算术基础:关于数的概念的逻辑—数学研究

当被问及数;一是什么，或者符号;1指称什么时，①②人们通常会给出这样的答案：;一件东西而已。接着如果有人指出，;数一是一件东西这一命题不是一个定义，因为它在一边有一个定冠词而在另一边有一个不定冠词，也就是说它只把数;一赋予一件东西，但没有说明这是件什么东西，那么人们可能被要求自行选择任何人们想要称之为;一的一件东西。但是如果每个人都有权随心所欲地去理解这个名称，那么不同的人，对;一的同一个命题就会有不同的指称；这样的命题就没有了共同的内容。有些人也许会以下面的理由拒绝回答这个问题，即字母a在算术中的指称也未能给出；但是如果说;a指称一个数，那么就会发现这和定义;一是一件东西有同样的缺点。拒绝回答关于a的问题是完全合理的：a并非指称一个具体的、可确定的数，而旨在表达命题的普遍性。如果用任意的但相等的数代替a十a_a=a中的a，那么总会得到一个正确的等式。字母a就是在这个意义上使用的。然而对于;一，情况则完全不同。在等式1十1=2中，我们能否在两个;1的位置上，都代入某个相同的对象，比如月球？恰恰相反，看起来，无论我们给第一个;1代入什么，都必须给第二个;1代入不同的东西。为什么我们在这里偏偏必须做一件在别的情况下会是错误的事？③算术不能只使用字母a，也必须使用b、c等其他字母，以便一般地表达不同的数之间的关系。所以应该想到，当符号1以类似的方式使用时，不能使命题具有普遍性。但是数;一难道不是一个确定的、带有可描述属性的对象吗？例如，它乘以自身保持不变。在这个意义上，我们不能断言a的任何属性，因为对a所断言的，是所有数的共同属性，而11=1既不能说出关于月球的任何东西，也不能说出关于太阳、撒哈拉沙漠等的任何东西；那么这样的表述有什么意义呢？对这些问题，大多数数学家大概都没有给出令人满意的答案。然而，对科学中这个最直接而且看来如此简单的主题都搞不清楚，难道不令人羞愧吗？更遑论说出数究竟是什么了。如果作为一门重要科学基础的概念出现了问题，那么对它进行更深入的研究并解决这些问题，无疑是一项不可避免的任务，尤其是因为除非能充分理解整个算术结构的基础，否则很难完全弄清楚什么是负数、分数和复数。当然，许多人认为这不是什么问题。他们认为，这一概念在小学教科书里已经讲得足够清楚，因此可以终身受用。谁能相信在如此简单的事情上还能学到什么呢？正整数的概念在理解上毫无困难，以至于对小孩都能作出既科学又详尽的解释，而且每个人都能完美地掌握它，无需进一步思考，也无需了解他人的想法。于是，学习的第一动力获取不具备的知识消失了。结果是，人们仍然满足于原始的看法，尽管赫尔巴特已经有了一些更正确的理解。更为令人伤心和沮丧的是，这样一来，已经获得的知识也不断面临丢失的风险，导致许多工作注定会成为徒劳的，因为人们认为知识宝库已经形成，无需费心去采摘其硕果。我意识到我的工作也面临同样的风险。把计算称为集聚的机械思维这种粗俗的观点令人反感，①我无法想象真有这种思维存在。集聚的表述更容易被接受，但它对于计算并无指称。本质上，思维在任何地方都是一样的；不同类型的思维规律不会因对象而异。差异只在于心理影响和语言、数等外在思维造成的或多或少的纯粹性和独立性，或许还在于概念结构的精细性；但正是在这方面，数学不会被包括哲学在内的其他学科超越。在本书中可以看出，即使是像从n到n十1这样一种看似数学特有的推理，也是建立在普遍逻辑规律的基础上的，并不需要特殊的集聚思维规律。当然，人们可以机械地使用数，就像鹦鹉学舌那样，但这很难称得上是思维。只有当数学符号语言通过真正的思考，发展到可以自行思考的地步，才可能有思维。这并不能证明数是以某种特殊的机械方式形成的，不像沙堆是由石英颗粒形成的那样。我认为，对于数学家来说，反对这种观点很有必要，因为这种观点可能贬低科学的主要对象，从而贬低科学本身。然而，在数学家中也能发现非常类似的论述。与之相反，人们不得不承认，尽管数的概念是算术中最简单的概念之一，但它的结构比其他科学中大多数概念的结构都要精细。因此，为了消除以下错觉，即似乎人们普遍一致地认为正整数实际上根本没有任何疑问，我认为有必要叙述一下数学家和哲学家对本书所讨论问题的一些看法。人们将会看到，他们的意见的一致程度十分微小，甚至会出现相互对立的说法。例如，有些人认为;各个单位彼此等同，有些人则认为它们是不等同的，而且双方都有不容易被驳斥的论据来支持自己的主张。我这样做的目的是，使人们意识到进行更深入研究的必要性。同时，我希望通过阐明他人的观点，为我自己的论述铺平道路，并使人们相信，其他那些道路不能通向目标，我的看法与许多已发表的相关观点有所不同；通过这种方式，我希望至少在关键点上能最终解决这个问题。诚然，我引起的争论比许多数学家所认可的更富于哲理性；但是，对数的概念的深入研究总会带有哲学气味。这是数学和哲学共同的任务。如果尽管双方都做出了诸多努力，但这两门学科之间的合作还是不像人们所期望的那样富有成效，甚至可能并不尽如人意，那么我认为，这或许是因为哲学领域盛行心理学论证方法，而这些方法甚至已经渗透到逻辑学领域。数学与这种方法毫无关系，而且这很容易解释为什么许多数学家厌恶哲学论据。例如，当斯特里克把数的表象称为运动机能的，依赖于肌肉感觉时，没有一个数学家能在其中识别出他的数，也不知道该如何应对这样的说法。基于肌肉感觉的算术肯定是相当情绪化的，并且也像它的基础一样模糊。不，算术与情感无关，也与那些由先前的感知印象的痕迹所凝聚而成的内心意象无关。所有这些形式的不稳定性和不确定性，都与数学概念和对象的稳定性和确定性形成了鲜明的对比。探讨一下数学思维中所蕴涵的表象及其变化或许是有用的；但心理学不能对算术的基础做出任何贡献。数学家本身并不关心这些内心意象及其产生和变化。斯特里克自己就说过，他对;一百这个词唯一能够想到的就是;100这个符号。其他人可能会想到字母C或别的东西；难道不可以得出这样的结论：在我们的情况，这些内心意象与事物的本质之间完全是无关的和偶然的，就像一支粉笔和一块黑板之间一样偶然，以至于它们根本不配被称为是一百这个数的表象？在这些表象中，人们并没有看到事物的本质！人们绝不能把对一种表象起源的描述当作定义，也绝不能把意识到一个命题时身心状态的陈述当作证明，更不能把对命题的思考与其真实性混为一谈。看来人们必须记住，一个命题并不会因为不再被思考而不再为真，正如太阳并不会因为我闭上眼睛而不再存在一样。否则，我们最终会陷入这样的境地：在证明毕达哥拉斯定理时，人们会发现有必要记住自己大脑中的磷含量；天文学家也不愿把自己的结论延伸到遥远的过去，以免别人指责：;你的计算是2times;2=4，但对于数的表象是发展的，有一个历史。人们可以怀疑，数的概念那时是否已经到达那一步了。如何知道这个命题在那个遥远的过去就已经存在了呢？为什么当时的生物不能有2times;2=5，而2times;2=4只是在生存斗争中脱颖而出的，并且它也许注定要沿着同样的道路发展为2times;2=3？凡事都有限度，凡事都有终点！这种试图窥探事物的发展并从中洞悉其本质的历史视角固然有其合理性，但也存在局限性。如果在万物的不断变化中没有任何固定的、永恒的事物存在，那么世界的可知性就会终止，一切都将陷入混乱。人们似乎会认为：这些概念就像树上的叶子一样出现在个体的灵魂中，而且可以通过研究它们的起源，以及尝试从人类灵魂的本质的角度进行心理学解释来认识它们的本质。但这种说法使一切都变成主观的，如果继续下去，就会背弃真理。人们所谓的概念的历史，实际上或者是我们概念知识的历史，或者是词语指称的历史。通常只有经过几个世纪的巨大智力努力，人类才能最终成功地获得对某个概念的纯粹认识，剥离那些遮蔽其本质的不相干的外壳。现在，如果有人不继续这项尚未完成的工作，不去关注它，而是去托儿所或回到人类发展的最古老的可想象阶段，以便像穆勒一样，去发现一些姜饼式的或鹅卵石式的算术方法，那么我们对此还有什么可说的呢？似乎缺少的只是将数的概念的特殊指称归结为糕点的美味。这完全不是一种令人满意的方法，而且无论如何都不是数学的。难怪数学家对此毫无兴趣。人们本以为在接近概念本源之处能发现概念的独特纯粹性，然而所见之物却全然模糊不清、界限不明，仿佛被一层迷雾隔开了。这就好像有人为了了解美洲，想把自己置于哥伦布的处境当时他看到了他所认为的印度的第一缕微弱的光芒。当然，这样的比较证明不了什么；但我希望它能使我的观点更加清晰明了。在许多情况下，早期发现的历史很可能是有用的，有助于为进一步研究做准备；但不应该让它超越它应有的地位。就数学家而言，与这些观点的斗争确实几乎没有必要；但因为我的处理方式旨在尽可能地将所处理的争论问题也提交给哲学家解决，所以我发现自己不得不涉足心理学领域，哪怕仅仅是为了抵御它对数学的侵蚀。此外，甚至数学教科书中也会出现向心理学的转变。如果有人觉得自己有义务给出定义却又不能，那么他至少会描述一下得出所涉及对象或概念的方法。这种情况很容易被认识到，所以此后再也不会回到这种说明。对于教学目的，引入这些当然是完全合适的；只是它应该始终与定义明确地区分开来。即使数学家也可能把证明的根据同证明过程中所依赖的内在或外在条件相混淆，对此，施罗德的著作中有一个有趣的例子。在;独一无二公理标题下，他说了以下这些话：;所想的原理大约可以被称为符号的固有性公理。它使我们确信，在我们所有的论证和结论中，符号都保留在我们的记忆中但更牢固地印在纸张上。尽管数学必须拒绝任何来自心理学的帮助，但它不能否认它与逻辑学的密切联系。事实上，我同意那些认为不可能将数学和逻辑学截然分开的观点。必须承认，对证明的连贯性或定义的合理性的任何研究都必须合乎逻辑。这些问题根本不能从数学中排除，因为只有回答了这些问题，才能获得必需的可靠性。在这个方向上，我自然也比别人走得更远。对于性质类似的研究，大多数数学家只要满足了当前的需求，便会心满意足。一个定义如果在证明中便于处理，如果在任何地方都不存在矛盾，如果在看似无关的种种事实之间都能够建立起联系，并且这种联系最终能形成更高的秩序和规律性，那么人们就会倾向于认为这个定义是足够可靠的，并且不太会去追究其逻辑上的合理性。这种方法至少有一个优点，那就是它使人们不容易完全偏离目标。我也认为，定义必须通过其可靠性以及其用于证明的可能性来显示其价值。也必须注意到，即使推理链在形式上完整无缺，但只要这些判断仅仅是因为后来没有遇到任何矛盾才被视为合理，那么这种证明的严格性仍然是一种假象。所以，人们最终获得的只是经验上的确定性，而且实际上必须做好遇到足以摧毁整个体系的矛盾的准备。因此，我认为必须超过大多数数学家认为必要的程度，更深入地探究数学的一般逻辑基础。在下面的研究中，我将坚持遵循以下基本原则：必须将心理因素与逻辑因素、主观因素与客观因素截然分开；词语的指称必须在句子的语境中考察，而不是单独地探究；必须牢记概念与对象之间的区别。为了遵循第一条原则，我始终在心理学的意义上使用;表象一词，并将其与概念和对象区别开来。如果不遵守第二条基本原则，人们几乎会被迫将个人思维的内心意象或行为视为词语的指称，从而违反了第一条基本原则。至于第三条基本原则，认为无需改变概念就能将其转化为对象只是一种幻想。由此可见，广为流传的分数、负数等的形式主义理论是站不住脚的。我只能在本文中略微提及我的改进措施。在所有这些情况下，就像正整数一样，确定一个等式的意义是非常重要的。我认为，我的研究成果至少在很大程度上会得到那些愿意认真思考我所提出论点的数学家们的认可。在我看来，这些结果并非完全的定论，而且也许每一个单独的结果，或者至少一些非常类似的结果，都已经被提出过；然而，也许由于这些结果在这里一起相互联系，它们可能仍然是新的。有时使我惊讶的是，为什么有些论述在某一点上与我的观点如此接近，而在其他方面又如此偏离。哲学家对它们的接受程度会因为他们的立场而有所不同，但最不喜欢它们的大概是那些经验主义者，他们认为只有归纳①是原始推理方法，甚至认为它并非一种推理方法，而仅仅是一种习惯。也许，有些人会借此机会重新审视他们的认识论基础。对于那些认为我的定义不自然的人，我想说，这里的重点不在于它们是否自然，而在于它们是否直接指向问题的本质，是否在逻辑上无懈可击。我希望，即使是哲学家，如果他们不带偏见地审视我所写的内容，也会从中发现一些对他们有用的东西。

弗雷格是现代数理逻辑和分析哲学的奠基人。《算术基础》是他系统阐述其数学哲学思想的名著，在现代哲学、逻辑学乃至科学方法论中均产生了深远影响。英国著名思想家罗素（Bertrand Russell）曾说，在逻辑分析问题上，他主要获益于弗雷格。

弗雷格，德国数学家、逻辑学家和哲学家，现代数理逻辑和分析哲学的奠基人。《算术基础》是他系统阐述其数学哲学思想的名著。该书虽以;算术基础为名，却为现代分析哲学与数理逻辑奠定了重要基础。如今，该书的意义早已突破数学专业的藩篱，在哲学、逻辑学乃至科学方法论中均产生了深远影响。 ???????英国著名思想家罗素（Bertrand Russell）曾说，在逻辑分析问题上，他主要获益于弗雷格。

(德)弗雷格，数学家、逻辑学家和哲学家，现代数理逻辑和分析哲学的奠基人，代表作品包括《概念语言》《算术基础》《算术的基本规律》等。凌复华

弁 言 导读（一） 导读（二） 引 言 说 明 sect;1. 数学中的最新趋势：追求证明的严谨性和概念的明确定义sect;2. 这种追求最终必定延伸到数这一概念本身；证明的目的 sect;3. 这种追求的哲学动机：争论的焦点 ?数的定律是分析的还是综合的，是先验的还是后验的；这些表述的意义 sect;4. 本书的任务 Ⅰ. 一些作者对算术命题本质的看法 数的公式是可证明的吗？sect;5. 康德否认汉克尔正确地称之为悖论的东西sect;6. 莱布尼兹关于 2十2=4 的证明中有一个缺陷；格拉斯曼关于 a十b 的定义是错误的 sect;7. 穆勒的以下看法是没有根据的：各个数的定义确定了所观察到的事实，由这些定义可以进行计算sect;8. 这些定义的合理性不需要对事实的观察 算术定律是归纳真命题吗？sect;9. 穆勒的自然法则；穆勒把算术真命题称为自然法则，从而混淆了自然法则及其应用 / 31sect;10. 否定加法定律是归纳真命题的理由：数的不同类型；由数的定义本身不能得出数的大量共同属性；归纳法很可能反而是以算术为基础的sect;11 莱布尼兹的;与生俱来说算术定律是先验综合的还是分析的？sect;12. 康德、鲍曼、利普希茨、汉克尔；内在直观作为认识的基础sect;13. 算术与几何的区别 sect;14. 就各自的支配领域比较各类真命题sect;15. 莱布尼兹和杰文斯的观点 sect;16. 反对穆勒所谓;语言的巧妙操纵的嘲讽；符号并不因为它不指称任何可察觉的东西就是空的sect;17. 归纳的不充分性；推测数的定律是分析判断；在这种情况下，它们有什么用处；尊重分析判断Ⅱ. 一些作者对数这一概念的看法sect;18. 探讨数这个一般概念的必要性sect;19. 定义不可能是几何的sect;20. 数是可定义的吗？汉克尔、莱布尼兹数是外部事物的属性吗？sect;21. 康托和施罗德的观点sect;22. 鲍曼的反对意见：外部事物并不构成严格的单位；数似乎取决于我们的把握方式 sect;23. 穆勒关于数是事物集聚属性的观点是站不住脚的sect;24. 数的广泛适用范围；穆勒、洛克、莱布尼兹的非物质形而上学形象；如果数是某种可感知的东西，就不能把它归为不可感知的sect;25. 穆勒所认为的 2 和 3 之间的物理区别；根据贝克莱，数并不真正存在于事物中，而是由心灵创造出来的数是主观的东西吗？sect;26. 利普希茨对数的构造的描述是不合适的，不能用来代替对概念的确定；数不是心理学的对象，而是某种客观存在的东西 sect;27. 数不是像施勒米尔希所认为的那样，是一个对象在一个序列中位置的表象作为;聚合的数sect;28. 托梅的命名Ⅲ. 对单位和;一的看法数;一表示对象的一种属性吗？sect;29. 术语 mu;omicron;nu;?? 和 Einheit（单位）的多义性；施罗德把单位定义为待计数的对象似乎是毫无意义的；形容词;一并未作出进一步的界定，不能作为谓词sect;30. 莱布尼兹和鲍曼给出的定义似乎使;一这一概念完全消失了sect;31. 鲍曼关于未被分割性和有界性的准则；;一这一概念并不是由某个对象提供的（洛克）sect;32. 语言确实还是指出了与未被分割性和有界性的某种联系，但意义有所变化sect;33. 不可分割性（柯普）不能作为;一的标识而得到单位彼此等同吗？sect;34. 等同性是;单位这一名称的基础；施罗德、霍布斯、休谟、托梅；从事物之间的差异抽象出来的关系不能得到数的概念，事物并不因此彼此等同sect;35. 如果要谈论复多性，差异是必需的；笛卡儿、施罗德、杰文斯sect;36. 关于单位差异性的观点也遇到了困难；杰文斯的不同的;一sect;37. 洛克、莱布尼兹和黑塞用;单位或;一来定义数sect;38. ;一是专有名词，;单位是概念词；数不能被定义为单位；;和与;十的区别sect;39. ;单位的多义性掩盖了化解单位等同性与可区别性的困难尝试克服困难sect;40. 空间和时间作为区别单位的手段；霍布斯、托梅；反对者：莱布尼兹、鲍曼、杰文斯sect;41. 这个目的将不能达到 sect;42. 把在一个序列中的位置作为区别的手段；汉克尔的;设定sect;43. 施罗德用符号 1 描绘对象sect;44. 杰文斯抽象掉差异的特征但保留差异的存在；0 和 1 是与其余的数一样的数；困难仍然存在克服困难sect;45. 回顾sect;46. 数的给出包含了一个概念的陈述；不同意见：概念不变时，数发生变化 sect;47. 给出数的事实由概念的客观性说明sect;48. 解决一些困难sect;49. 斯宾诺莎的证明sect;50. 施罗德的说明sect;51. 上节所述主张的正当性sect;52. 在德语习惯用语中找到的佐证sect;53. 一个概念的特征及其属性之间的区别；存在及数sect;54. 单位可以被称为是数的给出的一个主词；单位的不可分割性和有界性；单位间的等同性和可区别性 Ⅳ. 数的概念每个数都是一个独立的对象sect;55. 尝试完善莱布尼兹对各个数的定义sect;56. 尝试的定义不可用，因为它给出的是一个表述，而数只是其中的一部分sect;57. 数的给出应被视为数之间的一个等式sect;58. 不同意把数作为自主对象的表象；数根本不能作为表象sect;59. 不能因为一个对象不能作为表象就把它排除在研究之外sect;60. 即使是具体的事物也并非总是可以作为表象；在探寻一个词的指称时，必须把这个词放在句子中考虑 sect;61. 对数的非空间性的不同看法；不是每个客观对象都是空间的为了获得数的概念，必须确定数的等式的意义sect;62. 我们需要数的相等性的一个特征sect;63. 这种一一对应的可能性；逻辑思考：相等性是为此特殊情况专门定义的sect;64. 类似方法的例子：方向、平面的取向、三角形的形状sect;65. 尝试给出一个定义；第二个问题：等同性法则是否得到满足？sect;66. 第三个问题：等同性的特征是不充分的sect;67. 不能把一个对象的引入方式作为概念标识的补充sect;68. 数目作为一个概念的外延sect;69. 说明 补充和确认我们的定义sect;70. 关系概念 sect;71. 通过一个关系来对应 sect;72. 一一对应关系；数目的概念sect;73. 如果有一种关系，它使落入 F 之下的对象与落入 G 之下的对象之间一一对应，那么归属于概念 F 的数目与归属于概念 G 的数目是相等的sect;74. 零是归属于;与自身不等同这一概念的数目sect;75. 零是归属于;没有任何东西落入其下这样一个概念的数目；如果零是归属于某一个概念的数目，那么没有任何对象落入这一概念之下sect;76. ;在自然数序列中，n 直接后继 m这个表达式的定义sect;77. 1 是归属于;与 0 等同这一概念的数sect;78. 借助我们的定义证明的命题sect;79. ;在一个序列中后继的定义sect;80. 对此的评论；后继的客观性sect;81. 表达式;x 隶属于以 y 结尾的 phi; 序列的定义 sect;82. 证明;自然数序列中没有最后一个数的大纲sect;83. 有限数的定义；在自然数序列中，没有一个有限数后继其自身无穷数 sect;84. 归属于;有限数这一概念的数目是无穷数sect;85. 康托无穷数；;基数，术语名称的分歧sect;86. 康托的;在演替中的后继和我的;在序列中的后继Ⅴ. 结论sect;87. 算术定律的本质sect;88. 康德低估了分析判断的价值sect;89. 康德的名言：;没有感知，我们就不会有对象；康德对数学的贡献sect;90. 为了完整证明算术定律的分析性，我们还需要一条严密的推理链sect;91. 我对概念的表达方法可以弥补这一不足其他数 sect;92. 汉克尔所说的关于数的可能性问题的意义sect;93. 数既不在我们之外的空间中，也不是主观的sect;94. 一个概念无矛盾，并不能保证总有对象落入这个概念之下；而且，概念本身是否无矛盾，也需要证明sect;95. 我们不能不加思索就将 c_b 看作解决减法问题的一个符号sect;96. 即使数学家也不能随心所欲地创造事物sect;97. 必须把概念与对象区别开来sect;98. 汉克尔对加法的定义sect;99. 形式主义理论的缺陷sect;100. 尝试通过某种特殊方式扩展乘法的指称来解释复数 sect;101. 这样一种证据的可能性与一个证明的作用并不相同 sect;102. 仅仅要求某种运算应该起作用并不等于它可行sect;103. 科萨克对复数的定义只是对定义的一个提示，且未能避免引入陌生事物；几何表示sect;104. 需要确定对新的数的识别判断的意义sect;105. 算术的魅力在于它的合理性sect;106. 回顾（一）sect;107. 回顾（二） sect;108. 回顾（三）sect;109. 回顾（四）

从这些哲学问题出发，我们得出了在数学领域本身独立出现的相同要求：尽可能以最严格的方式证明算术的基本规律；因为只有当推理链中的每一个漏洞都被极其小心地避免时，我们才能确定地说出证明所基于的原始真命题。而且只有了解整个过程，才能回答所有问题。如果我们现在试图满足这个要求，那么很快就会得到这样一些命题，只要我们不能成功地将其中包含的概念分解成更简单的概念，或将其简化为更普遍的概念，这些命题的证明就无法实现。在这里，首先要明确数是已经被定义的或被认为是不可定义的。这就是本书要解决的问题。关于算术定律属性的决定将取决于这个问题的解决。在我自己着手解决这些问题之前，我想先阐述一些观点，这些观点或许能为问题的答案提供一些线索。从另一个角度来看，如果有理由相信算术的基本规律是分析的，那么这些理由也证明了算术的基本规律的可证明性，以及数的概念的可定义性。而造成这些真理具有后验性的那些理由，将会产生截然相反的效果。因此，我们不妨先对这些争议点予以初步阐释。