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书名：概率论与数理统计
定价：39.8
ISBN：9787030546999
作者：张好治,王健
版次：1
出版时间：2018-01
内容提要：
本书分两部分：第1~5章为概率论部分，包括随机事件及其概率、随机变量及其概率分布、多维随机变量及其概率分布、随机变量的数字特征、大数定律与中心极限定理；第6~9章为数理统计部分，包括数理统计的基本知识、参数估计、假设检验、方差分析与回归分析。每章配有难易适中的习题，书末附有习题参考答案。
目录：
目录
第1章 随机事件及其概率 1
1.1 随机事件与样本空间 1
1.1.1 随机现象和确定性现象 1
1.1.2 随机试验和样本空间 1
1.1.3 随机事件的关系与运算 2
1.2 随机事件的概率 5
1.2.1 概率的统计定义 5
1.2.2 古典概率模型 6
1.2.3 几何概率 7
1.2.4 概率的公理化定义 8
1.2.5 概率的性质 9
1.3 条件概率、乘法公式、独立性 10
1.3.1 条件概率、乘法公式 10
1.3.2 条件概率的性质 11
1.3.3 事件的独立性 12
1.3.4 多个事件的独立性 13
1.4 全概率公式和贝叶斯公式 14
1.4.1 全概率公式 14
1.4.2 贝叶斯公式 15
1.5 伯努利概型 16
1.5.1 重复独立试验 16
1.5.2 二项概率公式 16
习题1 17
第2章 随机变量及其概率分布 21
2.1 随机变量的概念 21
2.2 离散型随机变量及其概率分布 23
2.2.1 离散型随机变量及其概率分布 23
2.2.2 常见的离散型随机变量的分布 24
2.3 随机变量的分布函数 27
2.3.1 随机变量的分布函数 27
2.3.2 离散型随机变量的分布函数 28
2.4 连续型随机变量及其分布 30
2.4.1 连续型随机变量 30
2.4.2 常见的连续型随机变量的分布 32
2.5 随机变量函数的分布 37
2.5.1 离散型随机变量函数的分布 37
2.5.2 连续型随机变量函数的分布 38
习题2 40
第3章 多维随机变量及其概率分布 46
3.1 二维随机变量及其分布 46
3.1.1 二维随机变量及其分布函数 46
3.1.2 二维离散型随机变量及其概率分布 47
3.1.3 二维连续型随机变量及其概率密度函数 49
3.1.4 常见的二维连续型随机变量 52
3.2 边缘分布 53
3.2.1 边缘分布 53
3.2.2 二维离散型随机变量的边缘分布 54
3.2.3 二维连续型随机变量的边缘概率密度 57
3.3 条件分布 60
3.3.1 离散型随机变量的条件分布 60
3.3.2 连续型随机变量的条件概率密度 62
3.4 随机变量的独立性 65
3.4.1 两个随机变量独立性的定义 65
3.4.2 离散型随机变量的独立性 65
3.4.3 连续型随机变量的独立性 66
3.4.4 n维随机变量的独立性 69
3.5 二维随机变量函数的分布 69
3.5.1 二维离散型随机变量函数的分布 69
3.5.2 二维连续型随机变量函数的分布 70
习题3 76
第4章 随机变量的数字特征 80
4.1 数学期望 80
4.1.1 离散型随机变量的数学期望 80
4.1.2 连续型随机变量的数学期望 82
4.1.3 随机变量函数的数学期望 84
4.1.4 数学期望的性质 86
4.2 方差 88
4.2.1 方差的概念 88
4.2.2 方差的性质 89
4.2.3 常见随机变量的方差 90
4.3 协方差与相关系数 91
4.3.1 协方差 91
4.3.2 相关系数 94
4.4 矩与协方差方阵 97
4.4.1 矩 97
4.4.2 协方差矩阵 97
习题4 98
第5章 大数定律与中心极限定理 101
5.1 切比雪夫不等式 101
5.2 大数定律 102
5.3 中心极限定理 104
习题5 108
第6章 数理统计的基本知识 110
6.1 样本与经验分布函数 110
6.1.1 总体与样本 110
6.1.2 经验分布函数 111
6.2 统计量与抽样分布 113
6.3 常用统计量的分布 114
6.3.1 χ2分布 114
6.3.2 t分布 117
6.3.3 F分布 119
习题6 122
第7章 参数估计 124
7.1 参数的点估计 124
7.1.1 估计量与估计值 124
7.1.2 矩估计法 124
7.1.3 极大似然估计法 126
7.2 估计量的评选标准 129
7.3 区间估计 131
7.3.1 区间估计基本概念 132
7.3.2 单个正态总体的区间估计 133
7.3.3 两个正态总体的区间估计 135
习题7 139
第8章 假设检验 142
8.1 假设检验的基本概念 142
8.1.1 假设检验问题的提出 142
8.1.2 假设检验问题的基本思想和步骤 143
8.1.3 假设检验中的两类错误 145
8.2 正态总体参数的假设检验 146
8.2.1 单个正态总体N(μ,σ2)的假设检验 146
8.2.2 两个正态总体参数的假设检验 150
8.2.3 单侧检验 155
8.3 非正态总体参数的假设检验 157
8.4 非参数检验 160
习题8 163
第9章 方差分析与回归分析 166
9.1 单因素的方差分析 166
9.2 双因素方差分析 171
9.2.1 有交互作用的方差分析 171
9.2.2 无交互作用的情形 175
9.3 一元线性回归 179
9.3.1 一元线性回归模型 179
9.3.2 参数的*小二乘估计 180
9.3.3 *小二乘估计的性质 182
9.3.4 回归模型的显著性检验 185
9.3.5 利用回归方程进行预测和控制 187
9.4 化非线性回归为线性回归 191
9.5 多元线性回归 194
9.5.1 *小二乘估计 195
9.5.2 线性相关关系的显著性检验 196
9.5.3 预测 197
习题9 200
参考文献 204
习题提示与答案 205
附表1 二项分布表 213
附表2 泊松分布表 223
附表3 标准正态分布表 225
附表4 χ2分布表 227
附表5 t分布表 231
附表6 F分布表 233
附表7 相关系数检验表 245
在线试读：
第1章 随机事件及其概率
概率论与数理统计是研究随机现象及其统计规律的一门学科，是近代数学的重要组成部分。概率论是随机数学的理论基础。本章将介绍事件之间的关系及其运算，概率的定义与性质，以及古典概型、几何概型、全概率公式、贝叶斯公式、二项概率公式等计算方法，这些都是我们学习概率论与数理统计的基础。
随机事件在一次试验中发生与否带有不确定性。但在大量重复实验中，这些无法准确预测的现象并非杂乱无章的，而是存在着某种规律，我们称这种规律为随机现象的统计规律。概率论与数理统计的理论和方法在物理学、医学、生物学等学科以及农业、工业、国防和国民经济等方面具有极广泛的应用。
1.1 随机事件与样本空间
1.1.1 随机现象和确定性现象
人们在生产活动、社会实践和科学试验中所遇到的自然现象和社会现象大体分为两类：一类是确定性现象，是事先可预知的，即在一定条件下必然发生某种结果的现象。例如，每天早晨太阳从东方升起；在标准大气压下，水加热到100℃时会沸腾；竖直向上抛一重物，则该重物一定会竖直落下等。这类现象的结果是可以准确预知的。
另一类是不确定性现象，又称为随机现象。是指事先不能预知的，即在一定的条件下可能发生这样的结果，也可能发生那样的结果，具有偶然性的现象。例如，掷一枚硬币，观察下落后的结果，有可能正面向上，也可能反面向上；观察种子发芽的情况，某粒种子可能发芽，也可能不发芽；某个射手向一目标射击，结果可能命中，也可能不中。这类现象的结果在测试之前是不可准确预知的。
1.1.2 随机试验和样本空间
为了获得随机现象的统计规律，必须在相同的条件下做大量的重复试验，若一个试验满足以下三个特点：
（1）在相同的条件下可以重复进行；
（2）每次试验的结果不止一个，但是在试验之前可以确定一切可能出现的结果；
（3）每次试验结果恰好是这些结果中的一个，但在试验之前不能准确地预知哪种结果会出现。
称这种试验为随机试验，简称试验，记作E。
定义1 随机试验E可能发生的*基本结果称为随机试验的一个基本事件，如果把基本事件视为一个单点构成的集合，就称为样本点。基本事件或样本点常用ω表示。样本点的全体构成的集合称为随机试验的样本空间，用Ω表示，Ω={ω}。显然ω∈Ω。
例1 观察一粒种子的发芽情况，一次观察就是一次试验，试验的结果为
例2 掷两枚硬币，观察正反面的情况，用T表示正面向上，用H表示反面向上，试验的可能结果有
例3 观测某地的年降雨量，写出样本空间：t=“年降雨量”，Ω={tt∈[0，+∞）}。
例4 从J、Q、K、A四张扑克中随意抽取两张，写出其样本空间：
ω1={J，Q}，ω2={J，K}，ω3={J，A}，ω4={Q，K}，ω5={Q，A}，ω6={K，A}，Ω={ω1，ω2，ω3，ω4，ω5，ω6}。
例5 某人向一圆形平面靶-射击，观察击中点位置的分布情况，假设射击不会脱靶，并且在此平面上建立了坐标系，则样本空间为
需要注意的是：
（1）样本空间中的基本事件不但要涵盖随机试验的全部结果，而且基本事件不能重复出现。
（2）样本空间中的元素可以是数，也可以不是数。
（3）从样本空间含有样本点的个数来看，样本空间可以分为有限样本空间和无限样本空间两类。
在观察随机现象时，不仅要考虑基本事件，而且还要考虑复杂事件。
随机试验E的样本空间Ω的任一子集称为一个随机事件，简称事件，常用大写的字母A，B，C，...表示。在试验中，如果事件A中所包含的任一个基本事件ω出现了，则称A发生。反之，则称A不发生。样本空间Ω是自身的子集，从而是随机事件，它包含所有样本点，在每次试验中必然发生，称为必然事件。？是Ω的子集，从而是随机事件，但它不包含任何样本点，故在每次试验中都不发生，称为不可能事件。
1.1.3 随机事件的关系与运算
为了将复杂事件用简单事件来表示，以便研究复杂事件发生的可能性，需要建立事件之间的关系和事件之间的运算。
设Ω为随机试验E的样本空间，是Ω的子集。
1. 随机事件之间的关系
（1）事件的包含。
若事件A中任一样本点都属于B，称事件A包含于事件B（或称事件B包含事件A）。记作：或。若事件A发生，则事件B必然发生，如图1-1所示。
（2）事件的相等。
若事件，同时，则称A与B为相等事件，记作A=B。
（3）互不相容事件。
若事件A和B，满足，则称A，B为互不相容事件或互斥事件，在一次试验中A，B两个事件不能同时发生，如图1-2所示。
图1-1
图1-2
（4）对立事件。
由样本空间Ω中不属于A的样本点组成的集合B，称事件A与B互为对立事件或互为逆事件，记为
显然有
2. 事件之间的运算
（1）事件的并。
由事件A和B中所有样本点组成的集合称为事件A和B的并事件或和事件，记为A∪B或A+B。若A∪B发生，则两个事件至少有一个发生，如图1-3所示。
图1-3
图1-4
类似地，n个事件的和事件记为，若发生，则n个事件中至少有一个发生。
（2）事件的交。
由既属于A又属于B的样本点组成的集合，称为事件A和B的交事件或积事件，记作A∩B或AB，若事件AB发生，则A，B两个事件同时发生，如图1-4所示。
类似地，n个事件的积事件记为，若事件发生，则n个事件同时发生。
（3）事件的差。
由属于A但不属于B的所有样本点组成的集合，称为事件A和B的差事件，记作A-B。当事件A-B发生，则事件A发生而事件B不发生，如图1-5所示。
在一次试验中A与A不能同时发生，但在每次试验中必有一个发生，且仅有一个发生，如图1-6所示。
图1-5
图1-6
对于事件的差有如下的结论：
事件之间的运算存在如下规律。
（1）交换律：
（2）结合律：
（3）分配律：
（4）DeMorgan公式：
例6 设A，B，C是Ω中的三个事件，用事件的运算式子表示下列各事件：
（1）三个事件中恰好有两个发生：
（2）三个事件中至少发生一个：
（3）三个事件中至少发生两个：
（4）A与B发生，C不发生：
（5）三个事件都不发生：
（6）三个事件中至多发生一个：
1.2 随机事件的概率
对于随机事件，在一次试验中是否发生，有很大的不确定性，不同的事件在同样的试验中发生的可能性有大有小，如一只口袋中有5只球，其中2只白球，3只黑球，随机取一球，取到两种颜色球的可能性大小是不同的。为了对随机试验有更深入的了解，人们希望对任一事件发生的可能性大小都能做出客观描述，并用一个数值对它进行度量。
简单来说，我们把度量随机事件发生的可能性大小的数值，称为事件A发生的概率，记为P（A）。
1.2.1 概率的统计定义
定义1若随机事件A在n次重复试验中发生了nA次，则称nA为A在这n次试验中发生的频数，称为A在这n次试验中发生的频率（frequency）。
频率的性质：
（1）非负性：
（2）规范性：
（3）有限可加性：对于n个两两互不相容事件A1，...，An，有
每n次试验，事件A的频率一般来说是不同的，具有随机性。但当n不断增大时，fn（A）能呈现某种规律性。历史上，著名统计学家蒲丰（Comtede Buffon）和皮尔逊（Karl Pearson）曾进行过大量的抛掷硬币试验。A表示硬币正面向上，结果见表1-1.
表1-1
从上述数据可以看出，随着n的增大，频率fn（A）呈现一定的稳定性，即当n逐渐增大时，fn（A）总是在0.5附近波动，且逐渐稳定于0.5。
定义2在相同的条件下，重复进行n次试验，如果随着试验次数的增大，事件A出现的频率fn（A）稳定地在某一确定的常数p附近摆动，则称常数p为事件A发生的概率。记为P（A）=p，这个定义称为概率的统计定义。概率与频率不同，概率是固定不变的，而频率是变化的。
概率的统计定义有以下性质：
（1）非负性：0≤P（A）≤1；
（2）规范性：P（Ω）=1；
（3）有限可加性：对于n个两两互不相容的事件A1，...，An，有
1.2.2 古典概率模型
人们在生活中*早研究的是一类简单的随机试验，它们满足以下条件：
（1）有限性：样本空间中含有有限个样本点。
（2）等可能性：每次试验中，每个样本点出现的可能性大小相同。
这类随机试验是概率论发展过程中*早的研究对象，通常称这类随机试验为古典概率模型，简称古典概型。
定义3 设Ω={ω1，…，ωn}为古典概型E的样本空间，其中，设事件A包含nA个样本点，则定义中基本事件的个数中基本事件的个数为事件A发生的概率。
法国数学家拉普拉斯（Laplace）在1812年把上式作为概率的定义，并在19世纪广泛流传，现在称它为概率的古典定义。但这种定义只适合于具有有限性、等可能性的古典概型，有一定的局限性。后来这个结果虽然推广到了拥有无限多个可能发生的结果，每个结果具有等可能性的随机试验，如几何概率，但还是没有解决概率的定义问题。
定价：39.8
ISBN：9787030546999
作者：张好治,王健
版次：1
出版时间：2018-01
内容提要：
本书分两部分：第1~5章为概率论部分，包括随机事件及其概率、随机变量及其概率分布、多维随机变量及其概率分布、随机变量的数字特征、大数定律与中心极限定理；第6~9章为数理统计部分，包括数理统计的基本知识、参数估计、假设检验、方差分析与回归分析。每章配有难易适中的习题，书末附有习题参考答案。
目录：
目录
第1章 随机事件及其概率 1
1.1 随机事件与样本空间 1
1.1.1 随机现象和确定性现象 1
1.1.2 随机试验和样本空间 1
1.1.3 随机事件的关系与运算 2
1.2 随机事件的概率 5
1.2.1 概率的统计定义 5
1.2.2 古典概率模型 6
1.2.3 几何概率 7
1.2.4 概率的公理化定义 8
1.2.5 概率的性质 9
1.3 条件概率、乘法公式、独立性 10
1.3.1 条件概率、乘法公式 10
1.3.2 条件概率的性质 11
1.3.3 事件的独立性 12
1.3.4 多个事件的独立性 13
1.4 全概率公式和贝叶斯公式 14
1.4.1 全概率公式 14
1.4.2 贝叶斯公式 15
1.5 伯努利概型 16
1.5.1 重复独立试验 16
1.5.2 二项概率公式 16
习题1 17
第2章 随机变量及其概率分布 21
2.1 随机变量的概念 21
2.2 离散型随机变量及其概率分布 23
2.2.1 离散型随机变量及其概率分布 23
2.2.2 常见的离散型随机变量的分布 24
2.3 随机变量的分布函数 27
2.3.1 随机变量的分布函数 27
2.3.2 离散型随机变量的分布函数 28
2.4 连续型随机变量及其分布 30
2.4.1 连续型随机变量 30
2.4.2 常见的连续型随机变量的分布 32
2.5 随机变量函数的分布 37
2.5.1 离散型随机变量函数的分布 37
2.5.2 连续型随机变量函数的分布 38
习题2 40
第3章 多维随机变量及其概率分布 46
3.1 二维随机变量及其分布 46
3.1.1 二维随机变量及其分布函数 46
3.1.2 二维离散型随机变量及其概率分布 47
3.1.3 二维连续型随机变量及其概率密度函数 49
3.1.4 常见的二维连续型随机变量 52
3.2 边缘分布 53
3.2.1 边缘分布 53
3.2.2 二维离散型随机变量的边缘分布 54
3.2.3 二维连续型随机变量的边缘概率密度 57
3.3 条件分布 60
3.3.1 离散型随机变量的条件分布 60
3.3.2 连续型随机变量的条件概率密度 62
3.4 随机变量的独立性 65
3.4.1 两个随机变量独立性的定义 65
3.4.2 离散型随机变量的独立性 65
3.4.3 连续型随机变量的独立性 66
3.4.4 n维随机变量的独立性 69
3.5 二维随机变量函数的分布 69
3.5.1 二维离散型随机变量函数的分布 69
3.5.2 二维连续型随机变量函数的分布 70
习题3 76
第4章 随机变量的数字特征 80
4.1 数学期望 80
4.1.1 离散型随机变量的数学期望 80
4.1.2 连续型随机变量的数学期望 82
4.1.3 随机变量函数的数学期望 84
4.1.4 数学期望的性质 86
4.2 方差 88
4.2.1 方差的概念 88
4.2.2 方差的性质 89
4.2.3 常见随机变量的方差 90
4.3 协方差与相关系数 91
4.3.1 协方差 91
4.3.2 相关系数 94
4.4 矩与协方差方阵 97
4.4.1 矩 97
4.4.2 协方差矩阵 97
习题4 98
第5章 大数定律与中心极限定理 101
5.1 切比雪夫不等式 101
5.2 大数定律 102
5.3 中心极限定理 104
习题5 108
第6章 数理统计的基本知识 110
6.1 样本与经验分布函数 110
6.1.1 总体与样本 110
6.1.2 经验分布函数 111
6.2 统计量与抽样分布 113
6.3 常用统计量的分布 114
6.3.1 χ2分布 114
6.3.2 t分布 117
6.3.3 F分布 119
习题6 122
第7章 参数估计 124
7.1 参数的点估计 124
7.1.1 估计量与估计值 124
7.1.2 矩估计法 124
7.1.3 极大似然估计法 126
7.2 估计量的评选标准 129
7.3 区间估计 131
7.3.1 区间估计基本概念 132
7.3.2 单个正态总体的区间估计 133
7.3.3 两个正态总体的区间估计 135
习题7 139
第8章 假设检验 142
8.1 假设检验的基本概念 142
8.1.1 假设检验问题的提出 142
8.1.2 假设检验问题的基本思想和步骤 143
8.1.3 假设检验中的两类错误 145
8.2 正态总体参数的假设检验 146
8.2.1 单个正态总体N(μ,σ2)的假设检验 146
8.2.2 两个正态总体参数的假设检验 150
8.2.3 单侧检验 155
8.3 非正态总体参数的假设检验 157
8.4 非参数检验 160
习题8 163
第9章 方差分析与回归分析 166
9.1 单因素的方差分析 166
9.2 双因素方差分析 171
9.2.1 有交互作用的方差分析 171
9.2.2 无交互作用的情形 175
9.3 一元线性回归 179
9.3.1 一元线性回归模型 179
9.3.2 参数的*小二乘估计 180
9.3.3 *小二乘估计的性质 182
9.3.4 回归模型的显著性检验 185
9.3.5 利用回归方程进行预测和控制 187
9.4 化非线性回归为线性回归 191
9.5 多元线性回归 194
9.5.1 *小二乘估计 195
9.5.2 线性相关关系的显著性检验 196
9.5.3 预测 197
习题9 200
参考文献 204
习题提示与答案 205
附表1 二项分布表 213
附表2 泊松分布表 223
附表3 标准正态分布表 225
附表4 χ2分布表 227
附表5 t分布表 231
附表6 F分布表 233
附表7 相关系数检验表 245
在线试读：
第1章 随机事件及其概率
概率论与数理统计是研究随机现象及其统计规律的一门学科，是近代数学的重要组成部分。概率论是随机数学的理论基础。本章将介绍事件之间的关系及其运算，概率的定义与性质，以及古典概型、几何概型、全概率公式、贝叶斯公式、二项概率公式等计算方法，这些都是我们学习概率论与数理统计的基础。
随机事件在一次试验中发生与否带有不确定性。但在大量重复实验中，这些无法准确预测的现象并非杂乱无章的，而是存在着某种规律，我们称这种规律为随机现象的统计规律。概率论与数理统计的理论和方法在物理学、医学、生物学等学科以及农业、工业、国防和国民经济等方面具有极广泛的应用。
1.1 随机事件与样本空间
1.1.1 随机现象和确定性现象
人们在生产活动、社会实践和科学试验中所遇到的自然现象和社会现象大体分为两类：一类是确定性现象，是事先可预知的，即在一定条件下必然发生某种结果的现象。例如，每天早晨太阳从东方升起；在标准大气压下，水加热到100℃时会沸腾；竖直向上抛一重物，则该重物一定会竖直落下等。这类现象的结果是可以准确预知的。
另一类是不确定性现象，又称为随机现象。是指事先不能预知的，即在一定的条件下可能发生这样的结果，也可能发生那样的结果，具有偶然性的现象。例如，掷一枚硬币，观察下落后的结果，有可能正面向上，也可能反面向上；观察种子发芽的情况，某粒种子可能发芽，也可能不发芽；某个射手向一目标射击，结果可能命中，也可能不中。这类现象的结果在测试之前是不可准确预知的。
1.1.2 随机试验和样本空间
为了获得随机现象的统计规律，必须在相同的条件下做大量的重复试验，若一个试验满足以下三个特点：
（1）在相同的条件下可以重复进行；
（2）每次试验的结果不止一个，但是在试验之前可以确定一切可能出现的结果；
（3）每次试验结果恰好是这些结果中的一个，但在试验之前不能准确地预知哪种结果会出现。
称这种试验为随机试验，简称试验，记作E。
定义1 随机试验E可能发生的*基本结果称为随机试验的一个基本事件，如果把基本事件视为一个单点构成的集合，就称为样本点。基本事件或样本点常用ω表示。样本点的全体构成的集合称为随机试验的样本空间，用Ω表示，Ω={ω}。显然ω∈Ω。
例1 观察一粒种子的发芽情况，一次观察就是一次试验，试验的结果为
例2 掷两枚硬币，观察正反面的情况，用T表示正面向上，用H表示反面向上，试验的可能结果有
例3 观测某地的年降雨量，写出样本空间：t=“年降雨量”，Ω={tt∈[0，+∞）}。
例4 从J、Q、K、A四张扑克中随意抽取两张，写出其样本空间：
ω1={J，Q}，ω2={J，K}，ω3={J，A}，ω4={Q，K}，ω5={Q，A}，ω6={K，A}，Ω={ω1，ω2，ω3，ω4，ω5，ω6}。
例5 某人向一圆形平面靶-射击，观察击中点位置的分布情况，假设射击不会脱靶，并且在此平面上建立了坐标系，则样本空间为
需要注意的是：
（1）样本空间中的基本事件不但要涵盖随机试验的全部结果，而且基本事件不能重复出现。
（2）样本空间中的元素可以是数，也可以不是数。
（3）从样本空间含有样本点的个数来看，样本空间可以分为有限样本空间和无限样本空间两类。
在观察随机现象时，不仅要考虑基本事件，而且还要考虑复杂事件。
随机试验E的样本空间Ω的任一子集称为一个随机事件，简称事件，常用大写的字母A，B，C，...表示。在试验中，如果事件A中所包含的任一个基本事件ω出现了，则称A发生。反之，则称A不发生。样本空间Ω是自身的子集，从而是随机事件，它包含所有样本点，在每次试验中必然发生，称为必然事件。？是Ω的子集，从而是随机事件，但它不包含任何样本点，故在每次试验中都不发生，称为不可能事件。
1.1.3 随机事件的关系与运算
为了将复杂事件用简单事件来表示，以便研究复杂事件发生的可能性，需要建立事件之间的关系和事件之间的运算。
设Ω为随机试验E的样本空间，是Ω的子集。
1. 随机事件之间的关系
（1）事件的包含。
若事件A中任一样本点都属于B，称事件A包含于事件B（或称事件B包含事件A）。记作：或。若事件A发生，则事件B必然发生，如图1-1所示。
（2）事件的相等。
若事件，同时，则称A与B为相等事件，记作A=B。
（3）互不相容事件。
若事件A和B，满足，则称A，B为互不相容事件或互斥事件，在一次试验中A，B两个事件不能同时发生，如图1-2所示。
图1-1
图1-2
（4）对立事件。
由样本空间Ω中不属于A的样本点组成的集合B，称事件A与B互为对立事件或互为逆事件，记为
显然有
2. 事件之间的运算
（1）事件的并。
由事件A和B中所有样本点组成的集合称为事件A和B的并事件或和事件，记为A∪B或A+B。若A∪B发生，则两个事件至少有一个发生，如图1-3所示。
图1-3
图1-4
类似地，n个事件的和事件记为，若发生，则n个事件中至少有一个发生。
（2）事件的交。
由既属于A又属于B的样本点组成的集合，称为事件A和B的交事件或积事件，记作A∩B或AB，若事件AB发生，则A，B两个事件同时发生，如图1-4所示。
类似地，n个事件的积事件记为，若事件发生，则n个事件同时发生。
（3）事件的差。
由属于A但不属于B的所有样本点组成的集合，称为事件A和B的差事件，记作A-B。当事件A-B发生，则事件A发生而事件B不发生，如图1-5所示。
在一次试验中A与A不能同时发生，但在每次试验中必有一个发生，且仅有一个发生，如图1-6所示。
图1-5
图1-6
对于事件的差有如下的结论：
事件之间的运算存在如下规律。
（1）交换律：
（2）结合律：
（3）分配律：
（4）DeMorgan公式：
例6 设A，B，C是Ω中的三个事件，用事件的运算式子表示下列各事件：
（1）三个事件中恰好有两个发生：
（2）三个事件中至少发生一个：
（3）三个事件中至少发生两个：
（4）A与B发生，C不发生：
（5）三个事件都不发生：
（6）三个事件中至多发生一个：
1.2 随机事件的概率
对于随机事件，在一次试验中是否发生，有很大的不确定性，不同的事件在同样的试验中发生的可能性有大有小，如一只口袋中有5只球，其中2只白球，3只黑球，随机取一球，取到两种颜色球的可能性大小是不同的。为了对随机试验有更深入的了解，人们希望对任一事件发生的可能性大小都能做出客观描述，并用一个数值对它进行度量。
简单来说，我们把度量随机事件发生的可能性大小的数值，称为事件A发生的概率，记为P（A）。
1.2.1 概率的统计定义
定义1若随机事件A在n次重复试验中发生了nA次，则称nA为A在这n次试验中发生的频数，称为A在这n次试验中发生的频率（frequency）。
频率的性质：
（1）非负性：
（2）规范性：
（3）有限可加性：对于n个两两互不相容事件A1，...，An，有
每n次试验，事件A的频率一般来说是不同的，具有随机性。但当n不断增大时，fn（A）能呈现某种规律性。历史上，著名统计学家蒲丰（Comtede Buffon）和皮尔逊（Karl Pearson）曾进行过大量的抛掷硬币试验。A表示硬币正面向上，结果见表1-1.
表1-1
从上述数据可以看出，随着n的增大，频率fn（A）呈现一定的稳定性，即当n逐渐增大时，fn（A）总是在0.5附近波动，且逐渐稳定于0.5。
定义2在相同的条件下，重复进行n次试验，如果随着试验次数的增大，事件A出现的频率fn（A）稳定地在某一确定的常数p附近摆动，则称常数p为事件A发生的概率。记为P（A）=p，这个定义称为概率的统计定义。概率与频率不同，概率是固定不变的，而频率是变化的。
概率的统计定义有以下性质：
（1）非负性：0≤P（A）≤1；
（2）规范性：P（Ω）=1；
（3）有限可加性：对于n个两两互不相容的事件A1，...，An，有
1.2.2 古典概率模型
人们在生活中*早研究的是一类简单的随机试验，它们满足以下条件：
（1）有限性：样本空间中含有有限个样本点。
（2）等可能性：每次试验中，每个样本点出现的可能性大小相同。
这类随机试验是概率论发展过程中*早的研究对象，通常称这类随机试验为古典概率模型，简称古典概型。
定义3 设Ω={ω1，…，ωn}为古典概型E的样本空间，其中，设事件A包含nA个样本点，则定义中基本事件的个数中基本事件的个数为事件A发生的概率。
法国数学家拉普拉斯（Laplace）在1812年把上式作为概率的定义，并在19世纪广泛流传，现在称它为概率的古典定义。但这种定义只适合于具有有限性、等可能性的古典概型，有一定的局限性。后来这个结果虽然推广到了拥有无限多个可能发生的结果，每个结果具有等可能性的随机试验，如几何概率，但还是没有解决概率的定义问题。