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书名：高等代数
定价：49.0
ISBN：9787030481290
作者：葛志宏，居腾霞
版次：1
出版时间：2016-07
内容提要：
本书主要介绍了高等代数的一些*常见并且*基本的理论和方法, 主要内容包括一元多项式、行列式、线性方程组、矩阵、二次型、线性空间、线性变换、λ-矩阵和欧氏空间. 本书在注重基本理论和方法的同时, 尤其强调矩阵初等变换的应用, 精选了一定数量的基本练习题和总复习题, 后者可供考研学生复习使用. 本书起点低, 便于读者自学.
目录：
目录
前言
第1章一元多项式1
1.1数环与数域1
1.2一元多项式及其运算3
1.3多项式的带余除法与整除概念6
1.4多项式的公因式与*大公因式多项式互素12
1.5不可约多项式多项式的不可约因式分解与重因式18
1.6多项式函数根与一次因式的关系24
1.7代数基本定理与 上多项式的因式分解30
1.8 上多项式的因式分解 判别法34
*1.9多元多项式字典序43
总习题1 44
第2章行列式矩阵的初等变换47
2.1矩阵、矩阵的转置与初等变换47
2.22, 3阶行列式与n阶行列式54
2.3行列式的子式行列式按行(列)展开Vandermonde行列式65
2.4Laplace定理行列式的乘法规则74
2.5用行列式解线性方程组的克拉默法则77
总习题2 81
第3章 维向量空间、矩阵运算与线性方程组82
3.1n维向量空间向量组的线性组合子空间82
3.2向量组的等价线性相(无)关性极大无关组和秩矩阵的秩85
3.3矩阵运算99
3.4线性方程组解及其解的结构定理106
3.5线性方程组是否有解的判断与求解方法112
总习题3 120
第4章矩阵122
4.1矩阵分块法矩阵的等价标准形122
4.2可逆矩阵及其逆矩阵克拉默法则的证明128
4.3初等变换与初等矩阵134
4.4分块矩阵的初等变换与块初等矩阵138
总习题4 145
第5章二次型矩阵的合同147
5.1n元二次型及其矩阵表示147
5.2标准形的二次型与二次型的标准形152
5.3实数域与复数域上二次型的规范形及其*一性161
5.4实数域上二次型的正定性168
总习题5 175
第6章线性空间176
6.1线性空间定义及其简单性质176
6.2线性空间的子空间定义及其运算180
6.3线性空间的维数基与坐标183
6.4子空间基的扩充定理维数公式子空间的直和189
6.5线性空间的基变换与坐标变换194
6.6线性空间的同构199
总习题6 202
第7章线性变换矩阵的相似203
7.1线性空间上的线性变换及其运算203
7.2线性变换的矩阵207
7.3特征值与特征向量矩阵相似对角化214
7.4线性变换的值域与核231
7.5线性变换的不变子空间236
7.6数字矩阵的*小多项式243
总习题7 246
第8章λ-矩阵矩阵的Jordan标准形和有理标准形248
8.1λ-矩阵λ-矩阵的初等变换与等价标准形不变因子248
8.2λ-矩阵的行列式因子253
8.3数字矩阵的初等因子261
8.4Jordan块与Jordan形矩阵及其性质265
8.5复数域上矩阵的Jordan标准形272
8.6一般数域上矩阵的有理标准形278
总习题8 284
第9章欧氏空间实二次型(续)286
9.1欧氏空间定义与基本性质286
9.2欧氏空间的基及其度量矩阵292
9.3欧氏空间的标准正交基及其度量矩阵 正交化296
9.4欧氏空间的子空间正交和与正交补304
9.5欧氏空间的同构306
9.6欧氏空间上的正交变换308
9.7实对称矩阵欧氏空间上的对称变换二次型(续)312
9.8向量到子空间的距离矛盾线性方程组的*小二乘解320
总习题9 323
参考文献326
附录集合关系映射327
部分习题参考答案或提示331
在线试读：
第1章一元多项式
一般认为,高等代数主要包括多项式代数与线性代数,而其中多项式代数自身有着相对的独立性和一套完整的理论,同时也为今后准确理解抽象的线性空间概念提供了很好的原型.因此,认真学好多项式代数这部分内容,对于读者今后的进一步学习有着重要的意义.
1.1数环与数域
众所周知,数是数学中*基本的研究对象,集合(今后简称集)则是现代数学研究的基础.顾名思义,数集就是由一些数构成的集,它理所当然是数学的重要研究对象之一,但是,随着学习的不断深入,我们会发现,研究对象不再限于数集,而是更广泛、更抽象的一些集合.例如,多项式的集合、向量的集合、矩阵的集合等.本节,我们主要谈谈数集,并在此基础上给出数环与数域等代数基本概念.先看看数集的例子.
例如,方程的实数解不存在,亦或者说在实数范围内它的解集不含任何元素,像这样不含任何元素的集合称为空集,用表示;又例如,方程的解集可以记作,它就是由和这两个数构成的数集.
比较常见的数集有:
全体整数集,用表示,即
全体非负整数集或者说全体自然数集(注:现在普遍都把常数0也算作自然数),用表示,即
全体正整数集(注:这是过去的自然数集),用表示,即
另外,还分别用表示全体有理数集、全体实数集、全体复数集.是今后常用的数集.
有趣的是,数集关于乘法运算是封闭的.一般地,我们给出如下定义.
定义1.1.1设是一给定集,且“”是中任意两个元素(可以相同)之间的一种二元运算:对于,将其运算结果记作如果非空集满足:对于任意,都有,那么,称集关于运算“.”是封闭的.
读者注意,这里定义一个集合关于某个运算封闭,既没有要求这个集合一定是数集,也没有要求运算一定是乘法.换句话说,集合可以是其他任意抽象集合,运算也可以是其他任意规定的运算.
不难看出,数集关于乘法运算就是封闭的,实际上,它关于除法运算也是封闭的.但是,数集关于加法运算不封闭,因为
显然,关于加法、减法、乘法三种运算都是封闭的,而仅仅关于加法与乘法封闭.
又显然,关于加法、减法、乘法、除法(除数不为零)四种运算都是封闭的.由此,读者看到,有些数集能够做到关于加法、减法、乘法、除法(除数不为零)四种运算都封闭,而有些数集仅能做到关于加法、减法、乘法三种运算封闭,甚至还有的数集仅仅关于加法、乘法两种运算封闭.为此,给出如下数环和数域的概念.
定义1.1.2设是由一些复数组成的非空数集,即设且如果关于通常的加法、减法、乘法三个运算是封闭的,那么,称为一个数环;进一步,如果还一定含有非零复数(确保可以作除法),即存在且并且关于通常的加法、减法、乘法、除法(除数不为零)四则运算是封闭的,那么,称为一个数域.
显然,数环中必然包含数0,进一步,数域中必然包含数0与1.(想一想,为什么？)又显然,都是数域,今后分别称为有理数域、实数域、复数域.不是数域,因为关于除法运算不封闭,不过,由于关于加法、减法、乘法三个运算是封闭的,因此,是一个数环,称为整数环.
在整个高等代数研究中,数域(尤其是)是基本的也是常用的概念,关于数域,不难证明以下定理.
定理1.1.1任意数域都包含有理数域作为它的一部分,即总有
数域的例子绝不仅限于上述三个常用数域例如,读者不难验证,所有形如(其中是任意有理数)的数所构成的数集,记作即也是一个数域(见习题1.15题).
今后,在高等代数问题讨论中,如果不必明确具体数域,通常用符号泛指一个不特别指定的数域.并且,按数域定义,我们所考虑的任一数域总是复数域的一部分(子域),当然*大(小)情况下可等于
习题1.1
1.按定义1.1.2,验证仅含一个整数0的非空数集构成一个数环.
2.取定自然数证明:构成一个数环.
3.证明:全体偶数集合关于通常加法、减法、乘法构成一个数环.问:全体奇数集合关于通常加法、减法、乘法是否构成一个数环,为什么？
4.证明:构成一个数环,俗称高斯整数环.
5.证明:是一个数域,同理可证,对于任意素数是一个数域.
6.设是一个含有非零复数的数集,并且满足:①,有②,有,证明:是一个数域.
7.证明:任一数域都包含有理数域
1.2一元多项式及其运算
声明从本节开始,包括今后的很多情况下,除非特别说明,我们均按照1.1节约定,假设是一个不特别指定的数域,而把讨论对象放在数域中考虑.
定义1.2.1设是一个数域,是一个“文字”或“符号”(又称“不定元”,也简称“元”),则把表达式:
(1.2.1)
称为系数在数域中的一元多项式,简称为数域上的一元多项式,而称为多项式(1.2.1)的系数.今后常用,或更简单地用来表示多项式.
在式(1.2.1)中,称为i次项,称为i次项系数,按理说,称为零次项系数,但通常把称为常数项.系数(包括常数项)全为零的多项式称为零多项式,记作0.并且它就是数域中的数0.如果,那么称为多项式(1.2.1)的首项,称为首项系数,n称为多项式(1.2.1)的次数.非零多项式的次数通常记作,简记作
按照上述定义,零多项式是没有首项的,因此,首项系数、次数等概念对于零多项式而言均无意义.
例如,的首项为首项系数为
又例如,设,则当时,的首项为的首项系数为a;而当a=0时,的首项为的首项系数为?2.
数域中任一非零常数(也应当看成)是一个多项式,并且这个多项式是零次的,换句话说,任一非零常数就是一个零次多项式(读者必须注意它与零多项式的区别).
为了方便,常用表示数域上全体一元多项式构成的集合,这样,符号语言:“”的含义不指自明.显然有实际上,可以认为数域恰好是由零多项式与所有零次多项式构成的,即
有必要强调一下,我们所定义的多项式是文字或符号“”的形式表达式.这里所强调的“形式”当然是针对具体“内容”而言的,我们会发现,随着学习的不断深入,将文字或符号“”可以但绝不限于只取某个数集中的数,在高等代数里,还将用其他各种具体的内容(例如,矩阵、线性变换等)去替代“”的位置,得到具体含义的多项式.正因为这样,才使得关于形式多项式的研究以及相关结论更具有普遍意义和价值.
利用连加号(也称求和号):“”,多项式(1.2.1)又可以简记作:
(1.2.2)
定义1.2.2设,如果满足:除系数为零的项外,所有同次项系数都相等,那么,称多项式相等,记作
按定义,任意两个零多项式总是相等的,换句话说,零多项式是*一的.
例1.2.1设问:满足怎样的条件时才有？
解当且仅当时,才有
多项式作为一类特殊的整式,在中学阶段的初等代数里,我们已经会对两个(或两个以上)多项式进行加法、减法和乘法运算.例如,设并且不妨设
那么,
显然,任意两个一元多项式经过加法、减法、乘法运算后,所得结果仍然是一元多项式.换句话说,关于加法、减法、乘法三种运算是封闭的,因此,通常也把称为数域上的一元多项式环,这时,称为的系数域.
为了今后的需要,我们再定义一下数域P中的数与多项式的乘法,简称数乘,其实它是两个多项式乘法的特例,因此在某种意义上是多余的.
定义1.2.3设规定:
显然有引入数乘多项式有两个简单应用:
(1)负多项式概念,通常把称为多项式的相反多项式,或称为多项式的负多项式,记作
(2)对于任意非零多项式,我们总可以将它进行所谓首一化,具体地说,设且首项系数又如果用的首项系数的倒数去乘以得到新的多项式记作那么有显然的首项系数就是1.
通常把上述由出发,经过乘以的首项系数(一般,否则无须这样做)的倒数得到首项系数是1的多项式的过程称为非零多项式的首一化,并把称为的首一化多项式.特别地,如果一个非零多项式首项系数已是则直接称为首一多项式.
显然,任一非零多项式都可以进行首一化,任何两个非零多项式如果仅相差一个任意非零常数倍(这样的两个多项式称为相伴的),那么它们的首一化一定是同一个多项式.特别地,任意一个零次多项式的首一化都是1.
例1.2.2则而与的首一化多项式均为
按照定义1.2.2,一元多项式环具有以下性质.
性质1.2.1对
多项式乘法交换律即有:
多项式乘法结合律即有:
推论1.2.1多项式乘法关于数因子的结合律即有
多项式乘法关于加法的分配律即有
此外,关于加法与数乘,还特别满足以下8条规律.
(1)加法交换律即有:
(2)加法结合律即有:
(3)中存在零元素(即零多项式)0,满足:
(4)中在一元素存在负元素(即负多项式)满足:
(5)
(6)数乘关于数因子的结合律即有:
(7)数乘关于数的加法的分配律即有:
(8)数乘关于多项式加法的分配律即有:
之所以单独强调这8条规律,是为今后理解抽象的线性空间概念的需要,读者暂时不必过分在意它.
性质1.2.2(零因子律)如果那么或
推论1.2.2如果那么或
推论1.2.3(消去律)如果且那么
关于次数、首项以及首项系数,不难证明以下性质.
性质1.2.3如果且那么,
性质1.2.4如果那么,乘积的首项(首项系数、常数项)分别等于因子的首项(首项系数、常数项)与的首项(首项系数、常数项)的乘积.
性质1.2.4可以推广至两个以上非零多项式乘积的情形,但对于中间项或者中间项系数一般不成立.
例1.2.3设这里是数域中的常数,求的次数、首项、首项系数、次高次项、次高次项系数以及常数项.
解展开得
故的次数为:首项为:首项系数为:次高次项为:次高次项系数为:常数项为:
习题1.2
1.设就系数的不同取值进行讨论,给出多项式的次数、首项、首项系数以及常数项.
2.设这里是非零常数,试将首一化.
3.分别给出满足中等于号和小于号的多项式的例子.
4.设若满足:证明:
1.3多项式的带余除法与整除概念
一元多项式环与整数环类似,表现在它们对加法、减法、乘法三种运算都封闭.此外,两个整数还可以作除法,当然,两个整数相除(除数不为0)未必能
定价：49.0
ISBN：9787030481290
作者：葛志宏，居腾霞
版次：1
出版时间：2016-07
内容提要：
本书主要介绍了高等代数的一些*常见并且*基本的理论和方法, 主要内容包括一元多项式、行列式、线性方程组、矩阵、二次型、线性空间、线性变换、λ-矩阵和欧氏空间. 本书在注重基本理论和方法的同时, 尤其强调矩阵初等变换的应用, 精选了一定数量的基本练习题和总复习题, 后者可供考研学生复习使用. 本书起点低, 便于读者自学.
目录：
目录
前言
第1章一元多项式1
1.1数环与数域1
1.2一元多项式及其运算3
1.3多项式的带余除法与整除概念6
1.4多项式的公因式与*大公因式多项式互素12
1.5不可约多项式多项式的不可约因式分解与重因式18
1.6多项式函数根与一次因式的关系24
1.7代数基本定理与 上多项式的因式分解30
1.8 上多项式的因式分解 判别法34
*1.9多元多项式字典序43
总习题1 44
第2章行列式矩阵的初等变换47
2.1矩阵、矩阵的转置与初等变换47
2.22, 3阶行列式与n阶行列式54
2.3行列式的子式行列式按行(列)展开Vandermonde行列式65
2.4Laplace定理行列式的乘法规则74
2.5用行列式解线性方程组的克拉默法则77
总习题2 81
第3章 维向量空间、矩阵运算与线性方程组82
3.1n维向量空间向量组的线性组合子空间82
3.2向量组的等价线性相(无)关性极大无关组和秩矩阵的秩85
3.3矩阵运算99
3.4线性方程组解及其解的结构定理106
3.5线性方程组是否有解的判断与求解方法112
总习题3 120
第4章矩阵122
4.1矩阵分块法矩阵的等价标准形122
4.2可逆矩阵及其逆矩阵克拉默法则的证明128
4.3初等变换与初等矩阵134
4.4分块矩阵的初等变换与块初等矩阵138
总习题4 145
第5章二次型矩阵的合同147
5.1n元二次型及其矩阵表示147
5.2标准形的二次型与二次型的标准形152
5.3实数域与复数域上二次型的规范形及其*一性161
5.4实数域上二次型的正定性168
总习题5 175
第6章线性空间176
6.1线性空间定义及其简单性质176
6.2线性空间的子空间定义及其运算180
6.3线性空间的维数基与坐标183
6.4子空间基的扩充定理维数公式子空间的直和189
6.5线性空间的基变换与坐标变换194
6.6线性空间的同构199
总习题6 202
第7章线性变换矩阵的相似203
7.1线性空间上的线性变换及其运算203
7.2线性变换的矩阵207
7.3特征值与特征向量矩阵相似对角化214
7.4线性变换的值域与核231
7.5线性变换的不变子空间236
7.6数字矩阵的*小多项式243
总习题7 246
第8章λ-矩阵矩阵的Jordan标准形和有理标准形248
8.1λ-矩阵λ-矩阵的初等变换与等价标准形不变因子248
8.2λ-矩阵的行列式因子253
8.3数字矩阵的初等因子261
8.4Jordan块与Jordan形矩阵及其性质265
8.5复数域上矩阵的Jordan标准形272
8.6一般数域上矩阵的有理标准形278
总习题8 284
第9章欧氏空间实二次型(续)286
9.1欧氏空间定义与基本性质286
9.2欧氏空间的基及其度量矩阵292
9.3欧氏空间的标准正交基及其度量矩阵 正交化296
9.4欧氏空间的子空间正交和与正交补304
9.5欧氏空间的同构306
9.6欧氏空间上的正交变换308
9.7实对称矩阵欧氏空间上的对称变换二次型(续)312
9.8向量到子空间的距离矛盾线性方程组的*小二乘解320
总习题9 323
参考文献326
附录集合关系映射327
部分习题参考答案或提示331
在线试读：
第1章一元多项式
一般认为,高等代数主要包括多项式代数与线性代数,而其中多项式代数自身有着相对的独立性和一套完整的理论,同时也为今后准确理解抽象的线性空间概念提供了很好的原型.因此,认真学好多项式代数这部分内容,对于读者今后的进一步学习有着重要的意义.
1.1数环与数域
众所周知,数是数学中*基本的研究对象,集合(今后简称集)则是现代数学研究的基础.顾名思义,数集就是由一些数构成的集,它理所当然是数学的重要研究对象之一,但是,随着学习的不断深入,我们会发现,研究对象不再限于数集,而是更广泛、更抽象的一些集合.例如,多项式的集合、向量的集合、矩阵的集合等.本节,我们主要谈谈数集,并在此基础上给出数环与数域等代数基本概念.先看看数集的例子.
例如,方程的实数解不存在,亦或者说在实数范围内它的解集不含任何元素,像这样不含任何元素的集合称为空集,用表示;又例如,方程的解集可以记作,它就是由和这两个数构成的数集.
比较常见的数集有:
全体整数集,用表示,即
全体非负整数集或者说全体自然数集(注:现在普遍都把常数0也算作自然数),用表示,即
全体正整数集(注:这是过去的自然数集),用表示,即
另外,还分别用表示全体有理数集、全体实数集、全体复数集.是今后常用的数集.
有趣的是,数集关于乘法运算是封闭的.一般地,我们给出如下定义.
定义1.1.1设是一给定集,且“”是中任意两个元素(可以相同)之间的一种二元运算:对于,将其运算结果记作如果非空集满足:对于任意,都有,那么,称集关于运算“.”是封闭的.
读者注意,这里定义一个集合关于某个运算封闭,既没有要求这个集合一定是数集,也没有要求运算一定是乘法.换句话说,集合可以是其他任意抽象集合,运算也可以是其他任意规定的运算.
不难看出,数集关于乘法运算就是封闭的,实际上,它关于除法运算也是封闭的.但是,数集关于加法运算不封闭,因为
显然,关于加法、减法、乘法三种运算都是封闭的,而仅仅关于加法与乘法封闭.
又显然,关于加法、减法、乘法、除法(除数不为零)四种运算都是封闭的.由此,读者看到,有些数集能够做到关于加法、减法、乘法、除法(除数不为零)四种运算都封闭,而有些数集仅能做到关于加法、减法、乘法三种运算封闭,甚至还有的数集仅仅关于加法、乘法两种运算封闭.为此,给出如下数环和数域的概念.
定义1.1.2设是由一些复数组成的非空数集,即设且如果关于通常的加法、减法、乘法三个运算是封闭的,那么,称为一个数环;进一步,如果还一定含有非零复数(确保可以作除法),即存在且并且关于通常的加法、减法、乘法、除法(除数不为零)四则运算是封闭的,那么,称为一个数域.
显然,数环中必然包含数0,进一步,数域中必然包含数0与1.(想一想,为什么？)又显然,都是数域,今后分别称为有理数域、实数域、复数域.不是数域,因为关于除法运算不封闭,不过,由于关于加法、减法、乘法三个运算是封闭的,因此,是一个数环,称为整数环.
在整个高等代数研究中,数域(尤其是)是基本的也是常用的概念,关于数域,不难证明以下定理.
定理1.1.1任意数域都包含有理数域作为它的一部分,即总有
数域的例子绝不仅限于上述三个常用数域例如,读者不难验证,所有形如(其中是任意有理数)的数所构成的数集,记作即也是一个数域(见习题1.15题).
今后,在高等代数问题讨论中,如果不必明确具体数域,通常用符号泛指一个不特别指定的数域.并且,按数域定义,我们所考虑的任一数域总是复数域的一部分(子域),当然*大(小)情况下可等于
习题1.1
1.按定义1.1.2,验证仅含一个整数0的非空数集构成一个数环.
2.取定自然数证明:构成一个数环.
3.证明:全体偶数集合关于通常加法、减法、乘法构成一个数环.问:全体奇数集合关于通常加法、减法、乘法是否构成一个数环,为什么？
4.证明:构成一个数环,俗称高斯整数环.
5.证明:是一个数域,同理可证,对于任意素数是一个数域.
6.设是一个含有非零复数的数集,并且满足:①,有②,有,证明:是一个数域.
7.证明:任一数域都包含有理数域
1.2一元多项式及其运算
声明从本节开始,包括今后的很多情况下,除非特别说明,我们均按照1.1节约定,假设是一个不特别指定的数域,而把讨论对象放在数域中考虑.
定义1.2.1设是一个数域,是一个“文字”或“符号”(又称“不定元”,也简称“元”),则把表达式:
(1.2.1)
称为系数在数域中的一元多项式,简称为数域上的一元多项式,而称为多项式(1.2.1)的系数.今后常用,或更简单地用来表示多项式.
在式(1.2.1)中,称为i次项,称为i次项系数,按理说,称为零次项系数,但通常把称为常数项.系数(包括常数项)全为零的多项式称为零多项式,记作0.并且它就是数域中的数0.如果,那么称为多项式(1.2.1)的首项,称为首项系数,n称为多项式(1.2.1)的次数.非零多项式的次数通常记作,简记作
按照上述定义,零多项式是没有首项的,因此,首项系数、次数等概念对于零多项式而言均无意义.
例如,的首项为首项系数为
又例如,设,则当时,的首项为的首项系数为a;而当a=0时,的首项为的首项系数为?2.
数域中任一非零常数(也应当看成)是一个多项式,并且这个多项式是零次的,换句话说,任一非零常数就是一个零次多项式(读者必须注意它与零多项式的区别).
为了方便,常用表示数域上全体一元多项式构成的集合,这样,符号语言:“”的含义不指自明.显然有实际上,可以认为数域恰好是由零多项式与所有零次多项式构成的,即
有必要强调一下,我们所定义的多项式是文字或符号“”的形式表达式.这里所强调的“形式”当然是针对具体“内容”而言的,我们会发现,随着学习的不断深入,将文字或符号“”可以但绝不限于只取某个数集中的数,在高等代数里,还将用其他各种具体的内容(例如,矩阵、线性变换等)去替代“”的位置,得到具体含义的多项式.正因为这样,才使得关于形式多项式的研究以及相关结论更具有普遍意义和价值.
利用连加号(也称求和号):“”,多项式(1.2.1)又可以简记作:
(1.2.2)
定义1.2.2设,如果满足:除系数为零的项外,所有同次项系数都相等,那么,称多项式相等,记作
按定义,任意两个零多项式总是相等的,换句话说,零多项式是*一的.
例1.2.1设问:满足怎样的条件时才有？
解当且仅当时,才有
多项式作为一类特殊的整式,在中学阶段的初等代数里,我们已经会对两个(或两个以上)多项式进行加法、减法和乘法运算.例如,设并且不妨设
那么,
显然,任意两个一元多项式经过加法、减法、乘法运算后,所得结果仍然是一元多项式.换句话说,关于加法、减法、乘法三种运算是封闭的,因此,通常也把称为数域上的一元多项式环,这时,称为的系数域.
为了今后的需要,我们再定义一下数域P中的数与多项式的乘法,简称数乘,其实它是两个多项式乘法的特例,因此在某种意义上是多余的.
定义1.2.3设规定:
显然有引入数乘多项式有两个简单应用:
(1)负多项式概念,通常把称为多项式的相反多项式,或称为多项式的负多项式,记作
(2)对于任意非零多项式,我们总可以将它进行所谓首一化,具体地说,设且首项系数又如果用的首项系数的倒数去乘以得到新的多项式记作那么有显然的首项系数就是1.
通常把上述由出发,经过乘以的首项系数(一般,否则无须这样做)的倒数得到首项系数是1的多项式的过程称为非零多项式的首一化,并把称为的首一化多项式.特别地,如果一个非零多项式首项系数已是则直接称为首一多项式.
显然,任一非零多项式都可以进行首一化,任何两个非零多项式如果仅相差一个任意非零常数倍(这样的两个多项式称为相伴的),那么它们的首一化一定是同一个多项式.特别地,任意一个零次多项式的首一化都是1.
例1.2.2则而与的首一化多项式均为
按照定义1.2.2,一元多项式环具有以下性质.
性质1.2.1对
多项式乘法交换律即有:
多项式乘法结合律即有:
推论1.2.1多项式乘法关于数因子的结合律即有
多项式乘法关于加法的分配律即有
此外,关于加法与数乘,还特别满足以下8条规律.
(1)加法交换律即有:
(2)加法结合律即有:
(3)中存在零元素(即零多项式)0,满足:
(4)中在一元素存在负元素(即负多项式)满足:
(5)
(6)数乘关于数因子的结合律即有:
(7)数乘关于数的加法的分配律即有:
(8)数乘关于多项式加法的分配律即有:
之所以单独强调这8条规律,是为今后理解抽象的线性空间概念的需要,读者暂时不必过分在意它.
性质1.2.2(零因子律)如果那么或
推论1.2.2如果那么或
推论1.2.3(消去律)如果且那么
关于次数、首项以及首项系数,不难证明以下性质.
性质1.2.3如果且那么,
性质1.2.4如果那么,乘积的首项(首项系数、常数项)分别等于因子的首项(首项系数、常数项)与的首项(首项系数、常数项)的乘积.
性质1.2.4可以推广至两个以上非零多项式乘积的情形,但对于中间项或者中间项系数一般不成立.
例1.2.3设这里是数域中的常数,求的次数、首项、首项系数、次高次项、次高次项系数以及常数项.
解展开得
故的次数为:首项为:首项系数为:次高次项为:次高次项系数为:常数项为:
习题1.2
1.设就系数的不同取值进行讨论,给出多项式的次数、首项、首项系数以及常数项.
2.设这里是非零常数,试将首一化.
3.分别给出满足中等于号和小于号的多项式的例子.
4.设若满足:证明:
1.3多项式的带余除法与整除概念
一元多项式环与整数环类似,表现在它们对加法、减法、乘法三种运算都封闭.此外,两个整数还可以作除法,当然,两个整数相除(除数不为0)未必能