书名：从数学观点看物理世界——几何分析引力场与相对论
定价：98.0
ISBN：9787030356604
作者：马天
版次：1
出版时间：2015-06

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前言
第1章 张量分析及其物理意义 1
1.1 概念与背景 1
1.1.1 动机与背景介绍 1
1.1.2 Descartes张量 3
1.1.3 k重线性函数方式的张量等价定义 5
1.1.4 物理中二阶张量的例子 7
1.1.5 张量不变量与定律的协变性 9
1.2 基本性质 11
1.2.1 张量代数运算 11
1.2.2 对称与反对称张量 13
1.2.3 反对称张量的外积运算 14
1.2.4 张量的判别准则 15
1.2.5 各向同性张量 17
1.2.6 二阶张量特性 19
1.3 张量场及其微分运算 22
1.3.1 张量场 22
1.3.2 张量场的不变函数与偏微分方程协变性 24
1.3.3 微分形式与反对称张量场 27
1.3.4 梯度算子及物理作用 29
1.3.5 散度及其物理意义 34
1.3.6 向量场旋度与Stokes公式 39
1.3.7 电磁场的Maxwell方程 42
1.4 张量分析在流体动力学中应用 46
1.4.1 形变速度张量 46
1.4.2 流体运动方程 48
1.4.3 本构方程 49
1.4.4 Navier-Stokes方程 51
1.5 变换群表示下的张量 52
1.5.1 变换群观念的张量 52
1.5.2 群表示张量的不变量 53
1.5.3 反演变换及赝张量 56
1.5.4 S0(3)群的双值表示及旋量 57
1.5.5 旋量的物理解说 61
1.5.6 旋量Bose-Einstein凝聚方程的协变性 64
1.6 评注 71
第2章 弯曲空间的数学理论Riemann几何 74
2.1 几何与物理关系概论 74
2.1.1 宇宙背景空间与几何学 74
2.1.2 微分流形——弯曲空间的数学抽象 78
2.1.3 物理向量场与切空间 80
2.1.4 定律协变性背景下的流形张量场 82
2.1.5 流形上协变微分与联络 84
2.1.6 张量不变量的物理意义 88
2.2 流形上的向量场 90
2.2.1 向量场流的概念 90
2.2.2 Frobenius定理向量场编织流形的充要条件 92
2.2.3 带边流形向量场指标与边界环绕数公式 96
2.2.4 切球丛截面特征数 102
2.2.5 余切场及余切球丛上指标理论 106
2.2.6 由球丛截面特征数看指标会式 110
2.2.7 环绕数公式在流体动力学中应用 113
2.3 Riemann几何基础 115
2.3.1 内蕴几何的自然观点 115
2.3.2 Riemann度量产生的初等几何 117
2.3.3 度量空间等距类 120
2.3.4 短程线诱导的协变导数 124
2.3.5 测地坐标系 127
2.3.6 曲率张量 128
2.4 Riemann流形上微分形式 132
2.4.1 流形上微分形式 132
2.4.2 微分形式的积分与Stokes公式 134
2.4.3 Allendoerfer-Fenchel微分形式 137
2.4.4 Ωk(M)中的内积结构 138
2.4.5 Laplace-Beltrami算子 141
2.4.6 Hodge分解定理 143
2.5 评注 146
第3章 整体微分几何理论 149
3.1 流形共轭结构理论概述 149
3.1.1 共轭元及其指标概念 149
3.1.2 同调群及其几何化定理 153
3.1.3 共轭对称性定理 155
3.1.4 de Rham上同调的几何表示 157
3.1.5 微分形式的谱级数展开 160
3.2 Riemann度量对角化理论 162
3.2.1 度量对角化充要条件 162
3.2.2 对角化度量的联络与曲率张量 167
3.2.3 向量场和余切向量场的△算子 170
3.2.4 Weitzenbock公式 175
3.2.5 Lipschitz Killing曲率 180
3.3 2n维带边流形上广义Gauss-Bonnet公式 183
3.3.1 概况性介绍 183
3.3.2 微分形式观念的仿射联络与曲率 184
3.3.3 联络流形上一般标架场的结构方程 191
3.3.4 Riemann流形上正交标架场的结构方程 193
3.3.5 二维Gauss-Bonnet (GB)会式 195
3.3.6 陈省身微分形式 199
3.3.7 广义GB公式 202
3.3.8 各类指标公式的流形可加性与边界性质 205
3.4 评注 206
第4章 物理背景下的几何分析 208
4.1 流形上的分析框架 208
4.1.1 向量丛与截面 208
4.1.2 关于截面的Sobolev空间 210
4.1.3 Sobolev嵌入定理及其实质 214
4. 1.4 Rellich-Kondrachov紧嵌入 217
4.2 向量丛上的微分算子 220
4.2.1 基本概念 220
4.2.2 椭圆微分算子 222
4.2.3 截面的梯度与散度 225
4.2.4 向量场的Helmholtz分解 229
4.2.5 内积丛截面的正交分解 233
4.2.6 相对论引力效应的Navier-Stokes算子 235
4.3 Riemann度量泛函变分原理 240
4.3.1 物理背景 240
4.3.2 度量泛函变分学的基本框架 242
4.3.3 零散度变分的标量势定理 245
4.3.4 Einstein-Hilbert泛函 249
4.3.5 度量张量的Einstein场方程 251
4.3.6 对角化度量的变分问题 254
4.3.7 度量能量的Hamilton系统 256
4.4 评注 258
第5章 物理学基本原理 262
5.1 相对性原理 262
5.1.1 Newton绝对时空观念 262
5.1.2 Galileo不变性与Lorentz变换 263
5.1.3 Einstein相对性原理 265
5.1.4 相对论力学 266
5.2 相对论物理学 269
5.2.1 Minkowski四维空间 269
5.2.2 Lorentz张量 273
5.2.3 四维动质能向量以及三角关系式 276
5.2.4 Lorentz电磁场张量与相对论不变量 280
5.2.5 电动力学方程的协变性 282
5.2.6 相对论量子力学方程 284
5.2.7 Lorentz群旋量表示及Dirac方程协变性 287
5.3 Lagrange动力学原理 292
5.3.1 引言 292
5.3.2 相对论力学最小作用原理 294
5.3.3 电动力学的作用量 297
5.3.4 量子物理中的Lagrange密度 301
5.3.5 对称性与守恒量对应的Noether定理 303
5.4 Hamilton动力学原理 305
5.4.1 能量守恒系统的动力学 305
5.4.2 电磁场的能量密度 308
5.4.3 量子Hamilton系统 309
5.4.4 旋量BEC方程 314
5.5 评注 317
第6章 广义相对论与引力场 319
6.1 相对论引力场理论 319
6.1.1 等效原理 319
6.1.2 广义相对性原理 320
6.1.3 Lagrange动力学原理的引力场方程 322
6.1.4 引力场方程非变分原理的推导 323
6.1.5 引力场中的电动力学方程 327
6.1.6 能量动量张量表达公式 328
6.2 考虑暗能量效应的引力场方程 330
6.2.1 宇宙中的暗能量 330
6.2.2 带标量势的引力场方程 332
6.2.3 修正场方程的点源引力场理论 333
6.2.4 球对称场的引力势 336
6.2.5 真空场的Schwarzschild解 340
6.3 广义相对论的验证 342
6.3.1 球对称场中的运动守恒量 342
6.3.2 Schwarzschild场中的运动方程 344
6.3.3 水星近日点进动 346
6.3.4 光线在引力场的偏转 350
6.3.5 光的引力红移 352
6.4 黑洞 354
6.4.1 Schwarzschild半径 354
6.4.2 黑洞形成的物理条件 356
6.4.3 星体的密度极限 360
6.4.4 黑洞的探测 363
6.5 评注 363
第7章 宇宙学 366
7.1 宇宙的构成 366
7.1.1 恒星分布的HR图 366
7.1.2 星团 368
7.1.3 星系与银河系 370
7.1.4 星系团和巨洞 372
7.1.5 暗物质与暗能量 375
7.2 大爆炸理论 376
7.2.1 Hubble定律 376
7.2.2 宇宙的膨胀 378
7.2.3 宇宙起源的大爆炸 380
7.2.4 微波背景辐射 383
7.2.5 氦元素的丰度 387
7.3 宇宙的演化 389
7.3.1 宇宙学原理 389
7.3.2 Newton引力的宇宙动力学 392
7.3.3 Friedmann模型 395
7.3.4 Lemaitre的A方程 400
7.3.5 带标量势的宇宙学理论 402
7.4 暗物质暗能量的统一理论 404
7.4.1 框架性介绍 404
7.4.2 球对称引力场方程 406
7.4.3 相容性问题 408
7.4.4 标量势能与引力相互作用公式 409
7.4.5 简化的引力公式 411
7.4.6 非均匀性的效应 412
7.4.7 暗物质与暗能量机理 414
7.4.8 总结性结论 417
7.5 评注 419
参考文献 421

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