圆锥曲线是高考数学的重难点, 近几年常在高考数学试卷的*一题出现。本书系统介绍圆锥曲线的基本定义和统一定义、有心圆锥曲线的第三定义、参数方程、极线等知识, 讲解点差法、联立、齐次化联立、同构式、不联立等常用的计算技巧, 适合高中生和高中数学老师阅读。

董晟渤 

北京大学数学科学学院概率论与数理统计专业在读研究生，知乎数学话题下的*答主“Dylaaan”，著有《高考导数探秘：解题技巧与策略》。在知乎上创作与高中数学和大学数学相关的内容，获得*2000万次阅读量，*20万次收藏。有多年高中数学培优经验，熟悉高考的相关题型，帮助多位学生“从入门到精通”，顺利考入北京大学、清华大学、中国人民大学等院校。

李心睿

浙江大学本科在读，知乎认证创作者 Claris，高中毕业于华南师范大学附属中学。在知乎累计创作*百篇高中数学领域优质回答与深度文章，专注探索一题多解的思维路径与创新解题方法论。具备丰富的命题实践经验，曾参与多场区域性大型联考及校级考试的试题研发工作。

第 1 章 基本概念 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1

1.1 圆锥曲线的基本定义 · · · · · · · · · · · · · · · · ·  · · · · · · · · · · · · · · · · 1

1.1.1 椭圆 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1

1.1.2 双曲线 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5

1.1.3 抛物线 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10

1.1.4 阿波罗尼奥斯圆 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11

1.1.5 平面与圆锥的交线 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12

1.2 圆锥曲线的统一定义 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 15

1.2.1 准线与焦半径公式 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 15

1.2.2 焦点三角形的性质 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 18

1.2.3 圆锥曲线的极坐标方程 * · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 21

1.3 有心圆锥曲线的第三定义与点差法 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 27

1.3.1 关于原点对称的点 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 27

1.3.2 广义垂径定理 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 28

1.3.3 定比分点的点差法 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 34

1.4 参数方程与压缩变换 * · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · · · · · · · · · · 39

1.4.1 参数方程 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 39

1.4.2 椭圆的压缩变换 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 44

1.5 二次曲线的极线 · · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 50

1.5.1 极线的定义 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 50

1.5.2 极线的几何意义 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 51

1.5.3 圆锥曲线的光学性质 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 53

1.6 课后练习 · · · · · · · · · · · ·  · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 57

第 2 章 计算问题 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 59

2.1 直线方程与圆锥曲线方程联立 · · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · · · · 59

2.1.1 直线的一般方程 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 59

2.1.2 等效判别式 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 60

2.1.3 直线的标准方程 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 62

2.1.4 两根之比 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 68

2.2 长度、面积和角度的计算 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 71

2.2.1 弦长公式 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 71

2.2.2 三角形的面积 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 80

2.2.3 直线的倾斜角 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 88

2.3 齐次化联立与同构式的技巧 · · · · · · · · · · · · · · ·  · · · · · · · · · · · · 93

2.3.1 齐次化联立的技巧 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 93

2.3.2 圆锥曲线中的同构式 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 101

2.4 不联立的技巧 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 104

2.4.1 斜率之和、积、倒数和为定值 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 104

2.4.2 斜率之商为定值 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 111

2.4.3 平方差公式与非对称问题 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 114

2.4.4 两次利用平方差公式 * · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 120

2.5 常见模型总结 · · · · · · · · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · · · · · · · 127

2.5.1 点差法模型 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 127

2.5.2 内准圆和外准圆 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 127

2.5.3 斜率相关模型 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 129

2.5.4 压缩变换模型 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 130

2.5.5 阿基米德三角形 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 130

2.5.6 调和点列与完全四边形 * · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 132

2.6 课后练习 · · · · · · · · · · · · · · ·  · · · · · · · · · · · · · · · · · 136

课后练习参考答案 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 140