书名：间断有限元理论与方法（修订版）
定价：118.0
ISBN：9787030435057
作者：张铁
版次：1
出版时间：2015-11

内容提要：
有限元方法是现代科学与工程计算领域中*广泛使用的数值方法之一, 间断有限元方法则是传统(连续)有限元方法的创新形式、改进和发展.本书系统地阐述间断有限元基本理论、思想和方法. 本书主要针对椭圆方程、一阶双曲方程、一阶正对称双曲方程组、对流扩散方程、Stokes 方程和椭圆变分不等式等偏微分方程定解问题, 介绍各种形式间断有限元方法的构造、稳定性和误差分析、超收敛性质、后处理技术、后验误差估计和自适应计算.

目录：
第1章预备知识1 1.1Sobolev空间简介1 1.2嵌入越3 1.3有限元空间及其性质6 1.3.1有限元空间6 1.3.2插值和投影逼近7 1.3.3逆性质和迹不等式13 1.4椭圆边值问题的有限元方法15 1.4.1边值问题的适定性15 1.4.2连续有限元逼近17 第2章椭圆问题惩罚形式的间断有限元方法19 2.1历史的回顾19 2.2惩罚方法的一般理论22 2.3相容方法26 2.4不相容方法32 2.5离散方程组的条件数34 2.6后验误差分析36 2.6.1后验误差上界估计36 2.6.2后验误差下界估计40 2.6.3数值算法41 2.7插值函数的超逼近性质43 2.7.1一维插值函数的超逼近性质43 2.7.2高维插值函数的超逼近性质47 2.8后处理技术与超收敛性55 2.8.1超逼近估计55 2.8.2i2-投影的后处理技术57 2.8.3导数小片插值恢复技术58 2.8.4整体插值后处理技术63 第3章椭圆相关问题的间断有限元方法67 3.1对流占优反应扩散方程67 3.1.1间断有限元格式67 3.1.2稳定性与误差分析68 3.1.3超收敛与后验误差估计71 3.2Stokes问题73 3.2.1线性速度-常数压力间断元74 3.2.2误差分析75 3.2.3高次间断有限元79 3.3椭圆变分不等式问题82 3.3.1问题及其间断有限元近似83 3.3.2*优误差估计与迭代求解84 3.4第二类椭圆变分不等式86 3.4.1问题及其正则化86 3.4.2间断有限元方法89 3.4.3先验误差估计90 3.4.4后验误差估计93 3.4.5数值计算例97 第4章数值通量形式的间断有限元方法99 4.1介绍99 4.2数值通量方法的基本公式100 4.3基本公式的理论分析103 4.4不稳定格式110 4.5广义局部间断有限元方法115 4.6对流扩散问题120 4.6.1迎风型间断有限元格式120 4.6.2误差分析122 4.6.3对流扩散反应方程127 4.7椭圆相关问题128 第5章一阶双曲方程的间断有限元方法131 5.1起源与历史发展131 5.2问题及其间断有限元格式133 5.3*优阶误差估计139 5.4三角元的超收敛估计141 5.5矩形元的超收敛估计145 5.5.1对流方向平行坐标轴情形145 5.5.2一般情形的矩形元147 5.6有关近似的超收敛估计151 5.6.1对流方向导数的后处理151 5.6.2负范数误差估计与均值逼近152 5.6.3数值计算例156 5.7后验误差分析157 5.7.1后验误差估计:特殊网格情形157 5.7.2后验误差估计：一般网格情形160 5.7.3后验误差下界估计166 5.7.4数值计算例166 5.8非定常问题167 5.8.1半离散间断有限元逼近168 5.8.2全离散间断有限元逼近169 5.8.3后验误差分析171 第6章一阶正对称双曲方程组的间断有限元方法177 6.1—阶正对称_方程组177 6.2拟迎风间断有限元方法182 6.2.1拟迎风格式及其稳定性182 6.2.2*优阶误差估计186 6.2.3负范数误差估计190 6.2.4数值计算例193 6.3惩罚形式的间断有限元方法195 6.4插值函数的超逼近性质198 6.4.1强正规三角剖分199 6.4.2几乎一致的矩形剖分203 6.5惩罚方法的超收敛估计208 6.5.1线性三角元208 6.5.2双线性矩形元209 6.6非定常问题210 6.6.1半离散间断有限元近似210 6.6.2全离散间断有限元近似212 6.7显式时空间断有限元方法213 6.7.1时空间断有限元格式及其稳定性214 6.7.2误差分析217 6.8半显式时空间断有限元格式220 6.8.1半显式格式220 6.8.2误差分析224 参考文献227 索引235 《信息与计算科学丛书》已出版书目237

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第1章预备知识 本章介绍Sobolev空间、有限元空间及其性质,并简要回顾椭圆问题的连续有限元方法.需要指出，本章中引进的形状正则剖分概念和局部投影逼近等是专门为间断有限元方法做准备的. 1.1Sobolev空间简介 设Rd为d维欧氏空间，为Rd中的有界区域.用

<00)表示所有定义在n上P次可积函数组成的集合，Lx(n)表示所有在n上本性有界的(即除去一个零测度集外是有界的）可测函数组成的集合,则按范数 为Banach空间；而12(叫为Hilbert空间，其内积定义 用Cm(/2)表示区域n上m次连续可微的函数组成的集合，C{n)表示n上无穷次可微函数组成的集合.记 并称之为函数u的支集？用CH/2)和分别表示由和中一切具有紧支集的函数组成的集合. 记区域上的偏微分算子…其中为非负整数，a=(ai,…，ad)称为d重指标，标记 定义1.1设LKn)为区域i?上的Lebesgue局部可积函数空间，uGL\oc{Q).如果存在veL\oc{Q)，使得则称是W的a阶广义导数，并记为v=Dau. 由变分法基本引理可知，广义导数若存在必**.又容易验证，若u的古典导数存在且属于(卬，则其广义导数存在且与古典导数一致.因此广义导数是古典导数的推广. 广义导数具有如下性质： (1)Da(au+bv)=aDau+bDav,a,b为常数； (2)Da+βu=Da{Dβu)\ (3)D{uv)=uDv+vDu; (4)Dau=0对一切|o|=m成立，当且仅当u几乎处处等于一个to-1次多项式？ 设m为非负整数，1

0,使得 现在对ueHm(f2),取序列{uk}CCm(n)使得由引理1.1知，{ljUk}是L2(dQ)中的Cauchy序列，故存在极限VjeL2(df2),显然Vj与hfc}的选取无关.现在定义ueH^{n)在dn上的迹： 迹嵌入定理设有界区域CRd具有m阶光滑的边界,uGHm{Q),则存在与U无关的常数使得 特别地， 此不等式（通常称有嵌入W^iQ)^Lp{dQ))只要求dn是Lipschitz连续的？由于Hr(n)是C^(fT)的完备化空间，则根据迹算子的定义可有 关于迹嵌入定理的更精确形式涉及分数次Sobolev空间/P间,s>0为任意实数.此时，对任意uGH1+S{Q),迹算子 ([s]表示不大于s的*大整数）有意义，并且特殊情况是：当S>o时,可有HS{Q)L2{dQ),并且迹算子的满映射（但不是对应的)，对任何,存在 (与7j有关)，使S且 (参见文献[1]定理7-53). *后介绍Sobolev空间中的两个常用的不等式. Poinccire不等式设CRd为有界区域，rCdQ,meas(r)>0，则存在常数C1,使得特别当ueWp(0)时，此不等式给出了空间中范数与半范数的等价性，此时可有内插不等式设DCRd为有界区域，边界dn是Lipschitz连续的，则存在常数C>0,使得进一步设,则有这两个内插不等式取自文献[6]和[14]. 1.3有限元空间及其性质 有限元方法是求解偏微分方程变分问题的一种近似方法.变分问题的近似方法实质上就是用有限维空间近似无穷维空间，从而将无穷维空间中求解的变分问题转化为一个有限维的近似问题.有限维近似空间的选取方法可以有多种，一种*常用的近似空间就是有限元空间，它是建立在区域剖分基础上满足一定约束条件的分片多项式空间.本节将介绍有限元空间的有关概念和知识. 1.3.1有限元空间 在有界区域12cRd上建立一个剖分将77分割为有限个具有Lipschitz连续边界的、互不重叠且内部非空的有界闭集之和，即77=U{^KgTh}.K称为剖分单元,h=max/ix称为剖分直径,hK=diam(AT)为单元直径. 定义1.4有限维空间Sh称为相应于剖分的有限元空间，如果 (1)对每一集合Pk={p：p=Vh\x,NVh&Sh}是K上的某~多项式函数类； (2)存在一个自由度集合 (即一组线性无关的线性泛函, 它通常由插值节点和插值条件来规定)，它是PK**可解的，即对任意给定的一组实数{aj,存在**的一个函数p￡Pk满足 (3)Sh中的函数在Q上具有一定的有界性或者光滑性，如ShCL2(Q),或者. 三元集合{K,PK,SK}称为一个有限元. 如果自由度集合SK中含有导数值插值条件，则称{&&，&}为Hermite型有限元;反之称为Lagrange型有限元.此外，当仅有ShCL2(0)时,称Sh为间断有限元空间；而当ShCCm(72)时,称Sh为连续有限元空间.此时,利用Green公式和广义导数定义,可推得如下结果： 下面给出两个*简单的有限元例子. 例1.1三角剖分情形.设区域CR2可分割为有限个三角形之和，则可建立区域的三角剖分Th=UW,K为三角单元.记为单元K上总次数不超过k的多项式集合，也即