书名：高等数学（下册）修订本
定价：42.0
ISBN：9787030455185
作者：大学数学编写委员会《高等数学》编写组
版次：0101
出版时间：2015-08

内容提要：
本书共7章，包括空间解析几何与向量代数、多元函数微分法及其应用、重积分、曲线积分和曲面积分、无穷级数、MATLAB软件与多元函数微积分、数学建模初步等内容.书中每节配有习题，每章编有小结，书末附有习题答案与提示，以便读者预习和自学。

目录：
目录
前言
第9章空间解析几何与向量代数1
9.1向量及其线性运算1
9.1.1向量的概念1
9.1.2向量的线性运算2
9.1.3空间直角坐标系4
9.1.4利用坐标作向量的线性运算6
9.1.5向量的模、方向角、投影7
习题9.19
9.2数量积向量积混合积10
9.2.1两向量的数量积10
9.2.2两向量的向量积13
9.2.3向量的混合积15
习题9.2 17
9.3曲面及其方程18
9.3.1曲面方程的概念18
9.3.2旋转曲面19
9.3.3柱面21
9.3.4二次曲面22
习题9.3 25
9.4空间曲线及其方程25
9.4.1空间曲线的一般方程25
9.4.2空间曲线的参数方程26
9.4.3空间曲线在坐标面上的投影28
习题9.4 30
9.5平面及其方程30
9.5.1平面的点法式方程30
9.5.2平面的一般方程31
9.5.3两平面的夹角32
习题9.5 34
9.6空间直线及其方程35
9.6.1空间直线的一般方程35
9.6.2空间直线的对称式方程与参数方程35
9.6.3两直线的夹角37
9.6.4直线与平面的夹角37
9.6.5线面综合题38
习题9.6 40
本章小结41
一、内容概要41
二、解题指导41
复习题942
第10章多元函数微分法及其应用44
10.1平面点集与多元函数44
10.1.1平面点集44
10.1.2二元函数的概念46
10.1.3多元函数的极限47
10.1.4多元函数的连续性48
习题10.1 50
10.2偏导数51
10.2.1偏导数的定义及其计算方法51
10.2.2高阶偏导数54
习题10.255
10.3全微分56
10.3.1全微分的定义56
10.3.2全微分在近似计算中的应用58
习题10.3 59
10.4复合函数微分法60
10.4.1多元复合函数的求导法则60
10.4.2多元复合函数的全微分64
习题10.464
10.5隐函数65
10.5.1一个方程的情形65
10.5.2方程组的情况68
习题10.570
10.6多元函数微分学的几何应用71
10.6.1空间曲线的切线与法平面71
10.6.2曲面的切平面与法线74
习题10.6 76
10.7方向导数与梯度76
10.7.1方向导数76
10.7.2梯度78
习题10.7 81
10.8多元函数的极值81
10.8.1多元函数的极值82
10.8.2多元函数的*大值与*小值84
10.8.3条件极值与拉格朗日乘数法85
习题10.888
10.9*小二乘法89
习题10.9 92
本章小结92
一、内容概要92
二、解题指导93
复习题10 93
第11章重积分96
11.1二重积分的概念和性质96
11.1.1二重积分的概念96
11.1.2二重积分的性质98
习题11.1 100
11.2二重积分的计算法（一）100
11.2.1利用直角坐标计算二重积分100
11.2.2利用对称性和奇偶性化简二重积分的计算105
习题11.2 106
11.3二重积分的计算法（二）108
11.3.1利用极坐标计算二重积分108
11.3.2二重积分的换元法111
习题11.3114
11.4三重积分（一）115
11.4.1三重积分的概念115
11.4.2利用直角坐标计算三重积分116
11.4.3利用对称性和奇偶性化简三重积分的计算120
习题11.4 120
11.5三重积分（二）121
11.5.1利用柱面坐标计算三重积分121
11.5.2利用球面坐标计算三重积分123
11.5.3三重积分的换元法125
习题11.5126
11.6重积分应用126
11.6.1几何应用126
11.6.2物理应用130
习题11.6135
本章小结135
一、内容概要136
二、解题指导136
复习题11 137
第12章曲线积分和曲面积分141
12.1对弧长的曲线积分141
12.1.1对弧长的曲线积分的概念与性质141
12.1.2对弧长的曲线积分的计算143
习题12.1 146
12.2对坐标的曲线积分146
12.2.1对坐标的曲线积分的概念与性质146
12.2.2对坐标的曲线积分的计算149
12.2.3两类曲线积分的联系153
习题12.2 155
12.3格林公式及其应用156
12.3.1区域的连通性及边界曲线的正向156
12.3.2格林公式157
12.3.3平面上曲线积分与路径无关的条件160
全微分方程164
习题12.3 166
12.4对面积的曲面积分167
12.4.1对面积的曲面积分的概念和性质167
12.4.2对面积的曲面积分的计算168
习题12.4 171
12.5对坐标的曲面积分171
12.5.1有向曲面及其投影171
12.5.2对坐标的曲面积分的概念和性质173
12.5.3对坐标的曲面积分的计算175
12.5.4两类曲面积分之间的联系177
习题12.5 180
12.6高斯公式通量与散度181
12.6.1高斯公式181
12.6.2沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件185
12.6.3通量与散度186
习题12.6187
12.7斯托克斯公式环流量与旋度188
12.7.1斯托克斯公式188
12.7.2空间曲线与路径无关的条件191
12.7.3环流量与旋度191
习题12.7 192
本章小结193
一、 内容概要193
二、 解题指导193
三、 人物介绍196
复习题12 197
第13章无穷级数201
13.1常数项级数的概念和性质201
13.1.1常数项级数的概念201
13.1.2收敛级数的基本性质205
13.1.3柯西审敛原理207
习题13.1 208
13.2常数项级数的审敛法209
13.2.1正项级数及其审敛法209
13.2.2交错级数及其审敛法215
13.2.3绝对收敛与条件收敛217
习题13.2 218
13.3幂级数219
13.3.1函数项级数的概念219
13.3.2幂级数及其收敛性220
13.3.3幂级数的运算224
习题13.3 228
13.4函数展开成幂级数228
13.4.1泰勒级数229
13.4.2函数展开成幂级数230
习题13.4 237
13.5函数的幂级数展开式的应用237
13.5.1近似计算237
13.5.2欧拉公式241
13.5.3微分方程的幂级数解法242
习题13.5 245
13.6傅里叶级数245
13.6.1三角级数三角函数系的正交性245
13.6.2函数展开成傅里叶级数247
13.6.3正弦级数和余弦级数252
习题13.6 256
13.7一般周期函数的傅里叶级数257
13.7.1周期为2l的周期函数的傅里叶级数257
13.7.2傅里叶级数的复数形式260
习题13.7 263
本章小结263
一、内容概要265
二、解题指导265
三、数学史与人物介绍266
复习题13 269
第14章MATLAB软件与多元函数微积分272
14.1多元函数微分学实验272
14.1.1空间曲面及曲线绘图272
14.1.2MATLAB求极限273
14.1.3MATLAB求偏导数及全微分274
14.1.4MATLAB与微分法的几何应用274
14.1.5MATLAB求多元函数的极值278
14.2多元函数积分学实验279
14.2.1MATLAB求二重积分279
14.2.2MATLAB求三重积分280
14.3泰勒级数和傅里叶级数实验281
14.3.1泰勒级数281
14.3.2傅里叶级数282
本章小结284
复习题14 284
第15章数学建模初步285
15.1数学建模的方法与步骤285
15.1.1数学模型的分类285
15.1.2数学建模的基本方法286
15.1.3数学建模的过程及一般步骤286
15.2全国大学生数学建模竞赛简介288
15.2.1全国大学生数学建模竞赛的历史发展与现状288
15.2.2全国大学生数学建模竞赛的宗旨与目的288
15.3微积分模型289
15.3.1椅子问题289
15.3.2洗衣服中的数学291
15.3.3通信卫星的电波覆盖的地球面积293
15.3.4万有引力定律的发现294
习题15.3 297
15.4微分方程模型297
15.4.1传染病的传播297
15.4.2交通问题模型302
习题15.4303
15.5简单的经济数学模型304
15.5.1边际成本与边际收益304
15.5.2效用函数305
15.5.3商品替代率305
15.5.4效用分析306
15.5.5一个*优价格模型306
习题15.5 308
15.6SARS传播问题308
本章小结313
习题答案与提示314


在线试读：
第9章 空间解析几何与向量代数
在平面解析几何中，通过坐标法把平面上的点与一对有次序的数对应起来，把平面上的图形和方程对应起来，从而可以用代数的方法来研究几何问题.用代数方法研究空间几何图形就是空间解析几何，它是平面解析几何的拓广.平面解析几何的知识对学习一元函数微积分是不可缺少的，空间解析几何的知识对学习多元函数的微积分同样也是不可缺少的.
向量代数是解决许多数学、物理及工程技术问题的有力工具，本章先引进向量的概念，根据向量的线性运算建立空间坐标系，然后利用坐标讨论向量的运算，并介绍空间解析几何的有关内容.
9.1向量及其线性运算
9.1.1向量的概念
客观世界中有这样一类量，它们既有大小，又有方向，例如位移、速度、加速度、力、力矩等，这一类量叫做向量或矢量（vector）.
在数学上，常用一条有方向的线段，即有向线段来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向.以A为起点、B为终点的有向线段所表示的向量记作AB（如图9-1）.有时也用一个黑体字母（或书写时，在字母上面加箭头）来表示向量，例如a，r，v，F等.
在实际问题中，一些向量与起点有关，一些向量与起点无关.由于一切向量的共性是它们都有大小和方向，因此在数学上我们只研究与起点无关的向量，并称这种向量为自由向量（free vector）（以后简称向量），当遇到与起点有关的向量时，可在一般原则下作特别处理.
由于只讨论自由向量，所以如果两个向量a和b的大小相等，且方向相同，就说向量a和b是相等的，记作a=b，即经过平行移动后能完全重合的向量是相等的.
向量的大小叫做向量的模（norm）.向量a，AB的模依次记作a，AB.模等于1的向量叫做单位向量（unit vector）.模等于0的向量叫做零向量（zero vector），记作0.零向量的起点与终点重合，它的方向可以看作是任意的.
设有两个非零向量a，b，任取空间一点O，作OA=a，OB=b，规定不超过π的∠AOB（设φ=∠AOB，0≤φ≤π）称为向量a与b的夹角（如图9-2），
图9-2记作（a，b），就称向量a与6垂直，记作a_L6．由于零向量与另一个向量的夹角可以在o到之间任意取值，因此可以认为零向量与任何向量都平行，也可以认为零向量与任何向量都垂直，
当两个平行向量的起点放在同一点时，它们的终点和公共的起点在一条直线上．因此，两向量平行又称两向量共线．
类似还有向量共面的概念．设有k（k≥3）个向量，当把它们的起点放在同一点时，如果k个终点和公共起点在一个平面上，就称这k个向量共面．
9.1.2 向量的线性运算
1．向量的加法
向量的加法运算规定如下．
设有两个向量n与6，任取一点A，再以B为起点，连接AC(如图9-3)，那么向量称为向量a与6的和，记作a+b，即c=a+b.
上述作出两向量之和的方法被称为向量相加的三角形法则．
力学上有求合力的平行四边形法则，仿此，也有向量相加的平行四边形法则，即：当向量a与b不平行AD为邻边作一平行四边形ABCD，连接对角线
向量的加法符合下列的运算规律
(i)交换律 a+b=b+a；
(ii)结合律
这是因为，按向量加法的规定（三角形法则），从图9 4可见
所以符合交换律．又如图9 5所示，先作n+6再加上c，即得和,如以a与b+c相加，则得同一结果，所以符合结合律．
由于向量的加法符合交换律与结合律，故n个向量a1，a2，…，an（n≥3）相加可写成
并按向量相加的三角形法则，可得订个向量相加的法则如下：使前一向量的终点作为次一向量的起点，相继作向量再以**向量的起点为起点，*后一向量的终点为终点作一向量，这个向量即为所求的和．如图9-6，有
设a为一向量，规定与n的模相同而方向相反的向量叫做n的负向量( negative vector)，记作-a，由此，定义两个向量6与n的差
b-a=b+（-a），
即把向量-a加到向量6上，便得6与n的差b-a(如图9-7(a))．
特别地，当b=a时，有a-a=a+（-a）=0．
显然，任给向量AB及点O，有
因此，若把向量n与6移到同一起点O，则从n的终点A向西的终点B所引向量A奋便是向量b与a的差b-a(如图9-7(b))．
由三角形两边之和大于第三边，有
其中等号在b与a同向或反向时成立．
2．向量与数的乘法
向量n与实数A的乘积记作An，规定Aa是一个向量，它的模
它的方向当A>O时与n同向，当A<O时与n反向．
当A=O时，Aa =o即Aa为零向量，这时它的方向可以是任意的．
特别地，当A一±1时，有
向量与数的乘积符合下列运算规律．
(i)结合律
这是因为由向量与数的乘积的规定可知，向量都是平行的向量，它们的指向也是相同的，而且
所以
(ii)分配律
这个规律同样可以按向量与数的乘积的规定来证明，这里从略，
向量相加及数乘向量统称为向量的线性运算(linear operations).
例1 证明：三角形两边中点连线平行于第三边，其长度等于第三边长度的一半．
证明 如图9-8所示，设AD=DB，AE=EC，由向量的线性运算法则，有前面已经讲过，模等于1的向量叫做单位向量，设ea（或ao）表示与非零向量n同方向的单位向量，那么按照向量与数的乘积的规定，由于
即模也相同，因此，
我们规定，当A≠0时,由此，上式又可写成
这表示一个非零向量与它的模的倒数数乘的结果是一个与原向量同方向的单位向量．
由于向量旭与n平行，因此，我们常用向量与数的乘积来说明两个向量的平行关系，
定理1设向量n≠0，那么，向量6平行于n的充分必要条件是：存在**的实λ，使
证明条件的充分性是显然的，下面证明条件的必要性，
设b∥a，取，当6与n同向时取正值，当6与a反向时A取负值，即，这
是因为此时6与Aa同向，且
再证明数λ的**性．设b=Aa，又设b=ua，两式相减，便得
定理1是建立数轴的理论依据．我们知道，给定一个点、一个方向及单位长度，就确定了一条数轴，由于一个单位向量既确定了方向，又确定了单位长度，因此，给定一个点及一个单位向量就确定了一条数轴，设点()及单位向量f确定了数轴O/（如图9 9），对于轴上任一点P，对应一个向量07J，由∥f，根据定理l，必有**的实数z，使（实数z叫做轴上有向线段o声的值），从而轴上的点P与实数z有一一对应的关系．据此，定义实数
由此可知，轴上点P的坐标为z的充分必要条件是
9.1.3 空间直角坐标系
在空间取定一点O和三个两两垂直的单位向量f，J，足就确定了三条都以O为原点的两两垂直的数轴，依次记为z轴（横轴）、v轴（纵轴）、z轴（竖轴），统称为坐标轴．它们构成一个空间直角坐标系，称为O_r vz坐标系或[O;/，歹，妇坐标系（如图9-10）．通常把z轴和v轴配置在水平面上，而2轴则是铅垂线；它们的正向通常符合右手规则，即以右手握住2轴，当右手的四个手指从正向z轴以≥角度转向正向y轴时，大拇指的指向就是2轴的正向（如图9 -11）．
三条坐标轴中的任意两条可以确定一个平面，这样定出的三个平面统称为坐标面．z轴及v轴所确定的坐标面叫做/Ov面，另两个由y轴及2轴和由z轴及z轴所确定的坐标面，分别叫做VO面及zOr面．三个坐标面把空间分成八个部分，每一部分叫做一个卦限，含有z轴、v轴与2轴正半轴的那个卦限叫做**卦限，其他第二卦限、第三卦限和第四卦限在面的上方，按逆时针方向依次确定，第五卦限至第八卦限，在z（砂面的下方，由**卦限之下的第五卦限，按逆时针方向依次确定，这八个卦限分别用字母I、II、III、IV、V、VI、VII、VIII表示（如图9.12）．
任给向量r，对应有点M，使以OM为对角线、三条坐标轴为棱作长方体如图9 13所示，有上式称为向量r的坐标分解式，称为向量r沿三个坐标轴方向的分向量( sub-vector)．
向量r与三个有序数之间有一一对应的关系，即
据此，有序数称为向量r（在坐标系中）的坐标(coordinator)，记有序数z，y，2也称为点（在坐标系中）的坐标，记作
向量称为点M关于原点O的向径，上述表明，一个点与该点的向径有相同的坐标．记号(z，v，z)既表示点M，又表示向量坐标面上和坐标轴上的点，其坐标各有一定的特征，
9.1.4利用坐栎作向量的线性运算
利用向量的坐标，可得向量的加法、减法以及向量与数的乘法的运算如下．
设
利用向量加法的交换律与结合律以及向量与数的乘法的结合律与分配律，有
即
由此可见，对向量进行加、减及向量与数的相乘，只需对向量的各坐标分别进行相应的
数量运算就行了．
定理1指出，当向量n≠0时，向量相当于，坐标表示式为
这也就相当于向量6与a对应的坐标成比例，即
例2 已知两点，求向量的坐标，