本书是在“高等微积分”的水平上阐述数学分析中的论题，提供了从初等微积分向实变函数论及复变函数论中的高等课程的一种过渡，而且介绍了某些涉及现代分析的抽象理论．内容既涵盖既包括我国大学的数学分析课程的内容，又包括勒贝格积分及柯西定理和留数计算等.本书条理清晰，内容精练，言简意赅，适合作为高等院校本科生数学分析课程的教材．

译者序

前言

第1章　实数系与复数系1

　　1.1　引言1

　　1.2　域公理1

　　1.3　序公理2

　　1.4　实数的几何表示2

　　1.5　区间3

　　1.6　整数3

　　1.7　整数的唯一因数分解定理4

　　1.8　有理数5

　　1.9　无理数5

　　1.10　上界、最大元和最小上界(上确界)6

　　1.11　完全公理7

　　1.12　上确界的某些性质7

　　1.13　从完全公理推演出的整数性质8

　　1.14　实数系的阿基米德性质8

　　1.15　能用有限小数表示的有理数9

　　1.16　用有限小数逼近实数9

　　1.17　用无限小数表示实数10

　　1.18　绝对值与三角不等式10

　　1.19　柯西施瓦茨不等式11

　　1.20　正负无穷和扩充的实数系R*11

　　1.21　复数12

　　1.22　复数的几何表示14

　　1.23　虚数单位14

　　1.24　复数的绝对值15

　　1.25　复数排序的不可能性15

　　1.26　复指数15

　　1.27　复指数的进一步性质16

　　1.28　复数的辐角17

　　1.29　复数的整数幂和方根17

　　1.30　复对数18

　　1.31　复幂19

　　1.32　复正弦和复余弦19

　　1.33　无穷远点与扩充的复平面C*20

　　练习20

　　参考文献25

第2章　集合论的一些基本概念26

　　2.1　引言26

　　2.2　记号26

　　2.3　序偶27

　　2.4　两个集合的笛卡儿积27

　　2.5　关系与函数27

　　2.6　关于函数的进一步的术语28

　　2.7　1-1函数及其反函数29

　　2.8　复合函数30

　　2.9　序列30

　　2.10　相似(对等)集合31

　　2.11　有限集与无限集31

　　2.12　可数集与不可数集31

　　2.13　实数系的不可数性32

　　2.14　集合代数33

　　2.15　可数集的可数族34

　　练习35

　　参考文献37

第3章　点集拓扑初步38

　　3.1　引言38

　　3.2　欧氏空间Rn38

　　3.3　Rn中的开球与开集39

　　3.4　R1中开集的结构41

　　3.5　闭集42

　　3.6　附贴点与聚点42

　　3.7　闭集与附贴点43

　　3.8　波尔查诺魏尔斯特拉斯定理43

　　3.9　康托尔交定理44

　　3.10　林德勒夫覆盖定理45

　　3.11　海涅博雷尔覆盖定理46

　　3.12　Rn中的紧性47

　　3.13　度量空间48

　　3.14　度量空间中的点集拓扑49

　　3.15　度量空间的紧子集51

　　3.16　集合的边界52

　　练习52

　　参考文献55

第4章　极限与连续性56

　　4.1　引言56

　　4.2　度量空间中的收敛序列56

　　4.3　柯西序列58

　　4.4　完备度量空间59

　　4.5　函数的极限59

　　4.6　复值函数的极限61

　　4.7　向量值函数的极限61

　　4.8　连续函数62

　　4.9　复合函数的连续性63

　　4.10　连续复值函数和连续向量值函数64

　　4.11　连续函数的例子64

　　4.12　连续性与开集或闭集的逆象65

　　4.13　紧集上的连续函数66

　　4.14　拓扑映射（同胚）67

　　4.15　波尔查诺定理68

　　4.16　连通性68

　　4.17　度量空间的分支70

　　4.18　弧连通性70

　　4.19　一致连续性72

　　4.20　一致连续性与紧集73

　　4.21　压缩的不动点定理74

　　4.22　实值函数的间断点74

　　4.23　单调函数76

　　练习77

　　参考文献83

第5章　导数84

　　5.1　引言84

　　5.2　导数的定义84

　　5.3　导数与连续性84

　　5.4　导数代数85

　　5.5　链式法则86

　　5.6　单侧导数和无穷导数86

　　5.7　具有非零导数的函数87

　　5.8　零导数与局部极值87

　　5.9　罗尔定理88

　　5.10　微分中值定理88

　　5.11　导函数的介值定理90

　　5.12　带余项的泰勒公式90

　　5.13　向量值函数的导数92

　　5.14　偏导数92

　　5.15　复变函数的微分93

　　5.16　柯西黎曼方程94

　　练习97

　　参考文献101

第6章　有界变差函数与可求长曲线102

　　6.1　引言102

　　6.2　单调函数的性质102

　　6.3　有界变差函数102

　　6.4　全变差104

　　6.5　全变差的可加性105

　　6.6　在［a，x］上作为x的函数的全变差105

　　6.7　有界变差函数表示为递增函数之差106

　　6.8　有界变差连续函数106

　　6.9　曲线与路107

　　6.10　可求长的路与弧长107

　　6.11　弧长的可加性及连续性性质109

　　6.12　路的等价性与参数变换109

　　练习110

　　参考文献112

第7章　黎曼斯蒂尔切斯积分113

　　7.1　引言113

　　7.2　记号114

　　7.3　黎曼斯蒂尔切斯积分的定义114

　　7.4　线性性质115

　　7.5　分部积分法116

　　7.6　黎曼斯蒂尔切斯积分中的变量替换117

　　7.7　化为黎曼积分118

　　7.8　阶梯函数作为积分函数119

　　7.9　黎曼斯蒂尔切斯积分化为有限和120

　　7.10　欧拉求和公式121

　　7.11　单调递增的积分函数、上积分与下积分122

　　7.12　上积分及下积分的可加性与线性性质124

　　7.13　黎曼条件124

　　7.14　比较定理126

　　7.15　有界变差的积分函数127

　　7.16　黎曼斯蒂尔切斯积分存在的充分条件129

　　7.17　黎曼斯蒂尔切斯积分存在的必要条件130

　　7.18　黎曼斯蒂尔切斯积分的中值定理131

　　7.19　积分作为区间的函数131

　　7.20　积分学第二基本定理132

　　7.21　黎曼积分的变量替换133

　　7.22　黎曼积分第二中值定理134

　　7.23　依赖于一个参数的黎曼斯蒂尔切斯积分135

　　7.24　积分号下的微分法136

　　7.25　交换积分次序136

　　7.26　黎曼积分存在性的勒贝格准则137

　　7.27　复值黎曼斯蒂尔切斯积分141

　　练习142

　　参考文献148

第8章　无穷级数与无穷乘积149

　　8.1　引言149

　　8.2　收敛的复数序列与发散的复数序列149

　　8.3　实值序列的上极限与下极限149

　　8.4　单调的实数序列150

　　8.5　无穷级数151

　　8.6　插入括号和去掉括号152

　　8.7　交错级数153

　　8.8　绝对收敛与条件收敛154

　　8.9　复级数的实部与虚部154

　　8.10　正项级数收敛性的检验法155

　　8.11　几何级数155

　　8.12　积分检验法155

　　8.13　大O记号和小o记号156

　　8.14　比值检验法和根检验法157

　　8.15　狄利克雷检验法和阿贝尔检验法158

　　8.16　几何级数∑zn在单位圆z=1上的部分和159

　　8.17　级数的重排160

　　8.18　关于条件收敛级数的黎曼定理160

　　8.19　子级数161

　　8.20　二重序列163

　　8.21　二重级数164

　　8.22　二重级数的重排定理164

　　8.23　累次级数相等的一个充分条件166

　　8.24　级数的乘法166

　　8.25　切萨罗可求和性168

　　8.26　无穷乘积169

　　8.27　对于黎曼ζ函数的欧拉乘积172

　　练习173

　　参考文献178

第9章　函数序列179

　　9.1　函数序列的点态收敛性179

　　9.2　实值函数序列的例子179

　　9.3　一致收敛的定义181

　　9.4　一致收敛与连续性182

　　9.5　一致收敛的柯西条件182

　　9.6　无穷函数级数的一致收敛183

　　9.7　一条填满空间的曲线184

　　9.8　一致收敛与黎曼斯蒂尔切斯积分185

　　9.9　可以被逐项积分的非一致收敛序列186

　　9.10　一致收敛与微分188

　　9.11　级数一致收敛的充分条件189

　　9.12　一致收敛与二重序列190

　　9.13　平均收敛190

　　9.14　幂级数192

　　9.15　幂级数的乘法195

　　9.16　代入定理196

　　9.17　幂级数的倒数197

　　9.18　实的幂级数197

　　9.19　由函数生成的泰勒级数198

　　9.20　伯恩斯坦定理199

　　9.21　二项式级数200

　　9.22　阿贝尔极限定理201

　　9.23　陶伯定理203

　　练习203

　　参考文献207

第10章　勒贝格积分208

　　10.1　引言208

　　10.2　阶梯函数的积分208

　　10.3　单调的阶梯函数序列209

　　10.4　上函数及其积分212

　　10.5　黎曼可积函数作为上函数的例子214

　　10.6　一般区间上的勒贝格可积函数类215

　　10.7　勒贝格积分的基本性质216

　　10.8　勒贝格积分和零测度集219

　　10.9　莱维单调收敛定理219

　　10.10　勒贝格控制收敛定理224

　　10.11　勒贝格控制收敛定理的应用226

　　10.12　无界区间上的勒贝格积分作为有界区间上的积分的极限227

　　10.13　反常黎曼积分229

　　10.14　可测函数232

　　10.15　由勒贝格积分定义的函数的连续性233

　　10.16　积分号下的微分法235

　　10.17　交换积分次序239

　　10.18　实线上的可测集241

　　10.19　在R的任意子集上的勒贝格积分243

　　10.20　复值函数的勒贝格积分243

　　10.21　内积与范数244

　　10.22　平方可积函数集合L2(I)244

　　10.23　集合L2(I)作为一个半度量空间246

　　10.24　关于L2(I)内的函数级数的一个收敛定理246

　　10.25　里斯费希尔定理247

　　练习248

　　参考文献254

第11章　傅里叶级数与傅里叶积分255

　　11.1　引言255

　　11.2　正交函数系255

　　11.3　最佳逼近定理256

　　11.4　函数相对于一个规范正交系的傅里叶级数257

　　11.5　傅里叶系数的性质257

　　11.6　里斯费希尔定理258

　　11.7　三角级数的收敛性与表示问题259

　　11.8　黎曼勒贝格引理260

　　11.9　狄利克雷积分261

　　11.10　傅里叶级数部分和的积分表示263

　　11.11　黎曼局部化定理264

　　11.12　傅里叶级数在一个特定的点上收敛的充分条件265

　　11.13　傅里叶级数的切萨罗可求和性265

　　11.14　费耶定理的推论267

　　11.15　魏尔斯特拉斯逼近定理268

　　11.16　其他形式的傅里叶级数268

　　11.17　傅里叶积分定理269

　　11.18　指数形式的傅里叶积分定理271

　　11.19　积分变换271

　　11.20　卷积272

　　11.21　对于傅里叶变换的卷积定理274

　　11.22　泊松求和公式276

　　练习278

　　参考文献285

第12章　多元微分学286

　　12.1　引言286

　　12.2　方向导数286

　　12.3　方向导数与连续性287

　　12.4　全导数287

　　12.5　全导数通过偏导数来表示289

　　12.6　对复值函数的一个应用289

　　12.7　线性函数的矩阵290

　　12.8　雅可比矩阵291

　　12.9　链式法则293

　　12.10　链式法则的矩阵形式294

　　12.11　用于可微函数的中值定理295

　　12.12　可微的一个充分条件296

　　12.13　混合偏导数相等的一个充分条件298

　　12.14　用于从Rn到R1的函数的泰勒公式300

　　练习301

　　参考文献304

第13章　隐函数与极值问题305

　　13.1　引言305

　　13.2　雅可比行列式不取零值的函数306

　　13.3　反函数定理309

　　13.4　隐函数定理310

　　13.5　一元实值函数的极值312

　　13.6　多元实值函数的极值313

　　13.7　带边条件的极值问题316

　　练习319

　　参考文献321

第14章　多重黎曼积分322

　　14.1　引言322

　　14.2　Rn内有界区间的测度322

　　14.3　在Rn内的紧区间上定义的有界函数的黎曼积分322

　　14.4　零测度集与多重黎曼积分存在性的勒贝格准则324

　　14.5　多重积分通过累次积分求值324

　　14.6　Rn内的若尔当可测集328

　　14.7　若尔当可测集上的多重积分329

　　14.8　若尔当容度表示为黎曼积分330

　　14.9　黎曼积分的可加性330

　　14.10　多重积分的中值定理332

　　练习333

　　参考文献335

第15章　多重勒贝格积分336

　　15.1　引言336

　　15.2　阶梯函数及其积分336

　　15.3　上函数与勒贝格可积函数337

　　15.4　Rn内的可测函数与可测集338

　　15.5　关于阶梯函数的二重积分的富比尼归约定理339

　　15.6　零测度集的某些性质341

　　15.7　对于二重积分的富比尼归约定理342

　　15.8　可积性的托内利霍布森检验法344

　　15.9　坐标变换345

　　15.10　多重积分的变换公式348

　　15.11　对于线性坐标变换的变换公式的证明349

　　15.12　对于紧立方体特征函数的变换公式的证明350

　　15.13　变换公式证明的完成355

　　练习356

　　参考文献358

第16章　柯西定理与留数计算359

　　16.1　解析函数359

　　16.2　复平面内的路与曲线359

　　16.3　围道积分360

　　16.4　沿圆形路的积分作为半径的函数362

　　16.5　对于圆的柯西积分定理363

　　16.6　同伦曲线363

　　16.7　围道积分在同伦下的不变性365

　　16.8　柯西积分定理的一般形式366

　　16.9　柯西积分公式366

　　16.10　回路关于一点的卷绕数367

　　16.11　卷绕数为零的点集的无界性368

　　16.12　用围道积分定义的解析函数369

　　16.13　解析函数的幂级数展开371

　　16.14　柯西不等式与刘维尔定理372

　　16.15　解析函数零点的孤立性373

　　16.16　解析函数的恒等定理374

　　16.17　解析函数的最大模和最小模374

　　16.18　开映射定理375

　　16.19　圆环内解析函数的洛朗展开376

　　16.20　孤立奇点378

　　16.21　函数在孤立奇点处的留数379

　　16.22　柯西留数定理380

　　16.23　区域内零点与极点的个数381

　　16.24　用留数的方法求实值积分的值381

　　16.25　用留数计算的方法求高斯和的值383

　　16.26　留数定理对于拉普拉斯变换反演公式的应用387

　　16.27　共形映射388

　　练习390

　　参考文献396

特殊符号索引397

索引399