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书名：非线性分析（第二版）
定价：45.0
ISBN：9787030550477
作者：薛小平，秦泗甜，吴玉虎
版次：1
出版时间：2017-11
内容提要：
本书是一本非线性分析方面的基础理论教材，内容包括拓扑度理论及其应用、凸分析与*优化、单调算子理论、变分与临界点理论、分支理论简介。本书重视问题背景，理论阐述简明易懂，内容精心选取，每章后配有适量习题，便于读者阅读和巩固。
目录：
目录
第二版前言
**版前言
第0章 预备知识 1
0.1 Banach空间与Hilbert空间 1
0.2 仿紧空间与单位分解 6
0.3 广义导数与Sobolev空间 7
0.4 关于拉普拉斯算子-△的性质 11
0.5 椭圆型方程的正则化理论 15
0.6 Bochner可积与向量值分布 18
习题 27
第1章 拓扑度 28
1.1 可微映射 29
1.2 反函数与隐函数定理 35
1.3 有穷维空间的拓扑度 38
1.4 Brouwer度的性质及应用 46
1.5 无穷维空间的拓扑度 53
习题 61
第2章 凸分析与*优化 63
2.1 凸函数的连续性和可微性 63
2.2 凸函数的共轭函数 67
2.3 Yosida逼近 70
2.4 极大极小定理 75
2.5 集值映射的零点存在定理及其应用 81
2.6 局部Lipschitz函数 85
习题 91
第3章 Hilbert空间的单调算子理论 92
3.1 单值单调算子 92
3.2 集值映射 99
3.3 集值的单调算子理论 108
习题 117
第4章 变分原理 119
4.1 经典变分原理 119
4.2 变分原理的应用 128
4.3 Ekeland变分原理 137
习题 142
第5章 临界点理论 144
5.1 伪梯度向量场和形变原理 144
5.2 极小极大原理 153
5.3 环绕 161
5.4 Ljusternik-Schnirelmann临界点理论 166
习题 170
第6章 分支理论 173
6.1 Lyapunov-Schmidt约化 173
6.2 Morse引理 176
6.3 Crandall-Rabinowitz分支理论 181
习题 190
参考文献 192
在线试读：
第0章 预备知识
本章的目的是为以后各章的学习提供简要的知识准备，内容包括线性泛函分析、拓扑、Sobolev空间、二阶椭圆型方程及抽象函数积分的相关基础理论。
0.1 Banach空间与Hilbert空间
设X表示数域K上的一个线性空间，K为实数域或复数域。称为X上的一个范数，如果满足
（1）
（2）
（3）
此时X按范数成为一个赋范线性空间；称依范数收敛于x，是指。称为Cauchy列，是指。
定义0.1.1 称赋范线性空间X是Banach空间，是指X中每个Cauchy列都是收敛的；换言之，完备的赋范线性空间称为Banach空间。
称为X上的连续线性泛函，是指
（1）
（2）
记X*表示X上连续线性泛函的全体，则X*构成一个线性空间，定义范数为
此时，X*构成一个赋范线性空间，而且是Banach空间；X*称为X的共轭空间。
定理0.1.1 （Hahn-Banach定理）设X是赋范线性空间，X0表示X的线性子空间，f0是X0上定义的连续线性泛函，则存在X上的连续线性泛函f满足：
（1）
（2）
定理0.1.1称为Hahn-Banach保范扩张定理。
推论0.1.1 设X是赋范线性空间，且，则存在满足
推论0.1.1表明赋范线性空间X上的连续线性泛函是丰富的，它可以分离X中任何两点即，则存在，使。
设X是一个Banach空间，定义
则Jx是定义在X*上的一个连续线性泛函，即。
定义0.1.2 称Banach空间X是自反的，是指，存在满足，即有
对于赋范空间，有以下两种收敛：
（1）强收敛（按范数收敛）
（2）弱收敛
对于共轭空间，有以下三种收敛：
（1）强收敛
（2）弱收敛
（3）弱*收敛
用分别表示强收敛、弱收敛、弱*收敛。
当X是自反Banach空间时，弱收敛与弱*收敛等价。一般情况，强收敛）弱收敛）弱*收敛。
定理0.1.2 设X是自反Banach空间，是X中有界列，则存在的子列及，使。
设X；Y是两个赋范线性空间，L（X；Y）表示从X到Y的连续线性算子全体，赋予范数
那么L（X；Y）是一个赋范空间。特别地，当Y是Banach空间时，L（X；Y）也是Banach空间。
下面给出支撑线性泛函分析理论的几个著名定理。
定理0.1.3（共鸣定理）设X是Banach空间，Y是赋范线性空间，若对每个，有
则
定理0.1.4（逆算子定理）设X；Y是两个Banach空间，若T既是单射又是满射，则。
定理0.1.5（闭图像定理）设X；Y是两个Banach空间，T是从X到Y的线性算子，如果图像
是中的闭集，则。
定义0.1.3 设M是Banach空间X中一闭子空间，称M是拓扑可补的，是指存在闭子空间N，满足
（1）
（2）
根据拓扑可补子空间的定义，对每个，存在**的；使
于是，定义投影算子分别为。由逆算子定理可以证明。
一般情况，Banach空间X中的任一闭子空间未必存在拓扑可补的空间，常用的拓扑可补子空间包括有限维子空间与有限余维子空间。
在大多数偏微分方程中，微分算子不能成为某个Banach空间上定义的连续线性算子，它只能定义在一个稠密的子空间上。
设X和Y是两个Banach空间，X0是X的一个稠密子空间，是线性算子，记为T的定义域；图像及值域，核空间。
定义0.1.4 称算子T是闭的，如果图像Graph（T）是中的闭集。
注意，这里不能用闭图像定理推出，因为一般不等于X，所以D（T）不一定是Banach空间。
设T是闭算子，定义
存在常数c>0；成立；则是的子空间。对每个固定的，定义D（T）上的线性泛函为
那么f是D（T）上连续线性泛函，根据Hahn-Banach定理，f可保范扩张为X上连续线性泛函。又，则扩张是**的，即。于是定义T的共轭算子为
设X是Banach空间，X*是X的共轭空间，M，N是X；X*中的非空集合，记
定理0.1.6（闭值域定理）设T是闭算子且R（T）是闭的，则
（1）R（T*）是闭的；
（2）
（3）
定义0.1.5 设，称T是紧的，是指T将X中有界集映成Y中相对紧集。
对于从X到X的紧算子，有如下定理。
定理0.1.7 设，T是紧的，则
（1）是有限维的；
（2）是闭的；
（3）当且仅当
（4）
下面给出算子正则集与谱集的概念。
定义0.1.6 设
分别称为T的正则集与谱集。
根据定义，容易证明，是开集，是闭集。特别当满足：存在；使时，称为T的特征值，记T的特征值全体为，称为T的点谱。
定理0.1.8（Riesz-Schauder）设且T是紧算子，则
（1）
（2）是一个至多可列集；特别地，当是可列集时，有且。
设X是数域K上的一个线性空间，满足
（1）
（2）
（3）
称为X上定义的一个内积，此时称X在该内积下为内积空间。定义
则内积空间也是赋范线性空间。
定义0.1.7 称内积空间X是Hilbert空间，是指该内积空间作为赋范线性空间是Banach空间。
为了方便，下面仅讨论Hilbert空间。
对于一个Hilbert空间X，可引入正交的概念。在Hilbert空间中，常用的是平行四边形公式即
定理0.1.9 设M是Hilbert空间X的一个非空闭凸子集，定义
则存在M中**元素y*满足
特别地，当M是X的闭子空间时，有，即
由此可以推出下面著名的投影定理。
定理0.1.10 设M是X的闭子空间，记
则对每个，存在**；使
根据定理0.1.10，Hilbert空间中每一个闭子空间都是拓扑可补的。
定理0.1.11（Riesz）设X是Hilbert空间，则存在**，满足
定义0.1.8 设，称T是自共轭的，是指
定理0.1.12 设T是自共轭紧算子，记
这里，那么对每个，有
这里。
有关线性泛函的进一步内容，读者可参见参考文献[1]~[3]。
0.2 仿紧空间与单位分解
仿紧空间是极其重要的一类拓扑空间，它能保证每个闭集上的连续函数都能扩张成整个空间上的连续函数。这里假定拓扑空间都是Hausdorff空间。
定义0.2.1 设X是一个Hausdorff拓扑空间，称X是仿紧的，是指X的每个开覆盖都有局部有限的加细开覆盖，即对X的任意开覆盖，存在开覆盖满足
（1）对每个民，存在某个民使；
（2）对每个，存在x的邻域U（x）使
是有限集。
定理0.2.1（Stone）度量空间是仿紧的
定义0.2.2 设X是一个Hausdorff拓扑空间，是从x到[0，1]的连续函数族，称是X的单位分解，是指
（1）对每个，存在邻域U（x）满足
是有限集；
（2）对每个，
其中上面求和项中的项数是至多可数的。
定理0.2.2 设X是一个仿紧空间，是X的一个局部有限开覆盖，
则存在X的单位分解满足
（1）
（2）对每个x∈X，
定价：45.0
ISBN：9787030550477
作者：薛小平，秦泗甜，吴玉虎
版次：1
出版时间：2017-11
内容提要：
本书是一本非线性分析方面的基础理论教材，内容包括拓扑度理论及其应用、凸分析与*优化、单调算子理论、变分与临界点理论、分支理论简介。本书重视问题背景，理论阐述简明易懂，内容精心选取，每章后配有适量习题，便于读者阅读和巩固。
目录：
目录
第二版前言
**版前言
第0章 预备知识 1
0.1 Banach空间与Hilbert空间 1
0.2 仿紧空间与单位分解 6
0.3 广义导数与Sobolev空间 7
0.4 关于拉普拉斯算子-△的性质 11
0.5 椭圆型方程的正则化理论 15
0.6 Bochner可积与向量值分布 18
习题 27
第1章 拓扑度 28
1.1 可微映射 29
1.2 反函数与隐函数定理 35
1.3 有穷维空间的拓扑度 38
1.4 Brouwer度的性质及应用 46
1.5 无穷维空间的拓扑度 53
习题 61
第2章 凸分析与*优化 63
2.1 凸函数的连续性和可微性 63
2.2 凸函数的共轭函数 67
2.3 Yosida逼近 70
2.4 极大极小定理 75
2.5 集值映射的零点存在定理及其应用 81
2.6 局部Lipschitz函数 85
习题 91
第3章 Hilbert空间的单调算子理论 92
3.1 单值单调算子 92
3.2 集值映射 99
3.3 集值的单调算子理论 108
习题 117
第4章 变分原理 119
4.1 经典变分原理 119
4.2 变分原理的应用 128
4.3 Ekeland变分原理 137
习题 142
第5章 临界点理论 144
5.1 伪梯度向量场和形变原理 144
5.2 极小极大原理 153
5.3 环绕 161
5.4 Ljusternik-Schnirelmann临界点理论 166
习题 170
第6章 分支理论 173
6.1 Lyapunov-Schmidt约化 173
6.2 Morse引理 176
6.3 Crandall-Rabinowitz分支理论 181
习题 190
参考文献 192
在线试读：
第0章 预备知识
本章的目的是为以后各章的学习提供简要的知识准备，内容包括线性泛函分析、拓扑、Sobolev空间、二阶椭圆型方程及抽象函数积分的相关基础理论。
0.1 Banach空间与Hilbert空间
设X表示数域K上的一个线性空间，K为实数域或复数域。称为X上的一个范数，如果满足
（1）
（2）
（3）
此时X按范数成为一个赋范线性空间；称依范数收敛于x，是指。称为Cauchy列，是指。
定义0.1.1 称赋范线性空间X是Banach空间，是指X中每个Cauchy列都是收敛的；换言之，完备的赋范线性空间称为Banach空间。
称为X上的连续线性泛函，是指
（1）
（2）
记X*表示X上连续线性泛函的全体，则X*构成一个线性空间，定义范数为
此时，X*构成一个赋范线性空间，而且是Banach空间；X*称为X的共轭空间。
定理0.1.1 （Hahn-Banach定理）设X是赋范线性空间，X0表示X的线性子空间，f0是X0上定义的连续线性泛函，则存在X上的连续线性泛函f满足：
（1）
（2）
定理0.1.1称为Hahn-Banach保范扩张定理。
推论0.1.1 设X是赋范线性空间，且，则存在满足
推论0.1.1表明赋范线性空间X上的连续线性泛函是丰富的，它可以分离X中任何两点即，则存在，使。
设X是一个Banach空间，定义
则Jx是定义在X*上的一个连续线性泛函，即。
定义0.1.2 称Banach空间X是自反的，是指，存在满足，即有
对于赋范空间，有以下两种收敛：
（1）强收敛（按范数收敛）
（2）弱收敛
对于共轭空间，有以下三种收敛：
（1）强收敛
（2）弱收敛
（3）弱*收敛
用分别表示强收敛、弱收敛、弱*收敛。
当X是自反Banach空间时，弱收敛与弱*收敛等价。一般情况，强收敛）弱收敛）弱*收敛。
定理0.1.2 设X是自反Banach空间，是X中有界列，则存在的子列及，使。
设X；Y是两个赋范线性空间，L（X；Y）表示从X到Y的连续线性算子全体，赋予范数
那么L（X；Y）是一个赋范空间。特别地，当Y是Banach空间时，L（X；Y）也是Banach空间。
下面给出支撑线性泛函分析理论的几个著名定理。
定理0.1.3（共鸣定理）设X是Banach空间，Y是赋范线性空间，若对每个，有
则
定理0.1.4（逆算子定理）设X；Y是两个Banach空间，若T既是单射又是满射，则。
定理0.1.5（闭图像定理）设X；Y是两个Banach空间，T是从X到Y的线性算子，如果图像
是中的闭集，则。
定义0.1.3 设M是Banach空间X中一闭子空间，称M是拓扑可补的，是指存在闭子空间N，满足
（1）
（2）
根据拓扑可补子空间的定义，对每个，存在**的；使
于是，定义投影算子分别为。由逆算子定理可以证明。
一般情况，Banach空间X中的任一闭子空间未必存在拓扑可补的空间，常用的拓扑可补子空间包括有限维子空间与有限余维子空间。
在大多数偏微分方程中，微分算子不能成为某个Banach空间上定义的连续线性算子，它只能定义在一个稠密的子空间上。
设X和Y是两个Banach空间，X0是X的一个稠密子空间，是线性算子，记为T的定义域；图像及值域，核空间。
定义0.1.4 称算子T是闭的，如果图像Graph（T）是中的闭集。
注意，这里不能用闭图像定理推出，因为一般不等于X，所以D（T）不一定是Banach空间。
设T是闭算子，定义
存在常数c>0；成立；则是的子空间。对每个固定的，定义D（T）上的线性泛函为
那么f是D（T）上连续线性泛函，根据Hahn-Banach定理，f可保范扩张为X上连续线性泛函。又，则扩张是**的，即。于是定义T的共轭算子为
设X是Banach空间，X*是X的共轭空间，M，N是X；X*中的非空集合，记
定理0.1.6（闭值域定理）设T是闭算子且R（T）是闭的，则
（1）R（T*）是闭的；
（2）
（3）
定义0.1.5 设，称T是紧的，是指T将X中有界集映成Y中相对紧集。
对于从X到X的紧算子，有如下定理。
定理0.1.7 设，T是紧的，则
（1）是有限维的；
（2）是闭的；
（3）当且仅当
（4）
下面给出算子正则集与谱集的概念。
定义0.1.6 设
分别称为T的正则集与谱集。
根据定义，容易证明，是开集，是闭集。特别当满足：存在；使时，称为T的特征值，记T的特征值全体为，称为T的点谱。
定理0.1.8（Riesz-Schauder）设且T是紧算子，则
（1）
（2）是一个至多可列集；特别地，当是可列集时，有且。
设X是数域K上的一个线性空间，满足
（1）
（2）
（3）
称为X上定义的一个内积，此时称X在该内积下为内积空间。定义
则内积空间也是赋范线性空间。
定义0.1.7 称内积空间X是Hilbert空间，是指该内积空间作为赋范线性空间是Banach空间。
为了方便，下面仅讨论Hilbert空间。
对于一个Hilbert空间X，可引入正交的概念。在Hilbert空间中，常用的是平行四边形公式即
定理0.1.9 设M是Hilbert空间X的一个非空闭凸子集，定义
则存在M中**元素y*满足
特别地，当M是X的闭子空间时，有，即
由此可以推出下面著名的投影定理。
定理0.1.10 设M是X的闭子空间，记
则对每个，存在**；使
根据定理0.1.10，Hilbert空间中每一个闭子空间都是拓扑可补的。
定理0.1.11（Riesz）设X是Hilbert空间，则存在**，满足
定义0.1.8 设，称T是自共轭的，是指
定理0.1.12 设T是自共轭紧算子，记
这里，那么对每个，有
这里。
有关线性泛函的进一步内容，读者可参见参考文献[1]~[3]。
0.2 仿紧空间与单位分解
仿紧空间是极其重要的一类拓扑空间，它能保证每个闭集上的连续函数都能扩张成整个空间上的连续函数。这里假定拓扑空间都是Hausdorff空间。
定义0.2.1 设X是一个Hausdorff拓扑空间，称X是仿紧的，是指X的每个开覆盖都有局部有限的加细开覆盖，即对X的任意开覆盖，存在开覆盖满足
（1）对每个民，存在某个民使；
（2）对每个，存在x的邻域U（x）使
是有限集。
定理0.2.1（Stone）度量空间是仿紧的
定义0.2.2 设X是一个Hausdorff拓扑空间，是从x到[0，1]的连续函数族，称是X的单位分解，是指
（1）对每个，存在邻域U（x）满足
是有限集；
（2）对每个，
其中上面求和项中的项数是至多可数的。
定理0.2.2 设X是一个仿紧空间，是X的一个局部有限开覆盖，
则存在X的单位分解满足
（1）
（2）对每个x∈X，