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书名：数学物理方程
定价：49.0
ISBN：9787030215123
作者：陈才生
版次：1
出版时间：2008-07
内容提要：
本书以方法为主线，内容包括偏微分方程的基本概念、二阶线性偏微分方程的分类与标准型、二阶常系数偏微分方程定解问题的经典解法、一阶拟线性偏微分方程的基本理论和定解问题的求法、两类特殊函数及应用。本书内容丰富、系统性强、叙述详尽，具有较强的可读性，每一章配备了较多类型的例题和习题，供读者阅读和练习。书末附有大部分习题的答案与提示。
目录：
目录
前言
第1章 绪论 1
1.1 基本概念 1
1.1.1 基本概念和定义 1
1.1.2 一些典型偏微分方程 4
1.1.3 偏微分方程与常微分方程一些比较 6
1.1.4 学习偏微分方程的典型困难 7
1.2 三类典型方程的导出 7
1.3 定解条件与定解问题 12
1 3.1 初始条件 12
1.3.2 边界条件 13
1.3.3 定解问题 15
1.4 定解问题的适定性 18
1 4.1 适定性概念 18
1.4.2 不适定定解问题的例子 19
1.5 线性叠加原理 21
习题1 24
第2章 二阶线性偏微分方程的分类与标准型 26
2.1 两个自变量的二阶线性偏微分方程的分类和标准型 26
2.2 多个自变量的二阶线性偏微分方程的分类与标准型 36
习题2 41
第3章 波动方程的初值（柯西）问题与行波法 43
3.1 一维波动方程的初值（柯西）问题 43
3.1.1 达朗贝尔(d’A1embert)公式 43
3.1.2 波的传播、依赖区间、决定区域和影响区域 45
3.1.3 无解弦的受迫振动和齐次化原理 47
3.1.4 半无界弦的振动问题 50
3.2 三维波动方程的初值问题 53
3 2.1 三维波动方程和球对称解 54
3.2.2 三维波动方程的泊松(Poisson)公式与球对称解 54
3.2.3 泊松公式的物理意义 58
3.2.4 非齐次方程的初值问题和推迟势 59
3.3 二维波动方程的初值问题与降维法 60
3.4 依赖区域、决定区域、影响区域和特征锥 64
习题3 66
第4章 分离变量法 70
4.1 正交函数系和函数傅里叶级数展开 70
4.1.1 正交函数系 70
4.1.2 傅里叶级数 72
4.2 齐次方程和齐次边界条件的定解问题 81
4.2.1 波动方程的初边值问题 83
4.2.2 热传导方程的初边值问题 93
4 2.3 拉普拉斯方程的边值问题 96
4.3 非齐次方程的定解问题 101
4.4 非齐次边界条件的处理 104
4.5 施图姆-刘维尔问题 108
4.5.1 施图-姆刘维尔方程 109
4.5.2 施图-姆刘维尔理论 110
4.6 杂例 113
习题4 119
第5章 傅里叶变换方法 126
5.1 傅里叶积分和傅里叶变换 126
5.2 傅里叶变换的性质 130
5.3 傅里叶变换的应用 135
刁题5 143
第6章 拉普拉斯变换方法 145
6.1 拉普拉斯变换的定义与性质 145
6.2 拉普拉斯变换的应用举例 158
习题6 162
第7章 格林函数方法和δ函数方法 165
7.1 格林公式及应用 165
7.1.1 格林公式 165
7 1.2 格林公式的应用 166
7.2 格林函数及性质 171
7.3 一些特殊区域上的格林函数和狄利克雷问题的解 174
7.4 δ函数及性质、拉普拉斯方程的基本解 181
7.4.1 δ函数及性质 181
7.4.2 基本解 188
7.5 热传导方程和波动方程的基本解和格林函数方法 196
7.5.1 热传导方程的基本解和格林函数方法 196
7.5.2 波动方程的基本解和格林函数方法 200
习题7 201
第8章 极值原理和应用 205
8.1 热传导方程的极值原理和应用 205
8.2 拉普拉斯方程的极值原理和应用 213
习题8 217
第9章 能量积分方法和应用 219
9.1 热传导方程和调和方程中的能量方法与应用 219
9.2 波动方程的能量方法和应用 222
9.3 初值问题解的**性和稳定性 226
习题9 231
第10章 贝塞尔函数和勒让德函数及应用 233
10.1 贝塞尔方程与贝塞尔函数 233
10.2 贝塞尔函数的性质 237
10.2.1 微分关系和递推公式 238
10.2.2 半奇数阶函数 241
10.2.3 贝塞尔函数的零点 242
10.2.4 贝塞尔函数的正交性初模值 245
10.2.5 函数的傅里叶-贝塞尔级数 247
10.3 贝塞尔函数应用举例 248
10.4 勒让德方程与勒让德函数 255
10.4.1 勒让德方程的通解 255
10 4.2 勒让德多项式的递推公式和性质 260
10.4.3 勒让德多项式的正交性与模值 261
10.4.4 函数展开成勒让德多项式的级数 263
10.5 勒让德函数应用举例 267
习题10 273
第11章 阶拟线性偏微分方程 276
11.1 基本概念与初值问题的提法 276
11.2 一阶线性偏微分方程的解法及正规形式的初值问题 284
11.2.1 阶线性齐次偏微分方程的通解 284
11.2.2 一阶线性齐次偏微分方程的初值问题 286
11.3 一阶拟线性偏微分方程解法及初值问题 289
习题11 294
部分习题参考答案 296
参考文献 307
附录1 傅里叶变换表 308
附录2 拉普拉斯变换表 309
在线试读：
第1章 绪论
1.1 基本概念
在物理学、力学、工程技术和其它学科中，经常会提出大量的偏微分方程。它们反映了未知函数关于时间的导数和关于空间变量的导数之间的制约关系，同时刻画了物理现象和过程的基本规律。这些来自物理等学科的偏微分方程，我们常把它们叫做数学物理方程，它的重要性，早在18世纪初就被人们认识。例如，在1715年，泰勒（Taylor）将弦线的横向振动问题归结为著名的弦振动方程。以后，伯努利（Bernoulli）从弦发出声音的事实，得出该方程的三角级数解。在此基础上，傅里叶（Fourier）在理论上完成了解此方程的方法。同时，欧拉（Euler）和拉格朗日（Lagrange）在研究流体力学、拉普拉斯（Laplace）在研究势函数、傅里叶在研究热传导等物理问题中，都导出了一系列重要的偏微分方程及其求解方法，取得了重要的成就，到了19世纪，随着科学技术的发展及对方程的深入研究，形成了数学中的一门重要分支——偏微分方程理论，这样又促使了自然科学和工程技术的发展。
本章首先介绍了偏微分方程中的一些基本概念以及从几个物理模型出发，建立数学物理方程中的三个典型方程——弦振动方程、热传导方程和拉普拉斯方程。这不仅仅是因为它们是*简单的偏微分方程，更是因为它们代表了三种不同类型的方程。掌握了它们的性质和求解方法，对学习和研究一般的偏微分方程具有普遍意义和指导意义。因为对于其它经典的线性方程的主要研究方法，本质上与这三类方程的研究方法相仿。
本章还对偏微分方程的定解条件、定解问题的提法、叠加原理等内容给予了较详细的叙述，以便将来使用上的方便。
1.1.1 基本概念和定义
所谓偏微分方程，是指含有未知函数以及未知函数的某些偏导数的等式，比如，设u是自变量x，y，…的未知函数，那么关于u的偏微分方程的一般形式是
（1.1.1）
其中F是关于变量x，y，…，u，…的已知函数，注意F可以不显含自变量x，y，…和未知函数u，但必须含有未知函数的某个偏导数。涉及几个未知函数及其偏导数的多个偏微分方程构成一个偏微分方程组，除非特别说明，设函数u及其出现在方程（1.1.1）中的各阶偏导数连续。
出现在偏微分方程中的*高阶偏导数的阶数称为偏微分方程的阶，如果一个偏微分方程对未知函数及它的所有偏导数都是线性的，且它们的系数都仅依赖于自变量的已知函数，则这样的偏微分方程称为线性偏微分方程。不是线性的偏微分方程，则称为非线性偏微分方程。
例如，方程
（1.1.2）
等都是二阶线性偏微分方程，而方程
（1.1.3）
是非线性方程。
对于一个非线性偏微分方程，如果它关于未知函数的*高阶偏导数是线性的，则称它是拟线性偏微分方程，例如，Burgers方程，渗流方程等都是二阶拟线性偏微分方程。
对线性偏微分方程而言，将方程中不含未知函数及其偏导数的项称为自由项。当自由项为零时，该方程称为齐次方程，否则称为非齐次方程，特别指出，齐次、非齐次是对线性偏微分方程而言的。
关于方程（1.1.1）的解和通解，我们有如下定义。
设方程（1.1.1）的阶数为m。函数在区域中具有阶的连续偏导数，且在中满足方程（1.1.1）（即代入到方程（1.1.1）得恒等式），则称为区域内方程（1.1.1）的解，这个解又称为古典解，进一步地，如果方程（1.1.1）解u的表达式中含有m个任意函数，则称u是（1.1.1）的通解或者一般解。
例1.1.1 设u=u（x，y），求二阶线性偏微分方程
uxy=xy
的通解。
解 原方程可以写成
两边对x积分，得
其中和（g）是任意一阶可微函数，进一步地，两边对y积分，得方程的通解为
其中f（x），g（y）是任意两个二阶可微函数。
例1.1.2 设，求下列偏微分方程的通解：
其中是常数。
解 原方程可以改写成
两边对积分，得
它可以写成
两边对积分，得方程的通解为
即
其中是任意两个二阶可微函数。
注1.1.1 从以上定义可以看出，偏微分方程中有许多概念和定义是常微分方程对应的概念与定义的延伸。但有些在常微分方程中的概念，在偏微分方程中就不适宜提出，比如，n阶常系数的常微分方程通常有基础解系的概念，但偏微分方程一般没有这个概念，例如，记是热传导方程的解，而函数
也是热传导方程的解，其中是任意常数。显然，热传导方程不适宜提基础解系的概念。
1.1.2 一些典型偏微分方程
以下如无特别说明，自变量表示时间，表示几维空间变量，称微分算子
（1.1.4）
为n维拉普拉斯算子。它是偏微分方程中*主要的算子之一，它在刚性运动下保持不变，即在平移和旋转变换下保持不变，而一阶微分算子
（1.1.5）
称为哈密顿（Hamilton）算子，通常记
（1.1.6）
例1.1.3 关于函数的n维波动方程是
（1.1.7）
其中a>0为常数，这是一个二阶常系数线性偏微分方程，当n=1时，它描述弦的振动或声波在管中的传播，当n=2时，它描述浅水面上的水波或薄膜的振动。而n=3时，它描述声波或光波在空间中的传播。
例1.1.4 当空间中一个导热体的密度和比热容都是常数时，其温度分布u（x，y，z，t）满足三维热传导方程
（1.1.8）
其中a>0为常数。
在研究粒子的扩散过程时，例如，气体的扩散、液体的渗透以及半导体材料中杂质的扩散等，也会遇到类似的方程。
例1.1.5 关于函数的n维拉普拉斯方程（又称n维调和方程）是
（1.1.9）
它的解称为n维调和函数，拉普拉斯方程在理论上十分重要，在应用中也非常广泛，该方程可以用来描述无源静电场的电势、引力场、弹性薄膜的平衡位移、不可压缩流体的速度场、稳态热传导问题的温度分布和其它物理现象。
例1.1.6 三维泊松（Poisson）方程
（1.1.10）
其中f是一个描述场源或汇的已知函数。这是非齐次拉普拉斯方程，泊松方程表示有源或汇的情况下拉普拉斯方程所描述的物理现象。
以上方程都是二阶线性常系数方程，它们是本课程的核心内容（尤其是n=1，2，3时）。它们常称为数学物理方程中的三类典型方程。
下面考虑其它几个重要方程。
例1.1.7 重调和波（biharmonic wave）方程
（1.1.11）
其中t为常数，u表示位移，在弹性力学中，一个薄弹性盘受到了轻微振动时满足该方程，当u与t无关时，上述方程化为重调和（biharmonic）方程
（1.1.12）
它描述了满足Airy应力函数u（x，y，z）在弹性介质中的应力分布的平衡问题。在流体力学中，黏性液体中的流函数也满足该方程，它是一个4阶的线性偏微分方程。
例1.1.8 梁的横振动方程
（1.1.13）
其中常数；这里F为弹性模量，J为转动惯量，为密度。如果梁受到横向外力F（x，t）作用，则梁的横振动方程为
（1.1.14）
例1.1.9 在浅水波的研究中常常会碰到Korteweg-de-Vries方程（简称KdV方程），它是一个三阶拟线性方程
（1.1.15）
其中为常数。KdV方程*初出现在浅水波的研究中，现在许多物理问题中都引出KdV方程，如等离子体中的磁流体波、离子声波、弹性棒中的纵色散波都会引出KdV方程，还有一大类近双曲型方程都可以化为KdV方程。
例1.1.10 一阶非线性波动方程
（1.1.16）
其中为的已知函数，该方程可用来描述高速公路的车流量、空气动力学中的激波、水力学中的潮涌波等物理现象与规律。
1.1.3 偏微分方程与常微分方程一些比较
对于一个n阶常微分方程，它的解的全体（除去可能的一些奇异解外）依赖于n个任意常数，然而对偏微分方程而言，其可求解的情形很多，与常微分方程的解依赖于若干个任意常数相它的自由度往往会更大。例如，方程的通解可表示为
其中为两个任意二阶可微函数。
在对偏微分方程的研究中，人们感兴趣的是。比如讨论其解的性质和结构以及求解的方法等，但求解偏微分方程往往是复杂的，与常微分方程相比它的解一般来说很难用通解形式给出来，即使对于线性方程也是如此。所以对偏微分方程的求解往往更多的是研究其在一些特定条件下的解，并称这些用来帮助决定特解的条件为定解条件。
常微分方程同偏微分方程在解的存在性方面也有相当大的差别，对常微分方程有解的存在性定理，即在相当一般（通常是连续和局部李普希茨条件）的条件下可以证明其解是局部存在的，而对偏微分方程来说，虽然对许多常见的偏微分方程在不考虑定解条件时，解有很大的自由度，但也有条件非常好的偏微分方程，即使是在非常小的局部范围内，解也是不存在的。这方面**个无解方程的例子是HansLevy在1957年给出的。这个例子曾被认为是20世纪60年代偏微分方程的一大里程碑，它的产生使人们认识到偏微分方程的研究同常微分方程相比有本质的不同。Hans Levy所构造的方程是一个具有多项式系数的一阶线性偏微分方程，即
（1.1.17）
定价：49.0
ISBN：9787030215123
作者：陈才生
版次：1
出版时间：2008-07
内容提要：
本书以方法为主线，内容包括偏微分方程的基本概念、二阶线性偏微分方程的分类与标准型、二阶常系数偏微分方程定解问题的经典解法、一阶拟线性偏微分方程的基本理论和定解问题的求法、两类特殊函数及应用。本书内容丰富、系统性强、叙述详尽，具有较强的可读性，每一章配备了较多类型的例题和习题，供读者阅读和练习。书末附有大部分习题的答案与提示。
目录：
目录
前言
第1章 绪论 1
1.1 基本概念 1
1.1.1 基本概念和定义 1
1.1.2 一些典型偏微分方程 4
1.1.3 偏微分方程与常微分方程一些比较 6
1.1.4 学习偏微分方程的典型困难 7
1.2 三类典型方程的导出 7
1.3 定解条件与定解问题 12
1 3.1 初始条件 12
1.3.2 边界条件 13
1.3.3 定解问题 15
1.4 定解问题的适定性 18
1 4.1 适定性概念 18
1.4.2 不适定定解问题的例子 19
1.5 线性叠加原理 21
习题1 24
第2章 二阶线性偏微分方程的分类与标准型 26
2.1 两个自变量的二阶线性偏微分方程的分类和标准型 26
2.2 多个自变量的二阶线性偏微分方程的分类与标准型 36
习题2 41
第3章 波动方程的初值（柯西）问题与行波法 43
3.1 一维波动方程的初值（柯西）问题 43
3.1.1 达朗贝尔(d’A1embert)公式 43
3.1.2 波的传播、依赖区间、决定区域和影响区域 45
3.1.3 无解弦的受迫振动和齐次化原理 47
3.1.4 半无界弦的振动问题 50
3.2 三维波动方程的初值问题 53
3 2.1 三维波动方程和球对称解 54
3.2.2 三维波动方程的泊松(Poisson)公式与球对称解 54
3.2.3 泊松公式的物理意义 58
3.2.4 非齐次方程的初值问题和推迟势 59
3.3 二维波动方程的初值问题与降维法 60
3.4 依赖区域、决定区域、影响区域和特征锥 64
习题3 66
第4章 分离变量法 70
4.1 正交函数系和函数傅里叶级数展开 70
4.1.1 正交函数系 70
4.1.2 傅里叶级数 72
4.2 齐次方程和齐次边界条件的定解问题 81
4.2.1 波动方程的初边值问题 83
4.2.2 热传导方程的初边值问题 93
4 2.3 拉普拉斯方程的边值问题 96
4.3 非齐次方程的定解问题 101
4.4 非齐次边界条件的处理 104
4.5 施图姆-刘维尔问题 108
4.5.1 施图-姆刘维尔方程 109
4.5.2 施图-姆刘维尔理论 110
4.6 杂例 113
习题4 119
第5章 傅里叶变换方法 126
5.1 傅里叶积分和傅里叶变换 126
5.2 傅里叶变换的性质 130
5.3 傅里叶变换的应用 135
刁题5 143
第6章 拉普拉斯变换方法 145
6.1 拉普拉斯变换的定义与性质 145
6.2 拉普拉斯变换的应用举例 158
习题6 162
第7章 格林函数方法和δ函数方法 165
7.1 格林公式及应用 165
7.1.1 格林公式 165
7 1.2 格林公式的应用 166
7.2 格林函数及性质 171
7.3 一些特殊区域上的格林函数和狄利克雷问题的解 174
7.4 δ函数及性质、拉普拉斯方程的基本解 181
7.4.1 δ函数及性质 181
7.4.2 基本解 188
7.5 热传导方程和波动方程的基本解和格林函数方法 196
7.5.1 热传导方程的基本解和格林函数方法 196
7.5.2 波动方程的基本解和格林函数方法 200
习题7 201
第8章 极值原理和应用 205
8.1 热传导方程的极值原理和应用 205
8.2 拉普拉斯方程的极值原理和应用 213
习题8 217
第9章 能量积分方法和应用 219
9.1 热传导方程和调和方程中的能量方法与应用 219
9.2 波动方程的能量方法和应用 222
9.3 初值问题解的**性和稳定性 226
习题9 231
第10章 贝塞尔函数和勒让德函数及应用 233
10.1 贝塞尔方程与贝塞尔函数 233
10.2 贝塞尔函数的性质 237
10.2.1 微分关系和递推公式 238
10.2.2 半奇数阶函数 241
10.2.3 贝塞尔函数的零点 242
10.2.4 贝塞尔函数的正交性初模值 245
10.2.5 函数的傅里叶-贝塞尔级数 247
10.3 贝塞尔函数应用举例 248
10.4 勒让德方程与勒让德函数 255
10.4.1 勒让德方程的通解 255
10 4.2 勒让德多项式的递推公式和性质 260
10.4.3 勒让德多项式的正交性与模值 261
10.4.4 函数展开成勒让德多项式的级数 263
10.5 勒让德函数应用举例 267
习题10 273
第11章 阶拟线性偏微分方程 276
11.1 基本概念与初值问题的提法 276
11.2 一阶线性偏微分方程的解法及正规形式的初值问题 284
11.2.1 阶线性齐次偏微分方程的通解 284
11.2.2 一阶线性齐次偏微分方程的初值问题 286
11.3 一阶拟线性偏微分方程解法及初值问题 289
习题11 294
部分习题参考答案 296
参考文献 307
附录1 傅里叶变换表 308
附录2 拉普拉斯变换表 309
在线试读：
第1章 绪论
1.1 基本概念
在物理学、力学、工程技术和其它学科中，经常会提出大量的偏微分方程。它们反映了未知函数关于时间的导数和关于空间变量的导数之间的制约关系，同时刻画了物理现象和过程的基本规律。这些来自物理等学科的偏微分方程，我们常把它们叫做数学物理方程，它的重要性，早在18世纪初就被人们认识。例如，在1715年，泰勒（Taylor）将弦线的横向振动问题归结为著名的弦振动方程。以后，伯努利（Bernoulli）从弦发出声音的事实，得出该方程的三角级数解。在此基础上，傅里叶（Fourier）在理论上完成了解此方程的方法。同时，欧拉（Euler）和拉格朗日（Lagrange）在研究流体力学、拉普拉斯（Laplace）在研究势函数、傅里叶在研究热传导等物理问题中，都导出了一系列重要的偏微分方程及其求解方法，取得了重要的成就，到了19世纪，随着科学技术的发展及对方程的深入研究，形成了数学中的一门重要分支——偏微分方程理论，这样又促使了自然科学和工程技术的发展。
本章首先介绍了偏微分方程中的一些基本概念以及从几个物理模型出发，建立数学物理方程中的三个典型方程——弦振动方程、热传导方程和拉普拉斯方程。这不仅仅是因为它们是*简单的偏微分方程，更是因为它们代表了三种不同类型的方程。掌握了它们的性质和求解方法，对学习和研究一般的偏微分方程具有普遍意义和指导意义。因为对于其它经典的线性方程的主要研究方法，本质上与这三类方程的研究方法相仿。
本章还对偏微分方程的定解条件、定解问题的提法、叠加原理等内容给予了较详细的叙述，以便将来使用上的方便。
1.1.1 基本概念和定义
所谓偏微分方程，是指含有未知函数以及未知函数的某些偏导数的等式，比如，设u是自变量x，y，…的未知函数，那么关于u的偏微分方程的一般形式是
（1.1.1）
其中F是关于变量x，y，…，u，…的已知函数，注意F可以不显含自变量x，y，…和未知函数u，但必须含有未知函数的某个偏导数。涉及几个未知函数及其偏导数的多个偏微分方程构成一个偏微分方程组，除非特别说明，设函数u及其出现在方程（1.1.1）中的各阶偏导数连续。
出现在偏微分方程中的*高阶偏导数的阶数称为偏微分方程的阶，如果一个偏微分方程对未知函数及它的所有偏导数都是线性的，且它们的系数都仅依赖于自变量的已知函数，则这样的偏微分方程称为线性偏微分方程。不是线性的偏微分方程，则称为非线性偏微分方程。
例如，方程
（1.1.2）
等都是二阶线性偏微分方程，而方程
（1.1.3）
是非线性方程。
对于一个非线性偏微分方程，如果它关于未知函数的*高阶偏导数是线性的，则称它是拟线性偏微分方程，例如，Burgers方程，渗流方程等都是二阶拟线性偏微分方程。
对线性偏微分方程而言，将方程中不含未知函数及其偏导数的项称为自由项。当自由项为零时，该方程称为齐次方程，否则称为非齐次方程，特别指出，齐次、非齐次是对线性偏微分方程而言的。
关于方程（1.1.1）的解和通解，我们有如下定义。
设方程（1.1.1）的阶数为m。函数在区域中具有阶的连续偏导数，且在中满足方程（1.1.1）（即代入到方程（1.1.1）得恒等式），则称为区域内方程（1.1.1）的解，这个解又称为古典解，进一步地，如果方程（1.1.1）解u的表达式中含有m个任意函数，则称u是（1.1.1）的通解或者一般解。
例1.1.1 设u=u（x，y），求二阶线性偏微分方程
uxy=xy
的通解。
解 原方程可以写成
两边对x积分，得
其中和（g）是任意一阶可微函数，进一步地，两边对y积分，得方程的通解为
其中f（x），g（y）是任意两个二阶可微函数。
例1.1.2 设，求下列偏微分方程的通解：
其中是常数。
解 原方程可以改写成
两边对积分，得
它可以写成
两边对积分，得方程的通解为
即
其中是任意两个二阶可微函数。
注1.1.1 从以上定义可以看出，偏微分方程中有许多概念和定义是常微分方程对应的概念与定义的延伸。但有些在常微分方程中的概念，在偏微分方程中就不适宜提出，比如，n阶常系数的常微分方程通常有基础解系的概念，但偏微分方程一般没有这个概念，例如，记是热传导方程的解，而函数
也是热传导方程的解，其中是任意常数。显然，热传导方程不适宜提基础解系的概念。
1.1.2 一些典型偏微分方程
以下如无特别说明，自变量表示时间，表示几维空间变量，称微分算子
（1.1.4）
为n维拉普拉斯算子。它是偏微分方程中*主要的算子之一，它在刚性运动下保持不变，即在平移和旋转变换下保持不变，而一阶微分算子
（1.1.5）
称为哈密顿（Hamilton）算子，通常记
（1.1.6）
例1.1.3 关于函数的n维波动方程是
（1.1.7）
其中a>0为常数，这是一个二阶常系数线性偏微分方程，当n=1时，它描述弦的振动或声波在管中的传播，当n=2时，它描述浅水面上的水波或薄膜的振动。而n=3时，它描述声波或光波在空间中的传播。
例1.1.4 当空间中一个导热体的密度和比热容都是常数时，其温度分布u（x，y，z，t）满足三维热传导方程
（1.1.8）
其中a>0为常数。
在研究粒子的扩散过程时，例如，气体的扩散、液体的渗透以及半导体材料中杂质的扩散等，也会遇到类似的方程。
例1.1.5 关于函数的n维拉普拉斯方程（又称n维调和方程）是
（1.1.9）
它的解称为n维调和函数，拉普拉斯方程在理论上十分重要，在应用中也非常广泛，该方程可以用来描述无源静电场的电势、引力场、弹性薄膜的平衡位移、不可压缩流体的速度场、稳态热传导问题的温度分布和其它物理现象。
例1.1.6 三维泊松（Poisson）方程
（1.1.10）
其中f是一个描述场源或汇的已知函数。这是非齐次拉普拉斯方程，泊松方程表示有源或汇的情况下拉普拉斯方程所描述的物理现象。
以上方程都是二阶线性常系数方程，它们是本课程的核心内容（尤其是n=1，2，3时）。它们常称为数学物理方程中的三类典型方程。
下面考虑其它几个重要方程。
例1.1.7 重调和波（biharmonic wave）方程
（1.1.11）
其中t为常数，u表示位移，在弹性力学中，一个薄弹性盘受到了轻微振动时满足该方程，当u与t无关时，上述方程化为重调和（biharmonic）方程
（1.1.12）
它描述了满足Airy应力函数u（x，y，z）在弹性介质中的应力分布的平衡问题。在流体力学中，黏性液体中的流函数也满足该方程，它是一个4阶的线性偏微分方程。
例1.1.8 梁的横振动方程
（1.1.13）
其中常数；这里F为弹性模量，J为转动惯量，为密度。如果梁受到横向外力F（x，t）作用，则梁的横振动方程为
（1.1.14）
例1.1.9 在浅水波的研究中常常会碰到Korteweg-de-Vries方程（简称KdV方程），它是一个三阶拟线性方程
（1.1.15）
其中为常数。KdV方程*初出现在浅水波的研究中，现在许多物理问题中都引出KdV方程，如等离子体中的磁流体波、离子声波、弹性棒中的纵色散波都会引出KdV方程，还有一大类近双曲型方程都可以化为KdV方程。
例1.1.10 一阶非线性波动方程
（1.1.16）
其中为的已知函数，该方程可用来描述高速公路的车流量、空气动力学中的激波、水力学中的潮涌波等物理现象与规律。
1.1.3 偏微分方程与常微分方程一些比较
对于一个n阶常微分方程，它的解的全体（除去可能的一些奇异解外）依赖于n个任意常数，然而对偏微分方程而言，其可求解的情形很多，与常微分方程的解依赖于若干个任意常数相它的自由度往往会更大。例如，方程的通解可表示为
其中为两个任意二阶可微函数。
在对偏微分方程的研究中，人们感兴趣的是。比如讨论其解的性质和结构以及求解的方法等，但求解偏微分方程往往是复杂的，与常微分方程相比它的解一般来说很难用通解形式给出来，即使对于线性方程也是如此。所以对偏微分方程的求解往往更多的是研究其在一些特定条件下的解，并称这些用来帮助决定特解的条件为定解条件。
常微分方程同偏微分方程在解的存在性方面也有相当大的差别，对常微分方程有解的存在性定理，即在相当一般（通常是连续和局部李普希茨条件）的条件下可以证明其解是局部存在的，而对偏微分方程来说，虽然对许多常见的偏微分方程在不考虑定解条件时，解有很大的自由度，但也有条件非常好的偏微分方程，即使是在非常小的局部范围内，解也是不存在的。这方面**个无解方程的例子是HansLevy在1957年给出的。这个例子曾被认为是20世纪60年代偏微分方程的一大里程碑，它的产生使人们认识到偏微分方程的研究同常微分方程相比有本质的不同。Hans Levy所构造的方程是一个具有多项式系数的一阶线性偏微分方程，即
（1.1.17）