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书名：概率计量逻辑及其应用
定价：128.0
ISBN：9787030445285
作者：周红军
版次：3107
出版时间：2016-02
内容提要：
本书系统介绍概率计量逻辑的基本理论及其应用, 主要是作者十余年来研究工作的系统总结, 同时也兼顾国际上有关此领域中的主要研究成果. 全书共十章, 具体内容包括逻辑公式的概率真度理论、逻辑公式的Choquet积分真度理论、概率计量逻辑推理系统、逻辑理论的相容度及程度化推理方法、极大相容逻辑理论的结构及其拓扑刻画、R0-代数中的三值Stone拓扑表示定理、逻辑代数上的态理论、逻辑代数上的内部态理论与剩余格上的广义态理论等.
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目录 前沿 第1章多值命题逻辑简介1 1.1命题逻辑系统及其完备性1 1.1.1命题逻辑系统1 1.1.2语构理论2 1.1.3语义理论2 1.1.4逻辑系统的完备性3 1.2若干常用的命题逻辑系统4 1.2.1二值命题逻辑系统L4 1.2.2多值Lukas1ew1cz命题逻辑系统L与L6 1.2.3模糊命题逻辑系统G与Ⅱ8 1.2.4多值Ro型命题逻辑系统与9 1.2.5模糊命题逻辑系统NMG11 1.2.6模糊命题逻辑系统LⅡ12 第2章概率逻辑与计量逻辑14 2.1概率逻辑中公式的概率14 2.2二值命题逻辑中公式的真度及随机真度16 2.3多值命题逻辑中的计量逻辑理论20 2.4关于相似度和伪距离的些结论的更正22 第3章公式的概率真度理论26 3.1二值命题逻辑中公式的概率真度26 3.1.1公式的概率真度及其性质27 3.1.2逻辑闭理论与拓扑闭集37 3.1.3概率真度函数的公理化定义及其表示定理43 3.1.4逻辑度量空间49 3.2多值命题逻辑中公式的概率真度53 3.2.1礼值命题逻辑中公式的概率真度53 3.2.2n值命题逻辑系统中公式概率真度的积分表示60 3.2.3[0，1]-值命题逻辑系统中公式的积分真度及极限定理63 3.2.4系统L中的逻辑闭理论与赋值空间中的拓扑闭集65 3.2.5系统L和L中概率真度函数的公理化定义及其表示定理69 3.3定义公式真度的其他方法75 3.3.1常用的模糊测度76 3.3.2逻辑公式的几种测度真度80 3.4[0，1]-值Lukas1ew1cz命题逻辑中公式的Choquet积分真度84 第4章概率计量逻辑推理系统91 4.1概率计量逻辑推理系统PQ(L,L)91 4.1.1语构理论91 4.1.2语义理论96 4.1.3完备性定理98 4.1.4Pavelka型扩张99 4.2概率计量逻辑线性推理系统PQ100 4.2.1语构理论101 4.2.2语义理论104 4.2.3完备性定理105 第5章逻辑理论的相容度及程度化推理方法108 5.1研究背景109 5.2个新的极指标112 5.2.1极指标112 5.2.2逻辑理论的相容度及比较120 5.3逻辑理论的语义蕴涵度与程度化推理121 5.3.1理论的语义蕴涵度121 5.3.2埋论的相容度127 5.3.3程度化推理方法128 5.4模糊推理的逻辑基础133 第6章极大相容逻辑理论的结构及其拓扑刻画137 6.1二值命题逻辑L2中极大相容理论的结构及其拓扑刻画138 6.1.1L2中极大相容理论的性质及结构138 6.1.2L2中极大相容理论结构刻画的归纳证法142 6.1.3L2中极大相容理论的拓扑刻画144 6.2形式系统髟4中极大相容理论的结构及其拓扑刻画145 6.2.1髟+中极大相容理论的性质及结构145 6.2.2髟+中极大相容理论结构刻画的归纳证法154 6.2.3髟+中极大相容理论的拓扑刻画156 6.2.4髟+中的Lukas1ew1cz理论与Boole理论161 6.3系统NMG中极大相容理论的结构及其拓扑刻画166 6.3.1NMG中极大相容理论的结构刻画166 6.3.2NMG中的Godel理论1172 6.4Lukas1ew1cz模糊命题逻辑L中极大相容理论的刻画174 6.4.1L中极大相容理论的性质174 6.4.2L中极大相容理论之集上的模糊拓扑178 6.4.3L中极大相容理论之集上的分明拓扑179 6.5Godel和乘积模糊命题逻辑中极大相容理论的刻画182 第7章Ro代数中的三值Stone拓扑表示定理187 7.1Ro-代数及其基本性质187 7.2Ro-代数中的极大滤子及其拓扑性质191 7.2.1极大滤子的结构性质191 7.2.2极大滤子之集上的Stone拓扑与三值Stone拓扑201 7.3Ro-代数中的三值Stone拓扑表示定理205 7.3.1Booleskeleton与MVskeleton206 7.3.2三值Stone拓扑表示定理210 7.4Ro-代数中的Boole-滤子与MV-滤子213 7.4.1Boole滤子213 7.4.2MV滤子218 7.4.3MV滤子与Stone空间中的拓扑闭集222 7.5Ro-代数中的三值Stone对偶223 第8章逻辑代数上的态理论230 8.1剩余格230 8.1.1几类重要的剩余格230 8.1.2滤子理论246 8.2逻辑代数上的态算子252 8.2.1Bosbach态与R1ecan态252 8.2.2赋值态261 8.2.3Bosbach态与R1ecan态的存在性263 8.2.4半可分剩余格上的Bosbach态与R1ecan态266 8.3MV代数关于态算子的Cauchv度量完备化267 8.3.1态算子诱导的度量268 8.3.2Cauchy度量完备272 第9章逻辑代数上的内部态理论276 9.1MV-代数上的内部态理论276 9.1.1MV-代数上的内部态算子276 9.1.2次直不可约SMV-代数278 9.1.3SMV-代数与MV-代数上的态算子280 9.1.4概率模糊逻辑281 9.2BL-代数上的内部态理论282 9.2.1BL-代数上的内部态算子283 9.2.2SBL-代数中的滤子288 9.2.3SBL-代数上的态算子291 第10章剩余格上的广义态理论292 10.1广义态算子292 10.1.1广义Bosbach态292 10.1.2保序1型态的核302 10.1.3广义R1ecan态306 10.2剩余格关于保序1型态的Cauchy相似完备化308 10.2.1相似收敛308 10.2.2保序1型态的连续性311 10.2.3sCauchy相似完备314 10.3基于相对否定的广义态理论321 10.3.1相对否定321 10.3.2相对广义态算子331 10.4基于核算子的广义态理论338 10.4.1核算子338 10.4.2基于核算子的广义态算子345 10.5广义态算子的逻辑基础初探348 参考文献350 索引363
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第1章多值命题逻辑简介 由于本书将要建立的概率计量逻辑理论是在多值命题逻辑框架下展开的，所以为了顺利阅读并领会概率计量逻辑的基本思想，本章介绍有关多值命题逻辑的一些预备知识．1.1节简要介绍命题逻辑系统及其语构理论、语义理论和完备性，同时针对*基本的逻辑概念简要分析把它们进行程度化的必要性，从而使我们看到建立概率计量逻辑理论便是顺理成章的事情．1.2节介绍若干常用的命题逻辑系统，包括二值命题逻辑系统L、多值Lukas1ew1cz命题逻辑系统与，Godel模糊命题逻辑系统G、乘积模糊命题逻辑系统Ⅱ、Ro-型多值命题逻辑系统与；模糊命题逻辑系统NMG以及模糊命题逻辑系统LⅡ和LⅡ去，也可参阅文献[2]，[20]，[21]． 有关概率论、测度论以及拓扑空间论的预备知识将在具体用到时再作进一步的介绍，参见3.3.1节和6.1.3节． 1.1命题逻辑系统及其完备性 1.1.1命题逻辑系统 一个命题逻辑系统一般由5部分组成： (i)符号表包括原子命题符号：P1，p2，…（有个别命题逻辑系统还可能把常值公式作为原子公式），其全体构成一个可数集S={P1，p2，…）；逻辑连接词；标点符号：逗号“，”，左括号“（”以及右括号“）”． (ii)公式集原子命题P1，p2，…也称为原子公式，它们都是公式．又将原子公式用逻辑连接词恰当连接所得的表达式都称为公式（或命题），其全体之集记作F(S)．不同的逻辑系统可以使用不同的逻辑连接词．如果所使用的连接词之集是，则F(S)是由S生成的型自由代数，即 (1)S∈F(S)， (2)若，则∈F(S)， (3)F(S)中的成员均可由以上规则(1)和(2)在有限步之内生成， 例如，就是一个公式，而就不是公式．F(S)中的公式是将S中的原子公式用逻辑连接词按规则(2)恰当地连接而成，所以也称为合式公式．本书将F(S)中的成员简称为公式，有时也称为命题． (iii)公理集在F(S)中挑选出一批好公式，称为公理，其全体之集记为∥．不同逻辑系统使用不同的公理集． (iv)推理规则集一个推理规则指定了从哪几个（一般为有限个）公式可以推得哪一个公式，一个逻辑系统可以有许多推理规则，但本书涉及的命题逻辑系统均只有一条推理规则，即从和一可得，这可以写作或这条推理规则称为MP规则，也称为分离规则． (v)赋值域它是一个带有代数结构的集合W，比如，与逻辑连接词v，一等相对应，W上有一元运算（有时也简记为）、并运算v和蕴涵运算不同的逻辑系统中蕴涵运算是不同的．本书中的赋值域W通常取为单位区间[0，1]或其子集，如等． 1.1.2语构理论 所谓逻辑系统的语构理论是指不涉及赋值域，仅从公理集∥出发f有时再附加一个假设集），使用推理规则进行形式推理的理论．确切地说，从∥出发运用MP规则在有限步内可以推出的公式称为这个逻辑系统中的定理，如果∈F(S)且是定理，则将垆的否定7Cp称为可驳公式，常用表示可驳公式， 通俗地说，F(S)中的定理是形式上很好的公式，因为它是由大家公认的好公式（即公理）运用合理的推理规则推出来的．定理可以表示完全真的概念或信息．相反，定理的否定就是坏公式，它可以表示完全假的概念或信息，但值得指出的是，F(S)中的绝大多数公式既不是好公式，也不是坏公式．应当怎样去评价这些公式的好坏呢？这是概率逻辑和计量逻辑，从而也是本书将要建立的概率计量逻辑所关心的基本问题之一． 1.1.3语义理论 所谓逻辑系统的语义理论是指借助赋值域W以及赋值(即u是从F(S)到W的同态）来评价F(S)中公式好坏（真假）的方法．F(S)的赋值有很多，其全体之集记为力．由于F(S)是S生成的自由代数，所以任一赋值u都可由其在S上的限制**决定，而是从S到W的一个映射．为简单起见，对u与不加区分，从而可以把力与等同起来，即设是一个公式，如果在力中的任一赋值v下都得满分(通常为W中的*大值，则称为重言式．相反地，若公式在f中的任一赋值u之下都得零分，则称为矛盾式． 值得注意的是，无论是重言式还是矛盾式，其定义中均要求“对任一赋值或u如果把赋值域通俗地称为“打分表”，把赋值v称为“裁判”，那么力就是“裁判团”．可见重言式就是全体裁判一致行动都给它打满分的公式，而矛盾式则是全体裁判一致行动给它打零分的公式．这就产生了一个自然的问题：设X∈F(S)，有一部分裁判给x打分满分，而另一部分裁判则给）（打零分，应当如何评价x的好坏呢？这一问题和语构部分的问题一样，是概率计量逻辑要回答的问题． 设是由原子公式经逻辑连接词连接而成的公式，若满足，则不难验证．这一基本事实告诉我们：公式在的赋值只取决于其中原子公式的赋值，从而可以诱导出-元函数：这里．称万为诱导的真函数，比如，设，则，其中万中出现的，分别是与中的逻辑连接词相对应的赋值域W的运算．此外(还可以极其自然的方式诱导出赋值集力上的一个函数(在不致混淆的情况下，仍记为，即显然，对任一赋值． *后需要指出的是，本书中命题逻辑系统的赋值域w取为单位闭区间[0，1]或其真子集，与之相对应的语义理论常称为标准代数语义．除标准代数语义外，还有更一般的代数语义，即赋值域W为与公式集F(S)同型号的一般逻辑代数时建立的语义理论，详见文献㈨[3]，[20]，[21]本书第26章将要讨论的概率计量逻辑理论及其应用是基于标准代数语义建立的，但第810章讲的态理论则是建立在一般逻辑代数上的，有关一般逻辑代数的基本知识将在8.1节介绍． 1.1.4逻辑系统的完备性 在语构理论中按形式推理推出的定理如果是重言式，即凡是形式上好的公式都能获得全体裁判的一致认可，则称此语构理论是可靠的，有时也称这个逻辑系统是可靠的．一般说来，可靠性是容易达到的，反过来，获得全体裁判一致认可的重言式是不是可以从公理出发利用推理规则形式化地推出来呢？即重言式是否是定理呢？如果重言式是定理，则称此语构理论是充足的，也称此逻辑系统是充足的．既可靠又充足的逻辑系统称为完备的．完备性标志着语构理论和语义理论的和谐统一，所以具有完备性的逻辑系统才是好的逻辑系统．此外还有一种更强形式的完备性．设，则称为逻辑理论，简称理论．如果公式(能从出发利用推理规则在有限步之内被推出来，则称为的推论，记为的全体推论之集记为．显然，就是全体定理之集．在语义部分，若门中的某赋值给中的每个公式都打满分此时称为的模型，则v定也给打满分，即的模型都是((即的模型，则称语义蕴涵记为．强完备性是指显然，逻辑系统的完备性定理是强完备性定理式在时的特殊情形．具有强完备性的逻辑系统当然更好一些．一个自然的问题：是的推论这一事实是否可以程度化？如果不成立，那么是否可以在某种程度上把视为的推论？这也是概率计量逻辑要回答的问题． 1.2若干常用的命题逻辑系统 二值命题逻辑又称为Boole命题逻辑，形成于19世纪上半叶，而多值命题逻辑则问世较晚些，它诞生于20世纪20年代[19]．随后便发展较慢，只是提出了多值Lukas1ew1cz命题逻辑[64,65]．以及多值Godel命题逻辑[66]．多值命题逻辑直到Zadeh教授提出模糊集[18]，特别是在1993年爆发了一场关于模糊逻辑的论战[22,23]之后才得到真正的快速发展，其中*具代表性的研究成果有Esteva与Godo提出的旨在刻画左连续三角模的MTL逻辑[67]，Hajek提出的刻画连续三角模的BL逻辑[68]和刻画乘积三角模的乘积命题逻辑[69]，以及MTL逻辑和BL逻辑的模式扩张[70,71]，如NM逻辑M72]、NMG逻辑[73]、LⅡ去逻辑[74]．事实上，模糊Lukas1ew1cz命题逻辑、Godel命题逻辑以及乘积命题逻辑都是MTL和BL的模式扩张．国内的主要研究成果有王国俊教授提出的形式系，徐扬教授提出的格蕴涵逻辑[76]，以及裴道武教授和王三民教授等的一些出色工作[77-80]．本节将依次介绍后面章节直接用到的几种多值命题逻辑系统：二值命题逻辑系统L、多值Lukas1ew1cz命题逻辑系统L。和L、Godel命题逻辑系统G、乘积命题逻辑系统Ⅱ、Ro-型多值命题逻辑系统z+与鬈、系统NMG以及LⅡ去． 1.2.1二值命题逻辑系统L (i)L中共有如下三条会理模式： (L1) (L2) (L3) L的全体公理之集记为∥，L只有式(1.1.1)表达的推理规则MP． 设．从理论，到公式的推理是一个公式的有限序列1满足条件。且对每个，或者存在使得。是从与运用MP所得的结果．这时称为的推论，记为的全体推论之集记为D，即，称m为推理长度．当时，把简记为，并称为定理．称定理的否定为可驳公式，常用西表示可驳公式． (ii)基于公理(L2)运用关于推理长度的归纳法可以证明L有如下演绎定理：设 (1.2.1) 由演绎定理式(1.2.1)易证三段论规则HS成立，即 （iii)设．若与都成立，则称与可证等价，记为，不难验证： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)这里 (iv)设是一个理论，如果，则称是不相容的，否则称是相容的．可以证明是不相容的，而都是相容的．我们看到和虽然都是相容的，但和却大不相同．比如中所含的公式都是定理，它们只是F(S)中很小的一部分，而我们在后面将证明是极大的，即不能真包含于任一相容理论之中．可见很有必要对相容理论的相容程度进行区分，这也是概率计量逻辑要解决的问题． (v)L的赋值域为，其中的非运算和蕴涵运算定义为．由此易证．以下常把记为．在还可以定义和如下；且(1.2.2) (vi)因为F(S)中也有运算与，所以F(S)也是型代数和型代数．称型同态：为在W2中的赋值，F(S)的全体赋值记为．由于F(S)中的运算和可用与来表达，W中的和也可通过相同的方式用、与一表达，所以赋值也是型同态和型同态，所以注意，由于F(S)是由S生成的自由代数，所以完全由它在S上的限制决定．为简单起见，对与不加区分，从而把与等同起来，即． (vii)设，若对任均有，则称为L中的重言式，记为．若对任，则称为L中的矛盾式．设，若对任均有，则称与逻辑等价，记为．在中完备性定理成立，即(1.2.3)辜实上，在L中由式(1.1.4)表达的强完备性定理成立，从而式(1.2.3)只是式(1.1.4)在时的特殊情形．由完备性定理知定理与重言式、可驳公式与矛盾式、可证等价与逻辑等价等都分别是一回事． (viii)设，则按式(1.1.2)诱导出元函数万：称万为诱导的Boole函数[2]反过来，设是一元函数，则存在公式使得． 1.2.2多值Lukas1ew1cz命题逻辑系统与 (i)我们分别用与L表示赋值域为和W而的Lukas1ew1cz命题逻辑系统．在和中由初始连接词和可引入新的连接词如下．L有如下4条公理模式 (L1) (L2) (L3) (L4)
定价：128.0
ISBN：9787030445285
作者：周红军
版次：3107
出版时间：2016-02
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本书系统介绍概率计量逻辑的基本理论及其应用, 主要是作者十余年来研究工作的系统总结, 同时也兼顾国际上有关此领域中的主要研究成果. 全书共十章, 具体内容包括逻辑公式的概率真度理论、逻辑公式的Choquet积分真度理论、概率计量逻辑推理系统、逻辑理论的相容度及程度化推理方法、极大相容逻辑理论的结构及其拓扑刻画、R0-代数中的三值Stone拓扑表示定理、逻辑代数上的态理论、逻辑代数上的内部态理论与剩余格上的广义态理论等.
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目录 前沿 第1章多值命题逻辑简介1 1.1命题逻辑系统及其完备性1 1.1.1命题逻辑系统1 1.1.2语构理论2 1.1.3语义理论2 1.1.4逻辑系统的完备性3 1.2若干常用的命题逻辑系统4 1.2.1二值命题逻辑系统L4 1.2.2多值Lukas1ew1cz命题逻辑系统L与L6 1.2.3模糊命题逻辑系统G与Ⅱ8 1.2.4多值Ro型命题逻辑系统与9 1.2.5模糊命题逻辑系统NMG11 1.2.6模糊命题逻辑系统LⅡ12 第2章概率逻辑与计量逻辑14 2.1概率逻辑中公式的概率14 2.2二值命题逻辑中公式的真度及随机真度16 2.3多值命题逻辑中的计量逻辑理论20 2.4关于相似度和伪距离的些结论的更正22 第3章公式的概率真度理论26 3.1二值命题逻辑中公式的概率真度26 3.1.1公式的概率真度及其性质27 3.1.2逻辑闭理论与拓扑闭集37 3.1.3概率真度函数的公理化定义及其表示定理43 3.1.4逻辑度量空间49 3.2多值命题逻辑中公式的概率真度53 3.2.1礼值命题逻辑中公式的概率真度53 3.2.2n值命题逻辑系统中公式概率真度的积分表示60 3.2.3[0，1]-值命题逻辑系统中公式的积分真度及极限定理63 3.2.4系统L中的逻辑闭理论与赋值空间中的拓扑闭集65 3.2.5系统L和L中概率真度函数的公理化定义及其表示定理69 3.3定义公式真度的其他方法75 3.3.1常用的模糊测度76 3.3.2逻辑公式的几种测度真度80 3.4[0，1]-值Lukas1ew1cz命题逻辑中公式的Choquet积分真度84 第4章概率计量逻辑推理系统91 4.1概率计量逻辑推理系统PQ(L,L)91 4.1.1语构理论91 4.1.2语义理论96 4.1.3完备性定理98 4.1.4Pavelka型扩张99 4.2概率计量逻辑线性推理系统PQ100 4.2.1语构理论101 4.2.2语义理论104 4.2.3完备性定理105 第5章逻辑理论的相容度及程度化推理方法108 5.1研究背景109 5.2个新的极指标112 5.2.1极指标112 5.2.2逻辑理论的相容度及比较120 5.3逻辑理论的语义蕴涵度与程度化推理121 5.3.1理论的语义蕴涵度121 5.3.2埋论的相容度127 5.3.3程度化推理方法128 5.4模糊推理的逻辑基础133 第6章极大相容逻辑理论的结构及其拓扑刻画137 6.1二值命题逻辑L2中极大相容理论的结构及其拓扑刻画138 6.1.1L2中极大相容理论的性质及结构138 6.1.2L2中极大相容理论结构刻画的归纳证法142 6.1.3L2中极大相容理论的拓扑刻画144 6.2形式系统髟4中极大相容理论的结构及其拓扑刻画145 6.2.1髟+中极大相容理论的性质及结构145 6.2.2髟+中极大相容理论结构刻画的归纳证法154 6.2.3髟+中极大相容理论的拓扑刻画156 6.2.4髟+中的Lukas1ew1cz理论与Boole理论161 6.3系统NMG中极大相容理论的结构及其拓扑刻画166 6.3.1NMG中极大相容理论的结构刻画166 6.3.2NMG中的Godel理论1172 6.4Lukas1ew1cz模糊命题逻辑L中极大相容理论的刻画174 6.4.1L中极大相容理论的性质174 6.4.2L中极大相容理论之集上的模糊拓扑178 6.4.3L中极大相容理论之集上的分明拓扑179 6.5Godel和乘积模糊命题逻辑中极大相容理论的刻画182 第7章Ro代数中的三值Stone拓扑表示定理187 7.1Ro-代数及其基本性质187 7.2Ro-代数中的极大滤子及其拓扑性质191 7.2.1极大滤子的结构性质191 7.2.2极大滤子之集上的Stone拓扑与三值Stone拓扑201 7.3Ro-代数中的三值Stone拓扑表示定理205 7.3.1Booleskeleton与MVskeleton206 7.3.2三值Stone拓扑表示定理210 7.4Ro-代数中的Boole-滤子与MV-滤子213 7.4.1Boole滤子213 7.4.2MV滤子218 7.4.3MV滤子与Stone空间中的拓扑闭集222 7.5Ro-代数中的三值Stone对偶223 第8章逻辑代数上的态理论230 8.1剩余格230 8.1.1几类重要的剩余格230 8.1.2滤子理论246 8.2逻辑代数上的态算子252 8.2.1Bosbach态与R1ecan态252 8.2.2赋值态261 8.2.3Bosbach态与R1ecan态的存在性263 8.2.4半可分剩余格上的Bosbach态与R1ecan态266 8.3MV代数关于态算子的Cauchv度量完备化267 8.3.1态算子诱导的度量268 8.3.2Cauchy度量完备272 第9章逻辑代数上的内部态理论276 9.1MV-代数上的内部态理论276 9.1.1MV-代数上的内部态算子276 9.1.2次直不可约SMV-代数278 9.1.3SMV-代数与MV-代数上的态算子280 9.1.4概率模糊逻辑281 9.2BL-代数上的内部态理论282 9.2.1BL-代数上的内部态算子283 9.2.2SBL-代数中的滤子288 9.2.3SBL-代数上的态算子291 第10章剩余格上的广义态理论292 10.1广义态算子292 10.1.1广义Bosbach态292 10.1.2保序1型态的核302 10.1.3广义R1ecan态306 10.2剩余格关于保序1型态的Cauchy相似完备化308 10.2.1相似收敛308 10.2.2保序1型态的连续性311 10.2.3sCauchy相似完备314 10.3基于相对否定的广义态理论321 10.3.1相对否定321 10.3.2相对广义态算子331 10.4基于核算子的广义态理论338 10.4.1核算子338 10.4.2基于核算子的广义态算子345 10.5广义态算子的逻辑基础初探348 参考文献350 索引363
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第1章多值命题逻辑简介 由于本书将要建立的概率计量逻辑理论是在多值命题逻辑框架下展开的，所以为了顺利阅读并领会概率计量逻辑的基本思想，本章介绍有关多值命题逻辑的一些预备知识．1.1节简要介绍命题逻辑系统及其语构理论、语义理论和完备性，同时针对*基本的逻辑概念简要分析把它们进行程度化的必要性，从而使我们看到建立概率计量逻辑理论便是顺理成章的事情．1.2节介绍若干常用的命题逻辑系统，包括二值命题逻辑系统L、多值Lukas1ew1cz命题逻辑系统与，Godel模糊命题逻辑系统G、乘积模糊命题逻辑系统Ⅱ、Ro-型多值命题逻辑系统与；模糊命题逻辑系统NMG以及模糊命题逻辑系统LⅡ和LⅡ去，也可参阅文献[2]，[20]，[21]． 有关概率论、测度论以及拓扑空间论的预备知识将在具体用到时再作进一步的介绍，参见3.3.1节和6.1.3节． 1.1命题逻辑系统及其完备性 1.1.1命题逻辑系统 一个命题逻辑系统一般由5部分组成： (i)符号表包括原子命题符号：P1，p2，…（有个别命题逻辑系统还可能把常值公式作为原子公式），其全体构成一个可数集S={P1，p2，…）；逻辑连接词；标点符号：逗号“，”，左括号“（”以及右括号“）”． (ii)公式集原子命题P1，p2，…也称为原子公式，它们都是公式．又将原子公式用逻辑连接词恰当连接所得的表达式都称为公式（或命题），其全体之集记作F(S)．不同的逻辑系统可以使用不同的逻辑连接词．如果所使用的连接词之集是，则F(S)是由S生成的型自由代数，即 (1)S∈F(S)， (2)若，则∈F(S)， (3)F(S)中的成员均可由以上规则(1)和(2)在有限步之内生成， 例如，就是一个公式，而就不是公式．F(S)中的公式是将S中的原子公式用逻辑连接词按规则(2)恰当地连接而成，所以也称为合式公式．本书将F(S)中的成员简称为公式，有时也称为命题． (iii)公理集在F(S)中挑选出一批好公式，称为公理，其全体之集记为∥．不同逻辑系统使用不同的公理集． (iv)推理规则集一个推理规则指定了从哪几个（一般为有限个）公式可以推得哪一个公式，一个逻辑系统可以有许多推理规则，但本书涉及的命题逻辑系统均只有一条推理规则，即从和一可得，这可以写作或这条推理规则称为MP规则，也称为分离规则． (v)赋值域它是一个带有代数结构的集合W，比如，与逻辑连接词v，一等相对应，W上有一元运算（有时也简记为）、并运算v和蕴涵运算不同的逻辑系统中蕴涵运算是不同的．本书中的赋值域W通常取为单位区间[0，1]或其子集，如等． 1.1.2语构理论 所谓逻辑系统的语构理论是指不涉及赋值域，仅从公理集∥出发f有时再附加一个假设集），使用推理规则进行形式推理的理论．确切地说，从∥出发运用MP规则在有限步内可以推出的公式称为这个逻辑系统中的定理，如果∈F(S)且是定理，则将垆的否定7Cp称为可驳公式，常用表示可驳公式， 通俗地说，F(S)中的定理是形式上很好的公式，因为它是由大家公认的好公式（即公理）运用合理的推理规则推出来的．定理可以表示完全真的概念或信息．相反，定理的否定就是坏公式，它可以表示完全假的概念或信息，但值得指出的是，F(S)中的绝大多数公式既不是好公式，也不是坏公式．应当怎样去评价这些公式的好坏呢？这是概率逻辑和计量逻辑，从而也是本书将要建立的概率计量逻辑所关心的基本问题之一． 1.1.3语义理论 所谓逻辑系统的语义理论是指借助赋值域W以及赋值(即u是从F(S)到W的同态）来评价F(S)中公式好坏（真假）的方法．F(S)的赋值有很多，其全体之集记为力．由于F(S)是S生成的自由代数，所以任一赋值u都可由其在S上的限制**决定，而是从S到W的一个映射．为简单起见，对u与不加区分，从而可以把力与等同起来，即设是一个公式，如果在力中的任一赋值v下都得满分(通常为W中的*大值，则称为重言式．相反地，若公式在f中的任一赋值u之下都得零分，则称为矛盾式． 值得注意的是，无论是重言式还是矛盾式，其定义中均要求“对任一赋值或u如果把赋值域通俗地称为“打分表”，把赋值v称为“裁判”，那么力就是“裁判团”．可见重言式就是全体裁判一致行动都给它打满分的公式，而矛盾式则是全体裁判一致行动给它打零分的公式．这就产生了一个自然的问题：设X∈F(S)，有一部分裁判给x打分满分，而另一部分裁判则给）（打零分，应当如何评价x的好坏呢？这一问题和语构部分的问题一样，是概率计量逻辑要回答的问题． 设是由原子公式经逻辑连接词连接而成的公式，若满足，则不难验证．这一基本事实告诉我们：公式在的赋值只取决于其中原子公式的赋值，从而可以诱导出-元函数：这里．称万为诱导的真函数，比如，设，则，其中万中出现的，分别是与中的逻辑连接词相对应的赋值域W的运算．此外(还可以极其自然的方式诱导出赋值集力上的一个函数(在不致混淆的情况下，仍记为，即显然，对任一赋值． *后需要指出的是，本书中命题逻辑系统的赋值域w取为单位闭区间[0，1]或其真子集，与之相对应的语义理论常称为标准代数语义．除标准代数语义外，还有更一般的代数语义，即赋值域W为与公式集F(S)同型号的一般逻辑代数时建立的语义理论，详见文献㈨[3]，[20]，[21]本书第26章将要讨论的概率计量逻辑理论及其应用是基于标准代数语义建立的，但第810章讲的态理论则是建立在一般逻辑代数上的，有关一般逻辑代数的基本知识将在8.1节介绍． 1.1.4逻辑系统的完备性 在语构理论中按形式推理推出的定理如果是重言式，即凡是形式上好的公式都能获得全体裁判的一致认可，则称此语构理论是可靠的，有时也称这个逻辑系统是可靠的．一般说来，可靠性是容易达到的，反过来，获得全体裁判一致认可的重言式是不是可以从公理出发利用推理规则形式化地推出来呢？即重言式是否是定理呢？如果重言式是定理，则称此语构理论是充足的，也称此逻辑系统是充足的．既可靠又充足的逻辑系统称为完备的．完备性标志着语构理论和语义理论的和谐统一，所以具有完备性的逻辑系统才是好的逻辑系统．此外还有一种更强形式的完备性．设，则称为逻辑理论，简称理论．如果公式(能从出发利用推理规则在有限步之内被推出来，则称为的推论，记为的全体推论之集记为．显然，就是全体定理之集．在语义部分，若门中的某赋值给中的每个公式都打满分此时称为的模型，则v定也给打满分，即的模型都是((即的模型，则称语义蕴涵记为．强完备性是指显然，逻辑系统的完备性定理是强完备性定理式在时的特殊情形．具有强完备性的逻辑系统当然更好一些．一个自然的问题：是的推论这一事实是否可以程度化？如果不成立，那么是否可以在某种程度上把视为的推论？这也是概率计量逻辑要回答的问题． 1.2若干常用的命题逻辑系统 二值命题逻辑又称为Boole命题逻辑，形成于19世纪上半叶，而多值命题逻辑则问世较晚些，它诞生于20世纪20年代[19]．随后便发展较慢，只是提出了多值Lukas1ew1cz命题逻辑[64,65]．以及多值Godel命题逻辑[66]．多值命题逻辑直到Zadeh教授提出模糊集[18]，特别是在1993年爆发了一场关于模糊逻辑的论战[22,23]之后才得到真正的快速发展，其中*具代表性的研究成果有Esteva与Godo提出的旨在刻画左连续三角模的MTL逻辑[67]，Hajek提出的刻画连续三角模的BL逻辑[68]和刻画乘积三角模的乘积命题逻辑[69]，以及MTL逻辑和BL逻辑的模式扩张[70,71]，如NM逻辑M72]、NMG逻辑[73]、LⅡ去逻辑[74]．事实上，模糊Lukas1ew1cz命题逻辑、Godel命题逻辑以及乘积命题逻辑都是MTL和BL的模式扩张．国内的主要研究成果有王国俊教授提出的形式系，徐扬教授提出的格蕴涵逻辑[76]，以及裴道武教授和王三民教授等的一些出色工作[77-80]．本节将依次介绍后面章节直接用到的几种多值命题逻辑系统：二值命题逻辑系统L、多值Lukas1ew1cz命题逻辑系统L。和L、Godel命题逻辑系统G、乘积命题逻辑系统Ⅱ、Ro-型多值命题逻辑系统z+与鬈、系统NMG以及LⅡ去． 1.2.1二值命题逻辑系统L (i)L中共有如下三条会理模式： (L1) (L2) (L3) L的全体公理之集记为∥，L只有式(1.1.1)表达的推理规则MP． 设．从理论，到公式的推理是一个公式的有限序列1满足条件。且对每个，或者存在使得。是从与运用MP所得的结果．这时称为的推论，记为的全体推论之集记为D，即，称m为推理长度．当时，把简记为，并称为定理．称定理的否定为可驳公式，常用西表示可驳公式． (ii)基于公理(L2)运用关于推理长度的归纳法可以证明L有如下演绎定理：设 (1.2.1) 由演绎定理式(1.2.1)易证三段论规则HS成立，即 （iii)设．若与都成立，则称与可证等价，记为，不难验证： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)这里 (iv)设是一个理论，如果，则称是不相容的，否则称是相容的．可以证明是不相容的，而都是相容的．我们看到和虽然都是相容的，但和却大不相同．比如中所含的公式都是定理，它们只是F(S)中很小的一部分，而我们在后面将证明是极大的，即不能真包含于任一相容理论之中．可见很有必要对相容理论的相容程度进行区分，这也是概率计量逻辑要解决的问题． (v)L的赋值域为，其中的非运算和蕴涵运算定义为．由此易证．以下常把记为．在还可以定义和如下；且(1.2.2) (vi)因为F(S)中也有运算与，所以F(S)也是型代数和型代数．称型同态：为在W2中的赋值，F(S)的全体赋值记为．由于F(S)中的运算和可用与来表达，W中的和也可通过相同的方式用、与一表达，所以赋值也是型同态和型同态，所以注意，由于F(S)是由S生成的自由代数，所以完全由它在S上的限制决定．为简单起见，对与不加区分，从而把与等同起来，即． (vii)设，若对任均有，则称为L中的重言式，记为．若对任，则称为L中的矛盾式．设，若对任均有，则称与逻辑等价，记为．在中完备性定理成立，即(1.2.3)辜实上，在L中由式(1.1.4)表达的强完备性定理成立，从而式(1.2.3)只是式(1.1.4)在时的特殊情形．由完备性定理知定理与重言式、可驳公式与矛盾式、可证等价与逻辑等价等都分别是一回事． (viii)设，则按式(1.1.2)诱导出元函数万：称万为诱导的Boole函数[2]反过来，设是一元函数，则存在公式使得． 1.2.2多值Lukas1ew1cz命题逻辑系统与 (i)我们分别用与L表示赋值域为和W而的Lukas1ew1cz命题逻辑系统．在和中由初始连接词和可引入新的连接词如下．L有如下4条公理模式 (L1) (L2) (L3) (L4)