把握课标核心内容 提升数学专业素养

1.东北师范大学教授马云鹏、北京教育科学研究院正高级教师吴正宪等编著。
2.以41个鲜活的案例生动、具体地阐述小学数学中的关键内容，以便教师在教学实践中更好地把握课标核心，提升自身的专业素养。
3.借助典型案例举一反三，教师借助某个案例解读体会相似的教学设计，产生举一反三的效果。
4.既有对课标内容的解读，又有具体的案例做支撑，不枯燥，不空洞，更接近小学数学教师的教学实践。

编辑推荐篇章：
1.十进制计数法：认识更大的数
2.直线平面图形的特征：三角形的认识
本书以《义务教育数学课程标准（2022年版）》中核心内容、关键问题为对象，包括“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”“综合与实践”等四部分、41个案例，针对课标中相关问题的内容要求、学业要求和教学提示，以案例分析的形式进行解读，帮助读者更好地把握课标核心内容。
马云鹏 东北师范大学教授，博士生导师。中国教育学会小学数学教学专业委员会主任，教育部基础教育课程教材专家工作委员会委员，义务教育数学课程标准研制、修订组成员。主要从事课程实施与评价、中小学数学教育等的研究，出版《小学数学课程标准与教材研究》等多本著作。

吴正宪 特级教师，北京教育科学研究院正高级教师，教育部基础教育数学教学指导专委会副主任，义务教育数学课程标准修订组成员，中国教育学会小学数学专业委员会理事长，曾获“全国模范教师”、北京市“人民教师奖”等称号，出版了《吴正宪与小学数学》等多本著作。

目录简介
前　言.......................................................001

第一章　数与代数
数与运算.......................................................003
数位与数的表示: 11—20 各数的认识.......................................................003
. 十进制计数法: 认识更大的数....................................................... 009
. 感悟计数单位: 小数的意义....................................................... 016
. 感悟分数单位: 分数的再认识....................................................... 023
. 数位个数累加: 两位数加法....................................................... 030
. 从未知到已知: 两位数乘两位数....................................................... 035
. 感悟运算的一致性: 小数除法....................................................... 041
. 计数单位个数累加: 异分母分数加减法....................................................... 049
. 运算中的推理: 分数除以整数....................................................... 058
. 一般性的表达: 乘法对加法的分配律....................................................... 065
数量关系....................................................... 072
. 加法模型的初步理解: 加、减法的认识....................................................... 072
. 加法模型的应用: 加、减法的实际问题....................................................... 081
. 解决现实问题: 估算....................................................... 089
. 理解数量关系: 乘、除法的实际问题....................................................... 093
. 建立乘法模型: 速度times;时间＝路程....................................................... 103
. 感受字母表达的一般性: 用字母表示数量关系.......................................................111
. 感悟关联? 重在关系: 分数的实际问题.......................................................120
. 变与不变: 成正比的量.......................................................128

第二章　图形与几何
图形的认识与测量.......................................................139
. 直线平面图形的特征: 三角形的认识.......................................................139
. 曲线平面图形的特征: 圆的认识.......................................................147
. 发展空间观念: 长方体的认识.......................................................153
. 从三维物体到平面图形: 观察物体.......................................................160
. 用直尺和圆规作图: 画等边三角形.......................................................167
. 统一度量单位: 厘米的认识.......................................................173
. 感悟线段的可加: 周长的认识.......................................................180
. 从一维到二维: 长方形的面积.......................................................187
.变未知为已知: 平行四边形的面积.......................................................195
. 从二维到三维: 长方体的体积.......................................................201
. 解决真实问题(１): 怎样增加羊圈的面积.......................................................208
图形的位置与运动.......................................................216
. 感受图形的运动变换: 平移与旋转.......................................................216
. 感悟数与形的结合: 用数对确定位置.......................................................224
. 感受图形的运动和变化: 轴对称.......................................................232

第三章　统计与概率
数据的收集、整理与表达.......................................................241
. 数据的直观表达: 条形统计图.......................................................241
. 形成数据意识: 理解平均数.......................................................250
. 感受数据的力量: 折线统计图.......................................................256
. 感悟统计意义: 理解百分数.......................................................263

第四章　综合与实践
. 在活动中理解: 欢乐购物街.......................................................273
. 在活动中感悟数学事实: 曹冲称象.......................................................282
. 在生活中探究: 地铁中的数学.......................................................290
. 在实践中应用: 绘制校园平面图.......................................................298
. 解决真实问题(２): 疫情下的出操方案.......................................................311……精彩书摘十进制计数法：认识更大的数
本案例由深圳市蛇口育才教育集团育才三小刘占双名师工作室研制，由工作室学员深圳市南山实验教育集团鼎太小学孙海芝老师执教。
十进制是世界通用的计数制，每相邻的两个计数单位之间的进率是十，这种计数方法叫作十进制计数法。十进制计数法内容的学习是对整数表达方式的梳理，也为表达更大的数提供了方法。因此，这个内容的学习既有扩大数认识范围的意义，又有学习整数计数法的目的。教学中要充分利用学生原有的自然数概念的经验，为学生提供现实的大数的素材，经历从具体的数量到数的抽象过程，通过认识数位与数级来理解十进制计数法。认识更大的数是在万以内数的认识的基础上进一步的认识和整理，进而完成对整数的认识。学生对整数的认识是逐步扩展的，由20以内数的认识到100以内数的认识，再到万以内数的认识，最后到更大数的认识，随着数认识的扩展，数位一次次扩充。
对学生而言，日常生活中超过10000的具体情境并不常见，所以，超过10000的数概念理解比较困难。大数的认知理解与学生接触和经历的一些现实情境相关，而在实际教学中，往往对大数认知的现实情境与十进制计数法的关联并不充分，因此，学生不太容易把握大数的实际意义，也很难建立大数的数感。《课标》要求能结合具体实例解释万以上数的含义，而以往所用的小立方块等学具又很难表达超过10000的更大的数。因此，可以考虑设计一些学习活动，将超过万以上的数，通过实际情境或想象转换成一些容易或有趣的事物，以此感受大数的意义，发展数感。结合本案例重点思考如下问题：
1.怎样的情境可以使学生意识到认识大数的必要性？
2.怎样引导学生了解比十万大的计数单位？
3.怎样整理和完善数位顺序表？
在第二学段“数与运算”学习主题中，相关的要求如下：
1.内容要求：在具体情境中，认识万以上的数，了解十进制计数法。
2.学业要求：能结合具体实例解释万以上数的含义，能认、读、写万以上的数，会用万、亿为单位表示大数。
3.教学提示：数的认识教学应为学生提供合理的情境，引导学生进一步经历整数的抽象过程，知道大数的意义和四位一级的表示方法，建立数感；通过学生熟悉的具体情境，引导学生初步认识分数，进行简单的分数大小比较，感悟分数单位；借助学生的生活经验，引导学生认识小数单位，进一步感悟十进制计数法。在这样的过程中，发展学生数感。
本案例较好地体现了《课标》中有关数的认识的要求和教学提示中建议的活动方式。
片段1：提供现实情境素材，体会认识大数的必要性
师：同学们，2020年全国开展了第七次人口普查工作。请大家欣赏一段视频（播放第七次全国人口普查公益宣传片）。
师：人口普查是一件非常重要、非常有意义的事情。当时全国的普查员就有700多万人，他们走访每一家、每一户，逐一进行人口登记。2021年5月11日第七次全国人口普查结果公布。你们想知道这个数是多少吗？（PPT出示：我国人口总数为1411778724人）
师：你能试着读一读吗？
生：十四万万一千万一百万七十万七万八千七百二十四。
生：十四亿一千一百七十七万八千七百二十四。
师：有的同学会读，有的同学不会读，这都是正常的现象。目前我们学到最大的计数单位是多少？十万。对，这个数比十万可要大很多呢。这节课我们继续来学习：认识更大的数。
《课标》解读
《课标》要求“在具体情境中，认识万以上的数”，教学提示中强调“数的认识教学应为学生提供合理的情境”。合理的情境体现在现实世界的素材中，能让学生感知大数的意义，增进学生对数据实际意义的理解，能发展学生用数学的眼光分析身边数据的意识。与大数相关的现实情境素材很丰富，比如与国情教育相关的人口普查的素材，这个片段选择的是第七次全国人口普查的情境，这个情境不仅能让学生感知大数的存在和意义，同时也促进学生了解国情，现实的数据能丰富学生对大数的感受与应用，了解学习大数的必要性。另外，自然科学知识方面的素材也很丰富，比如一个人的血管总长度、地球赤道长度、光的传播速度等，还有经济和商业领域的素材。教师在选取素材时要综合考虑，比如能帮助学生明晰数的概念，感受大数的意义；能使学习内容生动、鲜活、现实；能让学生在了解大数广泛应用的同时，丰富他们对大数的感受；能以此为载体让学生受到热爱祖国、热爱自然、热爱科学的教育，激发学生学好数学的热情。
片段2：借助计数器，理解十进制计数法
师：学习大数时，我们通常会借助计数器。请同学们借助计数器，试着写出比十万大的计数单位。然后在组内与同学说一说你是怎么想到这个计数单位名称的。
生：我们组是这样想的，比十万大的计数单位是百万，因为10个十万是一百万。百万后面是千万，因为10个一百万是一千万。10个一千万是一万万，所以千万后面是万万。10个万万是十万万，所以万万后面是十万万。10个十万万是百万万，所以十万万后面是百万万。10个百万万是千万万，所以百万万后面是千万万。
生：我不同意，因为千万后面是亿。我前面和他的答案是一样的，十万后面是百万，百万后面是千万，千万的后面应该是亿，然后是十亿、百亿、千亿。
师：现在全班有两种观点，你们同意哪一种？说说理由。
生：第2种对。没有万万这个计数单位。前面是个、十、百、千，然后是万、十万、百万、千万，下一个是亿、十亿、百亿、千亿。它们都是有规律的，除了第一个以外，后面都是十、百、千，所以千万后面应该是亿。
师：其实，千万的后面是万万也没有错。我国约定把“万万”称为“亿”。亿的后面是十亿、百亿、千亿。
（教师引导学生演示计数器并解释十进制关系：10个十万是一百万，10个一百万是一千万，10个一千万是一亿，10个一亿是十亿，10个十亿是百亿，10个百亿是千亿，满十进一。）
师：同学们真了不起，在大家的共同研究下，认识了这么多计数单位。你们知道吗？每一个计数单位都有它所在的位置，这个位置就叫数位。右边起第一个计数单位是个，与个相对应的是个位，右边起第二个计数单位是十，与十相对应的是十位。后面的依次应该是什么数位？
生：百位，千位，万位，十万位，百万位，千万位，亿位，十亿位，百亿位，千亿位。
《课标》解读
《课标》要求“认识万以上的数，了解十进制计数法”，教学提示中强调“知道大数的意义和四位一级的表示方法，建立数感”。大数的认识中，需要向学生揭示数位、计数单位和数级的概念，让学生发现数位的规律及相邻计数单位间的十进关系，能够促进学生对十进制的了解，感受十进制计数法的价值所在。片段中借助计数器这一直观模型，学生在已有“万以内数的认识”经验的基础上，以“万”为单位一万一万地数、十万十万地数……数数的过程是学生认识新的计数单位，了解这些计数单位所占数位的过程。猜想并探究比十万大的计数单位，多次经历“满十进一”的过程，从而得到10个一万是十万、10个十万是一百万、10个一百万是一千万、10个一千万是一亿，发现相邻计数单位之间的十进关系。另外，也让学生体会我国固有的万、亿数字体系，以及特有的习惯用法——四位分节，“四位一级”按万、亿来读，这和西方三位分节，按千、百、万来读是不同的。同时，在这一过程中让学生进一步经历数的抽象过程，体会位值原理，将数级的认识从个级扩充到万级和亿级，感受表示所有自然数的方法，发展他们的数感。
片段3：知道大数的意义和表示方法，建立数感
师：我们已经认识了这么大的计数单位和数位了，现在我们再来看一下全国人口的总数。（PPT呈现第七次人口普查全国总人口为1411778724人）
师：想一想每个数在什么位上，分别表示什么。请用画珠子的方法在计数器上表示出这个数，再和同伴说一说你是怎么想的。
生：我在个位上画4个珠子，表示4个1；在十位上画2个珠子，表示20；在百位上画7个珠子，表示7个百；在千位上画8个珠子，表示8个千；在万位上画7个珠子，表示7个万；在十万位上画7个珠子，表示7个十万；在百万位上画1个珠子，表示1个百万；在千万位上画1个珠子，表示1个千万；在亿位上画4个珠子，表示4个亿；在十亿位上画1个珠子，表示1个十亿。
生：我是先从右边数起，看最高位在哪一位上，找到最高位再开始画珠子。个、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿、十亿，我知道最高位是十亿位。1在十亿位上，表示1个十亿；4在亿位上，表示4个亿；这个1在千万位上，表示1个千万；这个1在百万位上，表示1个百万；7在十万位上，表示7个十万；这个7在万位上，表示7个万；8在千位上，表示8个千；7在百位上，表示7个百；2在十位上，表示2个十；4在个位上，表示4个一。
师：这两人的方法都很好。通过刚才的活动，我们知道了这个数是由1个十亿、4个亿、1个千万、1个百万、7个十万、7个万、8个千、7个百、2个十和4个一组成的。也就是全国现在的总人口有14亿多。
师：这次人口普查显示深圳总人口是17560061人，这是多少？
生：个、十、百、千、万、十万、百万、千万，这个数是由1个千万、7个百万、5个十万、6个万、6个十和1个一组成的。
师：嗯，这是一千七百多万，想一想全国14亿人口有多少个深圳人口这么多？在小组内说说你的想法。
生：我把全国人口看成是14亿，把深圳人口看成两千万。因为14亿就是140千万，用140divide;2，等于70，说明全国人口有70个深圳人口那么多。
生：我是这样想的，我把深圳市人口估成1800万，那10个就是1亿8千万，20个就是3亿6千万，40个就是7亿2千万，80个就是14亿4千万。所以大约有80个深圳人口。实际应该比80少一些，因为我前面把全国人口估小了，深圳人口估大了。我估计大约有78个深圳人口那么多。
师：说得真好。刚刚同学们从不同角度得出14亿大约有70多、将近80个深圳人口那么多。看来全国人口总数是非常大的一个数。
《课标》解读
《课标》要求“能结合具体实例解释万以上数的含义”。大数在生活中应用广泛，经常出现在新闻、经济、科技等方面，学生对大数却缺乏体验，故而难以建立数感。片段借助引入情境的数据，进一步让学生知道大数的意义和表示方法，了解大数的组成。教师提供了第七次全国人口普查的两个数据，一个是总人口，一个是学生所在的深圳市的人口，通过比较推算，引导学生先估计深圳人口数，再推算两个大数的关系，这里对一定情境中数量大小的估计，在很大程度上是选择正确的数量级，而选择什么样的数量级，是学生数学经验的积累和数量特征的感知程度的体现，对培养学生的估计意识具有重要的意义。然后让学生运用想象感受14亿人口有多大，加深学生对亿以上大数的认识和感受，建立大数的数感。
片段4：进一步理解十进制计数法和四位一级的表示方法
师：今天我们认识了更大的计数单位和数位，为了更好地用它们来读数、写数，我们需要把它们分一分，隔一隔。请你观察一下，说说你想怎么分。
生：我是这样分的，把个、十、百、千分到一组，把万、十万、百万、千万分到一组，最后把亿、十亿、百亿、千亿分到一组。
师：为了读数、写数方便，我国按照“四位一级”的方法，把数位从右边的个位起进行了分级。把个位、十位、百位、千位分为一级，叫个极，表示有多少个一；万位、十万位、百万位、千万位为一级，叫万级，表示有多少个万；亿位、十亿位、百亿位、千亿位为一级，叫亿级，表示有多少个亿。我们认识的个级、万级、亿级，这些统称为数级。
师：把计数单位、数位和数级放在一个表格中，就形成了数位顺序表。观察一下这个表（展示表），你有什么发现？
生：我发现在数位顺序表中，右边起第一位是个位，第二位是十位，越往左数位就越高，计数单位也就越大。
生：我发现每个数级包括四个计数单位。
生：我发现数级、数位和计数单位后面都有省略号，说明它们后面还有更大的。
《课标》解读
《课标》要求“了解十进制计数法”“知道大数的意义和四位一级的表示方法，建立数感”。片段中老师让学生自己尝试“给数分组”划分数级，经历构建数位顺序表的过程，并在过程中理解每个计数单位的产生、名称、大小，明确其顺序及相邻计数单位之间的十进关系，引导学生发现数级和数位顺序的规律与特点。理清十进制计数法的逻辑结构，完整学习表示所有自然数的方法，有助于学生了解各个数级上每个数字的意义，这是理解大数各个数位上数字意义的前提条件，让学生体会根据数位顺序表，可以用有限的数字表示无限的自然数的过程，能促进学生从数的抽象角度理解大数的实际意义。

本案例运用现实情境引导学生联系万以内数的认知经验，通过迁移和推理建构完整的位值制，了解大数的表示及实际意义，在数数和认数的过程中体会十进制记数法的简便，感受十进制计数法的价值。通过学习使学生感知十进制计数法中更大的数位形成的过程，明确十进制计数法的位值原则就是数位上的数是几，就表示有几个这样的单位，并且每相邻两个单位间的进率是10。学生通过一个单位、一个单位地数，充分体会每数满10个单位就产生一个新的计数单位，感受十进制关系，在这个过程中，体会大数的意义，进一步发展数感。（东北师范大学孙兴华）……前言/序言《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《课标》）在理念、目标、内容等方面都有较大的变化。为使小学一线教师和教研人员更好地从整体上理解和把握《课标》，并在课堂实践中得以落实，我们试图以具体的教学案例为支撑，对《课标》的目标和相关内容做出分析和解读。
一、数学课程目标与内容的理解
《课标》遵循德智体美劳全面发展的教育方针，落实立德树人的根本任务，体现数学教育的基础性、普及性和发展性，以核心素养为统领，确立数学课程的目标、内容、方法和评价，进一步明确了义务教育阶段数学课程的培养目标，调整了课程内容结构和具体内容。
（一）核心素养导向的课程目标
《课标》在总目标中明确提出，“通过义务教育阶段的数学学习，学生逐步会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界”（“三会”）。这体现了课程目标以核心素养为导向。“三会”是义务教育阶段核心素养的基本要素。为体现不同阶段学生的发展水平，在小学和初中阶段确定核心素养的具体表现。小学阶段包括“数感、量感、符号意识、运算能力、几何直观、空间观念、推理意识、数据意识、模型意识、应用意识和创新意识”，初中阶段包括“抽象能力、运算能力、几何直观、空间观念、推理能力、数据观念、模型观念、应用意识和创新意识”。核心素养是学生在学习过程中逐步形成的未来发展所需要的正确价值观、思维品质和关键能力。“三会”既是义务教育阶段的数学学习逐步形成的核心素养，也是进一步在高中、大学，甚至走向社会不断应用和提升的综合能力。“三会”是数学课程的统领，也是义务教育阶段数学课程目标的导向。比如，“会用数学的眼光观察现实世界”是对一个人是否具备数学素养的较高要求，对于一个普通公民，无论将来是否从事数学研究，具备数学眼光观察现实世界都是重要的。具备这样的素养使工作、生活和事业有更大的空间和更丰富的视野，对于纷繁复杂的现实世界具备从数学的角度审视的能力。核心素养是具体的课程目标和教学实践的导向，是数学教育应追求的长远发展目标。
在核心素养统领下，数学课程的总目标分为三个方面表述，可概括地理解为培养学生的“四基”“四能”和正确的情感态度价值观。
总目标之一
“获得适应未来生活和进一步发展所必需的数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。”（简称“四基”）“四基”是对义务教育阶段学生数学学习的整体的基本的要求。从“双基”到“四基”是育人目标的转变，是对数学课程在培养全面发展人的重要标志。“双基”既是数学教学要实现的目标，又是促进学生发展的载体。数学基本思想主要是数学抽象、数学推理和数学模型。义务教育阶段数学基本思想有相应水平的表现。如小学阶段的数感、量感、符号意识、空间观念、推理意识、模型意识等，初中阶段表现为抽象能力、空间观念、推理能力、模型观念等。基本活动经验是在学习过程中积累的，设计和组织丰富多样的、学生广泛参与的数学学习活动，是形成基本活动经验的前提条件。《课标》在许多“内容要求”中提出了“经历”“体验”“感悟”“探索”某些特定内容的要求，对于这些内容的教学应当为学生设计参与其中的真实问题情境，使学生在学习活动中获得对问题的体验，不仅加深学生对所学内容的理解和掌握，更重要的是促进学生活动经验的形成。
总目标之二
“体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，在探索真实情境所蕴含的关系中，发现问题和提出问题，运用数学和其他学科的知识与方法分析问题和解决问题。”其核心要义是培养学生的问题解决能力（简称“四能”），重点强调在真实情境中探索数量关系。低年级更多地运用个人情境或生活情境，随着年龄的增长逐步增加其他类型的情境；注重运用数学和其他学科的知识与方法解决问题，体现数学知识之间的联系，数学与其他学科之间的联系，以及数学与生活之间的联系。这些联系一方面体现在各领域内容的呈现和学习中运用不同学科的背景和知识，另一方面体现在综合与实践的主题活动和项目学习之中；在问题解决的过程中突显核心素养的形成，学生运用数量关系解决问题的过程中，通过主题活动或项目学习，体验问题解决的全过程，发展推理能力、应用意识和创新意识等核心素养。
总目标之三
“对数学具有好奇心和求知欲，了解数学的价值，欣赏数学美，提高学习数学的兴趣，建立学好数学的信心，养成良好的学习习惯，形成质疑问难、自我反思和勇于探索的科学精神。”强调使学生在数学学习过程中建立学习数学的动机，了解数学的价值，对数学学习产生兴趣和信心，养成良好的学习习惯和科学精神。
根据不同学段学生学习的水平，将总目标分解成学段目标，并将核心素养的具体表现体现在学段目标之中。学段目标是总目标的阶段性水平描述，不同学段对学生的知识技能、能力表现和情感态度等方面的要求尽可能有水平上的区别，以适应不同学段学生的年龄特征。
（二）结构化特征的课程内容
《课标》对“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”“综合与实践”四个领域进行了结构化整合，形成若干学习主题，内容的呈现方式也做了较大的调整,各学段各领域的主题如下表所示：
学段
领域第一学段第二学段第三学段第四学段数与代数1.数与运算
2.数量关系1.数与运算
2.数量关系1.数与运算
2.数量关系1.数与式
2.方程与不等式
3.函数图形与几何图形的认识与
测量1.图形的认识与测量
2.图形的位置与运动1.图形的认识与测量
2.图形的位置与运动1.图形的性质
2.图形的变化
3.图形与坐标统计与概率数据分类数据的收集、整理与表达1.数据的收集、整理与表达
2.随机现象发生的可能性1.抽样与数据分析
2.随机事件的概率综合与实践重在解决实际问题，以跨学科主题学习为主，主要包括主题活动和项目学习等。第一、第二、第三学段主要采用主题式学习，将知识内容融入主题活动中；第四学段可采用项目式学习。
数与代数领域整合为“数与运算”和“数量关系”两个主题，将相关的内容进行统整，更好地体现了学科内容的本质和学生学习的需要。“数与运算”整合了数的认识和数的运算两个核心内容，体现了两者之间的密切关联和一致性。小学阶段所有的运算都是数的运算，包括整数、小数、分数运算，而运算的重点在于理解算理、掌握算法。算理的理解最终都要追溯到数的意义，如整数和小数的加法是相同数位上的数相加，分数的加法是相同分母的分数可以直接相加，也就是分数单位相同的分数相加，分母不变，分子相加，都可以理解为相同计数单位的个数相加。将数与运算整合成一个主题，有助于从整体上理解数和运算，体现数的概念和运算的一致性，为学生从整体上把握和理解数学知识与方法，形成数感、符号意识、推理意识等核心素养提供基础。“数量关系”主题突出了问题解决，将原来常见的数量关系、式与方程、正比例、反比例和探索规律等内容整合。数量关系重点在于用数和符号对现实情境中数量之间的关系和规律的表达，也就是用数学模型解决现实情境中的问题。在数量关系主题下，包含了用四则运算的意义解决实际问题，理解和运用常见的数量关系解决问题，从数量关系的角度理解字母表示数、比和比例等内容。
图形与几何领域整合为“图形的认识与测量”“图形的位置与运动”两个主题。图形的认识重点是图形特征的探索与描述，图形的测量是对图形大小的度量。图形的测量过程与结果都与具体图形的特征密切相关。如，图形的周长、面积、体积的问题，与某一类具体的图形建立联系，对图形特征的把握直接影响图形测量的学习，长方形面积是在一个长和宽都是整厘米的长方形中，摆满面积单位（1平方厘米的小正方形），这与长方形的4个角都是直角有关。图形的位置与图形的运动也是有密切关系的两部分内容。在小学，图形的位置重点是用一对有序的数对描述一个点的位置（距离和方向也可以看作是一对数），而图形的运动主要是图形的平移、旋转和轴对称，本质上是图形上的点的位置的变化，这种变化主要是平移或旋转。认识图形运动前的位置与运动后的位置的关系，了解其中的变化和不变，也就是点的位置的变化或不变，所以，图形的运动与图形的位置有密切的关系。
统计与概率的主题调整为“数据分类”“数据的收集、整理与表达”和“随机现象发生的可能性”三个主题，将原来的“分类”调整为“数据分类”，将百分数内容纳入统计与概率领域，重点强调数据的处理，收集、整理与表达是数据处理，更有助于学生数据意识和应用意识的形成。
综合与实践虽然不存在主题整合的问题，但强调解决实际问题和跨学科主题学习，并以主题式学习的方式设计与组织。
内容结构的变化体现内容统整的理念，在一定程度上避免知识的碎片化。内容结构的变化有助于核心素养的落实。
二、《课标》实施的关键是课堂教学
课堂教学实践是落实《课标》的重要途径。《课标》提出一系列实施的要求，包括教学建议，评价与考试命题，教材编写要求，课程资源开发与利用，教学研究与教师培训等。对于一线教师来讲，关键在于准确理解《课标》的理念与目标，正确把握课程的内容要求，并将其落实到课堂教学实践中。为此，必须从特定的学习内容入手，以核心素养统领的课程理念为指导，把握具体内容的学科本质，分析相关内容的教学要求，理解学生学习的特点，制定体现核心素养的教学目标，在此基础上设计和实施有效的课堂教学活动。在上述课程目标和内容分析的基础上，选择内容主题中体现核心概念的关键内容为案例，结合《课标》要求对其进行深入分析和理解，有助于准确把握和理解《课标》的要求，以及在课堂教学层面的样态。下面以“两位数加减法”（19十18）为例简要说明。
（一）整体分析内容
两位数加减法是“数与运算”主题中的重要内容，与整数的概念相关（位值制），体现数与运算的一致性。在理解算理的过程中，一定会用到数的概念，19分成10和9，18分成10和8，以整数的位值制为依据，整体分析小学阶段的“数与运算”，两位数加减法的算理和算法，与多位数的运算是一致的，与小数的运算也是一致的，甚至与分数的运算也有一致性。从整体上分析和理解这个内容，从更大的视角理解内容的本质，将理解算理、掌握算法的过程拓展到更大的数，甚至还可以迁移到乘法和除法运算之中。
（二）了解学生学习
对学生学习的了解与具体内容分不开。清楚地把握学生学习“19十18”这样的问题有哪些基础，会遇到什么问题，进而确定学生学习这一内容的“前概念”。学生已经学习了“100以内的数”“20以内的进位加法”等内容。当前内容的学习重点要解决“相同数位上的数相加”“满十进一”的道理。这些道理都要利用数概念和加法的意义进行说理，说理的过程就是推理意识形成的过程。直接的“前概念”是9十8=17，引导学生运用17的意义很重要，即17=10十7，在整个计算过程中将原有的2个十与新产生的1个十合起来就是3个十，即30，所以结果是37。
（三）确定教学目标
在上述内容分析和学生分析的基础上，明确该内容的重点是理解算理、掌握算法。算理是“个位上的9十8=17（满十进一），十位上的1十1=2（是2个十），再加1等于3（是3个十），所以19十18=37”。教学目标重点体现理解算理，形成运算能力。算理的理解要回到数的概念，19十18=10十9十（10十8）=10十10十9十8=20十17=37，这里要用整数的位值制来理解，还要用到运算律，理解运算中的道理，使学生形成推理意识。因此，在教学目标中体现“理解算理，掌握算法”的基本技能、数学思想，以及核心素养的基本要素，再加上相应的情感态度要求，构成完整的教学目标。
（四）完成教学设计
基于内容分析、学生分析和教学目标进行合理的教学设计。对于19十18这样的问题，算法并不难，而把算理说清楚会有一定的难度。这一内容教学的重点恰恰是对于算理的理解。因此，教学设计应重点指向如何使学生理解算理。具体的教学设计可能有不同的方式，如开放式的问题：“19十18=？你会算这个题目吗？”“说一说你是怎样计算的？”针对学生的不同回答展开讨论。也可以提出具体的问题:“这个题目中19可以分解成哪两个数？18呢？”“题目中的两个‘1’相加表示什么？”不论是开放性的问题，还是半开放性的问题，都需要教师很好地把握教学过程中的生成，针对学生的不同答案，以及学习过程中出现的问题和困惑进行讨论和引导。教学设计可能没有固定的模式和方法，典型的案例可以提供解决问题的一种方案，为老师们提供参考。
从这个意义上，对于典型案例的理解与把握，有助于教师从整体上理解《课标》，分析内容和教学设计，以达到对关键内容的深度理解。在此基础上，举一反三，实现对小学数学的整体理解。可见，结合典型案例分析理解《课标》具有重要意义。
三、本书的设计与组织
（一）本书的编写目的
本书编写的初衷是借助案例解读《课标》，帮助读者通过案例具体地理解《课标》，进而在自己的教学实践中更好地落实《课标》。试图通过鲜活的案例对小学数学中的关键内容进行解读，实现理解《课标》、落实《课标》提出的理念与目标、提升小学数学教师的专业素养、提高小学数学教学质量的目的。
一是通过案例解读《课标》。《课标》的解读可以是系统、全面的解读，从理念与目标到内容与评价等方面完整的解读，也可以是专题解读，如对目标的理解，对内容结构的理解，对某一个主题的理解等。案例解读试图通过典型的案例对《课标》进行解读，这意味着案例解读是有选择有侧重地对《课标》进行解读。本书所设计的思路是，从“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”“综合与实践”四个学习领域中选择小学阶段的重要内容，剖析《课标》对该内容的要求，透过符合或基本符合这些要求的案例，理解《课标》的相关要求，进而引申对《课标》的理念、目标、评价等方面的理解。如“11—20各数的认识”作为“数与运算”主题下的典型案例，通过这个案例理解相关的“内容要求”“学业要求”和“教学提示”。
二是借助典型案例举一反三。本书所选择的案例是一个主题下的关键内容或新增加和调整的内容。这些内容一般不是孤立的个别的内容，是可以拓展和延伸的内容。通过对这些典型案例的解读，将对《课标》相关内容的要求有进一步的理解，也对具有相同本质属性的内容起到借鉴的作用，使案例发挥举一反三的作用。“11—20各数的认识”体现十进制计数法的本质特征，即不同数位上的数字表示不同的值，这个内容看似简单，但反映数的表示的本质，这与之后学习100以内的数、万以内的数，乃至小数、分数，在本质上是相通的。读者可以通过这个案例的解读体会相似内容的《课标》理解和教学设计，使这个案例的解读产生举一反三的效果。
三是以案例为引导，创造性地用于教学实践。案例解读的目标是帮助读者更好地理解《课标》，并在教学实践中有效地落实其理念与要求。本书中选择的案例具有一定的示范性，有助于读者理解相关内容的本质和具体主题的设计思路，但案例中教学活动的设计并不是唯一的，也不一定是最好的。读者参考案例对相关内容的理解和教学活动的设计，但真实的教学都需要教师创造性的劳动，结合自己的教学实践，根据所教学生的具体情况设计有个性的教学活动方案。在“11—20各数的认识”案例中教师运用的方法有其合理和精彩之处，但重要的是理解这样的教学活动所要解决的问题，而不是简单地模仿具体的方法。实际教学活动的设计应当借鉴案例所提供的示范，在理解的基础上创造性地完成具体的教学设计。
（二）本书的结构设计
依据本书确定的总体目标，从以下几个方面考虑本书的总体结构。
一是确定关键内容。案例解读是以四个学习领域中的关键内容为对象展开的。我们根据两个基本的原则确定关键内容。一是以领域下的学习主题为线索，选择反映学习主题本质特征的内容；二是《课标》增加或调整的具有代表性的内容。如上所述，小学阶段四个领域中前三个领域共分为七个学习主题，综合与实践下没有分主题，但可以分为包含具体的学习内容和不包含学习内容的主题活动。根据上面两个基本原则，确定的41个关键内容作为案例分析的对象，具体如下表所示：
主题关键内容数与运算11—20各数的认识；大数的认识；小数的意义；分数的意义；两位数加减法；两位数乘法；小数除法；异分母分数加减法；分数除法；运算律。数量关系加、减法的实际问题；估算；加减法的认识；速度times;时间=路程；乘除法实际问题；分数实际问题；用字母表示数；成正比的量。图形的
认识与测量观察物体；三角形的认识；圆的认识；长方体、正方体的认识；尺规作图（等边三角形）；米和厘米的认识；长方形周长；长正方形的面积；平行四边形的面积；长方体的体积；怎样增加羊圈的面积。图形的
位置与运动确定位置；平移与旋转；轴对称。数据的收集、
整理与表达收集数据与表达；平均数；折线统计图；百分数。综合与实践主题活动（3）；项目学习；自设主题活动。
这41个关键内容覆盖小学阶段的6个主题内容，包含了大多数重要的学习内容，基本反映了各学习主题的核心内容和学科本质。如数与运算主题下的10个内容，包含了整数、小数、分数的认识，及其加减乘除运算。当然这些内容并非所有的重点内容，由于篇幅限制，以及内容的代表性，有些重要内容也不在其中。另外，选择了若干新增加的内容，如尺规作图、主题活动和项目学习等内容。希望借助这些内容的案例对课标相关要求的解读，可以使读者较为清晰地理解《课标》，并将其拓展到相似内容主题的学习之中。
二是选择典型案例。针对上述41个关键内容选择案例，基于两个基本原则：一是能够较好体现《课标》要求且大多数教师能够理解和借鉴的案例。通过案例主要片段的展示，针对《课标》中的相关要求和教学建议，理解《课标》的要求，阐述案例中相关的教学环节如何体现《课标》的要求，实现核心素养导向的课程目标。所选择的案例中有优秀教师设计与实施的典型案例，包括部分名师的示范课，在大奖赛中获奖的课。二是编者结合相关主题内容的要求设计和实施的课。虽然案例并非完美无缺，但从某个侧面体现了《课标》的要求，能够帮助读者理解《课标》，把握《课标》。
三是设计案例解读结构。本书以案例为载体，以《课标》相关的内容要求、学业要求和教学提示为依据，结合案例详细阐述对这些要求和提示的理解，以及在具体案例中加以呈现。每一个案例包括“案例导读”“《课标》要求”“案例解读”“案例小结”四个部分。
“案例导读”简要介绍这个案例中的关键内容的理解、学科本质的分析、教学中存在的问题，以及如何按《课标》要求进行教学设计等。为使读者更好地理解案例与《课标》要求的关系，提出几个思考问题。“《课标》要求”摘录与该内容相关的《课标》中的内容要求、学业要求和教学提示，必要时还有相关的课程目标和教学实施中的相关内容。“案例解读”呈现案例中的几个教学片段，解释在片段中如何体现《课标》的相关要求和教学提示。“案例小结”是对整个案例重点教学活动以及如何体现《课标》要求的概括。
（三）本书编写人员及分工
本书由马云鹏（东北师范大学）、吴正宪（北京教育科学研究院）担任主编，唐彩斌（杭州时代小学）、潘小明（上海市宝山区教师研究院）担任副主编。主要编写人员有张秋爽（北京市顺义区教育研究和教师研修中心）、王艳玲（东北师范大学）、武维民（北京市房山区教师进修学校）、孙兴华（东北师范大学），以及唐彩斌特级教师工作室的部分优秀骨干教师。
华东师范大学出版社任红瑚参与本书的策划与编辑。对设计和实施本书中引用的教学案例的老师表示感谢。
相信本书能为小学数学教师和教研人员理解《课标》，将《课标》的理念、目标、内容和方法在教学实践中付诸实施提供帮助。希望本书通过案例对《课标》相关问题的解读为小学数学课程与教学改革提供资源和借鉴，为提高小学数学教学质量做出贡献。
限于本书作者对《课标》理解的水平，以及对案例分析的视角和观点的差异，书中难免存在一些值得研究的问题，诚请读者提出宝贵的意见。
编者2022年5月……