书名：数理逻辑基础(下册)
定价：98.0
ISBN：9787030464224
作者：胡世华，陆钟万
版次：1
出版时间：2016-10

内容提要：
　　本书陈述数理逻辑的基础知识，包括逻辑演算的基本内容。这些内容构成数理逻辑各个分支(模型论、证明论和构造性数学、递归论、集合论)的共同的基础。
　　本书共六部分，分上、下两册。下册包括第三、四、五章和两个附录。第三章陈述逻辑演算的重言式系统，并研究自然推理系统和重言式系统的关系。第四章研究逻辑演算的可靠性和完备性问题。第五章讨论了逻辑演箅如何应用于陈述具体的数学理论，并且研究了在数学中引进定义的形式化问题。附录(一)陈述带量词的命题逻辑；附录(二)定义了斜形证明，并且证明了形式证明与斜形证明的等价关系。



目录：
目录
第三章 重言式 229
30 P的重言式系统 230
31 P*等的重言式系统 250
32 非古典命题逻辑的重言式系统 270
33 谓词逻辑的重言式系统 285
34 重言式系统和自然推理系统的关系 291
第四章 可靠性和完备性 300
40 赋值 300
41 恒真性和可真性 310
42 可靠性和协调性 319
43 命题逻辑的完备性 322
44 谓词逻辑的完备性（一） 327
45 谓词逻辑的完备性（二） 336
46 带等词的谓词逻辑的完备性 342
47 紧致性定理和勒文海姆-斯柯伦定理 349
48 独立性 350
第五章 形式数学系统 365
50 形式数学系统 365
51 初等代数 367
52 自然数 373
53 哥德尔不完备性定理 382
54 集 385
55 实数 393
56 应用重言式系统 399
57 形式符号定义 401
附录（一）命题量词 409
附录（二）斜形证明 412
符号汇编（下册） 429
参考文献 432

在线试读：
第三章 重言式
　　我们在第一章中构造了逻辑演算的自然推理系统。逻辑演算的自然推理系统是处理一般的形式推理关系的。重言式是可以从任何的形式前提推出，也就是可以从空的形式前提推出的合式公式。这是一类特殊的有重要意义的合式公式。由于在逻辑演算中有
　　所以，从技术上讲，一般的形式推理关系都可以在重言式中得到反映。在这个意义下，可以说，在逻辑演算中只要研究重言式，也就是研究重言式的推理关系就够了。
　　重言式可以用以下的方法处理，就是列出一些重言式作为形式公理，并给出一些形式推理规则，由它们能生成重言式的全体，并且所能生成的合式公式又都是重言式。这样构造的逻辑演算称为逻辑演算的重言式系统1）。在数理逻辑的历史发展中，首先构造起来的是逻辑演算的重言式系统，在其中通过重言式来处理形式推理关系。
　　重言式系统中的形式公理并不直接揭示出演绎推理的规则，它们的涵义并不都是直观而明显的。在重言式系统中证明形式定理、刻划演绎推理，是不直观、不自然的。因此，在数理逻辑的发展中，出现了一些较为直接地反映演绎推理的逻辑演算。厄尔勃朗2）1928证明的演绎定理就是比较直接地反映演绎推理的。以后在雅思柯夫斯基1）1934和根岑1934等著作中，也反映了这种趋势。又例如在克利尼1952中所构造的谓词逻辑系统，虽然仍然是重言式系统，但在其中定义了直接反映演绎推理的形式推理，这也反映了上面所说的趋势。因此，在本书中主要是构造了逻辑演算的自然推理系统。
　　在本章中，我们将陈述命题逻辑和谓词逻辑的重言式系统，介绍在数理逻辑的发展中积累起来的这方面的一部分内容（30-33），其中的基本部分（例如30中的系统[P]以及与[P]等价的若干系统如[P]0，[P]1，[P]2和习题30.6中的[P]5等，31中的[P*]，以及33中的[F*]等），对于数理逻辑的专业工作者来说，是应当了解的；其余的内容可以作为参考材料。本章中的练习可以适当做一部分，以获得大致的了解。本章的最后一节阐述了重言式系统与自然推理系统之间的关系。
　　逻辑演算的自然推理系统都有相应的重言式系统。例如P和F1，我们令[P]和[F1]分别是P和FI的重言式系统。
　　30 P的重言式系统
　　从本节起，我们要构造一系列的逻辑演算重言式系统，包括古典的和非古典的系统。
　　我们先来构造命题逻辑P的重言式系统[P]，和一些与之等价的系统。[P]是这样一个系统，在其中能够推导出P中的全部重言式，并且也只能推导出P的重言式。在本节中还要构造P的非古典系统PH和PM的重言式系统[PH]和[PM]，和一些同它们等价的系统。
　　我们先来构造[P]。[P]的符号和形成规则都与P的相同。我们曾作过的关于省略括号和使用点号，以及其它关于符号的各种约定，也都适用于[P]。
　　[P]有六个形式公理模式和一个形式推理规则模式：
　　其中A，B，C是任意的合式公式。
　　一合式公式是形式公理，当且仅当，它具有形式公理模式的形式。
　　例1 下面的[1]-[11]：
　　[1]
　　[2]
　　[3]
　　[4]
　　[5]
　　[6]
　　[7]
　　[8]
　　[9]
　　[10]
　　[11]
　　都是P中的形式公理，其中[1]-[3]都有（→1）的形式，[4]和[5]都有（→2）的形式，[6]和[7]都有（呻0）的形式，[8]和[9]都有（M）的形式，[10]有（H）的形式，[11]有（C）的形式。又如
　　[12]
　　[13]
　　[14]
　　[15]
　　[16]
　　[17]
　　[18]
　　其中的[12]和[13]都是形式公理，它们都有（→1）的形式。但[12]和[13]是模式，它们又都是模式（→1）的特殊形式。类似地，[14]-[18]也都是形式公理，并且都是模式，它们分别有，的形式。
　　[→]就是假言推理规则，它相当于自然推理系统中的蕴涵词消去律。
　　定义30.1（形式定理）A是[P]的形式定理，记作
　　当且仅当，A能由[P]的形式公理和形式推理规则生成，即A是[P]的形式公理或是由已生成的形式定理经应用[→]而得。
　　在生成形式定理A的过程中，我们得到一系列的形式定理，其中每个是形式公理或是由在它之前已生成的形式定理经应用[→]而得，并且An就是A。这个序列称为A的形式证明。
　　“形式公理”，“形式推理规则”，“形式定理”等名词中的“形式”二字可以省略。
　　我们可以把[P]的公理模式写成以下的形式：
　　对于其他的重言式系统，我们也像定义30.1那样，定义其中的形式定理和形式证明，并把公理模式写成上面的形式。
　　重言式系统与自然推理系统中的形式证明的区别在于，前者是合式公式的序列，所证明的形式定理是合式公式，后者是形式推理关系的序列，所证明的形式定理是形式推理关系。
　　定理30.1[P]：
　　[1]
　　[2]
　　[3]
　　[4]
　　[5]
　　[6]
　　[7]
　　[8]
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　　[12]
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　　定理还进一步要求：证明[1]-[12]时只用和；证明[21]-[35]时只用和；证明[41]-[43]时只用和。
　　我们下面的证明是按照定理中的各点要求作出的。读者可以进一步研究，如果不考虑这些要求，那么有些证明还可以简化，例