常微分方程（普通高等学校数学系列教材）

作者：杨云雁

书号：336121

定价：￥38 元

字数：240 千字

印次：1-1

开本：16

出版时间：2025-01-20

ISBN：978-7-300-33612-1

包装：平

内容简介

本教材基于作者多年在中国人民大学数学学院、统计学院、信息学院等院系为本科生讲授常微分方程课程的讲义，参考国内外同类教材编写而成。系统介绍了常微分方程的基本理论和基本方法，主要内容包括常微分方程的基本概念、一阶微分方程的初等解法、微分方程解的存在唯一性定理、高阶微分方程、线性微分方程组、微分方程组解的稳定性等。

本教材具有如下特色：

第一，针对大部分高校本门课程课时短、要求高的痛点，本教材用简单直接的方式介绍常微分方程的主要问题和求解方法，对每种求解方法都配有充足的例题，教师在准备教案时可选用其中的一部分，其余的留给读者自学。

第二，关于理论部分，虽然解的存在唯一性定理的证明很重要，但我们更强调对它的直观理解和灵活运用。对于非线性微分方程的稳定性理论，由于课时的限制，我们只介绍最基本的理论和方法。

第三，打开读者的思路，使读者学会如何用以往学过的数学分析和高等代数知识解决微分方程问题，为将来进一步的学习做准备。在求解微分方程时，有时会给出不同的解法，而这些解法大都基于认真的观察。

第四，我国的常微分方程研究始于20世纪中叶，很多数学家在这一领域做出了重要贡献，我们收集整理了这方面的材料供读者阅读。这些阅读材料将有助于培养读者对这门课的兴趣，积极进取、勇攀高峰的精神，以及为国争光的自豪感和自信心。

作者介绍

杨云雁 中国人民大学数学学院教授，博士生导师。主讲过《数学分析》《常微分方程》《微分流形》等本科生课程。主要研究方向：几何不等式及其在偏微分方程中的应用。近年来与合作者利用变分方法研究图上非线性方程解的存在性问题，目前已发表（含合作发表）学术论文80余篇，其中部分发表在国际知名期刊Adv. Math., Trans. Amer. Math. Soc., J. Funct. Anal., J. Differential Equations，Calc. Var. PDE等。曾获教育部2008年度新世纪优秀人才支持计划。

目 录

第 1 章 绪 论

1.1 一阶常微分方程

1.2 常微分方程组和高阶常微分方程

第 2 章 一阶微分方程的初等解法

2.1 分离变量法

2.1.1 变量分离方程

2.1.2 可化为变量分离方程的类型

2.2 常数变易法

2.3 恰当微分方程

2.3.1 恰当微分方程

2.3.2 积分因子

2.4 隐式微分方程

2.4.1 可以解出 x 或 t 的方程

2.4.2 不显含 x 或 t 的方程

第 3 章 解的存在唯一性定理

3.1 存在唯一性定理

3.2 解的延拓定理

3.3 解的最大存在区间估计

3.4 解对初值的连续可微性

3.4.1 解对初值的连续性

3.4.2 解对初值的可微性

第 4 章 高阶微分方程

4.1 线性微分方程的一般理论

4.1.1 解的存在唯一性定理

4.1.2 线性齐次微分方程解空间的结构

4.1.3 线性非齐次微分方程解空间的结构

4.1.4 常数变易法

4.2 常系数线性微分方程

4.2.1 微分方程的复值解

4.2.2 常系数线性齐次微分方程

4.3 常系数线性非齐次微分方程的解法

4.3.1 比较系数法

4.3.2 拉普拉斯变换法

4.4 一般高阶微分方程的若干解法

4.4.1 可降阶的方程类型

4.4.2 幂级数解法

第 5 章 线性微分方程组

5.1 解的存在唯一性

5.1.1 高阶微分方程转化为微分方程组

5.1.2 存在唯一性定理

5.2 线性微分方程组的一般理论

5.2.1 线性齐次微分方程组

5.2.2 线性非齐次微分方程组

5.3 常系数线性微分方程组

5.3.1 矩阵指数与基解矩阵

5.3.2 特征根法

5.3.3 拉普拉斯变换法

第 6 章 微分方程组解的稳定性

6.1 李雅普诺夫稳定性的概念

6.2 李雅普诺夫稳定性的判别法

6.2.1 线性齐次微分方程组零解的稳定性

6.2.2 非线性微分方程组零解的稳定性

6.3 李雅普诺夫第二方法

6.3.1 自治微分方程组的李雅普诺夫第二方法

6.3.2 非自治微分方程组的李雅普诺夫第二方法

参考文献

精彩样章

第 1 章介绍了常微分方程的基本概念, 并给出了一些简单的例子, 读者可以通过这些例子体会常微分方程是什么, 以及求解常微分方程的整个过程. 最后我们提供了关于希尔伯特第十六问题的拓展阅读, 介绍了 20 世纪常微分方程的研究主题.

第 2 章介绍了一阶常微分方程的各种求解方法, 例如分离变量法、常数变易法、通过求积分因子将微分方程化为恰当微分方程, 以及隐式微分方程的求解. 我们强调对微分方程具体形式的认真观察和这些求解方法的灵活运用. 本章的拓展阅读介绍了叶颜谦教授对我国常微分方程研究事业的开创性贡献.

第 3 章主要研究了一阶常微分方程初值问题解的存在唯一性、解的延拓和存在区间、解对初值和参数的光滑性等. 这里最基础的是解的存在唯一性定理, 从条件与结论到证明方法, 读者都要反复阅读、仔细体会. 在最后的拓展阅读中, 我们介绍了著名数学家陈维桓教授早年对积分因子存在性的一个初等证明.

第 4 章介绍了高阶线性微分方程的一般理论 (包括解的存在唯一性、解空间的结构等)以及一些具体解法, 如线性非齐次微分方程的常数变易法、常系数线性齐次微分方程的特征根法、常系数线性非齐次微分方程的比较系数法和拉普拉斯变换法、一些特殊的线性微分方程的降阶法和幂级数解法. 本章的理论部分与方程的具体求解方法同等重要. 在最后的拓展阅读中, 我们介绍了另一位对我国常微分方程研究事业做出重大贡献的数学家张芷芬教授.

第 5 章研究了一阶线性微分方程组的一般理论和常系数线性微分方程组的求解方法.由于本章与高阶线性微分方程的知识体系相似, 读者学习时应注意与第 4 章相应知识点的比较. 最后, 我们介绍了我国近现代常微分方程领域的著名数学家.

与线性常微分方程不同, 非线性常微分方程一般没有显式解, 如何从方程本身的结构出发判断解的性态问题即为常微分方程的稳定性和定性理论. 第 6 章介绍了常微分方程组解的李雅普诺夫稳定性的概念, 并给出了稳定性的基本判别方法.