★无论是为了出国留学，还是为了紧跟世界步伐，依赖汉语思维的英文翻译显然不是高效的学习方式。从小培养双语思维是提高学术层次、通向成功的必经之路。数学是众多领域的根本。从起跑线做起，是这部《英汉数学全书——代数、几何与微积分初步》工具书的独到之处。纵览全书，循序渐进，通俗易懂，编辑准确严谨，内容丰富实用，是一本极有价值的入门工具书。
　　——毕奇 无线移动通信领域专家，美国贝尔实验室院士
　　
　　★数学是中国基础教育体系中引以为傲的学科，但是要参加国际数学活动不仅仅需要数学思维能力，还需要良好的专业语言能力。《英汉数学全书——代数、几何与微积分初步》除给出了地道的英文数学表达，还呈现了美国探究式数学教学的概貌，让读者的数学基础思维能力插上国际教育精髓的翅膀，大力提升中国学生在国际数学领域的竞争力。希望我们的孩子能人手一部，既能享受美妙的数学世界，又能提升受益终生的数学思维素养。
　　——孙畅 新东方在线CEO
　　
　　★近四十年来，中国发生了翻天覆地的变化，国际间的文化交流日益频繁。我旅美三十余年，深入观察中美教育和留学的动态，发现市面上大众英语的培训比较普遍，而专业英语领域的资源相对匮乏。11次方国际数学研发团队走在了行业前沿.历时三年完成了一部专业而系统的英汉双语数学工具书。《英汉数学全书——代数、‘几何与微积分初步》的编写立足于中国学生的特点和需求，同时融入了美国数学教育的元素，东西融通、珠联璧合。中国的学子们会从不菲书的学习中获益良多。
　　——陈屹 旅美教育专家，畅销书作家北京青年报《陈屹视线》专栏作家
　　
　　★大多数亚洲学生的数学功底都非常扎实，但是缺乏英文专业术语及英文数学题目的训练，导致在学习过程中大量精力消耗在语言的理解和表达上，效率低下。数学是认识科学世界的基本工具，数学考试首要的就是阅读，其次才是数学解题能力。《英汉数学全书——代数、几何与微积分初步>归纳和总结了各种英文表达和必备数学术语，系统而且简洁，便于理解和记忆，能够帮助学生彻底理解数学题目并习惯于用英文作答，缩短留学的适应期。
　　——孙小秣（Alice Sun）Ivy Labs美国常春藤教育创始人，首席国际教育规划导师

[美]梁家睿（Jerry Leung）  毕业于美国东北大学（Northeastern University , NEU）库利计算机与信息科学学院和科学学院，获得计算机和数学双学位。现任职于美国z大的数学教育平台AoPS（Art of Problem Solving）。曾师从美国著名数学教育家Mr. Daniel Flegler。拥有近10年的数学教学、竞赛命题和课件研发经验。曾为美国数学大联盟（Math League）编写美国4~12年级的数学竞赛题目，曾在Math League一年一度的夏令营决赛中担任命题人及数学讲师。曾担任美国区域数学联赛（American Regions Mathematics League, ARML）博根地区（Bergen County）的初赛命题人。

吴晓云  毕业于大连外国语学院，主修英文，辅修日语，获文学学士学位。曾翻译出版《工作空间设计》和《报刊设计》等美国原版图书。曾担任中央电视台《希望英语》栏目英文编辑。现任11次方国际数学联合创始人，担任《英汉数学全书——代数、几何与微积分初步》的策划与翻译工作。

5.  Sets集合

5.1Introduction介绍

Set集合

n. ［set］

Definition:  A group of objects represented as a unit. The objects are called elements.集合代表一个单元的一组对象。每个对象称为元素。

Notation:  (1) Explicit:  {element 1,element 2,…,element n},this is a set of n elements.集合用列举法表示为: {元素1,元素2,…,元素n}，该集合是一个含有n个元素的集合。

For example,{1,3,5,7,9} is a set with 5 elements. 

例如，{1,3,5,7,9}集合有5个元素。

(2) Implicit:  {x | …(condition)…},read as “the set of all x such that (the condition is true)”. For example {x | x is odd and less than 10} is read as “the set of all x such that x is odd and less than 10”. To be represented explicitly,this is {1,3,5,7,9}.集合用描述法表示为: {x|条件}，读作“包含所有满足条件的元素x的集合”。例如{x|x是小于10的奇数}，表示的是“包含所有小于10的奇数的集合”。用列举法表示，为{1,3,5,7,9}。

Properties:  1. Duplication does not affect the uniqueness of a set.重复的元素不改变集合的独特性。

For example,{1,2,2,3,3,3}={1,2,3}.

2. Ordering does not affect the uniqueness of a set.排序不改变集合的独特性。

For example,{1,2,3}={3,2,1}.

3. A set can have both finite and infinite number of elements. In the examples below,A has a finite number of elements,and B has an infinite number of elements.集合的元素个数可以为有限的，亦可以为无限的。在下面的例子中，集合A的元素个数为有限的，集合B的元素个数为无限的。

A={0}={x | x is neither positive nor negative} (There are many other ways to define it implicitly,but the explicit definition,{0},will always be the same.)本例用列举法比用描述法更方便。

B={ x | x>0} (There are infinitely many positive numbers.)正数的个数是无限的。

Element元素

n. ［5elmnt］

Definition:  Refers to a distinct member that makes up the set.元素是指集合中与众不同的每个对象。

Notation:  If a is an element of set A,then we write a∈A.

Properties:  Elements do not have to be numbers.元素不一定是数字。

Examples:  Consider the following sets: 

A={1,2,3,3,4,5}

B={1,2,3,a,b,c,apple,pear}

C={x | x is even}

1. The elements of A are 1,2,3,4,and 5. Set A equals to {1,2,3,4,5}. See Property 1 of set.

2. The elements of B are 1,2,3,a,b,c,apple,and pear.

3. Some elements of C are 0,2,4,6,8,….

Cardinality基数

n. ［5kɑ.dn5l..ti］

Definition:  Refers to the size,or the number of distinct elements,of a set.基数指的是集合的大小，即元素的个数。

Notation:  The cardinality of set A is denoted as |A|.

Properties:  1. For sets that have infinitely many elements,the cardinality is infinity.对于有无穷多元素的集合，基数为无穷。

2. For the empty set,the cardinality is 0. 空集的基数为0。

Examples:  Consider the following sets: 

A={1,2,3,4,5}

B={1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5}

C={x | x is even}

1. |A|=5.

2. |B|=5. 

3. |C|=∞.

Empty Set空集

n. ［emp.ti5set］

Definition:  The only set that has 0 elements. i.e. The only set whose cardinality is 0.空集是唯一的只有0个元素的集合，是唯一的基数为0的集合。

Notation:   or {}.

Properties:  ||=0,and ≠{0}.

数学是重要的基础学科。2016年，我们在开始编写本书时做了大量留学生调研工作，发现两个现象：一是国内非常优秀的学生到国外留学时，会出现读不懂题，课堂讨论表达有障碍，无法高质量完成课后作业，无法高效利用多渠道的英文版数学资源，难以写出优秀论文等问题；二是即使微积分学得非常好的学生，到学习抽象代数、拓扑学时仍然感到困难。国内的基础数学教育很扎实，偏重计算能力，数学逻辑能力和抽象能力的培养往往不足。为了帮学生解决这些困扰，我们把工作重心放到如何充分理解美国数学教育的知识体系上，并将我们的系统总结原汁原味地呈现给国内读者。本书作为一本英汉双语数学工具书，不仅系统地介绍了代数、几何、微积分基础的知识点——在结构、内容及风格上汲取了美国探究式数学课堂的精华，还致力于解决学习国际数学面临的数学专业术语和标准的表达方式等问题。书中对每个数学概念，都给出了双语注释，同时配有音标、数学符号、性质、证明、造句和例题，便于读者充分理解和掌握。为了启发学生的创造思维，我们在讲述数学词汇的同时，会提及相关的定理及证明，并论述一些重要的数学结论及其相关证明，甚至是多种解题思路。我们坚信，流利且专业的语言表达、强烈的好奇心和批判性思维是学好数学的关键。因此，我们奉献给读者的不仅仅是一本书，更是一份爱与责任。

注：本书作者配套录制了1800分钟英汉双语精选试题教学视频，可以到bilibili的11次方国际数学免费观看学习。

　　《英汉数学全书：代数、几何与微积分初步（双色印刷）》是一本为中国留学生和相关的教学工作者精心打造的英汉双语数学专业工具书。
　　《英汉数学全书：代数、几何与微积分初步（双色印刷）》分为三部分：第1部分代数初步、代数1、代数2（第1-11章）；第2部分几何（第12-21章）；第3部分微积分初步（第22-34章）。
　　《英汉数学全书：代数、几何与微积分初步（双色印刷）》是一本综合的数学知识宝库，按照美国知识体系和教科书章节顺序出词，围绕知识体系展开知识点的介绍，每个数学词条都配有相应的英汉词义、音标、定义、性质、证明、数学符号、例题与答案、造句与写作、竞赛真题与标准化真题，每章都有小结，让读者在查阅词条时能够各取所需。（极其简单的英语部分汉语翻译略去）
　　《英汉数学全书：代数、几何与微积分初步（双色印刷）》旨在帮助读者掌握地道的英文数学词汇和标准的惯用表达方式，提升数学英文的综合使用能力，希望借由《英汉数学全书：代数、几何与微积分初步（双色印刷）》为读者打开体验美国数学教育精髓的窗口，培养读者的数学探索精神和多元的数学理念，即不厌其烦地追求一题多解以拓展思维，而不是仅仅为了解题速度和答案而枯燥地刷题；希望《英汉数学全书：代数、几何与微积分初步（双色印刷）》的编写匠心能够让中国学子在国际数学舞台上更具竞争力，引领他们在数学领域进行深度的探索和研究并走得更远。
　　《英汉数学全书：代数、几何与微积分初步（双色印刷）》作为一本英汉双语数学工具书，不仅系统地介绍了代数、几何、微积分基础的知识点——在结构、内容及风格上汲取了美国探究式数学课堂的精华，还致力于解决学习国际数学所面临的数学专业术语和标准的表达方式等问题。
　　《英汉数学全书：代数、几何与微积分初步（双色印刷）》中对每个数学概念，都给出了双语注释，同时配有音标、数学符号、性质、证明和例题，便于读者充分理解和掌握。为了启发学生的创造思维，我们在讲述数学词汇的同时，会提及相关的定理及证明，并论述一些重要的数学结论及其相关证明，甚至是多种解题思路。我们坚信，流利且专业的语言表达、强烈的好奇心和批判性思维是学好数学的关键。

Part 1：第1部分： 代数初步，代数1，代数2

1. Real Numbers实数

1.1Introduction介绍

…

1.2Rational Numbers有理数

1.2.1Introduction介绍

1.2.2Integers整数

…

1.2.3Fractions分数

…

1.2.5Summary总结

1.3Irrational Numbers无理数

1.4Decimals小数

…

1.5Number Line数轴

…

1.6Operations运算

…

1.7Rules of Operations运算法则

…

2. Expressions表达式

2.1Introduction介绍

2.2Integral Expressions整式

…

2.3Fractions分式

…

2.4Radicals根式

…

2.4.3Summary总结

3. Equations等式/方程(式)

3.1Introduction介绍

…

3.2Linear Equations with One Unknown一元一次方程

…

3.3Absolute Value Equations绝对值方程

…

3.4Linear Equations with Two Unknowns二元一次方程

…

3.5Quadratic Equations一元二次方程

…

3.6Applications of Equations方程的应用

4. Inequalities不等式

4.1Introduction介绍

4.2Linear Inequalities with One Unknown一元一次不等式

4.3Methods of Expressing the Solutions of Inequalities不等式解集表示法

…

4.4Compound Inequalities混合不等式

…

5. Sets集合

5.1Introduction介绍

5.2Relationship between Two Sets两个集合之间的关系

…

6. Coordinate Plane/Cartesian Plane坐标平面

6.1Introduction介绍

…

6.2Formulas公式

7. Relations and Functions多值函数与单值函数

7.1Introduction介绍

7.1.1Relations多值函数

7.1.2Functions单值函数

7.1.3Summary总结

7.2Basics about Functions单值函数的基础

7.2.1Input and Output输入与输出

7.2.2Formulas公式

7.2.3Intercepts截距

…

7.5Miscellaneous其他

7.5.1Equivalent Statements for f(x)=0f(x)=0的等价命题

7.5.2Descriptions of Functions函数的描述

7.6Functional Inequalities函数不等式

8. Sequences数列

8.1Introduction介绍

8.2Arithmetic Sequences等差数列

8.3Geometric Sequences等比数列

9. Statistics Method—Calculations统计方法——计算

9.1Introduction介绍

…

Part 2:第2部分： 几何

12. Introduction of Geometry几何学介绍

12.1Basics of Geometry几何学基础

12.1.1Types of Geometry几何学种类

…

14.3Properties of Parallel Lines in a Plane同一平面内平行线的性质

14.3.1Introduction介绍

…

15.5Congruent Triangles全等三角形

15.5.1Introduction介绍

15.5.2Determine Whether Two Triangles Are Congruent判断两个三角形

是否全等

15.5.3Theorems,Proofs,and Applications of Triangles 三角形的定理、证明

及应用

15.5.4Summary总结

15.6Special Line Segments of a Triangle三角形的特殊线段

15.6.1Introduction介绍

15.6.2Special Line Segments特殊线段

15.6.2.1Midsegments中位线

…

15.7.4Summary总结

15.8More on Isosceles Triangles更多等腰三角形知识点

15.9More on Right Triangles更多直角三角形知识点

15.9.1Pythagorean Theorem勾股定理

…

15.11.4Inverse Trigonometric Functions三角函数的逆函数

15.11.5Summary总结

16. Quadrilaterals四边形

…

19.1.4Arcs弧

19.1.5Angles角

…

20.4The Relationship between Two Solids两个立体的关系

…

Part 3: 第3部分： 微积分初步

22. Systems of Linear Inequalities with Two Variables二元一次不等式组

23. The ThreeDimensional Space三维空间

…

26.4Theorems of Algebra代数定理

…

27. Domain Restrictions and Inverse Functions定义域限制与反函数

…

28. Exponential and Logarithmic Functions指数函数与对数函数

…

29. Variations,Rational Functions，and Rational Equations比例函数、有理函数与有理方程

29.1Variations比例函数（变分）

…

29.5Rational Equations有理方程

30. Conic Sections圆锥曲线

30.1Introduction介绍

30.2Circles圆

…

34.2.3Important Vocabulary重要词汇

34.2.4Summary总结

Appendix A附录A

A.1Perimeter Formulas of Plane Shapes平面图形的周长公式

A.2Area Formulas of Plane Shapes平面图形的面积公式

A.3Surface Area Formulas of Solids立体的表面积公式

A.4Volume Formulas of Solids立体的体积公式

A.5Common Geometry Symbols常用几何符号

Index索引

　　时光飞逝14年前为了帮女儿找到一本参加美国数学竞赛需要的英汉双语数学工具书，跑遍了京城书店而不得的沮丧情形依然历历在目。后来我们决定不再等待，自己着手组建团队开始编写《英汉数学全书——代数、几何与微积分初步》，直至成书。这4年付出了太多，现在终于看到了这新诞生的“孩子”，心中百感交集。
　　《英汉数学全书——代数、几何与微积分初步》的诞生顺应了智能化时代背景下中国与世界日益增强的国际文化交流过程中更为专业化、精细化的需求，填补了中国英汉数学工具书的空白。虽然这本工具书还有很多需要改进的地方，但不影响本书成为双语专业工具书领域的里程碑。愿它的面世可以起到抛砖引玉的作用，带动中国更多其他学科领域的英汉双语工具书尽早问世，百花齐放，以飨读者。愿这本双语工具书成为中国学子们的“加油站”，为科技强国贡献一分力量。
　　数学水平一直以来是我们国人心头的骄傲。可是事实果真如此吗？2002年8月北京成功地举办了第24届国际数学家大会。这是第一次在中国召开，也是第一次在发展中国家召开的国际数学家大会。此次大会成为衡量我国数学水平在国际数学界地位的象征。当时许多媒体发表了一篇名为《中国数学已经达到世界一流水平》的文章。记者曾就此观点采访第一位获得菲尔兹奖的华人数学家丘成桐：“中国数学真的像一些人所说的那样已经接近世界一流水平了吗？”丘成桐先生沉吟片刻，吐出5个字：“差得还很远。”2018年8月1日在里约热内卢举办了第28届国际数学家大会，颁布了四年一度的菲尔兹奖后，中国数学强与弱的问题再一次被热议，其中有一句话特别刺耳，“从1936年颁发第一次菲尔兹奖以来，人口如此庞大的中国，却诞生不了几位获奖得主，谁来救救中国数学，它真的还很年轻”。中国数学强吗？强，曾经我们真的很强。在14世纪以前，中国作为世界上最发达的国家之一，取得过许多辉煌的成就，出现过很多杰出的数学家。在14世纪，世界上重大的数学成就有15项，中国占了9项。而从14世纪到19世纪，世界重大数学成就有100项，中国0项。
　　中国的数学教育以大量刷题、重记忆、重解题技巧而轻逻辑和抽象思维能力为特点，学生的基本功非常扎实，计算速度、解题技巧可以“秒杀”外国人。中国学生带着这个优势出国留学后，都会觉得外国的数学比较简单。他们在班上的数学考试和在数学竞赛中都能表现优异。但是我们发现一个有趣的现象：在高中阶段微积分学得非常好的中国学生，学习抽象代数，拓扑学时会比较吃力，外国的学生反而学得比较轻松，到了大学阶段面对更高端的数学课，外国学生在思维方面表现得更加敏捷。中国的基础数学教得很难、很扎实，但是却只有极少数中国学生选择数学专业继续深造。反观那些计算能力略逊一筹的国外学生，往往成长为数学科研奖项得主。这些现象值得我们深思。数学学习旨在培养人的计算、逻辑和抽象思维三项能力，三者不可偏废。
　　现在国家已经深刻认识到数学教育改革的重要性，越来越在国家层面重视数学在科技发展中的战略性地位。2018年，国务院发布《关于全面加强基础科学研究的若干意见》（国发[2018]4号），提出“潜心加强基础科学研究，对数学、物理等重点基础学科给予更多倾斜”。为切实加强我国数学科学研究，科技部、教育部、中科院、自然科学基金委于2019年7月联合制定了《关于加强数学科学研究工作方案》，值得我们期待。华裔数学大师陈省身曾在《怎样把中国建为数学大国》中说：我们要创办世界水平的、一流的数学研究院，开办一些基本的数学先进课程，将科学的种子播下并在中国本土生根发芽。我们既要避免盲目的夜郎自大，又要鼓足勇气在挑战中砥砺前行。相信我们可以在中西合璧、取长补短的数学教育理念中找到答案。本书不仅仅是一本全面系统的工具书，还是一个了解国际数学，尤其是美国数学教育的窗口，希望借此机会激发大家展开一场关于数学教育的讨论，找到我们的不足之处，然后弥补不足而进步。
　　数学是科学的“皇后”，其重要性不言而喻。数学是自然科学的基础，也是重大技术创新发展的基础。数学实力往往影响着国家实力，几乎所有的重大发现都与数学的发展与进步相关，数学已成为航空航天、国防安全、生物医药、信息、能源、海洋、人工智能、先进制造等领域不可或缺的重要支撑。最近读到华为舵手任正非先生的一篇精彩演讲文稿，里面提及中国和美国的差距就两个字——软件。今天的信息技术时代，互联网、大数据、云计算、人工智能靠什么来支撑呢？就是靠软件。手机、计算机都离不开软件，它是最基础的科技。毋庸置疑，人类社会最终要走向人工智能，这是一个软件至上的时代！软件的背后又是什么呢？软件的背后是算法。算法的背后就是数学。2019年中美贸易摩擦不断升级的背景下，任正非于2019年5月21日接受《面对面》节目记者董倩独家专访时提到：“我们国家修桥、修路、修房子……已经习惯了只要砸钱就行，但是芯片砸钱不行，得砸数学家、物理学家、化学家……中国要踏踏实实在数学、化学、神经学、脑科学各方面努力地去改变，我们才可能在这个世界上站得起来。”2万字的采访实录，任老先生27处提及“数学”，多次举例说明数学对华为科技竞争力的重要性，我们深深地被他采访中体现的爱国情怀和高瞻远瞩所激励和感动。中国著名自然语言处理和搜索专家吴军博士2017年11月在北京作了一篇精彩的主题演讲，题目为《教育改变命运》。其中提到了“我们为什么学习数学”这个话题，他对数学学习的真知灼见非常有必要在此分享。他提出：数学的重要性在于它培养科学的常识和基本的素养，讲究逻辑和方法。每一种解决数学题的方法都可以用于工作和创业。当你遇到一个不会解决的问题时，以前那些解数学题的逻辑全都用得上。学好数学需要三个要素：读题要读对；基础知识要牢固；逻辑能力要具备。把题读懂了，从已知到未知，读懂题就是知道自己现在的位置在哪儿，未来要去哪儿。分析和逻辑就是找到这条路，基础知识是你的工具，你的逻辑自己学会把这条路走通了。学好数学就是这三条，遗憾的是，大部分人学数学只知道第二条——基础知识牢固。老师把第二条全教给了你，关键是你题也没读懂，也没找到逻辑。在今天这样一个竞争激烈的时代背景下，科技强国梦需要更先进的数学理念和成果作为支撑，需要培养出更多、更杰出的数学人才。当然，世界是多元的，我们也不必期待所有的数学尖子生都成为数学家，但是如果他们能够领悟到数学之美并从中得到很好的逻辑思维训练，日后进入他们感兴趣的领域发展，很好地生活和工作，也是我们备感欣慰的事情。