内容简介

在大规模科学工程计算的很多领域中，有很多问题都归结于大规模线性代数方程组的求解。研究大规模稀疏线性代数系统的求解方法已经成为大规模科学与工程计算中的核心问题之一，具有重要的理论意义和实际的应用价值。本书对求解大规模稀疏线性代数方程组的一些迭代解法进行了深入研究。特别是，用矩阵分裂方法求解一些特殊结构的线性系统，如分数阶扩散方程，带位移线性系统，鞍点问题以及线性互补问题，并对算法的收敛性进行了分析和讨论。本书主要介绍了用几类分裂迭代法去求解一些特殊结构的线性系统，如分数阶扩散方程、带位移线性系统、鞍点问题以及线性互补问题，并且在主要理论结果的后面都给出了具体的数值实验，来验证分裂法的有效性。本书可供数值代数领域的研究人员阅读，也可供数学专业及相关专业高年级本科生、研究生参考。

前言概述

在科学工程计算的诸多领域中，有很多问题都归结于线性代数方程组的求解。研究大规模稀疏线性代数系统的求解方法，已经成为科学与工程大规模计算中的核心问题之一，具有重要的理论意义和实际的应用价值。本书对求解大规模稀疏线性代数方程组的一些迭代解法进行了深入研究，特别是用矩阵分裂方法求解一些特殊结构的线性系统，如分数阶扩散方程、带位移线性系统、鞍点问题以及线性互补问题，并对算法的收敛性进行了分析和讨论。全书共7章，主要内容包括如下5个部分：第一部分，讨论用广义修正Hermitian和skew–Hermitian分裂迭代法（GMHSS）求解复对称线性系统。首先，通过对MHSS迭代法进行推广，提出了广义修正Hermitian和skew–Hermitian分裂迭代法（GMHSS），并建立了GMHSS分裂迭代法的收敛性理论。然后，通过数值实验验证所提出迭代算法的有效性。第二部分，研究用带有转移Grunwald格式的隐式有限差分法来离散化带有常数项系数的分数阶对流–弥散方程。由于所得线性系统的系数矩阵是正定矩阵，并且具有Toeplitz–like结构，为此用Hermitian和skew–Hermitian分裂法来求解此具有Toeplitz–like特殊结构的线性系统。在Hermitian和skew–Hermitian分裂迭代法中，需要求解两个线性子系统。这里利用Krylov子空间法来求解每一个线性子系统，并利用快速傅里叶变换（FFTs）来降低迭代过程中的矩阵–向量乘的计算量；同时，在用Krylov子空间法求解线性子系统时，可以利用如Strang’s和T.Chan’s预条件矩阵作为循环预处理子来加速Krylov子空间迭代法求解线性子系统的收敛速度。对算法的收敛性进行理论分析并给出预条件矩阵谱的性质，进而得出所提迭代法的超线性收敛性。第三部分，讨论关于求解带位移线性系统序列的预处理更新技术问题，并提出一种新的修正策略来更新预条件矩阵。这种预处理技术是基于矩阵A的LDU分解，根据位移参数α的不同取值而得到新的带位移线性系统中系数矩阵AαI所对应的预处理子，并进一步讨论所提预条件子的性质以及预条件矩阵谱的限的问题。该技术推广了预处理子的更新技术。数值实验表明，当位移参数α在一个比较大的范围内取值时，所提出的更新预处理子技术是可行有效的。第四部分，基于基模矩阵分裂迭代法，研究如何加速基模矩阵分裂迭代法。我们将其变形形式作为内迭代法，来近似地求解线性互补问题，并且具体给出所提新方法的不精确迭代过程。特别地，当系数矩阵为正定矩阵和H-矩阵时，进而分析了所提新方法的收敛性及其性质。通过数值实验，验证了所提出的新方法在适当条件下比基模矩阵分裂迭代法具有较少的迭代步数和CPU，表明对于求解线性互补问题，本书所提方法更加可行有效。第五部分，讨论关于鞍点问题的求解。首先提出一种快速有效的分裂法即广义Uzawa–SOR迭代法，该方法推广了USOR迭代法。进而分析新迭代法对应迭代矩阵的特征值和特征向量的性质，并给出当参数在一定范围内取值时，广义Uzawa–SOR迭代法的收敛性结果。数值实验表明，所提出的迭代法有效地加快了USOR迭代法的收敛速度。本书的特点是系统透彻的分析、严谨的理论证明，对线性系统的迭代解法及预处理技术的发展和完善具有重要的理论意义。西北民族大学数学与计算机科学学院领导在本书著作过程中给予了大力支持，借此对他们致以感谢。同时，感谢西北民族大学智能计算机与动力系统分析及其应用创新团队对本书出版的资助，感谢给本书提供建议的老师们和同事们。由于作者水平有限，书中不足之处，敬请广大读者批评指正。

作者介绍

白玉琴，西北民族大学数学与计算机科学学院讲师，主要教授藏汉双语数学课程。承担项目两个：（1）线性系统的预处理技术研究及其应用，中央高校基本科研业务费专项资金项目，31920190028,201941-2022430；（2）矩阵计算及在图像处理中的应用，中央高校基本科研业务费专项资金项目，31920130005,201441-201641。发表论文6篇，如下：[1]YuQinBai,YanPingXiao,WeiYuanMa,ThepreconditionedSOR
iterativemethodforpositivedefinitematrices,JournalofAppliedMathematics,Volume2013,ArticleID732834,4pages.[2]YuQinBai,TingZhuHuang,MiaoMiaoYu,ConvergenceofaeneralizedUSORiterativemethodforaugmentedsystems,MathematicalProblems
inEngineering,Volume2013,ArticleID326169,6pages.[3]YuQinBai,TingZhuHuang,YanPingXiao,JournalofComputationalAnalysisandApplications,2014,17(2):316-328.[4]YuQinBai,TingZhuHuang,MiaoMiaoYu,Circulantpreconditionediterativemethods
forfractionaldiffusionequationsbasedontheHermitianandskew-Hermitiansplitting,AppliedMathematicsLetters,2015,48:14–22.[5]YuQinBai,AnQiangWang,AnaccelerationofthepreconditionedGAORmethodsforsystemsoflinearequations,International
JournalofComputerMathematics,2015,92(5):1012-1024.[6]Yu-QinBai,Ting-ZhuHuang,andWei-HuaLuo,Acceleratedpreconditionerupdatesforsolvingshiftedlinearsystems,InternationalJournalofComputerMathematics，2017,94(4):747-756.

目录

1 绪论
1.1 研究问题和背景
1.2 研究现状
1.2.1 Hermitian和skew-Hermitian分裂迭代法
1.2.2 带位移线性系统
1.2.3 鞍点线性系统的迭代法
1.2.4 线性互补问题（LCP）
1.3 本书主要研究内容和方法
2 基于MHSS迭代法的加速技巧研究
2.1 引言
2.2 GMHSS迭代法的收敛性分析
2.2.1 预备知识
2.2.2 主要结果
2.3 算法
2.4 数值实验
2.5 本章小结
3 关于时间空间分数阶扩散方程的HSS算法研究
3.1 引言
3.2 基于HSS迭代法求解分数阶扩散方程
3.2.1 分数阶扩散方程的有限差分离散化
3.2.2 HSS迭代法以及预条件HSS迭代法
3.2.3 收敛性分析
3.3 数值实验
3.4 本章小结
4 带位移线性系统预处理子的更新技术研究
4.1 引言
4.2 更新预条件子技术
4.2.1 更新思想
4.2.2 收敛性分析
4.3 数值实验
4.4 本章小结
5 关于鞍点问题的一种广义USOR分裂迭代法的研究
5.1 引言
5.2 广义USOR迭代算法的提出和实现
5.2.1 基本思想
5.2.2 迭代算法
5.3 收敛性分析
5.4 数值实验
5.5 本章小结
6 线性互补问题中基模矩阵分裂迭代法的加速研究
6.1 引言
6.2 修正基模矩阵分裂迭代法
6.2.1 预备知识
6.2.2 基模矩阵分裂迭代法的修正和改进
6.2.3 主要结果
6.3 数值实验
6.3.1 对称情形
6.3.2 非对称情形
本章小结
7 总结与展望
7.1 总结
7.2 展望
参考文献