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书名：直交函数级数的和
定价：79.0
ISBN：9787030284785
作者：陈建功
版次：1
出版时间：1954-10
内容提要：
本书是作者在多年研究与数学积累的基础上写成的专著。全书共7章，内容包括：就范直交函数系、三角级数、傅里叶级数的绝对收敛、傅里叶级数的正阶切萨罗平均法绝对求和、傅里叶级数的负阶切萨罗绝对求和、傅里叶级数之共辄级数的绝对收敛、超球面函数的拉普拉斯级数。
目录：
目录
绪论 1
第1章 就范直交函数系 6
1.1 直交函数级数的收敛及其(C，l)求和性 6
1.2 直交函数级数的里斯求和 12
1.3 就范直交系的勒贝格函数列 15
1.4 完备条件与帕塞瓦尔公式 20
第2章 三角级数 30
2.1 函数f(x)的傅里叶级数的切萨罗求和与f(x)功的平均函数 30
2.2 收敛问题 48
2.3 共辄级数的收敛 75
2.4 利普希茨函数的傅里叶级数之切萨罗求和 79
2.5 傅里叶级数之导级数的求和 80
第3章 铺里叶级数的绝对收敛 86
3.1 绝对收敛的三角级数所表示的函数族 86
3.2 傅里叶级数在一定点的绝对收敛 89
3.3 有界变差函数之傅里叶级数的绝对收敛 95
3.4 绝对收敛之一必要性 96
第4章 傅里叶级数的正阶切萨罗平均法绝对求和 98
4.1 有界变差之函数与切萨罗平均数列 98
4.2 哈代定理之一拓广及其应用于傅里叶级数的绝对求和 102
第5章 傅里叶级数的负阶切萨罗绝对求和 110
5.1 补助定理 112
5.2 幕级数的求和 118
5.3 负阶切萨罗求和的判定法 122
5.4 齐革蒙特定理之一拓广 124
5.5 再论负阶切萨罗绝对求和 125
第6章 傅里叶级数之共轭级数的绝对收敛 134
6.1 引言 134
6.2 函数韧Zβ(w) 137
6.3 关于级数与分数次积分的预备事项 143
6.4 有界变差的奇函数之傅里叶级数 144
6.5 函数的性质 145
6.6 函数与级数148
6.7 定理3中条件的重要性 152
6.8 共辄级数的负阶切萨罗求和 158
6.9 把波三桂的定理推广到切萨罗负阶求和 161
第7章 超球面函数的拉普拉斯级敢 163
7.1 当时，以(C，k):求和法求拉普拉斯级数的和 167
7.2 当时，以(C,k)求和法的拉普拉斯级数的和 172
7.3 p-2是临界的阶 173
参考文献 177
在线试读：
绪论
本篇是陈建功从1928年到1953年关于直交函数傅里叶级数的研究汇辑所成。大部分已经发表在中外杂志E其中只有一节是未曾发表过的。已经发表过的结果也有不采入此篇的。
设E是由点z所成之一集，是在E上所定义之一函数；λ是参数，其可取值的范围是A。点集E可以为线性集，也可以为p度空间中的集。关于E，设有解析的运算子U，使和都有一定的数值，但λ和都属于A。假如对于A中任何λ，都成立，那么称关于U成一直交系。
假如对于A中任何λ，等式常成立，则称是一就范的直交系。
在本篇中，所研究的直交系，是具有种种形态的。
在第1章中，专论有限区间(a，b)上的舰直交系，此时U的意义是利用傅比尼之一定理，证明了孟孝夫()和拉德马赫()的收敛定理；本篇中的证明，比较原来的，要简单些。此收敛定理是与求和定理在逻辑上是等价的。等价的证明，是写在1.1节；求和定理是由孟孝夫、波尔根(Borgen)、喀司马次()各自独立发明的。在1.1节中，作者又证明了关于直交函数级数之部分和的一个收敛定理。在1.2节，作者批判了齐革蒙特关于级数的里斯求和定理。在1.3节，作者估计直交函数系的勒贝格函数列，得着良好的结果：
斯捷克洛夫证明：设在(a，b)上的就范直交函数系问对于任何多项式p(X)成立着帕塞瓦尔的公式则此系一定是完备的。大马金()另有关于完备性的条件，1.4节证明着简单且一般的完备性条件，从这些条件立刻可以导出大马金和斯捷克洛夫的定理。在1.5节中，作者又将孟孝夫的不等式拓广成里斯与豪斯多夫的形式：
第2章专论傅里叶级数与其共辄级数的收敛问题设，对于克罗内克()的极限作者给它一个充足条件，这是固定z的话。固定了x，作者又作f的平均函数：例建立着如下的定理：假如，且对于某一，函数在上依勒贝格(Lebesgue)的意义可以积分，则在z收敛。假如的当t→0时没有极限，那么鸣。)虽可积分，级数均不可能用切萨罗()的方法求其和。k若增大，则定理可以应用的范围亦较广。但是这些判定法，并不包含关于函数的傅里叶级数在t=O的收敛定理。这些事情，详述在2.2节。在2.3节，作者拓广了米斯拉(Misra)对于共辄级数的收敛定理；这个拓广的定理，是与傅里叶级数的格根(Gergen)判定法相当的。在2.4节，作者叙述了三个定理，都是关于利普希茨函数之傅里叶级数的(C，β)求和的；其中的一个定理是：假如有界变差的函数I(x)属于，那么当时，的傅里叶级数可用(C，β)平均法求其和。证明移在第5章中。在2.5节，作者拓广了普里瓦洛夫且关于导级数求和的一个定理。
第3章是专讲傅里叶级数的绝对收敛。在3.1节，作者指出了绝对收敛三角级数的特征，定理如下：三角级数处处绝对收敛的充要条件是：是如下的形式的函数的傅里叶级数，但傅里叶级数在一定点的绝对收敛性是有关于整个函数的，并非f(t)在此定点近旁之一局部性。但是假如f(t)的傅里叶级数与其共辄级数都在同一点绝对收敛，则两级数处处绝对收敛。利用此事实，在3.3节，作者证明了如下的定理：设是一有界变差的连续函数。假如
存在着一点，使那么，处处绝对收敛。置，两条件含有。此定理的证明和它的拓广都详言在3.2节。固定x，当时，t的函数。
在中是有界变差的，但是p(t)是全连续函数，且在(0，π)上依勒贝格的意义可以积分。这是对于绝对收敛之一必要条件，详见3.4节。
第4章的主要论题是傅里叶级数在一定点用正阶切萨罗平均法求和。在4.1节，作者证明：假如平均函数例如在(0，n)上是有界变差，那么，但此定理当是一古典的结果。假如柯西(Cauchy)积分绪论存在且，那么当α>2时，可用绝对切萨罗平均法求它的和；就是说，级数绝对收敛。这个定理还可扩充，减轻条件而增*。详见4.2节。
第5章专论傅里叶级数关于负阶的切萨罗平均法的绝对求和。某级数当用求和法可以求和的话，那么它也可用求和法求其和。此定理当α>0时，是熟知的事实。对于时，作者给它一个证明，这个证明，似乎是新的。本章中有些议论依赖着罪级数的性质，因此对于罪级数一一在其收敛圆周上一一的，求和，首先证明几个定理，然后从幕级数的定理导出关于傅里叶级数的定理。
第6章是对于傅里叶级数的共辄级数，研究它的切萨罗绝对可求和性。比较傅里叶级数的议论，肯定的要复杂一些。例如在3.2节中，证有如下的定理：若函数在中为有界变差，则f(t)的傅里叶级数当t=x时绝对收敛。但是，置时，两个条件。和；拟并不含有共辄级数在点Z的绝对收敛性。
设p是大于3的一个整数，事级数展开中的系数在超球面上成一直交函数系，此时运算子U为，表示S的曲面元素考革贝脱良兹(Kogbetliantz)曾在普通的球面上研究了超球面函数级数的性质。第7章则在超球面S上研讨超球面函数级数一一拉普拉斯级数一一的切萨罗可求和性。
第1章 就范直交函数系
1.1 直交函数级数的收敛及其(C，l)求和性①
1.设是一实数数列，是区间上之一就范直交画数系，关于直交函数级数我们有己知的两个定理：
(A)孟孝夫与拉德马赫的收敛定理：若级数收敛，则级数(1)在(0，1)中几乎处处收敛
(B)孟孝夫、披尔根和喀司马次的求和定理：若级数收敛，则级数(1)几乎处处可用算术平均法求它的和飞从表现上看来，(A)和(B)是绝然不同的两个事实，但是我们容易从(A)导出
(B)，从(B)导出(A)。这就是说：
定理1 两定理(A)和(B)是等价的。
事实上，(A)和(B)都同下面的定理等价：
(C)置。若级数收敛，则函数列在(0，1)中几乎处处收敛。
定理(C)在波尔根和喀司马次的论文中都有证明。
2.收敛定理与求和定理的等价。为了理论的完备起见，作者把定理(A)重新证明。这何正明，比较原来的要简单些。其次，证明了(A)和(C)的等价性；又其次，证明(B)和(A)的等价性；*后证明了下面的
定理2 若级数收敛，则必有如下的正整数列，
定价：79.0
ISBN：9787030284785
作者：陈建功
版次：1
出版时间：1954-10
内容提要：
本书是作者在多年研究与数学积累的基础上写成的专著。全书共7章，内容包括：就范直交函数系、三角级数、傅里叶级数的绝对收敛、傅里叶级数的正阶切萨罗平均法绝对求和、傅里叶级数的负阶切萨罗绝对求和、傅里叶级数之共辄级数的绝对收敛、超球面函数的拉普拉斯级数。
目录：
目录
绪论 1
第1章 就范直交函数系 6
1.1 直交函数级数的收敛及其(C，l)求和性 6
1.2 直交函数级数的里斯求和 12
1.3 就范直交系的勒贝格函数列 15
1.4 完备条件与帕塞瓦尔公式 20
第2章 三角级数 30
2.1 函数f(x)的傅里叶级数的切萨罗求和与f(x)功的平均函数 30
2.2 收敛问题 48
2.3 共辄级数的收敛 75
2.4 利普希茨函数的傅里叶级数之切萨罗求和 79
2.5 傅里叶级数之导级数的求和 80
第3章 铺里叶级数的绝对收敛 86
3.1 绝对收敛的三角级数所表示的函数族 86
3.2 傅里叶级数在一定点的绝对收敛 89
3.3 有界变差函数之傅里叶级数的绝对收敛 95
3.4 绝对收敛之一必要性 96
第4章 傅里叶级数的正阶切萨罗平均法绝对求和 98
4.1 有界变差之函数与切萨罗平均数列 98
4.2 哈代定理之一拓广及其应用于傅里叶级数的绝对求和 102
第5章 傅里叶级数的负阶切萨罗绝对求和 110
5.1 补助定理 112
5.2 幕级数的求和 118
5.3 负阶切萨罗求和的判定法 122
5.4 齐革蒙特定理之一拓广 124
5.5 再论负阶切萨罗绝对求和 125
第6章 傅里叶级数之共轭级数的绝对收敛 134
6.1 引言 134
6.2 函数韧Zβ(w) 137
6.3 关于级数与分数次积分的预备事项 143
6.4 有界变差的奇函数之傅里叶级数 144
6.5 函数的性质 145
6.6 函数与级数148
6.7 定理3中条件的重要性 152
6.8 共辄级数的负阶切萨罗求和 158
6.9 把波三桂的定理推广到切萨罗负阶求和 161
第7章 超球面函数的拉普拉斯级敢 163
7.1 当时，以(C，k):求和法求拉普拉斯级数的和 167
7.2 当时，以(C,k)求和法的拉普拉斯级数的和 172
7.3 p-2是临界的阶 173
参考文献 177
在线试读：
绪论
本篇是陈建功从1928年到1953年关于直交函数傅里叶级数的研究汇辑所成。大部分已经发表在中外杂志E其中只有一节是未曾发表过的。已经发表过的结果也有不采入此篇的。
设E是由点z所成之一集，是在E上所定义之一函数；λ是参数，其可取值的范围是A。点集E可以为线性集，也可以为p度空间中的集。关于E，设有解析的运算子U，使和都有一定的数值，但λ和都属于A。假如对于A中任何λ，都成立，那么称关于U成一直交系。
假如对于A中任何λ，等式常成立，则称是一就范的直交系。
在本篇中，所研究的直交系，是具有种种形态的。
在第1章中，专论有限区间(a，b)上的舰直交系，此时U的意义是利用傅比尼之一定理，证明了孟孝夫()和拉德马赫()的收敛定理；本篇中的证明，比较原来的，要简单些。此收敛定理是与求和定理在逻辑上是等价的。等价的证明，是写在1.1节；求和定理是由孟孝夫、波尔根(Borgen)、喀司马次()各自独立发明的。在1.1节中，作者又证明了关于直交函数级数之部分和的一个收敛定理。在1.2节，作者批判了齐革蒙特关于级数的里斯求和定理。在1.3节，作者估计直交函数系的勒贝格函数列，得着良好的结果：
斯捷克洛夫证明：设在(a，b)上的就范直交函数系问对于任何多项式p(X)成立着帕塞瓦尔的公式则此系一定是完备的。大马金()另有关于完备性的条件，1.4节证明着简单且一般的完备性条件，从这些条件立刻可以导出大马金和斯捷克洛夫的定理。在1.5节中，作者又将孟孝夫的不等式拓广成里斯与豪斯多夫的形式：
第2章专论傅里叶级数与其共辄级数的收敛问题设，对于克罗内克()的极限作者给它一个充足条件，这是固定z的话。固定了x，作者又作f的平均函数：例建立着如下的定理：假如，且对于某一，函数在上依勒贝格(Lebesgue)的意义可以积分，则在z收敛。假如的当t→0时没有极限，那么鸣。)虽可积分，级数均不可能用切萨罗()的方法求其和。k若增大，则定理可以应用的范围亦较广。但是这些判定法，并不包含关于函数的傅里叶级数在t=O的收敛定理。这些事情，详述在2.2节。在2.3节，作者拓广了米斯拉(Misra)对于共辄级数的收敛定理；这个拓广的定理，是与傅里叶级数的格根(Gergen)判定法相当的。在2.4节，作者叙述了三个定理，都是关于利普希茨函数之傅里叶级数的(C，β)求和的；其中的一个定理是：假如有界变差的函数I(x)属于，那么当时，的傅里叶级数可用(C，β)平均法求其和。证明移在第5章中。在2.5节，作者拓广了普里瓦洛夫且关于导级数求和的一个定理。
第3章是专讲傅里叶级数的绝对收敛。在3.1节，作者指出了绝对收敛三角级数的特征，定理如下：三角级数处处绝对收敛的充要条件是：是如下的形式的函数的傅里叶级数，但傅里叶级数在一定点的绝对收敛性是有关于整个函数的，并非f(t)在此定点近旁之一局部性。但是假如f(t)的傅里叶级数与其共辄级数都在同一点绝对收敛，则两级数处处绝对收敛。利用此事实，在3.3节，作者证明了如下的定理：设是一有界变差的连续函数。假如
存在着一点，使那么，处处绝对收敛。置，两条件含有。此定理的证明和它的拓广都详言在3.2节。固定x，当时，t的函数。
在中是有界变差的，但是p(t)是全连续函数，且在(0，π)上依勒贝格的意义可以积分。这是对于绝对收敛之一必要条件，详见3.4节。
第4章的主要论题是傅里叶级数在一定点用正阶切萨罗平均法求和。在4.1节，作者证明：假如平均函数例如在(0，n)上是有界变差，那么，但此定理当是一古典的结果。假如柯西(Cauchy)积分绪论存在且，那么当α>2时，可用绝对切萨罗平均法求它的和；就是说，级数绝对收敛。这个定理还可扩充，减轻条件而增*。详见4.2节。
第5章专论傅里叶级数关于负阶的切萨罗平均法的绝对求和。某级数当用求和法可以求和的话，那么它也可用求和法求其和。此定理当α>0时，是熟知的事实。对于时，作者给它一个证明，这个证明，似乎是新的。本章中有些议论依赖着罪级数的性质，因此对于罪级数一一在其收敛圆周上一一的，求和，首先证明几个定理，然后从幕级数的定理导出关于傅里叶级数的定理。
第6章是对于傅里叶级数的共辄级数，研究它的切萨罗绝对可求和性。比较傅里叶级数的议论，肯定的要复杂一些。例如在3.2节中，证有如下的定理：若函数在中为有界变差，则f(t)的傅里叶级数当t=x时绝对收敛。但是，置时，两个条件。和；拟并不含有共辄级数在点Z的绝对收敛性。
设p是大于3的一个整数，事级数展开中的系数在超球面上成一直交函数系，此时运算子U为，表示S的曲面元素考革贝脱良兹(Kogbetliantz)曾在普通的球面上研究了超球面函数级数的性质。第7章则在超球面S上研讨超球面函数级数一一拉普拉斯级数一一的切萨罗可求和性。
第1章 就范直交函数系
1.1 直交函数级数的收敛及其(C，l)求和性①
1.设是一实数数列，是区间上之一就范直交画数系，关于直交函数级数我们有己知的两个定理：
(A)孟孝夫与拉德马赫的收敛定理：若级数收敛，则级数(1)在(0，1)中几乎处处收敛
(B)孟孝夫、披尔根和喀司马次的求和定理：若级数收敛，则级数(1)几乎处处可用算术平均法求它的和飞从表现上看来，(A)和(B)是绝然不同的两个事实，但是我们容易从(A)导出
(B)，从(B)导出(A)。这就是说：
定理1 两定理(A)和(B)是等价的。
事实上，(A)和(B)都同下面的定理等价：
(C)置。若级数收敛，则函数列在(0，1)中几乎处处收敛。
定理(C)在波尔根和喀司马次的论文中都有证明。
2.收敛定理与求和定理的等价。为了理论的完备起见，作者把定理(A)重新证明。这何正明，比较原来的要简单些。其次，证明了(A)和(C)的等价性；又其次，证明(B)和(A)的等价性；*后证明了下面的
定理2 若级数收敛，则必有如下的正整数列，