内容简介

本书是一本介绍计算复杂性理论的基础教材, 内容包括时间复杂性、空间复杂性、NP-理论、多项式谱

系、电路复杂性、随机计算及去随机、计数复杂性、交互证明系统、PCP 定理、近似计算与不可近似性。

本书的主要读者群是高年级本科生、硕士生、博士生，以及希望了解（更多）计算复杂性理论的教师

和科研工作者。本书可用于以下课程：（1）面向高年级本科生、研究生的“计算复杂性理论导论”课程，

内容涵盖前3 章；（2）面向研究生的“计算复杂性理论高等议题”课程，内容涵盖后3 章；（3）面向高年

级本科生、研究生的“算法理论”课程，涵盖第 4 章、第 6 章中有关随机算法和去随机、近似算法和不

可近似性的内容；（4）面向高年级本科生、研究生的“计算理论”课程，以第 1 章的内容为核心，并根

据学分多少和授课对象不同做适当补充。

编辑推荐

本教材可作为以下课程的主参考书：（1）面向高年级本科生、研究生的“计算复杂性理论导论”课程；（2）面向研究生的“计算复杂性理论高等议题”课章；（3）面向高年级本科生、研究生的“高等算法”课程；（4）面向高年级本科生、研究生的“计算理论”课程。

目录

第 1 章计算理论 1

1.1 图灵机 5

1.2 时间可构造性9

1.3 通用图灵机 10

1.4 对角线方法 15

1.5 丘奇-图灵论题17

1.6 加速定理21

1.7 时间复杂性类 24

1.8 非确定图灵机 26

1.9 命题逻辑29

1.10 谓词逻辑32

1.11 计算的逻辑刻画34

1.12 时间谱系定理 37

1.13 间隙定理41

1.14 神谕图灵机42

1.15 归约 43

1.16 空间复杂性类 45

1.17 对数空间类49

1.18 多项式空间类 52

1.19 对数空间的补封闭性 55

1.20 TIME(T(n))=SPACE(T(n)) 吗 58

第 1 章练习63

第 2 章难解性 65

2.1 可验证性66

2.2 NP-完全性 68

2.3 库克-莱文定理69

2.4 拉德纳定理 73

2.5 贝克-吉尔-索罗维定理76

2.6 多项式谱系 78

2.7 谱系的逻辑刻画 80

2.8 谱系的交替机刻画82

2.9 无限谱系假设 86

2.10 第二层中的完全问题 87

第 2 章练习91

第 3 章电路复杂性93

3.1 电路谱系定理 96

3.2 一致电路101

3.3 P_/poly 103

3.4 并行计算105

3.5 P-完全性109

3.6 哈斯塔德对换引理 111

第 3 章练习 117

第 4 章随机计算与去随机 119

4.1 随机算法121

4.2 通用哈希函数族136

4.3 概率图灵机139

4.4 BPP 与 ZPP141

4.5 PP 与 #P146

4.6 积和式计算151

4.7 户田定理155

4.8 随机游走159

4.9 蒙特卡罗方法 172

4.9.1 近似采样 175

4.9.2 马尔可夫链蒙特卡罗方法 185

4.9.3 均混时间 188

4.10 扩张图与去随机195

4.10.1 线性代数相关知识 196

4.10.2 图的谱200

4.10.3 扩张图207

4.10.4 扩张图上的随机游走215

4.11 扩张图的构造 219

4.11.1 扩张图的构造算子 220

4.11.2 固定大小扩张图构造226

4.11.3 显式扩张图族 228

4.12 莱因戈尔德定理231

第 4 章练习 234

第 5 章交互证明系统 236

5.1 私币交互证明 239

5.2 公币交互证明 244

5.3 IP = PSPACE 252

5.4 两类系统的等价性 257

5.5 多证明者交互证明系统 262

5.5.1 定义 263

5.5.2 NEXP 的多证明者协议 268

5.6 多线性性测试算法 273

5.7 并行重复定理 279

5.7.1 统计距离、詹森不等式、相对熵282

5.7.2 随机变量的近似嵌入289

5.7.3 博弈的近似生成293

5.7.4 证明的最后一步297

5.8 单回合双证明者交互系统298

第 5 章练习 302

第 6 章近似计算与不可近似性 304

6.1 近似算法307

6.2 不可近似性324

6.3 局部可验证性与不可近似性 327

6.4 错误放大331

6.5 证明思想334

6.6 线性增强339

6.7 线性归减343

6.8 PCP 定理的证明345

6.9 布尔函数的分析技术 346

6.9.1 傅里叶展开式 348

6.9.2 卷积定理 350

6.9.3 BLR-测试 351

6.9.4 长码 353

6.10 哈斯塔德 3-比特 PCP-定理357

6.10.1 哈斯塔德验证器359

6.10.2 哈斯塔德算法的可靠性 361

6.11 阈值定理 364

第 6 章练习 369

参考文献370

定理索引371

图索引373

术语索引374