界的问题，学生要学会用数学语言和数学结构去描述和解决。无处不在的数学模型，是现代科技的基石，学生从小要有“模型”意识，学会基本的建模方法。

（5）Use Mathematical Tools / 使用数学工具

懂得怎么用数学工具，从简单的量尺、图形计算器，到计算机软件去解决问题，是数学学习的重要部分，比如怎么通过 Excel 表将数据“结构化”。

（6）Use Precise Mathematical Language / 使用精确的数学语言

必须学会精确地表述数学概念、数学问题，在语言和符号使用上符合规范。

（7）See Structure / 洞察结构

学生需要具备识别规律（pattern）的能力，比如，从重复的乘数运算结构中，开始理解指数的涵义。

（8）Generalize / 归纳总结

学生不能只会一个个解决问题，而是要能从各种问题中看出规律性、相似性，进行归纳总结，从而找出更优秀的解决方案。

三、学会用英语表达，非常重要

不知道你有没有这种感觉？看用英文写的数学书，一大困难在于不知道怎么把其中术语和咱们小时候学的数学对应起来，比如，如果我问你，Communitative Property of Addition 是什么，你能马上反应过来么？其实，这就是加法的交换律。

这样的术语，太多了，让你感觉咱们学的和老美学的不是一个数学。然而，如果孩子以后要上国际课程，要参加留学考试，要在学习或工作中接触大量英文科技资料，这个“数学英语表达法”的关，还必须过，而且早些过。

跟着 Go Math 这样的教科书，孩子就能完整而系统地学习数学的英语表达法。

每一章，都会有 “Vocabulary Builder”部分，让孩子通过一些可视化练习去理解数学名词（概念）的意义。

每开始学一个数学点，都会有这样的词汇卡（Vocabulary），介绍本章的关键概念。每张卡，正面是概念名称，比如平面图形中的 perpendicular lines （垂直交叉线） ...

翻过来，反面是对这个概念的解释，如 perpendicular lines 的定义：Two lines that intersect to form four right angles（两条线交叉形成四个直角）. 以及图例。看来，用英文解释数学概念，好像更容易理解？

这里顺便提一句，从英语对多边形（Polygon）的表述和定义来看，在数学表述上，汉语的“一词一义”是有些缺陷的：比如，quadrilateral 的含义有两层：

four sides（4条边）
four angles（4个角）

可是，当“quadrilateral”被翻译成为“四边形”的时候，就失去了“four angles”那层含义。如果想避免词义的“衰减”，那么，“quadrilateral” 就应该翻译为“四边四角形”，又会很拗口。

所以，学好数学的英语表达，对理解数学概念，也会有帮助。

其实，概念、术语的词汇，还是好学的，zui难的是各种描述数学问题的词句表达，如何找到合适的语言、如何组织语句、怎么符合表达惯例，等等。这些，也都是需要孩子在大量的接触、练习中逐渐熟练、慢慢掌握，真心急不得。

四、每个年级，都在学什么

说起学习进度，美国数学有点“前慢后快”，前面的概念铺垫绵延细致，到了小学4年级，速度开始加快，6年级以后，更是如此，进度并不比我们慢。不过，中国的“习题”难度更高，同样的知识点出题更难，虽然不是在知识深度上有更多要求。

2008年有篇论文《中美初中数学教材难度的比较研究》，从知识含量、推理、运算、背景、探究多个维度，通过难度公式系统比较了中美典型初中教材的难度。结果显示，美国的初中教科书在代数上的内容难度高于中国，在概率统计等实践性较强的分支差距更为明显。在几何上内容难度相差不多。
著名华裔数学家，哈佛教授丘成桐说： “在美国比较好的中小学校里，中国学生念的功课，他们也都是要学的，而且学得很灵活。一些好的学校，十一、十二年级学生的微积分已经做得非常漂亮。”

具体每个年级学什么，这是CCSS，也是 Go Math 的概括纲要 ... 我没有翻译每个项目的名称，因为它的精确涵义和我们固有的中国数学术语不是那么容易对应收。