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书名：材料力学（II）（第三版）
定价：38.0
ISBN：9787030513885
作者：苟文选
版次：1
出版时间：2017-03
内容提要：
作为材料力学课程模块化教材的拓展模块，本书包括能量法、超静定系统、疲劳强度、扭转及弯曲问题的进一步研究，超过弹性极限后材料的变形与强度，材料力学行为的进一步认识，实验应力分析概况等内容。各章后均配有适量的思考题及习题，书后附有参考答案。
目录：
目录
第1章 能量原理在杆件位移分析中的应用 1
1.1 杆件应变能 1
1.2 杆件应变能的普遍表达形式 5
1.3 卡氏定理 8
1.4 单位载荷法 13
1.5 图形互乘法 19
1.6 虚功原理 27
1.7 功的互等定理 29
思考题 31
习题 32
第2章 能量原理在求解超静定结构中的应用 37
2.1 概述 37
2.2 超静定结构分析基础 39
2.3 力法正则方程 44
2.4 对称性条件及其在求解超静定结构中的应用 51
2.5 三弯矩方程 64
思考题 69
习题 70
第3章 疲劳强度 76
3.1 概述 76
3.2 交变应力的循环特征 78
3.3 疲劳极限 79
3.4 影响疲劳极限的因素 82
3.5 疲劳强度计算 86
3.6 弯扭组合作用下构件的疲劳强度计算 91
3.7 抗疲劳设计 93
3.8 提高构件疲劳强度的措施 95
思考题 97
习题 97
第4章 扭转及弯曲问题的进一步研究 101
4.1 薄壁杆件的自由扭转 101
4.2 开口薄壁杆件的弯曲切应力及弯曲中心 105
4.3 组合梁 112
4.4 平面曲杆的正应力 118
4.5 用共轭梁法求梁的变形 125
4.6 梁变形的普遍方程——奇异函数法 128
思考题 135
习题 136
第5章 超过弹性极限材料的变形与强度 140
5.1 概述 140
5.2 金属材料在简单拉压载荷下的塑性变形 140
5.3 纯弯曲梁的塑性变形 143
5.4 横力弯曲梁的塑性弯曲 146
5.5 圆轴的极限扭矩 149
5.6 简单桁架的弹塑性变形分析 151
思考题 153
习题 154
第6章 材料力学行为的进一步认识 155
6.1 温度对材料力学性能的影响 155
6.2 应变速率对材料力学性能的影响 156
6.3 材料的黏弹性特性简介 156
6.4 线弹性断裂力学简介 159
6.5 复合材料力学简介 161
思考题 164
习题 165
第7章 实验应力分析简介 166
7.1 概述 166
7.2 电测法的基本原理 166
7.3 应变测量与应力换算 170
7.4 光弹性实验方法及平面偏振光 175
7.5 平面受力模型在平面偏振光场中的效应 176
7.6 平面受力模型在圆偏振光场中的效应 179
7.7 材料条纹值的测定 182
7.8 光弹性方法的应用 183
思考题 184
习题 185
习题答案 186
参考文献 192
在线试读：
第1章能量原理在杆件位移分析中的应用
1.1杆件应变能
在工程结构分析中，经常需要计算结构和构件的变形。使用一般的方法，如积分法，作变形计算时需要分析结构和构件的具体变形形式，并需大量的计算工作。特别是对于刚架、桁架和曲杆等复杂的超静定结构，由于变形复杂，一般方法根本无法完成。工程上通常采用能量原理完成结构和构件的变形分析。
在固体力学领域，能量原理泛指利用功和能的相关定理分析问题的方法。能量原理除了在变形和超静定结构分析方面有广泛的应用之外，也应用于工程结构的稳定和冲击等问题分析。能量原理在结构或者构件的变形分析中，不涉及具体的变形过程，因此具有应用简单、方便等优点。能量原理的另一个优点是公式统一，适于利用计算机编程处理。以能量原理为基础的有限元方法，目前已经成为应用最为广泛的工程结构分析工具。
能量原理的主要基础为：物体在外力作用下发生变形，因此外力在变形过程中做功，这一外力功将转化为其他形式的能量。对于弹性物体，由于变形的可逆性，这种能量转化过程相对简单。由于在弹性变形过程中，可以忽略其他形式的能量，如动能、热能等的损耗，认为外力功W全部转化为应变能Vs存储于弹性体的内部。即
(1-1)
在弹性范围内，应变能与外力功是可逆的。这就是说，当外力增加时，外力功可以转化为应变能存储于弹性体内部，而外力减小时，应变能又可以转化为功。
本章介绍有关能量法的基本原理和方法，如果没有特别说明，一般认为材料的应力应变关系满足胡克定理，讨论问题仅限于线性弹性问题；外力为静载荷，即外力从零开始缓慢地增加，直到终值；弹性体在外力的作用下将发生变形，弹性体的变形也从零开始直到对应的数值。
以下首先分析杆件基本变形的应变能表达形式。
1.1.1轴向拉伸或压缩
在线弹性条件下，即应力应变关系满足胡克定理，外力在杆件上所做的功在数值上等于存储于杆件内部的应变能。在《材料力学(Ⅰ)》中2.10节已经证明，拉伸曲线与横轴所围面积为外力功。因此，如图1-1所示，三角形OAB的面积在数值上等于外力所做的功。即
(1-2)
由能量原理式(1-1)，则应变能为
(1-3)
式(1-3)为等截面直杆在轴力为常量条件下的应变能计算公式。如果杆件为变截面杆件，或者轴力是变化的，可以考虑dx微段的应变能为
积分可得整个杆件的应变能Vs为
(1-4)
1.1.2扭转
圆轴扭转时，如果材料应力应变关系处于线弹性范围，则扭矩T与扭转角.的关系为图1-2(b)所示一条直线。按照《材料力学(Ⅰ)》中3.3节的证明，变形过程中扭矩所做的功在数值上等于三角形OAB的面积，即
(1-5)
根据《材料力学(Ⅰ)》中式(4-12)
所以，圆轴扭转的应变能Vs为
(1-6)
如果圆轴的扭矩或者极惯性矩沿杆件的轴线为变量，则扭转应变能Vs为
(1-7)
对于非圆截面杆的扭转，则需将式(1-7)中截面二次矩Ip换为In。
1.1.3弯曲
首先讨论等截面梁纯弯曲时的应变能。设梁的两端面作用弯矩为M，θ为两个端面之间的相对转角，如图1-3(a)所示。则根据几何关系
根据《材料力学(Ⅰ)》中式(6-1)
所以
在线弹性条件下，梁的弯矩M与端面转角θ之间的关系曲线为图1-3(b)所示的一条直线。弯矩M所做的功在数值上等于三角形OAB的面积，即
(1-8)
所以，纯弯曲梁的应变能Vs为(1-9)
图1-3
对于剪切弯曲问题，必须分别考虑弯矩和剪力产生的应变能。由于剪切弯曲时，内力弯矩不再是常量，因此取dx微段，如图1-4所示，则外力功dW为
dx微段的应变能为
所以，整个梁的弯曲应变能Vs为(1-10)
图1-4
对于剪切应变能，可以从剪切应变能密度入手讨论。根据《材料力学(Ⅰ)》中的式(3-11)，剪切应变能密度vs为
(1-11)
由于在Fs作用下的切应力τ为
代入式(1-11)，得剪切应变能密度vs为
整个梁的剪切应变能Vs为
(1-12)
引入记号(1-13)
记号k仅与梁的横截面形状有关，称为剪切形状系数。对于矩形截面，k=6/5；对于圆形截面，k=10/9；薄壁圆环截面，k=2。对于其他形状的横截面，剪切形状系数k可以根据式(1-13)计算。
引用记号k后，则式(1-12)可以简化为
(1-14)
对于细长梁，剪切应变能远小于弯曲应变能，因此进行工程结构分析时，一般将切应变能略去不计。只有在某些特殊形式下，如工字钢等薄壁截面梁，才需要考虑剪切应变能。根据上述分析，由于构件应变能在数值上等于外力功，在线弹性范围，式(1-2)、式(1-5)和式(1-8)表示的静载荷外力功可以写为统一表达式
(1-15)
式中，F为广义力；δ为与广义力对应的位移，称为广义位移。广义位移是广义力作用点，且与广义力方向一致的位移。如果广义力为轴力或者横向力，则广义位移为对应的线位移；如果广义力为力偶，则广义位移为对应的转角。
应该注意，在线弹性条件下，广义力与广义位移之间呈线性关系。对于非线性弹性问题，尽管是弹性变形，能量关系(1-1)仍然成立，但是应力应变关系不再满足线性条件，其应变能Vs计算公式为
(1-16)
对于非线性弹性问题，F-δ曲线不再是直线，因此式(1-16)计算所得应变能的系数不再是1/2。
例1-1简支梁AB在C处作用集中力F，如图1-5所示。已知梁的抗弯刚度EI为常量，试求梁的应变能Vs，并计算C点的挠度yC。
解(1)求支反力。根据平衡条件∑MB=0和∑MA=0，可得支座反力
图1-5
(2)列弯矩方程并计算弯曲应变能。对于图示坐标系，
AC段弯矩为
CB段弯矩为
由于在梁AC和CB段弯矩方程是通过不同的函数描述的，因此应用式(1-10)计算应变能时，必须分段计算然后求和，即
(3)根据能量原理求位移。在变形过程中，外力F做功为
根据能量原理W=Vs，求得C点的垂直位移为
计算所得的yC为正值，表示位移与外力F方向一致。
从例1-1的分析中可以看到，由于能量原理应用不涉及变形的具体过程，因此可以不必采用统一坐标系。例题中梁的AC和CB段弯矩是通过不同形式的坐标系描述的，这对于复杂结构的变形分析更具有优越性。
根据上述分析(与《材料力学(Ⅰ)》中例2-10同理)，只有弹性体作用广义力**，而且仅当在分析广义力作用点沿力的作用线方向的广义位移时，才能直接应用能量原理。为了能够将能量原理更广泛地应用于结构和构件的变形分析，必须进一步讨论能量关系，建立求解变形的能量方法。
1.2杆件应变能的普遍表达形式
本节将根据杆件基本变形的应变能表达式，推导杆件应变能的普遍表达形式。对于组合变形杆件，横截面同时作用多个内力分量，为了方便讨论，取杆件的dx微段分析，如图1-6所示。
设dx微段的两端横截面的内力分别为轴力FN(x)、扭矩T(x)、剪力Fs(x)和弯矩M(x)，其中剪力产生的应变能一般忽略不计。上述内力，对于所研究的对象dx微段而言均为外力。设dx微段的两个端面的相对轴向位移为d(Δl)，相对扭转角为d.，相对转角为dθ。由于dx微段的上述广义位移是正交的，因此各个外力所做的功是相互独立的，互不影响。如轴力FN(x)在相对扭转角d.和相对转角dθ上不做功，而扭矩T(x)和弯矩M(x)在轴向位移d(Δl)上也不做功。因此，外力功为
上述外力功等于存储于dx微段内的应变能，若材料变形在线弹性范围内，则胡克定律成立，因此
积分可得整个杆件的应变能为
(1-17)
式(1-17)为圆截面杆件的应变能表达式，对于非圆截面杆件，应变能的普遍表达形式为
弹性体作用多个外力时，由于构件变形而外力作用点产生位移，载荷在这一位移上做功，其数值等于弹性体内部存储的应变能。因此也可以利用外力做功求解弹性体的应变能。
弹性体在外力F1，F2，F3，…，Fi，…，Fn的共同作用下处于平衡状态。这就是说弹性体的约束条件使得弹性体只有变形位移，而没有刚体位移，如图1-7所示。如果设外力F1，F2，F3，…，Fi，…，Fn为广义力，则对应的广义位移为Δ1，Δ2，Δ3，…，Δi，…，Δn。这里的广义位移分别表示外力作用点且与外力方向一致的位移。
设外力F1，F2，F3，…，Fi，…，Fn按照同一比例从零开始缓慢加载直至终值。如果变形很小而且材料是线弹性的，则弹性体的位移与外力之间的关系也是线弹性的。这就是说广义位移Δ1，Δ2，图1-7Δ3，…，Δi，…，Δn也将与外力同样按照同一比例增加。为了表示外力与位移的这一关系，引入一个由0到1的参数k。这样在加载过程中，各个外力可以表示为kF1，kF2，kF3，…，kFi，…，kFn，而由于外力与位移为线性关系，广义位移可以表示为kΔ1，kΔ2，kΔ3，…，kΔi，…，kΔn。因此外力按照比例从零开始缓慢加载，相当于参数k由0增至1。引入参数k的增量dk表示这个加载过程，则由k到k+dk时，外力做功为
定价：38.0
ISBN：9787030513885
作者：苟文选
版次：1
出版时间：2017-03
内容提要：
作为材料力学课程模块化教材的拓展模块，本书包括能量法、超静定系统、疲劳强度、扭转及弯曲问题的进一步研究，超过弹性极限后材料的变形与强度，材料力学行为的进一步认识，实验应力分析概况等内容。各章后均配有适量的思考题及习题，书后附有参考答案。
目录：
目录
第1章 能量原理在杆件位移分析中的应用 1
1.1 杆件应变能 1
1.2 杆件应变能的普遍表达形式 5
1.3 卡氏定理 8
1.4 单位载荷法 13
1.5 图形互乘法 19
1.6 虚功原理 27
1.7 功的互等定理 29
思考题 31
习题 32
第2章 能量原理在求解超静定结构中的应用 37
2.1 概述 37
2.2 超静定结构分析基础 39
2.3 力法正则方程 44
2.4 对称性条件及其在求解超静定结构中的应用 51
2.5 三弯矩方程 64
思考题 69
习题 70
第3章 疲劳强度 76
3.1 概述 76
3.2 交变应力的循环特征 78
3.3 疲劳极限 79
3.4 影响疲劳极限的因素 82
3.5 疲劳强度计算 86
3.6 弯扭组合作用下构件的疲劳强度计算 91
3.7 抗疲劳设计 93
3.8 提高构件疲劳强度的措施 95
思考题 97
习题 97
第4章 扭转及弯曲问题的进一步研究 101
4.1 薄壁杆件的自由扭转 101
4.2 开口薄壁杆件的弯曲切应力及弯曲中心 105
4.3 组合梁 112
4.4 平面曲杆的正应力 118
4.5 用共轭梁法求梁的变形 125
4.6 梁变形的普遍方程——奇异函数法 128
思考题 135
习题 136
第5章 超过弹性极限材料的变形与强度 140
5.1 概述 140
5.2 金属材料在简单拉压载荷下的塑性变形 140
5.3 纯弯曲梁的塑性变形 143
5.4 横力弯曲梁的塑性弯曲 146
5.5 圆轴的极限扭矩 149
5.6 简单桁架的弹塑性变形分析 151
思考题 153
习题 154
第6章 材料力学行为的进一步认识 155
6.1 温度对材料力学性能的影响 155
6.2 应变速率对材料力学性能的影响 156
6.3 材料的黏弹性特性简介 156
6.4 线弹性断裂力学简介 159
6.5 复合材料力学简介 161
思考题 164
习题 165
第7章 实验应力分析简介 166
7.1 概述 166
7.2 电测法的基本原理 166
7.3 应变测量与应力换算 170
7.4 光弹性实验方法及平面偏振光 175
7.5 平面受力模型在平面偏振光场中的效应 176
7.6 平面受力模型在圆偏振光场中的效应 179
7.7 材料条纹值的测定 182
7.8 光弹性方法的应用 183
思考题 184
习题 185
习题答案 186
参考文献 192
在线试读：
第1章能量原理在杆件位移分析中的应用
1.1杆件应变能
在工程结构分析中，经常需要计算结构和构件的变形。使用一般的方法，如积分法，作变形计算时需要分析结构和构件的具体变形形式，并需大量的计算工作。特别是对于刚架、桁架和曲杆等复杂的超静定结构，由于变形复杂，一般方法根本无法完成。工程上通常采用能量原理完成结构和构件的变形分析。
在固体力学领域，能量原理泛指利用功和能的相关定理分析问题的方法。能量原理除了在变形和超静定结构分析方面有广泛的应用之外，也应用于工程结构的稳定和冲击等问题分析。能量原理在结构或者构件的变形分析中，不涉及具体的变形过程，因此具有应用简单、方便等优点。能量原理的另一个优点是公式统一，适于利用计算机编程处理。以能量原理为基础的有限元方法，目前已经成为应用最为广泛的工程结构分析工具。
能量原理的主要基础为：物体在外力作用下发生变形，因此外力在变形过程中做功，这一外力功将转化为其他形式的能量。对于弹性物体，由于变形的可逆性，这种能量转化过程相对简单。由于在弹性变形过程中，可以忽略其他形式的能量，如动能、热能等的损耗，认为外力功W全部转化为应变能Vs存储于弹性体的内部。即
(1-1)
在弹性范围内，应变能与外力功是可逆的。这就是说，当外力增加时，外力功可以转化为应变能存储于弹性体内部，而外力减小时，应变能又可以转化为功。
本章介绍有关能量法的基本原理和方法，如果没有特别说明，一般认为材料的应力应变关系满足胡克定理，讨论问题仅限于线性弹性问题；外力为静载荷，即外力从零开始缓慢地增加，直到终值；弹性体在外力的作用下将发生变形，弹性体的变形也从零开始直到对应的数值。
以下首先分析杆件基本变形的应变能表达形式。
1.1.1轴向拉伸或压缩
在线弹性条件下，即应力应变关系满足胡克定理，外力在杆件上所做的功在数值上等于存储于杆件内部的应变能。在《材料力学(Ⅰ)》中2.10节已经证明，拉伸曲线与横轴所围面积为外力功。因此，如图1-1所示，三角形OAB的面积在数值上等于外力所做的功。即
(1-2)
由能量原理式(1-1)，则应变能为
(1-3)
式(1-3)为等截面直杆在轴力为常量条件下的应变能计算公式。如果杆件为变截面杆件，或者轴力是变化的，可以考虑dx微段的应变能为
积分可得整个杆件的应变能Vs为
(1-4)
1.1.2扭转
圆轴扭转时，如果材料应力应变关系处于线弹性范围，则扭矩T与扭转角.的关系为图1-2(b)所示一条直线。按照《材料力学(Ⅰ)》中3.3节的证明，变形过程中扭矩所做的功在数值上等于三角形OAB的面积，即
(1-5)
根据《材料力学(Ⅰ)》中式(4-12)
所以，圆轴扭转的应变能Vs为
(1-6)
如果圆轴的扭矩或者极惯性矩沿杆件的轴线为变量，则扭转应变能Vs为
(1-7)
对于非圆截面杆的扭转，则需将式(1-7)中截面二次矩Ip换为In。
1.1.3弯曲
首先讨论等截面梁纯弯曲时的应变能。设梁的两端面作用弯矩为M，θ为两个端面之间的相对转角，如图1-3(a)所示。则根据几何关系
根据《材料力学(Ⅰ)》中式(6-1)
所以
在线弹性条件下，梁的弯矩M与端面转角θ之间的关系曲线为图1-3(b)所示的一条直线。弯矩M所做的功在数值上等于三角形OAB的面积，即
(1-8)
所以，纯弯曲梁的应变能Vs为(1-9)
图1-3
对于剪切弯曲问题，必须分别考虑弯矩和剪力产生的应变能。由于剪切弯曲时，内力弯矩不再是常量，因此取dx微段，如图1-4所示，则外力功dW为
dx微段的应变能为
所以，整个梁的弯曲应变能Vs为(1-10)
图1-4
对于剪切应变能，可以从剪切应变能密度入手讨论。根据《材料力学(Ⅰ)》中的式(3-11)，剪切应变能密度vs为
(1-11)
由于在Fs作用下的切应力τ为
代入式(1-11)，得剪切应变能密度vs为
整个梁的剪切应变能Vs为
(1-12)
引入记号(1-13)
记号k仅与梁的横截面形状有关，称为剪切形状系数。对于矩形截面，k=6/5；对于圆形截面，k=10/9；薄壁圆环截面，k=2。对于其他形状的横截面，剪切形状系数k可以根据式(1-13)计算。
引用记号k后，则式(1-12)可以简化为
(1-14)
对于细长梁，剪切应变能远小于弯曲应变能，因此进行工程结构分析时，一般将切应变能略去不计。只有在某些特殊形式下，如工字钢等薄壁截面梁，才需要考虑剪切应变能。根据上述分析，由于构件应变能在数值上等于外力功，在线弹性范围，式(1-2)、式(1-5)和式(1-8)表示的静载荷外力功可以写为统一表达式
(1-15)
式中，F为广义力；δ为与广义力对应的位移，称为广义位移。广义位移是广义力作用点，且与广义力方向一致的位移。如果广义力为轴力或者横向力，则广义位移为对应的线位移；如果广义力为力偶，则广义位移为对应的转角。
应该注意，在线弹性条件下，广义力与广义位移之间呈线性关系。对于非线性弹性问题，尽管是弹性变形，能量关系(1-1)仍然成立，但是应力应变关系不再满足线性条件，其应变能Vs计算公式为
(1-16)
对于非线性弹性问题，F-δ曲线不再是直线，因此式(1-16)计算所得应变能的系数不再是1/2。
例1-1简支梁AB在C处作用集中力F，如图1-5所示。已知梁的抗弯刚度EI为常量，试求梁的应变能Vs，并计算C点的挠度yC。
解(1)求支反力。根据平衡条件∑MB=0和∑MA=0，可得支座反力
图1-5
(2)列弯矩方程并计算弯曲应变能。对于图示坐标系，
AC段弯矩为
CB段弯矩为
由于在梁AC和CB段弯矩方程是通过不同的函数描述的，因此应用式(1-10)计算应变能时，必须分段计算然后求和，即
(3)根据能量原理求位移。在变形过程中，外力F做功为
根据能量原理W=Vs，求得C点的垂直位移为
计算所得的yC为正值，表示位移与外力F方向一致。
从例1-1的分析中可以看到，由于能量原理应用不涉及变形的具体过程，因此可以不必采用统一坐标系。例题中梁的AC和CB段弯矩是通过不同形式的坐标系描述的，这对于复杂结构的变形分析更具有优越性。
根据上述分析(与《材料力学(Ⅰ)》中例2-10同理)，只有弹性体作用广义力**，而且仅当在分析广义力作用点沿力的作用线方向的广义位移时，才能直接应用能量原理。为了能够将能量原理更广泛地应用于结构和构件的变形分析，必须进一步讨论能量关系，建立求解变形的能量方法。
1.2杆件应变能的普遍表达形式
本节将根据杆件基本变形的应变能表达式，推导杆件应变能的普遍表达形式。对于组合变形杆件，横截面同时作用多个内力分量，为了方便讨论，取杆件的dx微段分析，如图1-6所示。
设dx微段的两端横截面的内力分别为轴力FN(x)、扭矩T(x)、剪力Fs(x)和弯矩M(x)，其中剪力产生的应变能一般忽略不计。上述内力，对于所研究的对象dx微段而言均为外力。设dx微段的两个端面的相对轴向位移为d(Δl)，相对扭转角为d.，相对转角为dθ。由于dx微段的上述广义位移是正交的，因此各个外力所做的功是相互独立的，互不影响。如轴力FN(x)在相对扭转角d.和相对转角dθ上不做功，而扭矩T(x)和弯矩M(x)在轴向位移d(Δl)上也不做功。因此，外力功为
上述外力功等于存储于dx微段内的应变能，若材料变形在线弹性范围内，则胡克定律成立，因此
积分可得整个杆件的应变能为
(1-17)
式(1-17)为圆截面杆件的应变能表达式，对于非圆截面杆件，应变能的普遍表达形式为
弹性体作用多个外力时，由于构件变形而外力作用点产生位移，载荷在这一位移上做功，其数值等于弹性体内部存储的应变能。因此也可以利用外力做功求解弹性体的应变能。
弹性体在外力F1，F2，F3，…，Fi，…，Fn的共同作用下处于平衡状态。这就是说弹性体的约束条件使得弹性体只有变形位移，而没有刚体位移，如图1-7所示。如果设外力F1，F2，F3，…，Fi，…，Fn为广义力，则对应的广义位移为Δ1，Δ2，Δ3，…，Δi，…，Δn。这里的广义位移分别表示外力作用点且与外力方向一致的位移。
设外力F1，F2，F3，…，Fi，…，Fn按照同一比例从零开始缓慢加载直至终值。如果变形很小而且材料是线弹性的，则弹性体的位移与外力之间的关系也是线弹性的。这就是说广义位移Δ1，Δ2，图1-7Δ3，…，Δi，…，Δn也将与外力同样按照同一比例增加。为了表示外力与位移的这一关系，引入一个由0到1的参数k。这样在加载过程中，各个外力可以表示为kF1，kF2，kF3，…，kFi，…，kFn，而由于外力与位移为线性关系，广义位移可以表示为kΔ1，kΔ2，kΔ3，…，kΔi，…，kΔn。因此外力按照比例从零开始缓慢加载，相当于参数k由0增至1。引入参数k的增量dk表示这个加载过程，则由k到k+dk时，外力做功为