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书名：信息光学教程（第二版）
定价：59.0
ISBN：9787030513434
作者：李俊昌，熊秉衡,等
版次：1
出版时间：2017-01
在线试读：
第1章 数学预备知识
光是电磁波，光波的传播满足麦克斯韦方程．基于麦克斯韦方程并利用标量衍射理论研究光信息的产生、传播、获取、处理及应用，是信息光学的基本研究内容．在标量衍射的理论框架下，光波在介质空间及不同形式光学系统中的传播可以视为二维信息通过线性系统的过程．由于载有信息的光波场的表述涉及一些重要的数学函数，光波通过线性系统时受到的变换涉及基本的数学工具——傅里叶变换，光信息的数字化处理还涉及对光波场的合理离散及取样问题．因此，作为学习信息光学的数学预备知识，本章对常用的数学函数、二维傅里叶变换、二维线性系统以及取样定理进行介绍．
1.1 常用的几种非初等函数
1.1.1 矩形函数
宽度为a( a>0)、中心在x0 的一维矩形函数定义为
(1-1-1)
图1-1-1 是该函数的图像．
图1-1-1 中心在x0、宽度为a的一维矩形函数
当用x代表时间变量时，可以用一维矩形函数来描述照相机的快门，这时式(1-1-1) 中的a 就表示曝光时间；当用x代表空间变量时，可以用该函数表示无限大不透明屏上一个宽度为a的狭缝的透过率．
二维矩形函数可用以两个一维矩形函数的乘积表示：
(1-1-2)
它表示xOy平面上以点(x0, y0 )为中心的ab矩形区域内矩形函数取值为1，其他地方处处等于0，如图1-1-2 所示为中心在原点、宽度为ab的二维矩形函数示意图．
图1-1-2 中心在原点、宽度为ab的矩形函数
二维矩形函数可用来描述无限大不透明屏上矩形孔的透过率，用它与某函数(或图像)相乘，可以截取出矩形孔范围内的函数值，其他位置处赋予零值．图1-1-3 描述了一幅二维图像的截取过程．图1-1-3(b)中用黑色代表零，白色代表1，图1-1-3(c)给出截取结果．三幅图像的数学描述可以分别写为
图1-1-3(a)：
图1-1-3(b)：
图1-1-3(c)：
图1-1-3 矩形函数截取二维图像的过程
1.1.2 sinc 函数
一维sinc 函数定义为
(1-1-3)
该函数在原点处有*大值1，而在x=±na(n=1,2,3, …) 处的值等于0，其函数图形如图1-1-4 所示，原点两侧第*级零点之间的宽度(称为sinc 函数的主瓣宽度)为2a，并且它的面积(包括正波瓣和负波瓣)刚好等于a．
二维sinc函数定义为
(1-1-4)
该函数是两个一维sinc函数的乘积，零点位置在均为正整数．
对光波衍射研究中将看到，一维sinc函数表示单缝(即一维矩形函数)的夫琅禾费衍射的振幅分布，二维sinc函数可以表示矩孔(即二维矩形函数)的夫琅禾费图1-1-4一维sinc函数图像衍射的振幅分布，其平方则表示衍射的光强分布图样．图1-1-5(a)、(b) 分别给出二维sinc函数平方的三维曲线及二维强度分布图像，这两幅图像是用书附MATLAB 语言编写的程序LXM1.m绘出的．由于使用MATLAB语言编程不但能绘出不同形式的函数图像，而且能方便地进行科学计算，本书的后续章节将根据教学内容的需要，使用MATLAB进行信息光学物理过程的计算及仿真显示．
图1-1-5 中心在(50,50)、瓣宽20×20的二维sinc 函数平方值分布图像
1.1.3 阶跃函数
一维阶跃函数定义为
(1-1-5)
其函数图形如图1-1-6 所示．
该函数在原点x=0处有一个间断点，取值为12，因此在这种情况下讨论函数的宽度是没有意义的．将一维阶跃函数与某函数相乘时，在x>0的部分，乘积等于该函数值：在x<0的部分，乘积恒等于0，因而一维阶跃函数的作用如同一个“开关”，可在原点处“开启”或“关闭” 另一个函数，而实际应用中该开关点也可以选在非原点处，用它乘某函数(或图像)可使开关点一侧的函数保留原值，另一侧则赋予零值．开关点处取函数值的一半，但图1-1-6中心在原点的一维阶跃函数在图像处理中这只是对应整幅图像上的一个取值点，通常无关紧要．二维阶跃函数定义为
(1-1-6)
二维阶跃函数在y方向上等于常数，而在x方向上等同于一维阶跃函数，即相当于一维阶跃函数在y方向上延伸．参照图1-1-3 ，这种函数可以用来描述光学直边(或刀口)的透过率．
1.1.4 符号函数
一维符号函数定义为
(1-1-7)
其函数图形如图1-1-7 所示．
图1-1-7 a>0及a<0时中心在原点的符号函数示意图
符号函数sgn(x)与某函数相乘，可使被乘的函数以某点为界，此点一侧的函数值极性发生翻转．在实际应用中，如可用于表示某光学孔径的一半嵌有π相位板，与另一半的相位相反，符号函数描述该光学孔径的负振幅透过率．
1.1.5 三角函数
一维三角函数定义为
(1-1-8)
该函数表示底边宽度为2a、高度为1 的三角形，函数图形如图1-1-8 所示．二维三角形函数定义为
(1-1-9)
式中，a>0,b>0 ．该函数可视为两个一维三角函数的乘积，其函数图形如图1-1-9 所示．
图1-1-8 中心在原点、宽度为a的一维三角函数
图1-1-9 ×的二维三角函数
在本书关于光学成像的讨论中将看到，二维三角形函数可用来表示一个光瞳为矩形的非相干成像系统的光学传递函数(optical transfer function，OTF)．
1.1.6 高斯函数
一维高斯函数定义为
(1-1-10)
式中a>0，函数图形如图1-1-10 所示，通常将π称为高斯函数半径．当时，函数值变为1/e．
二维高斯函数定义为
(1-1-11)
通常用二维高斯函数表述基横模激光束在垂直于传播方向的振幅分布．由于光波场强度与振幅平方成正比，功率为P0、半径为w 的高斯光束的强度分布为
(1-1-12)
式中，为归一化因子．容易证明，上述表达式在xy平面的积w分值为P0．
高斯函数是光滑函数，且各阶导数都是连续的．在傅里叶变换研究中将看到，高斯函数的傅里叶变换也是图1-1-10 中心在原点的一维高斯函数高斯函数．
1.1.7 圆域函数
圆域函数通常用于极坐标中涉及圆孔衍射问题的计算，在极坐标及直角坐标系中的定义分别如下：
(1-1-13)
不透明屏xy上中心在(x0，y0)、半径为a 的圆孔的透过率可以表示为
圆域函数的图像绘于图1-1-11．
1.1.8 狄拉克δ函数
1. δ函数的定义
狄拉克δ函数(简称δ函数)用于描述脉冲这一类物理现象，如单位能量的瞬间电脉冲可用时间为变量的δ(t)来描述；空间变量的δ函数可以表述单位电量点电荷的电流密度以及单位质量质点的质量密度．在信息光学研究中，空间变量的δ函数通常用于表示单位光通量的点光源．这些物理量的特点在数学上可抽象为在脉冲所在点之外其值为零，而包含脉图1-1-11 圆域函数的图像冲所在点在内的任意范围的积分等于1．数学上将具有这种性质的函数定义为δ函数．定义δ函数的数学表达式有多种，以下导出其中一种表达式．
分析函数序列fN (x)=Nrect (Nx )(N=1,2,3,…)当N逐渐增大时的情况．图1-1-12给出了N=1,2,4 时的函数图像．由图可见，当N逐渐变大时，函数不为零的范围逐渐变小，而在此范围内的函数值却逐渐变大．不难想象，当N增大至无穷时，函数的值将也增到无穷大，但无论如何，函数曲线与横轴围成的面积始终为1．于是，利用矩形函数可以将δ函数定义为
定价：59.0
ISBN：9787030513434
作者：李俊昌，熊秉衡,等
版次：1
出版时间：2017-01
在线试读：
第1章 数学预备知识
光是电磁波，光波的传播满足麦克斯韦方程．基于麦克斯韦方程并利用标量衍射理论研究光信息的产生、传播、获取、处理及应用，是信息光学的基本研究内容．在标量衍射的理论框架下，光波在介质空间及不同形式光学系统中的传播可以视为二维信息通过线性系统的过程．由于载有信息的光波场的表述涉及一些重要的数学函数，光波通过线性系统时受到的变换涉及基本的数学工具——傅里叶变换，光信息的数字化处理还涉及对光波场的合理离散及取样问题．因此，作为学习信息光学的数学预备知识，本章对常用的数学函数、二维傅里叶变换、二维线性系统以及取样定理进行介绍．
1.1 常用的几种非初等函数
1.1.1 矩形函数
宽度为a( a>0)、中心在x0 的一维矩形函数定义为
(1-1-1)
图1-1-1 是该函数的图像．
图1-1-1 中心在x0、宽度为a的一维矩形函数
当用x代表时间变量时，可以用一维矩形函数来描述照相机的快门，这时式(1-1-1) 中的a 就表示曝光时间；当用x代表空间变量时，可以用该函数表示无限大不透明屏上一个宽度为a的狭缝的透过率．
二维矩形函数可用以两个一维矩形函数的乘积表示：
(1-1-2)
它表示xOy平面上以点(x0, y0 )为中心的ab矩形区域内矩形函数取值为1，其他地方处处等于0，如图1-1-2 所示为中心在原点、宽度为ab的二维矩形函数示意图．
图1-1-2 中心在原点、宽度为ab的矩形函数
二维矩形函数可用来描述无限大不透明屏上矩形孔的透过率，用它与某函数(或图像)相乘，可以截取出矩形孔范围内的函数值，其他位置处赋予零值．图1-1-3 描述了一幅二维图像的截取过程．图1-1-3(b)中用黑色代表零，白色代表1，图1-1-3(c)给出截取结果．三幅图像的数学描述可以分别写为
图1-1-3(a)：
图1-1-3(b)：
图1-1-3(c)：
图1-1-3 矩形函数截取二维图像的过程
1.1.2 sinc 函数
一维sinc 函数定义为
(1-1-3)
该函数在原点处有*大值1，而在x=±na(n=1,2,3, …) 处的值等于0，其函数图形如图1-1-4 所示，原点两侧第*级零点之间的宽度(称为sinc 函数的主瓣宽度)为2a，并且它的面积(包括正波瓣和负波瓣)刚好等于a．
二维sinc函数定义为
(1-1-4)
该函数是两个一维sinc函数的乘积，零点位置在均为正整数．
对光波衍射研究中将看到，一维sinc函数表示单缝(即一维矩形函数)的夫琅禾费衍射的振幅分布，二维sinc函数可以表示矩孔(即二维矩形函数)的夫琅禾费图1-1-4一维sinc函数图像衍射的振幅分布，其平方则表示衍射的光强分布图样．图1-1-5(a)、(b) 分别给出二维sinc函数平方的三维曲线及二维强度分布图像，这两幅图像是用书附MATLAB 语言编写的程序LXM1.m绘出的．由于使用MATLAB语言编程不但能绘出不同形式的函数图像，而且能方便地进行科学计算，本书的后续章节将根据教学内容的需要，使用MATLAB进行信息光学物理过程的计算及仿真显示．
图1-1-5 中心在(50,50)、瓣宽20×20的二维sinc 函数平方值分布图像
1.1.3 阶跃函数
一维阶跃函数定义为
(1-1-5)
其函数图形如图1-1-6 所示．
该函数在原点x=0处有一个间断点，取值为12，因此在这种情况下讨论函数的宽度是没有意义的．将一维阶跃函数与某函数相乘时，在x>0的部分，乘积等于该函数值：在x<0的部分，乘积恒等于0，因而一维阶跃函数的作用如同一个“开关”，可在原点处“开启”或“关闭” 另一个函数，而实际应用中该开关点也可以选在非原点处，用它乘某函数(或图像)可使开关点一侧的函数保留原值，另一侧则赋予零值．开关点处取函数值的一半，但图1-1-6中心在原点的一维阶跃函数在图像处理中这只是对应整幅图像上的一个取值点，通常无关紧要．二维阶跃函数定义为
(1-1-6)
二维阶跃函数在y方向上等于常数，而在x方向上等同于一维阶跃函数，即相当于一维阶跃函数在y方向上延伸．参照图1-1-3 ，这种函数可以用来描述光学直边(或刀口)的透过率．
1.1.4 符号函数
一维符号函数定义为
(1-1-7)
其函数图形如图1-1-7 所示．
图1-1-7 a>0及a<0时中心在原点的符号函数示意图
符号函数sgn(x)与某函数相乘，可使被乘的函数以某点为界，此点一侧的函数值极性发生翻转．在实际应用中，如可用于表示某光学孔径的一半嵌有π相位板，与另一半的相位相反，符号函数描述该光学孔径的负振幅透过率．
1.1.5 三角函数
一维三角函数定义为
(1-1-8)
该函数表示底边宽度为2a、高度为1 的三角形，函数图形如图1-1-8 所示．二维三角形函数定义为
(1-1-9)
式中，a>0,b>0 ．该函数可视为两个一维三角函数的乘积，其函数图形如图1-1-9 所示．
图1-1-8 中心在原点、宽度为a的一维三角函数
图1-1-9 ×的二维三角函数
在本书关于光学成像的讨论中将看到，二维三角形函数可用来表示一个光瞳为矩形的非相干成像系统的光学传递函数(optical transfer function，OTF)．
1.1.6 高斯函数
一维高斯函数定义为
(1-1-10)
式中a>0，函数图形如图1-1-10 所示，通常将π称为高斯函数半径．当时，函数值变为1/e．
二维高斯函数定义为
(1-1-11)
通常用二维高斯函数表述基横模激光束在垂直于传播方向的振幅分布．由于光波场强度与振幅平方成正比，功率为P0、半径为w 的高斯光束的强度分布为
(1-1-12)
式中，为归一化因子．容易证明，上述表达式在xy平面的积w分值为P0．
高斯函数是光滑函数，且各阶导数都是连续的．在傅里叶变换研究中将看到，高斯函数的傅里叶变换也是图1-1-10 中心在原点的一维高斯函数高斯函数．
1.1.7 圆域函数
圆域函数通常用于极坐标中涉及圆孔衍射问题的计算，在极坐标及直角坐标系中的定义分别如下：
(1-1-13)
不透明屏xy上中心在(x0，y0)、半径为a 的圆孔的透过率可以表示为
圆域函数的图像绘于图1-1-11．
1.1.8 狄拉克δ函数
1. δ函数的定义
狄拉克δ函数(简称δ函数)用于描述脉冲这一类物理现象，如单位能量的瞬间电脉冲可用时间为变量的δ(t)来描述；空间变量的δ函数可以表述单位电量点电荷的电流密度以及单位质量质点的质量密度．在信息光学研究中，空间变量的δ函数通常用于表示单位光通量的点光源．这些物理量的特点在数学上可抽象为在脉冲所在点之外其值为零，而包含脉图1-1-11 圆域函数的图像冲所在点在内的任意范围的积分等于1．数学上将具有这种性质的函数定义为δ函数．定义δ函数的数学表达式有多种，以下导出其中一种表达式．
分析函数序列fN (x)=Nrect (Nx )(N=1,2,3,…)当N逐渐增大时的情况．图1-1-12给出了N=1,2,4 时的函数图像．由图可见，当N逐渐变大时，函数不为零的范围逐渐变小，而在此范围内的函数值却逐渐变大．不难想象，当N增大至无穷时，函数的值将也增到无穷大，但无论如何，函数曲线与横轴围成的面积始终为1．于是，利用矩形函数可以将δ函数定义为