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书名：应用泛函分析
定价：39.0
ISBN：9787030542281
作者：无
版次：1
出版时间：2018-03
内容提要：
本书是为工学各专业研究生学习泛函分析课程编写的教材。全书共分4章，分别介绍实分析基础、距离空间、Hilbert空间、有界线性算子等内容，并在附录里介绍了上述知识的一些延伸内容：Sobolev空间、正规正交基、二次变分问题等。
本书取材精炼，结构紧凑，关注应用，每章末都附有难易适度的习题。在注重培养学生掌握泛函分析基本理论和方法的同时，也注重培养学生应用泛函分析的思想方法解决实际问题的能力。
目录：
目录
序言
前言
第1章 实分析基础 1
1.1 集合与映射 1
1.1.1 集合 1
1.1.2 映射 3
1.1.3 集合的基数 4
1.2 实数与函数的有关定理 7
1.2.1 实数的有关定理 7
1.2.2 函数的有关概念与定理 11
1.3 直线上的开集和闭集 15
1.3.1 开集和闭集的概念 15
1.3.2 开集和闭集的性质 17
1.3.3 开集和闭集的结构 19
1.4 可测集 20
1.4.1 有界开集和闭集的测度 20
1.4.2 可测集的概念 22
1.4.3 可测集的性质 24
1.5 可测函数 25
1.5.1 可测函数的概念 25
1.5.2 可测函数的性质 27
1.5.3 几乎处处收敛和测度收敛 29
1.6 Lebesgue积分 31
1.6.1 Riemann积分 31
1.6.2 Lebesgue积分的概念 33
1.6.3 Lebesgue积分的性质 35
1.6.4 Lp空间 37
习题 1 38
第2章 距离空间 41
2.1 距离空间的定义和例子 41
2.1.1 距离空间的定义 41
2.1.2 距离空间的实例 41
2.2 度量空间中的点集 47
2.2.1 距离拓扑 47
2.2.2 稠密集与可分性 48
2.3 完备距离空间 49
2.3.1 距离空间的完备化 52
2.4 紧性与列紧性 54
2.5 Banach空间 60
2.6 不动点原理及其应用 68
2.6.1 Banach不动点原理及迭代方法 68
2.6.2 压缩映像原理在积分方程理论中的应用 72
2.6.3 利用不动点定理求解常微分方程 74
2.7 有界线性泛函与Hahn-Banach扩张定理 76
2.7.1 有界线性算子 76
2.7.2 Hahn-Banach定理 84
习题 2 100
第3章 Hilbert空间 107
3.1 内积空间 107
3.1.1 内积空间的概念和性质 107
3.1.2 常见的内积空间 110
3.2 几个常用的Hilbert空间 112
3.3 正交分解 115
3.3.1 正交与正交补 115
3.3.2 变分原理与正交分解定理 117
3.3.3 正交分解定理的应用 120
3.4 Hilbert空间中的Fourier分析 123
3.4.1 标准正交系 123
3.4.2 Fourier级数 126
3.5 Hilbert空间的同构 129
习题 3 131
第4章 有界线性算子 135
4.1 一致有界原理，开映射定理和闭算子定理 135
4.1.1 一致有界原理 135
4.1.2 开映射定理，闭算子定理 139
4.2 共轭空间与共轭算子 141
4.2.1 共轭空间 141
4.2.2 共轭算子 143
4.2.3 算子的值域与核空间 145
4.3 算子的谱 147
4.3.1 谱的定义和性质 147
4.3.2 具体算子的谱 149
4.4 紧算子 152
4.4.1 紧算子的定义及性质 152
4.4.2 紧算子的谱 155
4.5 自伴算子，射影算子 156
4.5.1 自伴算子的定义及性质 157
4.5.2 射影 161
4.5.3 不变子空间与约化子空间 164
习题 4 165
附录 Sobolev空间 168
A.1 Sobolev空间 168
A.1.1 广义导数 168
A.1.2 Sobolev空间 170
A.1.3 Sobolev空间 171
A.2 正规正交基的存在性与Parseval公式 174
A.2.1 正规正交基的存在性 174
A.2.2 Parseval公式 174
A.3 共轭双线性泛函 176
A.4 Hilbert共轭算子与Lax-Milgram定理 178
A.4.1 Hilbert共轭算子 178
A.4.2 Lax-Milgram定理 182
A.4.3 算子的矩阵表示 185
A.5 二次变分问题 187
A.5.1 双线性形式 187
A.5.2 二次变分问题的主定理 188
A.6 从泛函分析角度考察Dirichlet原理 190
A.6.1 经典的欧拉{拉格朗日方程 191
A.6.2 广义边界值 194
A.6.3 Poincarffe-Friedrichs不等式 194
A.6.4 Dirichlet问题的解的存在性 196
参考文献 199
索引 200
在线试读：
第1章 实分析基础
实分析理论是实变量的分析学，是微积分学的进一步发展。本章主要介绍其中的集合论、实数理论、点集论、测度论和积分论的一些基本知识，为后面学习泛函分析奠定基础。
1.1 集合与映射
1.1.1 集合
集合是数学中的一个基本概念。在现代数学中已被普遍采用。通常将具有某种特定性质的具体或抽象对象的全体称为集合，简称为集，其中的每个对象称为该集的元素。例如，有理数集，实数集，连续函数集等都是常用的集合。
常用大写字母A；B；C；X；Y；Z；…表示集合，用小写字母a；b；c；x；y；z；…表示元素。当集合A为具有某种性质P的元素全体时，可表示为具有性质或具有性质。
如果元素x属于集合A，则记为；如果x不属于A，则记为x=2A。不含任何元素的集合称为空集，记为；含有有限个元素的集合称为有限集；含有无限个元素的集合称为无限集。
如果集合A的元素都属于集合B，则称A是B的子集，记为或，读作A包含于B或B包含A。显然，规定空集是任何集合的子集。若且A6=B，则称A是B的真子集；若且则称集合A与B相等，记为A=B。
集合的运算定义如下。
定义1.1.1 设A，B为两个集合，由A与B的全体元素所组成的集合称为A与B的并集或和集，记为，即由既属于A又属于B的所有元素组成的集合称为A与B的交集，记为即由属于A但不属于B的所有元素组成的集合称为A与B的差集，记为或，即当时，称A与B的差集为B关于A的余集或补集，记为BC或。
集合的并与交运算可以推广到任意多个（有限或无限）集合的情形。设是一集族，其中。为集合的指标，它在指标集I中变化，则由一切的所有元素组成的集合称为这族集合的并集或和集，记为。，即同时属于每个集合的所有元素组成的集合称为这族集合的交集，记为，即。
集合的运算满足如下的运算规律：
（1）幂等律；
（2）交换律；
（3）结合律；
（4）分配律；
（5）对偶律（DeMorgan律）。
定义1.1.2 设A与B是两个非空集合，由所有有序元素组组成的集合称为A与B的直积，记为，即例如，二维欧氏空间是实数集R与其自身的直积。中的元素为有序对，当时，而且，因此，一般情况下，有。
直积的概念可以推广到有限多个非空集合的情形。设集合为n个非空集合，则称集合为它们的直积。若，则记。
1.1.2 映射
定义1.1.3 设是两个非空集合，如果存在一个对应法则f，使得对于X中的任何一个元素x，按照法则f，在Y中有*一确定的元素y与之对应，则称f是X到Y的一个映射或算子，记为，并称y为x在映射f下的像，记为。对于任意一个固定的y，称集合为y在映射f下的原像，记为。称X为f的定义域，记为；称集合为f的值域，记为R（f）；称集合为映射f的图像。
一般地，R（f）是Y的一个子集，不一定等于Y。在上述定义中，如果X为n维欧氏空间为实数集合R（一维欧氏空间），则y=f（x）就是高等数学中已学过的一元或多元函数，因此，映射的概念是函数概念的推广，是将函数的定义域和值域推广到一般集合上了。当时，也称f为定义在X上的变换；当Y是数集（实数集R或复数集C）时，也称f为定义在X上的泛函。
例1.1.1 设X为R上的二次可微函数全体构成的集合，Y是R上的函数全体构成的集合为常数，定义如下对应关系：则f为X到Y的映射。当时，称此映射为二阶微分算子。
例1.1.2 设X为非空集合，且满足则f是X到其自身的一个映射，称为X上的恒等映射或恒等变换，记为。
例1.1.3 设C[a；b]为区间[a；b]上的连续函数全体构成的集合，则对，积分为上的一个泛函。
定义1.1.4 设X；Y是两个非空集合，对于映射，如果，则称f为X到Y上的满射；如果对，当时，有则称f是X到Y的单射；如果f既是满射又是单射，则称f为X到Y上的双射或一一映射。
例如，对函数，当时，是满射而不是单射；当时，是单射而不是满射；当或时，是双射。
定义1.1.5 设X；Y；Z为非空集合，对映射，由所确定的映射称为映射f和g的复合映射，记为。
定义1.1.6 设X；Y为非空集合，对映射，若存在映射，使得则称g为f的逆映射，记为。
复合映射是复合函数概念的推广，逆映射是反函数概念的推广。
定义1.1.7 设f；F分别是到Y中的映射，若，且对于任意的，有，则称F是f在集合D（F）上的延拓或扩张，称f是F在D（f）上的限制，记为。
1.1.3 集合的基数
对于有限集，我们可以通过计算其所含元素的个数比较大小，但对于无限集，其所含元素为无穷多个，无法计算其个数，如何比较大小呢？下面的讨论将回答这一问题。
定义1.1.8 设为两个集合，如果存在一个A到B的一一映射，则称A与B对等，记为。
显然，对等关系满足下列性质：
（1）自反性；
（2）对称性，则；
（3）传递性，则。
一般地，将满足上述三条性质的关系称为等价关系。因此，两个集合的对等关系就是一种等价关系。
定义1.1.9 设A；B为两个集合，若，则称A与B具有相同的基数或势，记为。
例如，实数集R与区间（0；1）是对等的，两者之间存在的一一映射为。
定理1.1.1 任何一个无限集必能与它的某一真子集对等。
证明 设A是一个无限集，任取一个元素a12A，因为A为无限集，则；再从集中取出一个元素a2，则，将此方法依次进行下去，可选取一列属于A的互异元素记则；为A的真子集。定义映射且当；当时，则T为A到C上的一一映射，故。
有限集与其真子集不可能建立一一映射，因此无限集与有限集有本质的区别。由于空集不含任何元素，故规定；有限集的基数就是其元素的个数；将自然数集N的基数称为可数基数，记为（读作“阿列夫零”）；将实数集R的基数称为连续统基数，记。
定义1.1.10 与自然数集N对等的集合称为可数集或可列集。一个集合是有限集或可数集时，称其为至多可数。
例如，整数集函数系和都是可数集。
由上述定义知，A是可数集的充分必要条件是A可表示为。
可数集的性质如下。
性质1 可数集的任意子集，若不是有限集必是可数集。
证明 设A是可数集，则设B是A的非空子集，则B的元素应是A的元素列的一个子列，即其中。若指标；中有*大数，则B为一个有限集；否则B为一个无限集。当B是无限集时，将B的元素与自然数k对应，可知集合B与自然数集N对等，从而B是可数集。
性质2 任意无限集都包含可数子集。
证明 设M是一无限集，显然，故存在a12M，因为M是无限集，所以也是无限集，从而存在，显然，且。假设已从M中取出了k个互异元素，因为M是无限集，所以也是无限集，从而存在，显然由数学归纳法，可得到M的一个可数子集。
性质3 可数个有限集的并集是可数集；有限个或可数个可数集的并集是可数集。
证明 不失一般性，仅就可数个可数集的情形来证，其他情形证法类似。设为可数集，其中，不妨假设它们两两不交，否则可以用代替它们。将的所有元素排列如下将上述所有元素从左上角起按箭头次序列出为可数集。
例1.1.4 有理数集为可数集。
证明 因为每个有理数都可写成既约分数p=q，其中p；q都为整数，且规定，所以对每个固定的是一可数集。从而有理数集为可数个可数集的并集。由性质3知，有理数集Q是可数集。
性质4 有限个可数集的直积是可数集。
证明 先证两个集合的情形。设A；B是两个可数集，
定价：39.0
ISBN：9787030542281
作者：无
版次：1
出版时间：2018-03
内容提要：
本书是为工学各专业研究生学习泛函分析课程编写的教材。全书共分4章，分别介绍实分析基础、距离空间、Hilbert空间、有界线性算子等内容，并在附录里介绍了上述知识的一些延伸内容：Sobolev空间、正规正交基、二次变分问题等。
本书取材精炼，结构紧凑，关注应用，每章末都附有难易适度的习题。在注重培养学生掌握泛函分析基本理论和方法的同时，也注重培养学生应用泛函分析的思想方法解决实际问题的能力。
目录：
目录
序言
前言
第1章 实分析基础 1
1.1 集合与映射 1
1.1.1 集合 1
1.1.2 映射 3
1.1.3 集合的基数 4
1.2 实数与函数的有关定理 7
1.2.1 实数的有关定理 7
1.2.2 函数的有关概念与定理 11
1.3 直线上的开集和闭集 15
1.3.1 开集和闭集的概念 15
1.3.2 开集和闭集的性质 17
1.3.3 开集和闭集的结构 19
1.4 可测集 20
1.4.1 有界开集和闭集的测度 20
1.4.2 可测集的概念 22
1.4.3 可测集的性质 24
1.5 可测函数 25
1.5.1 可测函数的概念 25
1.5.2 可测函数的性质 27
1.5.3 几乎处处收敛和测度收敛 29
1.6 Lebesgue积分 31
1.6.1 Riemann积分 31
1.6.2 Lebesgue积分的概念 33
1.6.3 Lebesgue积分的性质 35
1.6.4 Lp空间 37
习题 1 38
第2章 距离空间 41
2.1 距离空间的定义和例子 41
2.1.1 距离空间的定义 41
2.1.2 距离空间的实例 41
2.2 度量空间中的点集 47
2.2.1 距离拓扑 47
2.2.2 稠密集与可分性 48
2.3 完备距离空间 49
2.3.1 距离空间的完备化 52
2.4 紧性与列紧性 54
2.5 Banach空间 60
2.6 不动点原理及其应用 68
2.6.1 Banach不动点原理及迭代方法 68
2.6.2 压缩映像原理在积分方程理论中的应用 72
2.6.3 利用不动点定理求解常微分方程 74
2.7 有界线性泛函与Hahn-Banach扩张定理 76
2.7.1 有界线性算子 76
2.7.2 Hahn-Banach定理 84
习题 2 100
第3章 Hilbert空间 107
3.1 内积空间 107
3.1.1 内积空间的概念和性质 107
3.1.2 常见的内积空间 110
3.2 几个常用的Hilbert空间 112
3.3 正交分解 115
3.3.1 正交与正交补 115
3.3.2 变分原理与正交分解定理 117
3.3.3 正交分解定理的应用 120
3.4 Hilbert空间中的Fourier分析 123
3.4.1 标准正交系 123
3.4.2 Fourier级数 126
3.5 Hilbert空间的同构 129
习题 3 131
第4章 有界线性算子 135
4.1 一致有界原理，开映射定理和闭算子定理 135
4.1.1 一致有界原理 135
4.1.2 开映射定理，闭算子定理 139
4.2 共轭空间与共轭算子 141
4.2.1 共轭空间 141
4.2.2 共轭算子 143
4.2.3 算子的值域与核空间 145
4.3 算子的谱 147
4.3.1 谱的定义和性质 147
4.3.2 具体算子的谱 149
4.4 紧算子 152
4.4.1 紧算子的定义及性质 152
4.4.2 紧算子的谱 155
4.5 自伴算子，射影算子 156
4.5.1 自伴算子的定义及性质 157
4.5.2 射影 161
4.5.3 不变子空间与约化子空间 164
习题 4 165
附录 Sobolev空间 168
A.1 Sobolev空间 168
A.1.1 广义导数 168
A.1.2 Sobolev空间 170
A.1.3 Sobolev空间 171
A.2 正规正交基的存在性与Parseval公式 174
A.2.1 正规正交基的存在性 174
A.2.2 Parseval公式 174
A.3 共轭双线性泛函 176
A.4 Hilbert共轭算子与Lax-Milgram定理 178
A.4.1 Hilbert共轭算子 178
A.4.2 Lax-Milgram定理 182
A.4.3 算子的矩阵表示 185
A.5 二次变分问题 187
A.5.1 双线性形式 187
A.5.2 二次变分问题的主定理 188
A.6 从泛函分析角度考察Dirichlet原理 190
A.6.1 经典的欧拉{拉格朗日方程 191
A.6.2 广义边界值 194
A.6.3 Poincarffe-Friedrichs不等式 194
A.6.4 Dirichlet问题的解的存在性 196
参考文献 199
索引 200
在线试读：
第1章 实分析基础
实分析理论是实变量的分析学，是微积分学的进一步发展。本章主要介绍其中的集合论、实数理论、点集论、测度论和积分论的一些基本知识，为后面学习泛函分析奠定基础。
1.1 集合与映射
1.1.1 集合
集合是数学中的一个基本概念。在现代数学中已被普遍采用。通常将具有某种特定性质的具体或抽象对象的全体称为集合，简称为集，其中的每个对象称为该集的元素。例如，有理数集，实数集，连续函数集等都是常用的集合。
常用大写字母A；B；C；X；Y；Z；…表示集合，用小写字母a；b；c；x；y；z；…表示元素。当集合A为具有某种性质P的元素全体时，可表示为具有性质或具有性质。
如果元素x属于集合A，则记为；如果x不属于A，则记为x=2A。不含任何元素的集合称为空集，记为；含有有限个元素的集合称为有限集；含有无限个元素的集合称为无限集。
如果集合A的元素都属于集合B，则称A是B的子集，记为或，读作A包含于B或B包含A。显然，规定空集是任何集合的子集。若且A6=B，则称A是B的真子集；若且则称集合A与B相等，记为A=B。
集合的运算定义如下。
定义1.1.1 设A，B为两个集合，由A与B的全体元素所组成的集合称为A与B的并集或和集，记为，即由既属于A又属于B的所有元素组成的集合称为A与B的交集，记为即由属于A但不属于B的所有元素组成的集合称为A与B的差集，记为或，即当时，称A与B的差集为B关于A的余集或补集，记为BC或。
集合的并与交运算可以推广到任意多个（有限或无限）集合的情形。设是一集族，其中。为集合的指标，它在指标集I中变化，则由一切的所有元素组成的集合称为这族集合的并集或和集，记为。，即同时属于每个集合的所有元素组成的集合称为这族集合的交集，记为，即。
集合的运算满足如下的运算规律：
（1）幂等律；
（2）交换律；
（3）结合律；
（4）分配律；
（5）对偶律（DeMorgan律）。
定义1.1.2 设A与B是两个非空集合，由所有有序元素组组成的集合称为A与B的直积，记为，即例如，二维欧氏空间是实数集R与其自身的直积。中的元素为有序对，当时，而且，因此，一般情况下，有。
直积的概念可以推广到有限多个非空集合的情形。设集合为n个非空集合，则称集合为它们的直积。若，则记。
1.1.2 映射
定义1.1.3 设是两个非空集合，如果存在一个对应法则f，使得对于X中的任何一个元素x，按照法则f，在Y中有*一确定的元素y与之对应，则称f是X到Y的一个映射或算子，记为，并称y为x在映射f下的像，记为。对于任意一个固定的y，称集合为y在映射f下的原像，记为。称X为f的定义域，记为；称集合为f的值域，记为R（f）；称集合为映射f的图像。
一般地，R（f）是Y的一个子集，不一定等于Y。在上述定义中，如果X为n维欧氏空间为实数集合R（一维欧氏空间），则y=f（x）就是高等数学中已学过的一元或多元函数，因此，映射的概念是函数概念的推广，是将函数的定义域和值域推广到一般集合上了。当时，也称f为定义在X上的变换；当Y是数集（实数集R或复数集C）时，也称f为定义在X上的泛函。
例1.1.1 设X为R上的二次可微函数全体构成的集合，Y是R上的函数全体构成的集合为常数，定义如下对应关系：则f为X到Y的映射。当时，称此映射为二阶微分算子。
例1.1.2 设X为非空集合，且满足则f是X到其自身的一个映射，称为X上的恒等映射或恒等变换，记为。
例1.1.3 设C[a；b]为区间[a；b]上的连续函数全体构成的集合，则对，积分为上的一个泛函。
定义1.1.4 设X；Y是两个非空集合，对于映射，如果，则称f为X到Y上的满射；如果对，当时，有则称f是X到Y的单射；如果f既是满射又是单射，则称f为X到Y上的双射或一一映射。
例如，对函数，当时，是满射而不是单射；当时，是单射而不是满射；当或时，是双射。
定义1.1.5 设X；Y；Z为非空集合，对映射，由所确定的映射称为映射f和g的复合映射，记为。
定义1.1.6 设X；Y为非空集合，对映射，若存在映射，使得则称g为f的逆映射，记为。
复合映射是复合函数概念的推广，逆映射是反函数概念的推广。
定义1.1.7 设f；F分别是到Y中的映射，若，且对于任意的，有，则称F是f在集合D（F）上的延拓或扩张，称f是F在D（f）上的限制，记为。
1.1.3 集合的基数
对于有限集，我们可以通过计算其所含元素的个数比较大小，但对于无限集，其所含元素为无穷多个，无法计算其个数，如何比较大小呢？下面的讨论将回答这一问题。
定义1.1.8 设为两个集合，如果存在一个A到B的一一映射，则称A与B对等，记为。
显然，对等关系满足下列性质：
（1）自反性；
（2）对称性，则；
（3）传递性，则。
一般地，将满足上述三条性质的关系称为等价关系。因此，两个集合的对等关系就是一种等价关系。
定义1.1.9 设A；B为两个集合，若，则称A与B具有相同的基数或势，记为。
例如，实数集R与区间（0；1）是对等的，两者之间存在的一一映射为。
定理1.1.1 任何一个无限集必能与它的某一真子集对等。
证明 设A是一个无限集，任取一个元素a12A，因为A为无限集，则；再从集中取出一个元素a2，则，将此方法依次进行下去，可选取一列属于A的互异元素记则；为A的真子集。定义映射且当；当时，则T为A到C上的一一映射，故。
有限集与其真子集不可能建立一一映射，因此无限集与有限集有本质的区别。由于空集不含任何元素，故规定；有限集的基数就是其元素的个数；将自然数集N的基数称为可数基数，记为（读作“阿列夫零”）；将实数集R的基数称为连续统基数，记。
定义1.1.10 与自然数集N对等的集合称为可数集或可列集。一个集合是有限集或可数集时，称其为至多可数。
例如，整数集函数系和都是可数集。
由上述定义知，A是可数集的充分必要条件是A可表示为。
可数集的性质如下。
性质1 可数集的任意子集，若不是有限集必是可数集。
证明 设A是可数集，则设B是A的非空子集，则B的元素应是A的元素列的一个子列，即其中。若指标；中有*大数，则B为一个有限集；否则B为一个无限集。当B是无限集时，将B的元素与自然数k对应，可知集合B与自然数集N对等，从而B是可数集。
性质2 任意无限集都包含可数子集。
证明 设M是一无限集，显然，故存在a12M，因为M是无限集，所以也是无限集，从而存在，显然，且。假设已从M中取出了k个互异元素，因为M是无限集，所以也是无限集，从而存在，显然由数学归纳法，可得到M的一个可数子集。
性质3 可数个有限集的并集是可数集；有限个或可数个可数集的并集是可数集。
证明 不失一般性，仅就可数个可数集的情形来证，其他情形证法类似。设为可数集，其中，不妨假设它们两两不交，否则可以用代替它们。将的所有元素排列如下将上述所有元素从左上角起按箭头次序列出为可数集。
例1.1.4 有理数集为可数集。
证明 因为每个有理数都可写成既约分数p=q，其中p；q都为整数，且规定，所以对每个固定的是一可数集。从而有理数集为可数个可数集的并集。由性质3知，有理数集Q是可数集。
性质4 有限个可数集的直积是可数集。
证明 先证两个集合的情形。设A；B是两个可数集，