书名：可视化微分几何和形式:一部五幕数学正剧  

定价：179.8  
ISBN：9787115611079  
作者：[美]特里斯坦·尼达姆（Tristan Needham）  
版次：第1版  
出版时间：2024-01  

内容提要：  
本书以五幕数学剧的形式直观地讲述微分几何和微分形式，包括“空间的实质”“度量”“曲率”“平行移动”和“微分形式”。在前四幕中，作者把“微分几何”回归为“几何”，使用200多幅手绘示意图，运用牛顿的几何方法对*结果做出了几何解释。在第五幕中，作者介绍了微分形式，以直观的几何方式处理*主题。本书作者挑战性地重新思考了微分几何和微分形式这个重要数学领域的教学方式，只需要基本的微积分和几何学知识即可阅读本书。  



作者简介：  
特里斯坦·尼达姆（Tristan Needham） 旧金山大学数学系教授，理学院副院长。牛津大学博士，导师为Roger Penrose（与霍金齐名的英国物理学家）。1995年被美国数学学会授予Carl B. Allendoerfer奖，他的研究领域包括几何、复分析、数学史、广义相对论。  

目录：  
*幕 空间的本质  
第1章　欧几里得几何与非欧几何　2  
1.1　欧几里得几何与双曲几何　2  
1.2　球面几何　5  
1.3　球面三角形的角盈　8  
1.4　曲面的内蕴几何与外在几何　9  
1.5　通过“直性”来构作测地线　12  
1.6　空间的本质　15  
第2章　高斯曲率　18  
2.1　引言　18  
2.2　圆的周长和面积　20  
2.3　局部高斯–博内定理　24  
第3章　序幕和*幕的习题　26  
*幕　度量  
第4章　曲面映射：度量　34  
4.1　引言　34  
4.2　球面的投影地图　36  
4.3　一般曲面上的度量　38  
4.4　度量曲率公式　41  
4.5　共形地图　43  
4.6　讲一点儿可视化的复分析　45  
4.7　球面的共形球极地图　49  
4.8　球极平面投影公式　53  
4.9　球极平面投影的保圆性　55  
第5章　伪球面和双曲平面　57  
5.1　贝尔特拉米的洞察　57  
5.2　曳物线和伪球面　58  
5.3　伪球面的共形地图　61  
5.4　贝尔特拉米–庞加莱半平面　62  
5.5　利用光学来求测地线　65  
5.6　平行角　68  
5.7　贝尔特拉米–庞加莱圆盘　71  
第6章　等距变换和复数　74  
6.1　引言　74  
6.2　默比乌斯变换　76  
6.3　主要结果　82  
6.4　爱因斯坦的时空几何学　84  
6.5　三维双曲几何　90  
第7章　*幕的习题　96  
第三幕　曲率  
第8章　平面曲线的曲率　110  
8.1　引言　110  
8.2　曲率圆　112  
8.3　牛顿的曲率公式　113  
8.4　作为转向率的曲率　115  
8.5　例子：牛顿的曳物线　119  
第9章　三维空间中的曲线　121  
第10章　曲面的主曲率　124  
10.1　欧拉的曲率公式　124  
10.2　欧拉的曲率公式的证明　126  
10.3　旋转曲面　127  
第11章　测地线和测地曲率　131  
11.1　测地曲率和法曲率　131  
11.2　默尼耶定理　133  
11.3　测地线是“直的”　135  
11.4　测地曲率的内蕴量度　136  
11.5　量度测地曲率的一个简单的外在方法　136  
11.6　用透明胶带构作测地线的一个新解释　137  
11.7　旋转曲面上的测地线　138  
11.7.1　球面上的克莱罗定理　138  
11.7.2　开普勒*定律　140  
11.7.3　牛顿对开普勒*定律的几何证明　142  
11.7.4　克莱罗定理的动力学证明　144  
11.7.5　应用：再看双曲平面上的测地线　146  
第12章　曲面的外在曲率　149  
12.1　引言　149  
12.2　球面映射　149  
12.3　曲面的外在曲率　151  
12.4　哪些形状是可能的？　154  
第13章　高斯的绝妙定理　159  
13.1　引言　159  
13.2　高斯的漂亮定理（1816年）　159  
13.3　高斯的绝妙定理（1827年）　161  
第14章　尖刺的曲率　165  
14.1　引言　165  
14.2　锥形尖刺的曲率　165  
14.3　多面角的内蕴曲率与外在曲率　168  
14.4　多面体的绝妙定理　170  
第15章　形状导数　172  
15.1　方向导数　172  
15.2　形状导数S　175  
15.3　S的几何效应　176  
15.4　绕道线性代数：奇异值分解和转置运算的几何学　177  
15.5　S的一般矩阵　182  
15.6　S的几何解释和[S]的化简　184  
15.7　[S]由三个曲率完全确定　186  
15.8　渐近方向　187  
15.9　*术语和记号：三种基本形式　189  
第16章　全局高斯博内定理，引论　191  
16.1　一些拓扑学知识与结果的陈述　191  
16.2　球面和环面的曲率　194  
16.2.1　球面的全曲率　194  
16.2.2　环面的全曲率　196  
16.3　看一看厚煎饼的K(Sg)　197  
16.4　看一看面包圈和桥的K(Sg)　198  
16.5　拓扑度和球面映射　200  
16.6　历史注释　202  
第17章　全局高斯博内定理的*个证明（启发性证明）　203  
17.1　平面环路的全曲率：霍普夫旋转定理　203  
17.2　变形圆周的全曲率　206  
17.3　霍普夫旋转定理的启发性证明　208  
17.4　变形球面的全曲率　209  
17.5　全局高斯–博内定理的启发性证明　210  
第18章　全局高斯博内定理的*个证明（利用角盈）　213  
18.1　欧拉示性数　213  
18.2　欧拉的（经验的）多面体公式　213  
18.3　柯西对欧拉多面体公式的证明　216  
18.3.1　摊平了的多面体　216  
18.3.2　多边形网的欧拉示性数　217  
18.4　勒让德对欧拉多面体公式的证明　219  
18.5　对曲面增加柄以提高其亏格　222  
18.6　全局高斯–博内定理的角盈证明　225  
第19章　全局高斯博内定理的第三个证明（利用向量场）　227  
19.1　引言　227  
19.2　平面上的向量场　227  
19.3　奇点的指数　228  
19.4　原型奇点：复幂函数　231  
19.5　曲面上的向量场　234  
19.5.1　蜂蜜流向量场　234  
19.5.2　蜂蜜流与地形图的关系　236  
19.5.3　怎样在曲面上定义奇点指数？　238  
19.6　庞加莱–霍普夫定理　239  
19.6.1　例子：拓扑球面　239  
19.6.2　庞加莱–霍普夫定理的证明　241  
19.6.3　应用：欧拉–吕以利埃公式的证明　243  
19.6.4　庞加莱的微分方程与霍普夫的线场的比较　244  
19.7　全局高斯–博内定理的向量场证明　249  
19.8　往前的路怎么走？　253  
第20章　第三幕的习题　255  
第四幕　平行移动  
第21章　一个历史谜团　268  
第22章　外在的构作　270  
22.1　一边前进，一边向曲面投影　270  
22.2　测地线和平行移动　273  
22.3　马铃薯削皮器的移动　274  
第23章　内蕴的构作　278  
23.1　沿测地线的平行移动　278  
23.2　内蕴（即“协变”）导数　279  
第24章　和乐性　283  
24.1　例子：球面　283  
24.2　一般的测地线三角形的和乐性　285  
24.3　和乐性是可加的　286  
24.4　例子：双曲平面　287  
第25章　绝妙定理的一个直观几何证明　291  
25.1　引言　291  
25.2　关于记号和定义的一些说明　292  
25.3　*今所知的故事　293  
25.4　球面映射保持平行移动不变　294  
25.5　再说漂亮定理和绝妙定理　295  
第26章　全局高斯博内定理的第四个证明（利用和乐性）　297  
26.1　引言　297  
26.2　沿一条开曲线的和乐性？　297  
26.3　霍普夫对全局高斯–博内定理的内蕴证明　299  
第27章　度量曲率公式的几何证明　301  
27.1　引言　301  
27.2　向量场围绕回路的环流量　303  
27.3　排练：平面上的和乐性　304  
27.4　和乐性作为地图中由度量定义的向量场的环流量　306  
27.5　度量曲率公式的几何证明　309  
第28章　曲率是相邻测地线之间的作用力　310  
28.1　雅可比方程简介　310  
28.1.1　*曲率：平面　310  
28.1.2　正曲率：球面　312  
28.1.3　负曲率：伪球面　314  
28.2　雅可比方程的两个证明　315  
28.2.1　测地极坐标　315  
28.2.2　相对加速度=速度的和乐性　318  
28.3　小测地圆的周长和面积　320  
第29章　黎曼曲率　322  
29.1　引言和概要　322  
29.2　n 流形上的角盈　323  
29.3　平行移动：三种构作方法　325  
29.3.1　定角锥上的*近向量　325  
29.3.2　在平行移动平面内的定角　326  
29.3.3　希尔德的梯子　327  
29.4　内蕴（又称“协变”）导数rv　327  
29.5　黎曼曲率张量　329  
29.5.1　绕一个小“平行四边形”的平行移动　329  
29.5.2　用向量换位子把这个“平行四边形”封闭起来　331  
29.5.3　黎曼曲率的一般公式　332  
29.5.4　黎曼曲率是一个张量　334  
29.5.5　黎曼张量的分量　336  
29.5.6　对于固定的wo，向量的和乐性只依赖于回路所在的平面及其所围面积　337  
29.5.7　黎曼张量的对称性　338  
29.5.8　截面曲率　340  
29.5.9　关于黎曼张量起源的历史注记　341  
29.6　n 维流形的雅可比方程　343  
29.6.1　截面雅可比方程的几何证明　343  
29.6.2　截面雅可比方程的几何意义　345  
29.6.3　雅可比方程和截面雅可比方程的计算证明　346  
29.7　里奇张量　347  
29.7.1　由一束测地线包围的面积的加速度　347  
29.7.2　里奇张量的定义和几何意义　349  
29.8　终曲　351  
第30章　爱因斯坦的弯曲时空　352  
30.1　引言：“我一生中*快乐的想法”　352  
30.2　引力的潮汐力　354  
30.3　牛顿引力定律的几何形式　358  
30.4　时空的度量　360  
30.5　时空的图示　362  
30.6　爱因斯坦的真空场方程的几何形式　363  
30.7　施瓦氏解和爱因斯坦理论的*初验证　366  
30.8　引力波　371  
30.9　爱因斯坦的（有物质的）场方程的几何形式　374  
30.10　引力坍缩成为黑洞　377  
30.11　宇宙学常数：“我一生中*严重的错误”　381  
30.12　结束语　383  
第31章　第四幕的习题　384  
第五幕　形式  
第32章　1-形式　394  
32.1　引言　394  
32.2　1-形式的定义　395  
32.3　1-形式的例子　397  
32.3.1　引力做功的1-形式　397  
32.3.2　引力做功1-形式的可视化　398  
32.3.3　等高线图和梯度1-形式　399  
32.3.4　行向量　402  
32.3.5　狄拉克符号（左矢）　402  
32.4　基底1-形式　403  
32.5　1-形式的分量　404  
32.6　梯度df是1-形式　405  
32.6.1　复习：梯度 f是一个向量　405  
32.6.2　梯度df是一个1-形式　406  
32.6.3　1-形式的笛卡儿基{dxj}　407  
32.6.4　df =( xf)dx+( yf)dy的1-形式解释　408  
32.7　1-形式加法的几何解释　408  
第33章　张量　411  
33.1　张量的定义：阶　411  
33.2　例子：线性代数　412  
33.3　从原有的张量做出新张量　412  
33.3.1　加法　412  
33.3.2　乘法：张量积　413  
33.4　分量　413  
33.5　度量张量与*线元的关系　414  
33.6　例子：再看线性代数　415  
33.7　缩并　416  
33.8　用度量张量来改变张量的阶　417  
33.9　对称张量和反对称张量　419  
第34章　2-形式　421  
34.1　2-形式和p-形式的定义　421  
34.2　例子：面积2-形式　422  
34.3　两个1-形式的楔积　423  
34.4　极坐标下的面积2-形式　426  
34.5　基底2-形式及投影　427  
34.6　2-形式与R3中向量的联系：流量　429  
34.7　R3中向量积与楔积的关系　431  
34.8　法拉第的电磁2-形式与麦克斯韦的电磁2-形式　433  
第35章　3-形式　439  
35.1　3-形式需要三个维度　439  
35.2　一个2-形式与一个1-形式的楔积　439  
35.3　体积3-形式　440  
35.4　球极坐标中的3-形式　441  
35.5　三个1-形式的楔积，p个1-形式的楔积　442  
35.6　基底3-形式　444  
35.7　Ψ^Ψ≠0可能吗？　445  
第36章　微分学　446  
36.1　1-形式的外导数　446  
36.2　2-形式和p-形式的外导数　448  
36.3　形式的莱布尼茨法则　449  
36.4　闭形式和恰当形式　450  
36.4.1　基本结果：d2=0　450  
36.4.2　闭形式和恰当形式　450  
36.4.3　复分析：柯西–黎曼方程　451  
36.5　用形式做向量运算　452  
36.6　麦克斯韦方程组　456  
第37章　积分学　459  
37.1　1-形式的线积分　459  
37.1.1　环流和功　459  
37.1.2　与路径的无关性<=>闭合环路积分为*　460  
37.1.3　恰当形式φ=df的积分　461  
37.2　外导数是一个积分　461  
37.2.1　1-形式的外导数　461  
37.2.2　2-形式的外导数　465  
37.3　外微积分基本定理（广义斯托克斯定理）　467  
37.3.1　外微积分基本定理　467  
37.3.2　相伴的历史问题　467  
37.3.3　例子：面积　468  
37.4　边界的边界是*　468  
37.5　向量微积分的*积分定理　469  
37.5.1　Φ=0-形式　469  
37.5.2　Φ=1-形式　470  
37.5.3　Φ=2-形式　471  
37.6　外微积分基本定理的证明　471  
37.7　柯西定理　474  
37.8　1-形式的庞加莱引理　474  
37.9　德拉姆上同调初步　475  
37.9.1　引言　475  
37.9.2　一个特殊的二维涡旋向量场　476  
37.9.3　涡旋1-形式是闭的　477  
37.9.4　涡旋1-形式的几何意义　477  
37.9.5　闭1-形式的环流的拓扑稳定性　478  
37.9.6　*德拉姆上同调群　480  
37.9.7　R3中的平方反比点源　482  
37.9.8　*德拉姆上同调群　483  
37.9.9　环面的*德拉姆上同调群　485  
第38章　用形式来讲微分几何　488  
38.1　引言：嘉当的活动标架法　488  
38.2　联络1-形式　490  
38.2.1　关于符号的约定和两个定义　490  
38.2.2　联络1-形式　491  
38.2.3　注意：以前习惯的记号　493  
38.3　姿态矩阵　494  
38.3.1　通过姿态矩阵来讲连络形式　494  
38.3.2　例子：柱面标架场　495  
38.4　嘉当的两个结构方程　498  
38.4.1　用ej的对偶dxj来表示mi的对偶θi　498  
38.4.2　嘉当*结构方程　498  
38.4.3　嘉当*结构方程　499  
38.4.4　例子：球面标架场　500  
38.5　曲面的6个基本形式方程　505  
38.5.1　使嘉当的活动标架适用于曲面：形状导数与外在曲率　505  
38.5.2　例子：球面　507  
38.5.3　基底分解的*性　508  
38.5.4　曲面的6个基本形式方程　509  
38.6　对称性方程和彼得松–梅纳第–科达齐方程的几何意义　510  
38.7　高斯方程的几何形式　511  
38.8　度量曲率公式和绝妙定理的证明　512  
38.8.1　引理：ω12的*性　512  
38.8.2　度量曲率公式的证明　512  
38.9　一个新的公式　514  
38.10　希尔伯特引理　514  
38.11　利布曼的刚性球面定理　515  
38.12　n 流形的曲率2-形式　517  
38.12.1　引言和概述　517  
38.12.2　广义外导数　519  
38.12.3　由曲率2-形式导出黎曼张量　520  
38.12.4　再论比安基恒等式　521  
38.13　施瓦西黑洞的曲率　522  
第39章　第五幕的习题　528  
人名索引　541  
术语索引　546