目录

●引子 微积分：人类精神的优选胜利
第1章 微积分思想的萌芽
一、自然的理性化运动：还原与分析
二、第一次数学危机：离散与连续
三、德谟克利特：“原子论”与不可分量
四、芝诺悖论：利用无穷否定运动
五、柏拉图：“数学原子论”
六、亚里士多德：否定瞬时运动
七、亚里士多德：承认潜无穷，否认实无穷
八、《几何原本》第五公设：巧妙规避无穷
九、阿基米德的“穷竭法”：“面”由“线”组成
十、无穷小与连续性的悖论
第2章 微积分产生的历史背景
一、千年的追问：拯救现象
二、自然的数学化运动：科学纲领的数学化
三、微积分产生的历史背景
四、开普勒的葡萄酒桶：新立体几何
五、伽利略：过程比原因重要
六、伽利略提出“加速度”与“瞬时速度”
七、伽利略对无穷的思考
八、真空与无穷小
九、一个精彩的论证：面由线构成
第3章 “不可分量法”：伟大的探索与创新
一、卡瓦列里：无穷的量之间能比较吗
二、“不可分量法”
三、一个非同寻常的证明
四、求曲线下方的面积
五、围绕“不可分量法”的斗争
六、托里拆利：不可分量具有宽度和厚度
七、“无限抛物线”的斜率
八、梅森学院：“不可分量法”的传播
九、康熙与路易十四：“国王的数学家”
第4章 微积分诞生前夜：巨人们的肩膀
一、笛卡儿：天花板上的苍蝇
二、培根：经验哲学
三、费马：趋向于零的增量
四、罗贝瓦尔：法国微积分发展三巨头之一
五、帕斯卡：蒙着眼睛做研究的人
六、惠更斯：莱布尼茨的数学老师
七、沃利斯：启发牛顿的人
八、霍布斯的责难：“符号的疮疤”
九、巴罗：点拨牛顿的人
第5章 微积分的根本思想：微积分基本定理
一、真传一句话、假传万卷书
二、微积分的核心概念：导数
三、导数的物理意义：从平均速度到瞬时速度
四、导数的几何意义：割线与切线的重合
五、导数的计算和定义：无穷小与极限
六、路程函数对时间的一阶导数：速度
七、路程函数对时间的二阶导数：加速度
八、微积分基本定理
九、积分后面出现的积分常数C
第6章 牛顿的微积分：流的瞬间
一、牛顿的流数术：“瞬”“流”“流数”
二、“动点成线”：牛顿求切线斜率的方法
三、“动线成面”：牛顿的微积分基本定理
四、牛顿的“运动”思想：“流动”的面积
五、牛顿第二定律：第一个伟大的微分方程
六、牛顿的综合：自然的原理是数学的
七、“牛顿主义”的产生
八、牛顿对西方文化的影响
第7章 莱布尼茨的直觉：从“差和分”到微积分
一、莱布尼茨：百科全书式的伟大学者
二、“单子论”哲学：自然从来不飞跃
三、“差和分”的互逆性
四、曲线下方的面积：微分是无穷细分的差分
五、从符号变换中“看出”基本定理
六、不是切线，是斜率
七、莱布尼茨的微积分：积分是微分的逆
八、形形色色的数学符号
九、牛顿和莱布尼茨的微积分有何不同
十、微积分创立优先权之争
第8章 第二次数学危机
一、微积分的基础是不严密的
二、贝克莱批评牛顿：导数是“消失的量的鬼魂”
三、贝克莱批评莱布尼茨：双重错误导致的正确
四、莱布尼茨的反驳与解释
五、欧拉：无穷小就是绝对零
六、达朗贝尔：从无限到极限
七、拉格朗日的悬赏：无穷，是吞没我们思想的深渊
八、伯努利兄弟：微积分名称的由来
第9章 微积分的严密化
一、高斯：数学真理存在于分析中
二、傅里叶级数：分析严密化的开端
三、柯西：用“极限”消灭“无穷小”
四、魏尔斯特拉斯：消灭直觉
五、导数是商的极限
六、微分与导数的区别
七、积分是和的极限
八、连续的函数不一定可导
第10章 微积分：十维文明的交响曲
一、定义无理数：戴德金分割
二、集合论：整个微积分理论的基础
三、康托尔的创新之殇
四、第一、第二次数学危机的解决
五、罗素悖论：第三次数学危机
六、哥德尔：“真”永远大于“证明”
七、微积分的哲学意义
八、微积分如何进入中国
九、微积分：十维文明的交响曲
十、微积分：人工智能大模型的数学基石
后记1 对中国数学教育的反思
后记2 中国科学教育需要“第四次科学启蒙”
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