★《金融时报》2025年年度图书丨英国大连锁书店水石书店2025年年度图书

★从莎士比亚的十四行诗到漫威电影，从巴赫的循环音乐到AI绘画，数学结构贯穿其中，人类的创意有迹可循；跨学科思考问题、发现问题、解决问题，获得AI时代稀缺的能力

★不需要任何数学基础，只需要好奇心就能读的数学书。
◇数学是关于结构的科学，是一种看世界的方式：素数是不可分割的数字原子，圆是永恒的循环，分形是无限嵌套的宇宙。
◇数学结构是艺术的隐秘蓝图，音乐、文学、建筑和绘画是结构的艺术：素数让哈姆雷特的“生存还是毁灭”震撼人心，德彪西用黄金分割让人听见怒海波涛，漫威的电影宇宙中藏着分形的自相似纹理，博尔赫斯的“通天塔图书馆”是超立方体的文学投影。
◇创意是对已知结构的重新组合，数学思维是可以习得的创造力工具：素数帮你打破常规，斐波那契数帮你找到生长节奏，对称性帮你多角度思考。
◇大自然是数学结构的实体化，是出色的数学家：蝉选择素数生命周期是为了获得演化优势，延续种群；花朵的花瓣数量遵循着斐波那契数的规律；花椰菜的花球、蕨类植物的叶片、人类肺部的支气管网络都利用了分形的特征。

★翻开本书，你将获得——
◇一种全新的结构思维，学会用数学家的眼睛看世界。无论是解题、写作、做设计，你都能一眼看到问题的“骨架”。
◇一场横跨艺术、自然与科技的智识冒险。从巴赫的音乐到波洛克的画作，从周期蝉的生存策略到向日葵的生长方式，从漫威电影中的视觉特效到人工智能“艺术家”AARON的代码，你会发现，它们背后都有数学结构的身影。
◇一个可迁移的创造力工具箱。分形、正多面体、黄金分割、双曲几何……9大数学结构，9种思维模型。创意不再靠冥思苦想，灵感有章可循。
为什么“生存还是毁灭”的呐喊会如此震撼心灵？为什么德彪西的《大海》能让人听见波涛？为什么蝉的生命周期是神秘的素数？“算法艺术家”又是如何营造出自主决策的假象？答案都藏在“数学结构”中。
莎士比亚的文学作品中频频出现素数，正二十面体引导舞者起舞，斐波那契数决定建筑的比例，音乐在双曲空间的轮廓中航行……数学是关于结构的科学，音乐、文学、建筑和绘画是结构的艺术，自然和艺术是数学结构的实体化。
负数引领我们预言了反物质的存在，虚数成为量子世界的语言，非欧几何刻画出时空的结构，高维对称性揭示了基本粒子的根源……数学也是解释我们所在宇宙的基本工具。
在本书中，作者将带领我们踏上一场充满惊喜的旅程。全书以九大数学结构为线索，用素数、圆、斐波那契数、黄金分割、分形、正多面体、对称性、双曲几何、随机性串联起令人惊叹的故事：梅西安用素数的“不可整除性”让音乐中的时间永远停滞；波洛克的滴画看似随意，放大后却呈现出分形的自相似纹理；阿尔汗布拉宫的墙砖图案暗藏用群论才能描述的17种对称游戏；博尔赫斯笔下的“通天塔图书馆”是环面的文学投影。
数学结构隐藏在音乐、绘画、建筑和文学的深处，让我们创意如泉涌；它也是大自然创造万物的基础结构。我们的大脑天生善于寻找与欣赏这些隐藏的结构，创造力也由此萌发。学会用“数学结构”的视角看世界，你会发现创意可以习得，灵感有章可循，无论写文章、做设计还是单纯欣赏一朵花，你都能从中感受到全新的美与秩序。
重要角色
序幕
1章  素数
素数是什么？
素数齿轮
素数与蝉
拯救音乐会
莎士比亚的数字游戏
素数节拍
孤独的素数
通用的语言
第2章  圆
发现圆
画圆
三维空间中的圆
半球
建造球体
音乐中的循环
环面：圆圈串成的圆环
扭曲的圆
第3章  斐波那契数
大自然钟爱的数
凝固的音乐
从简单到无理
印度起源
音乐节奏
加法音乐
第4章  黄金分割
黄金分割、自相似与鹦鹉螺
数学园丁
黄金分割狂热
模度
神圣的数学音乐
循数作曲
白银分割
第5章  分形
分形是什么？
如何定义一个形状的分形维数
分形与自然
建筑中的分形
奇幻分形
聆听分形
文学分形
第6章  正多面体
自然的构建模块
文艺复兴时期的对称性
食肉鱼达利
超立方体
如何看见第四维度
突变论
在正十二面体内生活
再谈拉班
第7章  对称性
格诺数
与对称性共存
现代的毕达哥拉斯
立方体变奏
对称性的语法
解读阿尔汗布拉宫
我的数学诗
聆听对称性
对称音阶
乌力波
第8章  双曲几何
失败的工程师，成功的艺术家
心灵的望远镜
天使与魔鬼，海星与贝壳
非欧几何的音乐之旅
双曲珊瑚礁
变革的隐喻
回到哈迪德
第9章  随机性
随机写作与阅读
偶然音乐
选择你自己的冒险
用骰子作曲
偶然建筑
什么是真正的随机？
艺术家的创作真的随机吗？
人工智能的虚假能动性
尾声
参考文献
延伸阅读
致谢
马库斯·杜·索托伊，著，牛津大学西蒙尼公众理解科学教授，该职位此前由理查德·道金斯担任。索托伊是杰出的“流行数学”实践者，致力于将复杂的数学概念用形象生动、通俗易懂的语言表达出来。他常为《泰晤士报》和《卫报》撰写文章，同时与BBC保持长期合作。他于2001年获得伦敦数学协会的贝维克奖；2009年获得英国皇家学会迈克尔·法拉第奖，以表彰他在向英国公众普及科学知识方面所做的杰出贡献；2010年被授予大英帝国官佐勋章，以表彰他对科学事业的贡献；2013年列入美国数学会院士；2016年当选英国皇家学会院士。
李永学，译，中国科学院大连化学物理研究所博士、英国利物浦大学博士后，从事科研、教学工作多年，2016年退休后成为自由译者，现居英国。
在向非数学专业人士阐释复杂数学方面，无人能出杜·索托伊之右。在这部作品中，他揭示了数学、自然与艺术创作之间错综复杂的关系，梳理了那些曾有意或无意地启发了画家、建筑师、作家和音乐家的关键数学原理。
——《金融时报》2025年年度好书

没有人会怀疑杜·索托伊对这一主题的热情……在这部见解深刻且视野开阔的研究著作中，他表明想象力并非艺术家的专利，有时，所谓的书子才是那些拥有绝妙创意的酷孩子……这是一部令人耳目一新的读物。
——《观察家报》

本书既是一本关于数学的书，又植根于艺术。杜·索托伊擅长将数学概念生动地呈现出来……读完此书，我对数学家思考的问题有了更深入的理解，也更加乐在其中，而巴赫和博尔赫斯等艺术家的作品更助我一臂之力。
——《新科学家》
一部令人惊叹的著作。书中的洞见与关联既令人目眩神迷，又出人意料。读来令人心潮澎湃。
——彼得·弗兰科潘，《丝绸之路》作者

本书是一部非凡之作，向我们展示了数学与艺术如何通过结构相互关联。杜·索托伊向我们揭示了如何弥合科学与人文之间的鸿沟，并证明我们只有克服对知识融合的恐惧，才能直面并解决21世纪的重大挑战。
——汉斯·乌尔里希·奥布里斯特，著名策展人，《当代艺术的十九副面孔》作者
序幕
从我们居住的建筑物到我们聆听的音乐，从我们欣赏的艺术到我们讲述的故事，每当发现支撑人类创造的结构在本质上与数学有关时，我都会感到震撼。艺术家、发明家和作家曾多次改变我们看待世界及与其互动的方式，在与他们合作的过程中，我发现他们在创作中依赖的结构正是身为数学家的我所熟悉的结构。他们似乎也对那些令我着迷的理念心驰神往，哪怕他们并非数学专业出身，也不曾涉足数学领域的技术实践。
有些人把数学视为背诵九九乘法口诀的痛苦训练，数学与艺术之间的联系可能会让这些人十分吃惊。对许多人来说，艺术与数学似乎是水火不容、南辕北辙的领域。艺术是情感表达、激情与美学的领域，数学则是逻辑严密、精确与真理的世界。然而，只要略微穿透这些刻板印象的表面，我们就会发现，这两个世界远比人们想的相似。
我认为，将数学与艺术联系起来的是“结构”的概念。事实上，如果让我为数学下定义，我认为“对结构的研究”是一个很好的描述。数学家感兴趣的不是一个个数，而是存在于一切数之内的结构，而这些结构远远超出数的范畴。理解抽象结构是数学的核心所在，而结构同样是艺术创作不可或缺的一部分。因此，这两者之间有联系绝非偶然。
在本书中，我将探索一些支撑人类创造力的基础数学结构。我称这些数学结构为“蓝图”，我认为它们是人类创造的艺术、建筑、音乐与文学的隐秘模板。有些蓝图是几何形状，比如圆和默比乌斯带，我们很容易理解它们如何为创作提供模型；有些蓝图是数，比如素数（也称“质数”）和斐波那契数，它们为构建世界提供了密码；还有些蓝图是更具概念性的结构，比如随机性和对称性，它们是我们的思维方式的框架。
蓝图的想法由 19 世纪的博学家约翰· 赫歇尔引入工程与建筑行业。蓝图如同原始图纸的负片，一般用白线在蓝底上勾勒出设计的轮廓；它是杆系结构的平面图，被用来创造现实世界中的真实结构，其中的蓝色来源于赫歇尔使用的感光铁化合物。本书要探讨的核心是：数学结构正是这样的创作蓝图，能够激发各式各样的艺术构建。数学提供“平面图”或者框架，艺术家在文字、绘画、音乐或者建筑材料等媒介中赋予蓝图血肉，将数学结构变为物理现实。
惊人的是，不仅人类在创造与创新中利用数学结构，大自然也在利用数学结构创造宇宙中的奇观。人类的创造力与数学发现仿佛是两种语言，用来解读我们栖身的物理宇宙。这些数学结构随处可见的事实有力地印证了我的信念，即我们生活在数学实体化的世界里。本书将沿着“艺术—数学—自然”这个三角关系展开探索。
艺术作品都有其诞生的特定时刻，那个历史时刻对作品的产生至关重要。巴洛克艺术的活力源于社会，后者彼时正在不断变化的世界中寻找方向；达达主义的荒诞不经反映了导致 20 世纪初战争的政治结构的崩溃。宇宙似乎也有一个起点，可以追溯至 138 亿年前。我们在这个宇宙中发现的事物同样有各自的诞生时刻，比如一批恒星、一批细胞、一批人类的出现等。我相信数学有一种不同的特质。我坚信，支撑艺术和自然的数学结构是永恒的，它们不需要被创造，它们存在于时间和空间之外。我们栖身的宇宙是这些抽象结构在物理世界中的呈现。
在某个时刻，人类数学家一次发现并阐述数学结构。他们的行为常常让人觉得那是创造力的辉煌展现，但也总是让人感觉数学结构一直等待着被人发现，它的存在与人类的参与无关。数学家揭示的那些纯粹的抽象结构，是柏拉图“洞穴寓言”中被投影到墙壁上的事物的真正发源。我们看到的宇宙不过是那些抽象形式在物理世界中的呈现，而艺术家正在这个宇宙中创作他们自己的作品，这些作品重新解释了数学结构。
艺术家时常论及创造力与发现之间的这种张力。雕像“隐藏”在石头中，等待着雕塑家释放它们；和弦序列等待着一次振荡听众的鼓膜。我曾与一些作曲家交谈，他们承认，不同的音乐家有时会独立地发现某些音乐结构，这与 19 世纪的三位几何学家各自发现非欧几何十分相似。
虽然数学和艺术可能都揭示了柏拉图式理念领域中的普遍结构，但柏拉图本人实际上相当轻视艺术，认为艺术只是对一个拙劣副本的拙劣模仿。数学才是真实的存在，自然是数学的近似体现。一切事物都是从原始的抽象结构演变而来的，而艺术则是对原始抽象结构的进一步降格。
柏拉图认为，自然在试图将数学结构实体化时失败了。他的话有一定道理。我们知道圆、分形或素数的定义。然而，每一次尝试在物理宇宙中找到美的圆，其结果都是对真正的圆的粗略近似。我们在量子层面发现了“像素化”现象，正是这种现象破坏了圆结构的美本质。分形同样如此。在物理世界中，我们无法在不显露现实中的量子“像素化”本质的前提下进一步放大分形，但数学中的分形却能继续揭示越来越小的复杂图像。从本质上说，素数有无穷多个，而我们有限的宇宙只能呈现这些基本数中无穷小的一部分。
柏拉图正确地阐明了自然无法达到数学的美，但他对艺术家的看法或许过于偏颇。在某种程度上，艺术再现了数学结构，成功地实现了数学结构，而自然却会不可避免地失败。虽然在内心深处，我是柏拉图主义者，但本书的核心精神是将数学、艺术和自然视为我们思想等边三角形中的平等伙伴。
我们将遇到许多富有创造力的艺术家，他们对构成自己作品基础的数学结构并不十分了解。似乎是审美感知和对形式的实验欲望促使他们重新发现了这些数学结构，有时甚至会先于数学家发现。大众或许会赞赏他们的艺术家身份，但我致敬的是他们隐秘的数学家身份。我希望用本书揭示出，每个人的内心都隐藏着一点儿数学家的潜质，即使我们表面上可能会回避这一点。对那些想到数学就紧张的读者，我希望本书能让你们惊喜地发现，你们喜爱的事物往往是经过伪装的数学。
如果数学是人类创造力的一套强大蓝图，那么我相信，艺术思维模式也是发现新数学的重要蓝图。这是一场双向对话，数学和人类的艺术创造力通过相互推动，双双达到越来越高的境界。如果艺术家是隐秘的数学家，那么数学家也是隐秘的艺术家。数学本身可能存在于时间之外，它需要数学家的帮助，才能让其他人一次看到这些结构。我相信，数学结构的创造，是由与艺术家灵魂共鸣的美学意识驱动的。
人们常常忘记，或者从未意识到数学是一种人类活动，是为人类创造的。因此，数学旨在契合我们的人类特质，与艺术创作有诸多共同点。但位于这两项活动核心的，往往是我们与所处的物理世界的关系。数学与艺术都在创造诠释、理解及在宇宙中定位我们位置的方式。所以，数学家和艺术家对同样的基础结构感到兴奋、感动、有趣、好奇是再正常不过的事情。

两种文化
当代社会的一大悲剧，就是将艺术和科学视为两个截然不同的世界。我们的教育体系常常要求我们做出选择。是彼得· 鲁本斯还是相对论？是克洛德· 德彪西还是 DNA（脱氧核糖核酸）？是莎士比亚还是热力学第二定律？面对自己感兴趣的事物被强行分类，我感到非常沮丧。在求学过程中，我爱上了能帮助我们探索周围世界的科学，因为它能告诉我们自己从何而来，更令人兴奋的是，它能让我们展望未来，遥望今后会发生什么。同时，我也被创造性艺术的魅力深深吸引。在家乡的青少年管弦乐团吹小号的经历，让我接触了从约翰· 塞巴斯蒂安· 巴赫到巴托克· 贝洛的浩瀚音乐世界。当地的社区剧院则让我感受到威廉· 莎士比亚和萨缪尔· 贝克特的迷人叙事。虽然从未拿起画笔一抒胸臆，但我喜欢在暑假期间参观意大利或者法国的画廊，让自己沉浸在那些艺术作品当中。
后来，我的数学老师荐了一本书，书中阐述的成为数学家的意义让我得以从这种左右为难的压力中解脱：

与画家或者诗人一样，数学家也是模式的创造者。如果数学家创造的模式比画家或诗人创造的模式更持久，那是因为他的模式是用思想构建的……与画家或诗人创造的模式一样，数学家创造的模式也须是优美的；与色彩或文字一样，思想须以一种和谐的方式组合在一起。美是要的检验标准：丑陋的数学无法在这个世界中长久立足……我对数学有兴趣，只不过是因为它是一种创造性艺术。

这本书名为《一个数学家的辩白》，作者是剑桥大学的数学家戈弗雷· 哈代。对 13 岁的我来说，哈代讲述的他作为数学家的人生是一种启示。艺术与科学是我当时刚开始热爱的两个领域，这本书在它们之间架起了桥梁。一方面，我能够认识到数学是科学家时常用来阐释思想的语言；另一方面，哈代告诉我，数学是一种与诗歌或者绘画比肩的创造性艺术。事实上，哈代似乎对在科学中使用的数学相当不屑一顾：

总体而言，这部分数学相当枯燥，它们的美学价值低。费马、欧拉、高斯、阿贝尔和黎曼，这些“真正的”数学家从事的“真正的”数学几乎完全是“无用的”……以工作的“实用性”来证明任何真正的专业数学家的存在价值，都是行不通的。

很多人认为数学是一种用于解决科学问题或构建新技术的有用工具，发现新数学的主要驱动力与解决某个实际问题有关。但如果向数学家询问他们的研究内容，你会看到一个非常不同的图景。大多数数学家正在研究的问题，其出发点很少主要源于功利性的目标。这并不是说这些发现不存在实际应用的前景，但实际应用并非数学家耗时耗力构建这些思想的初衷。事实证明，我们将在后文中遇到的数学上的美学考量与艺术家具有的美学考量极为相似，它们照亮了数学家选择追寻的方向。
在谈到哈代的书时，作家格雷厄姆· 格林说：“亨利· 詹姆斯的文学评论文章或许是一个例外，除此之外，我从未见过任何文字能够如此清晰且毫不矫揉造作地传达创造性艺术家的澎湃激情。”将数学视为创造性的事物对我是一个启示。随着在数学世界中沉浸的时间越来越久，我开始理解创造艺术和创造数学之间有着何等紧密的联系。
正是哈代的书让我一次看到了数学的创造性。除了对数学家身份的精妙阐述，我手中的《一个数学家的辩白》还收录了由哈代的朋友和同事查尔斯· 珀西· 斯诺撰写的精彩序言。斯诺在序言中讲述了哈代的一些生活故事，尤其是他与伟大的印度数学家斯里尼瓦桑· 拉马努扬的合作。两人的合作凸显了数学想象力、直觉（体现在拉马努扬对数学发现的处理方式中）与严谨的证明（哈代对拉马努扬见解真实性的确认）相结合的重要性。我对这篇序言的喜爱不亚于对哈代著作本身的喜爱，因为斯诺通过将数学家置于历史语境中，赋予了其人性化的诠释。
不过，斯诺应被我们铭记的文字，或许当属他发表于 1959 年的题为《两种文化》的文章。他在文中哀叹艺术和人文学科与科学和自然世界之间的思想割裂，他认为这种割裂是人类知识进步的一大障碍。但哈代的著作让我在少年时期就深刻认识到，我立志钻研的学科正是跨越这道鸿沟的桥梁。永恒的数学结构是自然构造方式的核心，它也通过艺术构建了人类对自然界的回应。

情感
艺术与数学之间有一个意想不到的联系，即情感在双方从业者中所起的引导作用。对许多人来说，艺术是情感的领域，数学是逻辑的领域。艺术中可能嵌有数学结构的元素，但其大部分的吸引力来自其中的情感内容。难道数学不是由毫无感情的客观逻辑论证引导的吗？情感可不是证明的一部分。
可能会让许多非数学家惊讶的是，情感实际上是我们创造数学的强大向导。我们选择将哪些内容纳入数学典之列，并认定其值得在期刊上发表，本质上源自我们与这些思想在情感上的共鸣。在许多人的印象中，数学的目标是证明关于数和几何的一切真命题，就好像我们试图写出有可能写出的书，谱写出有可能的乐曲，创造一个数学版本的“通天塔图书馆”。但我发现，数学并不是一个列有与数有关的有可知真命题的简单表格。数学家是讲故事的人。我们塑造的角色是数和几何图形，讲述的内容是我们为这些人物创造的证明。然而，并非有可讲之事都值得讲述。
我的数学偶像之一是亨利· 庞加莱，他曾说：“创造恰恰在于不制造无用的组合。创造是洞察，是选择……那些乏味的组合甚至不会出现在创造者的大脑中。”就像文学、音乐或美术一样，数学就是要做出选择。而在很多时候，做出这些选择的原因在于美感，与引导艺术家选择创作内容的原因相似。
哈代认为，美是检验数学好坏的一标准。他所说的数学之美，对从事这门艺术的人来说已是一种共识。但我认为，只关注美学，就会限制数学对参与者的影响。我们希望在证明过程中遭遇突发的险境，为论证方向的转变而惊叹，被看似荒诞的主张所震撼，终在豁然开朗的顿悟中欣然抵达彼岸，接受一个焕然一新的认知图景。让我记忆深刻的一个场景，是安德鲁·怀尔斯回忆他顿悟如何证明费马大定理的那一刻，当时的怀尔斯在镜头前潸然泪下。数学家在数学的世界中徜徉，对自己揭示的思想感到惊奇、充满敬畏。在我们创造、栖居、操纵、探索的结构中到处是这种惊喜，到处是纯粹的兴奋和惊奇。一次理解这些思想时的反应，与一次聆听巴赫的《马太受难曲》、欣赏列奥纳多·达·芬奇的画作或者阅读莎士比亚的十四行诗的反应十分相似。
或许，数学会因其抽象的特质而显得与人类的经验相去甚远，然而，这些数学结构处于宇宙运行核心的事实赋予了它们难以忽略的力量感。这些数学结构不仅是一个让你在填满格子后感到短暂满足的数独游戏，还是一种对令宇宙运转的结构的洞悉。它们可能是理解多重宇宙的关键，或者可以帮助你以一种新的方式看待我们所在的宇宙。这不正是艺术家试图通过他们的创造性作品所做的事情吗？
在比较数学与音乐时，人们时常将情感作为一个重要的区分特征。正如列夫· 托尔斯泰常被人引用的那句话所言：“音乐是情感的速记。”而且，在音乐表达与情感表达之间，似乎确实存在着某种“词典”。速记或许是一种很好的思考方式，因为与大脑中情感的编码相比，音乐结构的维度较低。但我认为，在艺术的情感世界与数学的逻辑世界之间的张力中，人们往往忽略了一点，那就是很少有艺术家会提及他们在作品中倾注了情感。许多作曲家认为，他们并没有像托尔斯泰所说的那样，试图通过音乐速记描述他们的情感世界。音乐是要的，情感是次要的。对作曲家来说，情感的出现是他们创造出的结构带来的结果，是我们的大脑对结构的认知做出了反应。令人着迷的是，不同的结构会唤起不同的情感反应。在音乐等非语言领域中，这种机制的工作原理仍不明确。
美国作曲家伊戈尔·斯特拉文斯基认为，音乐家创作音乐并非为了传达具体的信息：

因为我认为，从本质上说，音乐是无力表达任何东西的，不论是感情、心态、心理情绪还是自然现象，等等。表达向来就不是音乐的固有属性，也绝非音乐的存在目的。如果说音乐似乎在绝大多数情况下表达了某种东西，那也只是幻觉，而非现实。这只不过是一种附加属性，我们心照不宣、根深蒂固地将其赋予音乐，作为一种标签、一种惯例强加于音乐；简而言之，这是我们在不知不觉间或者出于习惯而将其与音乐的本质混淆起来的层面。

菲利普·格拉斯说，他从未刻意在作品中安排情感内容。他认为，情感是他创作过程的结果，是自发产生的。“我发现，音乐中几乎总是带有一些情感特质，它似乎独立于我的意志。”
在音乐创作中，常常是结构先于情感出现，情感从结构中产生，而且结构的本质往往具有数学性质。正如斯特拉文斯基所说：“音乐家应该发现，对他来说，数学是一门学问，其有用程度如同诗人掌握了另一种语言。数学如同暗流，在表象之下诱人地涌动。”
当然，在聆听音乐时，一个人即使没有受过任何音乐理论的训练，也可能产生非常强烈的情感反应。但音乐不过是对一系列特定频率的音的选择及随时间推移连接这些音的特定模式，通过黑色墨水，以白纸上的音符形式得到呈现。重要的是，我们确定了一些与我们的情感世界高度相关的旋律模式。因此，作曲家创造的这些模式和结构，或许是我们的大脑在神经元和突触活动中编码情感的另一种方式。
如果情感是由频率触发的，是由这些频率内的模式触发的，那么大脑的情感功能是否可能会因为识别出相同模式的更抽象版本而被触发呢？或许，对艺术的情感反应正是在回应某些抽象结构，这些结构会在我们识别出重要且根本的事物时与大脑产生共鸣。选择压力很可能选择了那些因识别出自然界的数学结构而兴奋的大脑，因为这种反应能使生物在探索周遭世界的过程中获得优势。
通过功能磁共振成像，伦敦大学学院的研究人员发现，当数学家接触到他们认为具有美学价值的数学时，他们的大脑中被“点亮”的区域与人们欣赏绘画或音乐时被“点亮”的区域相同。主持这项研究的是萨米尔· 泽基教授，他对数学家在工作中谈论美的频率很感兴趣：

许多人觉得数学公式枯燥且难以理解，但对数学家来说，一个方程可以体现美的精髓。一个公式的美可能是简洁、对称性、优雅或对永恒真理表达的结果。对柏拉图来说，数学的抽象特质表达了美的峰。

正如阿尔伯特·爱因斯坦所说：“从某种意义上说，纯粹数学就是逻辑思想的诗篇。”德国数学家卡尔·魏尔斯特拉斯对此表示赞同：“一位数学家若没有点儿诗人气质，就永远不会成为真正的数学家。”

证明与真理
作为数学家，我有一部分工作是尝试创造新的结构；还有一部分工作是讲故事，也就是我选择探索的结构如何及为何具有情感共鸣，因此值得研究。这些故事就是我们创造的证明，而数学的诗意往往体现在其中。
哈代在《一个数学家的辩白》中讲述的两个数学故事，让我一次窥见了爱因斯坦和魏尔斯特拉斯所说的数学的诗意。两个数学故事的主角都是古希腊人发现的证明，充分展现了优秀的数学故事所蕴含的戏剧性和心灵震撼，也确实让 13 岁的我放飞了想象力。其中一个故事是证明素数有无穷多个，我将在第 1 章中复述该证明。我还记得当读到有限的人类心智如何通过有限的逻辑思想操作来探索无限时，自己是何等兴奋。
第二个故事是证明不存在平方等于 2 的分数。换言之， 2无法写成分数的形式。这一发现是一个惊人的启示，至今仍影响着我们身处的物理宇宙与数学所在的抽象世界之间的差异。这种差异的故事将反复出现在我们探索数学结构的旅程中。
证明在数学中扮演着重要角色，或许这正是令其区别于艺术创造力的原因—证明是能够确定永恒真理的力量。这种触及真理的能力是成为数学家的核心要素。
我在哈代的书中读到的有 2 000 年历史的古希腊人的证明，至今仍和它们初被证明时同样真实，并且仍然有着强烈的共鸣，这是非常令人惊叹的。身为一个缺乏自信的青少年，我在阅读那些证明时感受到了确定性的强大吸引力。似乎没有其他学科具有这种永恒感。正如哈代在书中所写：“当埃斯库罗斯被遗忘时，阿基米德仍会被铭记，因为语言会死亡，而数学思想不会。‘不朽’也许是荒唐之言，但不论它意味着什么，数学家大概都是有希望拥有它的人。”
这种对确定性的渴望，与驱动艺术家的动机形成鲜明对比。模棱两可是创造性艺术的一个关键特征，而数学家对此深恶痛绝。多元解读、供你融入自我的留白空间、作品激发的创造行为—有这些在艺术领域都是完全合理且非常重要的维度。虽然数学创造力意味着启发看待结构的新方式，甚至可能启发那些使用证明的人，让他们获得进一步的发现，但在创造数学的过程中，模棱两可不值得提倡。你会切实希望读者在证明结束时得到与你相同的结论。
我是主动选择成为一名数学家的。我的许多同行认为，在“两种文化”的划分上，数学当然位于科学的一侧。我却发现，艺术家也会被一些结构吸引，这些结构与在数学研究中让我兴奋的结构非常相似。这让我意识到，我们双方具有的共同点多于许多人意识到的数量。身为数学家，我花了很多时间与艺术家对话，发现让他们兴奋的正是我熟悉的数学结构，只是披上了音乐或语言的外衣。反过来，我也很乐意分享来自数学世界的结构，它们有可能启发新的艺术方向。这些对话深刻地影响了我要在本书中与你分享的故事。我发现，数学是一座真正的桥梁，跨越在文化鸿沟之上。
大多数人都承认，数学是科学的语言，它的方程和公式让我们得以理解和改造我们的环境。但我想在本书中揭示：数学也是许多艺术实践的核心。无论是有意识地使用，还是不自觉地使用，许多艺术家都在利用数学结构。数学是结构的科学。音乐、文学、建筑和绘画是结构的艺术。自然和科学是结构的实体化。通过与这些永恒结构的联系，数学、艺术和自然三大领域达到统一。
本书的每一章都专注于一个不同的数学结构。素数、圆、斐波那契数、黄金分割、分形、正多面体、对称性、双曲几何、随机性，每一个数学结构都是一个起点，用以探索这种结构及其变体是如何被运用于各种不同的艺术分支之中的，同时说明自然也是以它们为基础的。如果你是一次了解这些数学结构，我希望你可以通过艺术的棱镜来接触这些结构，这可能会提供一种与数学思想产生联系的方式，并减少直面它们时可能产生的恐惧感。我也会利用每一个数学结构暗示数学中诗意和美学的一面。
终，我意识到，人类文化并非如教育体系告诉我们的那样分为两个阵营：一边是艺术，另一边是科学和自然。人类文化实际上是一种文化，只不过有许多看待世界的不同方式和表达世界的不同语言。语言可能不同，但蓝图是相同的。不论我们选择成为数学家、美术家、音乐家还是作家，都与找到正确的声音和语言相关，并用它们来表达在我们内心燃烧、迫不及待地想要得到释放的故事或者想法。
我在撰写本书的过程中惊奇的发现，就是不同的艺术门类会对相同的结构做出反应。乍一看，某些实践似乎与某些类型的结构更加合拍，比如音乐和数字，建筑和几何形状，绘画和比例。但这些结构其实能与我们创作时所用的任何媒介发生共鸣。我们在莎士比亚的文学作品中看到素数，在编舞者身上看到正二十面体的引导，在建筑比例中看到斐波那契数，在音乐中看到负曲率空间的轮廓。这些结构足够抽象，可以转化为声音、颜料、音乐或舞蹈等物理现实。
我们将从素数开始，探索塑造与创造我们周围世界的数学结构。在某种意义上，素数是万物的蓝图：我们从素数理解数，从数理解数学，从数学理解宇宙。所以，素数是一切的开端。