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书名：高等代数中的典型问题与方法（第二版）
定价：56.0
ISBN：9787030481016
作者：李志慧，李永明
版次：1
出版时间：2018-10
内容提要：
本书是为正在学习高等代数的读者、正在复习高等代数准备报考研究生的读者，以及从事这方面教学工作的年轻教师编写的.
本书与北京大学数学系几何与代数教研组编写的《高等代数（第三版）》相配套，在编写上也遵循此教材的顺序.全面、系统地总结和归纳了高等代数中问题的基本类型、每种类型的基本方法，对每种方法先概括要点，再选取典型而有一定难度的例题，逐层剖析.对一些较难理解的问题，在适当的章节做了专题研究，进行了较深入的探讨和总结，如：线性变换的对角化、矩阵分解等问题，以消除读者长期以来对其抽象问题在理解上含糊不清的疑虑，从而更深入地领会问题.
目录：
目录
第二版前言
**版前言
常用符号
第1章多项式1
1.1多项式的概念与运算1
一、多项式的基本概念1
二、多项式的运算2
练习 1.1 2
1.2多项式的整除2
一、带余除法和综合除法2
二、整除4
三、昀大公因式及其求法5
四、多项式的互素7
练习 1.2 9
1.3多项式的因式分解10
一、不可约多项式10
二、k重因式12
三、多项式函数13
四、一般数域上的因式分解及根的性质15
五、复数域上多项式的因式分解及根的性质16
六、实数域上多项式的因式分解及根的性质17
七、有理数域上多项式的因式分解及根的性质19
练习 1.3 22
1.4注记23
第2章行列式24
2.1用定义计算行列式24
练习 2.1 25
2.2求行列式的若干方法25
一、三角化法26
二、用行列式的性质化为已知行列式26
三、滚动相消法27
四、拆分法29
五、加边法31
六、归纳法32
七、利用递推降级法33
八、利用重要公式与结论35
九、用幂级数变换计算行列式36
练习 2.2 38
2.3利用降级公式计算行列式42
练习 2.3 48
2.4有关行列式的证明题49
练习 2.4 50
2.5一个行列式的计算和推广51
一、Dn的计算52
二、问题的推广54
第3章线性方程组56
3.1线性相关性(Ⅰ)56
一、线性相关56
二、线性无关57
三、综合性问题61
练习 3.1 63
3.2矩阵的秩64
练习 3.2 67
3.3线性方程组的解67
一、线性方程组的几种表示形式67
二、线性方程组有解的判定及解的个数68
三、线性方程组解的结构70
练习 3.3 77
第4章矩阵81
4.1矩阵的基本运算81
一、矩阵的加法和数乘81
二、矩阵的乘法82
三、矩阵的转置83
四、矩阵的伴随84
练习 4.1 87
4.2矩阵的逆88
一、矩阵逆的性质88
二、矩阵逆的求法(Ⅰ)88
三、矩阵不可逆的证明方法89
四、矩阵多项式的逆(Ⅱ)90
练习 4.2 91
4.3矩阵的分块91
一、分块阵的乘法及其应用91
二、分块阵的广义初等变换92
三、关于分块阵的逆(Ⅲ)93
练习 4.3 94
4.4初等矩阵95
一、初等矩阵及其性质95
二、初等变换的应用96
三、利用初等变换求矩阵的逆(Ⅳ)99
四、矩阵的等价100
练习 4.4 100
4.5若干不等式101
一、Steinitz替换定理及其应用101
二、利用整齐与局部的思想(实例)102
练习 4.5 104
第5章二次型105
5.1二次型与矩阵105
一、二次型的概念及其表示105
二、二次型与对称矩阵(Ⅰ)106
练习 5.1 107
5.2标准形和规范形107
一、标准形107
二、规范形及其**性111
三、(反)对称矩阵(Ⅱ)112
练习 5.2 113
5.3正定二次型114
一、正定二次型的判定114
二、正定矩阵的判定117
练习 5.3 118
5.4其他各类二次型120
一、负定二次型120
二、半正(负)定二次型122
5.5不等式与二次型(实例)123
5.6注记124
第6章线性空间125
6.1线性空间的定义125
一、用定义证明线性空间125
二、几个常用的线性空间125
三、向量组的线性相关性126
练习 6.1 126
6.2基与维数变换公式127
一、基与维数的求法127
二、基变换公式128
三、同一向量在不同基下的坐标(“3推 1”公式Ⅰ)129
四、坐标的求法130
练习 6.2 131
6.3子空间及其运算131
一、子空间的判定131
二、子空间的运算134
三、直和的证明137
四、子空间的性质137
练习 6.3 139
6.4不等式141
练习 6.4 143
第7章线性变换144
7.1线性变换及其运算144
一、线性变换的判定及其性质144
二、线性变换的多项式146
练习 7.1 146
7.2线性变换与矩阵147
一、线性变换的矩阵147
二、一一对应关系148
三、矩阵的相似150
四、向量与其象向量的坐标(“3推 1”公式Ⅱ)151
五、同一线性变换在不同基下的矩阵(“3推 1”公式Ⅲ)152
练习 7.2 153
7.3矩阵(线性变换)的特征值与特征向量155
一、矩阵的特征值与特征向量求法155
二、矩阵特征值的和与积159
三、代数重数与几何重数160
四、扰动法(实例)161
练习 7.3 161
7.4线性变换(矩阵)的对角化问题(Ⅰ)163
一、利用特征向量判定163
二、利用特征值判定164
练习 7.4 166
7.5不变子空间168
一、不变子空间的判定168
二、特征子空间169
三、值域170
四、核171
练习 7.5 174
7.6线性空间的分解177
一、多项式理论与线性空间分解初步177
二、线性空间的分解179
练习 7.6 179
第8章 λ-矩阵181
8.1 λ-矩阵的有关概念及结论181
一、λ-矩阵的相关概念181
二、不变因子，行列式因子与初等因子182
练习 8.1 184
8.2矩阵相似的条件185
一、矩阵相似与λ-矩阵等价之间的关系185
二、矩阵相似的充要条件185
练习 8.2 186
8.3矩阵的 Jordan标准形186
一、Jordan标准形及其求法186
二、Jordan块的性质及其应用190
练习 8.3 195
8.4Jordan标准形的相似过渡阵的求法197
练习 8.4 201
8.5昀小多项式202
一、昀小多项式及其性质202
二、昀小多项式的求法204
三、昀小多项式的应用(实例)208
练习 8.5 209
8.6矩阵的对角化问题( Ⅱ)210
一、利用昀小多项式判定矩阵的对角化210
二、常见的几类可对角化矩阵211
练习 8.6 211
8.7矩阵方幂的若干求法212
一、秩为 1的情况212
二、可分解为数量矩阵和幂零矩阵之和的情况213
三、归纳法(实例)214
四、利用相似变换法215
五、特征多项式法(或昀小多项式法)216
六、利用 Jordan标准形(实例)217
练习 8.7 218
第9章欧几里得空间220
9.1欧氏空间及其基本性质220
一、欧氏空间的基本概念220
二、不等式222
三、度量矩阵及其性质223
四、内积的矩阵表示(“3推 1”公式Ⅳ)224五、不同基的度量矩阵之间的关系(“3推 1”公式Ⅴ)225
练习 9.1 226
9.2标准正交基226
一、标准正交基及其性质226
二、标准正交基的求法226
三、正交矩阵及其性质229
练习 9.2 230
9.3子空间231
一、子空间的正交及其性质231
二、正交补231
练习 9.3 233
9.4欧氏空间上的线性变换234
一、正交变换234
二、对称变换236
三、反对称变换237
四、(反)对称矩阵(Ⅲ)237
练习 9.4 239
9.5矩阵分解241
一、加法分解241
二、乘法分解243
三、特殊矩阵的分解245
练习 9.5 247
练习答案249
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第1章多项式
多项式是代数学研究的*基本的概念之一.高等代数从研究内容上分为多项式和线性代数两大部分，而多项式这一章似乎与其余章节在逻辑上没有多大联系而自成一个体系.但实质上，它与矩阵、二次型、线性变换、λ-矩阵及欧氏空间均有着密切的联系.
本章内容包括：多项式的概念与运算，多项式的整除，多项式的因式分解，注记.
1.1多项式的概念与运算
一、多项式的基本概念
a．多项式的定义
要点形式表达式
(1.1)
称为数域P上以x为文字的一元多项式，其中∈P，n是非负整数.
b．多项式的次数
要点式(1.1)中，当≠时，称多项式f(x)的次数为n，记为，并称为f(x)的首项，为f(x)的首项系数，为f(x)的i次项，为f(x)的i次项系数.当10na==a=且0a≠0时，称多项式f(x)为零次多项式，这时；当时，称f(x)为零多项式.零多项式是**不定义次数的多项式.
评析多项式的次数是一个很直观的概念，但它在处理多项式的有关问题中却起着关键的作用.这一点可在例1.1.1及例1.2.1等题中体会它独特的作用.
c．多项式的相等
要点数域P上以x为文字的两个一元多项式f(x)与g(x)相等是指它们对应的同次项系数均相等.
评析证明两个多项式的相等有如下方法：①利用定义；②在它们首项系数相等的情况下，证明这两个多项式相互整除；③在它们首项系数相等的情况下，证明这两个多项式在复数域上有相同的根；④一些特殊情况下，也可考虑用反证法，如例1.1.1.
二、多项式的运算
要点1°记，则可在集合P[x]上做与整数集合Z相类似的运算，即P[x]中的两个多项式可以进行加、减、乘运算，并具有与整数相类似的概念与结论(如可讨论互素、不可约等概念，并有带余除法定理等结论).
2°当f(x)≠0，g(x)≠0时，它们做运算后的次数有下列性质：
(1)当f(x)±g(x)≠0时，
(2).
例1.1.1(2007，大连理工大学)设f(x)，g(x)，h(x)均为实系数多项式，证明：
若有222f(x)=xg(x)+xh(x),
则f(x)=g(x)=h(x)=0.
证明若f(x)≠0，则为偶数，故g(x)，h(x)不能全为零，且.从而也是偶数，即得为奇数，这与222f(x)=xg(x)+xh(x)矛盾，故f(x)=0.此时由，易得g(x)=h(x)=0.
练习1.1
1.1.1当a,b,c取何值时，多项式相等.
1.2多项式的整除
一、带余除法和综合除法
a．带余除法
要点设f(x),g(x)∈P[x],g(x)≠0，则存在**的一对多项式q(x),r(x)∈P[x]，使
f(x)=q(x)g(x)+r(x),(1.2)
其中r(x)=0或.式(1.2)中的q(x)为g(x)除f(x)的商式，r(x)为g(x)除f(x)的余式.
需要强调的是，等式(1.2)中的余式r(x)必须满足r(x)=0或，这个条件是要牢记的.
评析带余除法是多项式理论中*重要、*基本的工具，表现在：
(1)它把两个多项式间可除性关系进行了完全的概括，包括除尽、除不尽两种情况.因而在证明两个多项式具有特殊的关系(如整除、相等、互素)等问题时，一般*先考虑的是它们之间必然存在着带余除法这个等式.然后再进一步结合已知条件分析.
(2)它是辗转相除法的理论基础，从而也是求两个多项式或多个多项式的*大公因式的理论基础.
例1.2.1(2013，华南理工大学)证明一个多项式f(x)可以**地表示成另一个多项式g(x)的多项式，这里，
其中，且或，且这种表示法是**的.
证明存在性.由带余除法有
此时，这时令，则有(1.3)即存在性得证.
**性.设
(1.4)
式(1.4)中或由式(1.3)和(1.4)有
比较两端次数得00s(x)=r(x).所以有
得11s(x)=r(x),如此进行下去，得
故**性得证.
b．综合除法要点设以除时，利用带余除法，所得的商及余式0r(x)=c，则比较f(x)=q(x)g(x)+r(x)两端同次项的系数可得
可将以上n+1个等式排成以下格式进行：
用这种方法对除式求商式和余数，称为综合除法.
例1.2.2把表示成的方幂和，即表示为
的形式.
解由例1.2.1，设用除f(x)所得的余数为0c，再用逐次除所得的商得到余数；这一过程可通过以下的连续施行综合除法来实现.由于
故
二、整除
a．整除的判定
要点设f(x),g(x)∈P[x]，如果存在q(x)∈P[x]，使得
f(x)=q(x)g(x),
则称g(x)整除f(x)，记为g(x)|f(x).此时称g(x)为f(x)的因式，f(x)为g(x)的倍式.整除的判定除利用定义外，常用的方法还有：
1°若g(x)≠0，则利用带余除法.即g(x)|f(x)当且仅当g(x)除f(x)所得的余式为0.
2°验根法.设c为g(x)在复数域C上的任一根，证明c也必为f(x)的根(见例1.3.6的评析及例1.3.10).
b．整除的性质
由整除的定义易得：
1°若f(x)|g(x)，g(x)|f(x)当且仅当存在c∈P，使得f(x)=cg(x)，其中c≠0.
2°若f(x)|g(x)，g(x)|h(x)，则f(x)|h(x).
3°若()|()(1,2,,)igxfxi=r，则
其中
例1.2.3设，若
则
证明由带余除法有，
则
故有
则由，
必有，即
因此
三、*大公因式及其求法
a．*大公因式
要点1°设f(x),g(x)∈P[x]，P[x]中的多项式d(x)称为f(x),g(x)的一个*大公因式，如果d(x)满足：
(1)d(x)是f(x),g(x)的公因式；
(2)f(x),g(x)的公因式全是d(x)的因式.
2°若d(x)是f(x),g(x)的*大公因式，则cd(x)也是f(x)与g(x)的*大公因式，其中c≠0.用(f(x),g(x))表示f(x)与g(x)的首一的*大公因式.
b．*大公因式的求法要点1°对P[x]中的两个多项式，求其*大公因式一般利用如下的辗转相除法(也称欧几里得算法).设f(x),g(x)∈P[x]，g(x)≠0，且有，使
(1.5)
其中，则是f(x)与g(x)的一个*大公因式.
2°对f(x),g(x)及d(x)，存在P[x]中的一对多项式u(x),v(x)使得
(1.6)
评析(1)辗转相除法中的每一个等式都是由带余除法保证的，所以带余除法是辗转相除法的理论基础.
(2)辗转相除法的整个过程中，对多项式的系数只是做了四则运算，因而如果数域1P包含数域P，即，则等式(1.6)在数域1P上仍成立.特别地，如果f(x),g(x)是有理数域上的多项式，那么等式(1.6)在有理数域上成立，则这个等式也必在实数域或复数域上成立.这一思想可在例1.2.6中有所体现.
(3)等式(1.6)揭示了f(x),g(x)与其*大公因式d(x)之间存在的一个等式关系，这个等式在证明*大公因式的有关问题中起着桥梁的关键作用.
例1.2.4(2013，北京科技大学；2003，东南大学)设，求(f(x),g(x))，并求u(x),v(x)，使得
u(x)f(x)+v(x)g(x)=(f(x),g(x)).
解由辗转相除法可得
其中
从而有，以及
定价：56.0
ISBN：9787030481016
作者：李志慧，李永明
版次：1
出版时间：2018-10
内容提要：
本书是为正在学习高等代数的读者、正在复习高等代数准备报考研究生的读者，以及从事这方面教学工作的年轻教师编写的.
本书与北京大学数学系几何与代数教研组编写的《高等代数（第三版）》相配套，在编写上也遵循此教材的顺序.全面、系统地总结和归纳了高等代数中问题的基本类型、每种类型的基本方法，对每种方法先概括要点，再选取典型而有一定难度的例题，逐层剖析.对一些较难理解的问题，在适当的章节做了专题研究，进行了较深入的探讨和总结，如：线性变换的对角化、矩阵分解等问题，以消除读者长期以来对其抽象问题在理解上含糊不清的疑虑，从而更深入地领会问题.
目录：
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第二版前言
**版前言
常用符号
第1章多项式1
1.1多项式的概念与运算1
一、多项式的基本概念1
二、多项式的运算2
练习 1.1 2
1.2多项式的整除2
一、带余除法和综合除法2
二、整除4
三、昀大公因式及其求法5
四、多项式的互素7
练习 1.2 9
1.3多项式的因式分解10
一、不可约多项式10
二、k重因式12
三、多项式函数13
四、一般数域上的因式分解及根的性质15
五、复数域上多项式的因式分解及根的性质16
六、实数域上多项式的因式分解及根的性质17
七、有理数域上多项式的因式分解及根的性质19
练习 1.3 22
1.4注记23
第2章行列式24
2.1用定义计算行列式24
练习 2.1 25
2.2求行列式的若干方法25
一、三角化法26
二、用行列式的性质化为已知行列式26
三、滚动相消法27
四、拆分法29
五、加边法31
六、归纳法32
七、利用递推降级法33
八、利用重要公式与结论35
九、用幂级数变换计算行列式36
练习 2.2 38
2.3利用降级公式计算行列式42
练习 2.3 48
2.4有关行列式的证明题49
练习 2.4 50
2.5一个行列式的计算和推广51
一、Dn的计算52
二、问题的推广54
第3章线性方程组56
3.1线性相关性(Ⅰ)56
一、线性相关56
二、线性无关57
三、综合性问题61
练习 3.1 63
3.2矩阵的秩64
练习 3.2 67
3.3线性方程组的解67
一、线性方程组的几种表示形式67
二、线性方程组有解的判定及解的个数68
三、线性方程组解的结构70
练习 3.3 77
第4章矩阵81
4.1矩阵的基本运算81
一、矩阵的加法和数乘81
二、矩阵的乘法82
三、矩阵的转置83
四、矩阵的伴随84
练习 4.1 87
4.2矩阵的逆88
一、矩阵逆的性质88
二、矩阵逆的求法(Ⅰ)88
三、矩阵不可逆的证明方法89
四、矩阵多项式的逆(Ⅱ)90
练习 4.2 91
4.3矩阵的分块91
一、分块阵的乘法及其应用91
二、分块阵的广义初等变换92
三、关于分块阵的逆(Ⅲ)93
练习 4.3 94
4.4初等矩阵95
一、初等矩阵及其性质95
二、初等变换的应用96
三、利用初等变换求矩阵的逆(Ⅳ)99
四、矩阵的等价100
练习 4.4 100
4.5若干不等式101
一、Steinitz替换定理及其应用101
二、利用整齐与局部的思想(实例)102
练习 4.5 104
第5章二次型105
5.1二次型与矩阵105
一、二次型的概念及其表示105
二、二次型与对称矩阵(Ⅰ)106
练习 5.1 107
5.2标准形和规范形107
一、标准形107
二、规范形及其**性111
三、(反)对称矩阵(Ⅱ)112
练习 5.2 113
5.3正定二次型114
一、正定二次型的判定114
二、正定矩阵的判定117
练习 5.3 118
5.4其他各类二次型120
一、负定二次型120
二、半正(负)定二次型122
5.5不等式与二次型(实例)123
5.6注记124
第6章线性空间125
6.1线性空间的定义125
一、用定义证明线性空间125
二、几个常用的线性空间125
三、向量组的线性相关性126
练习 6.1 126
6.2基与维数变换公式127
一、基与维数的求法127
二、基变换公式128
三、同一向量在不同基下的坐标(“3推 1”公式Ⅰ)129
四、坐标的求法130
练习 6.2 131
6.3子空间及其运算131
一、子空间的判定131
二、子空间的运算134
三、直和的证明137
四、子空间的性质137
练习 6.3 139
6.4不等式141
练习 6.4 143
第7章线性变换144
7.1线性变换及其运算144
一、线性变换的判定及其性质144
二、线性变换的多项式146
练习 7.1 146
7.2线性变换与矩阵147
一、线性变换的矩阵147
二、一一对应关系148
三、矩阵的相似150
四、向量与其象向量的坐标(“3推 1”公式Ⅱ)151
五、同一线性变换在不同基下的矩阵(“3推 1”公式Ⅲ)152
练习 7.2 153
7.3矩阵(线性变换)的特征值与特征向量155
一、矩阵的特征值与特征向量求法155
二、矩阵特征值的和与积159
三、代数重数与几何重数160
四、扰动法(实例)161
练习 7.3 161
7.4线性变换(矩阵)的对角化问题(Ⅰ)163
一、利用特征向量判定163
二、利用特征值判定164
练习 7.4 166
7.5不变子空间168
一、不变子空间的判定168
二、特征子空间169
三、值域170
四、核171
练习 7.5 174
7.6线性空间的分解177
一、多项式理论与线性空间分解初步177
二、线性空间的分解179
练习 7.6 179
第8章 λ-矩阵181
8.1 λ-矩阵的有关概念及结论181
一、λ-矩阵的相关概念181
二、不变因子，行列式因子与初等因子182
练习 8.1 184
8.2矩阵相似的条件185
一、矩阵相似与λ-矩阵等价之间的关系185
二、矩阵相似的充要条件185
练习 8.2 186
8.3矩阵的 Jordan标准形186
一、Jordan标准形及其求法186
二、Jordan块的性质及其应用190
练习 8.3 195
8.4Jordan标准形的相似过渡阵的求法197
练习 8.4 201
8.5昀小多项式202
一、昀小多项式及其性质202
二、昀小多项式的求法204
三、昀小多项式的应用(实例)208
练习 8.5 209
8.6矩阵的对角化问题( Ⅱ)210
一、利用昀小多项式判定矩阵的对角化210
二、常见的几类可对角化矩阵211
练习 8.6 211
8.7矩阵方幂的若干求法212
一、秩为 1的情况212
二、可分解为数量矩阵和幂零矩阵之和的情况213
三、归纳法(实例)214
四、利用相似变换法215
五、特征多项式法(或昀小多项式法)216
六、利用 Jordan标准形(实例)217
练习 8.7 218
第9章欧几里得空间220
9.1欧氏空间及其基本性质220
一、欧氏空间的基本概念220
二、不等式222
三、度量矩阵及其性质223
四、内积的矩阵表示(“3推 1”公式Ⅳ)224五、不同基的度量矩阵之间的关系(“3推 1”公式Ⅴ)225
练习 9.1 226
9.2标准正交基226
一、标准正交基及其性质226
二、标准正交基的求法226
三、正交矩阵及其性质229
练习 9.2 230
9.3子空间231
一、子空间的正交及其性质231
二、正交补231
练习 9.3 233
9.4欧氏空间上的线性变换234
一、正交变换234
二、对称变换236
三、反对称变换237
四、(反)对称矩阵(Ⅲ)237
练习 9.4 239
9.5矩阵分解241
一、加法分解241
二、乘法分解243
三、特殊矩阵的分解245
练习 9.5 247
练习答案249
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第1章多项式
多项式是代数学研究的*基本的概念之一.高等代数从研究内容上分为多项式和线性代数两大部分，而多项式这一章似乎与其余章节在逻辑上没有多大联系而自成一个体系.但实质上，它与矩阵、二次型、线性变换、λ-矩阵及欧氏空间均有着密切的联系.
本章内容包括：多项式的概念与运算，多项式的整除，多项式的因式分解，注记.
1.1多项式的概念与运算
一、多项式的基本概念
a．多项式的定义
要点形式表达式
(1.1)
称为数域P上以x为文字的一元多项式，其中∈P，n是非负整数.
b．多项式的次数
要点式(1.1)中，当≠时，称多项式f(x)的次数为n，记为，并称为f(x)的首项，为f(x)的首项系数，为f(x)的i次项，为f(x)的i次项系数.当10na==a=且0a≠0时，称多项式f(x)为零次多项式，这时；当时，称f(x)为零多项式.零多项式是**不定义次数的多项式.
评析多项式的次数是一个很直观的概念，但它在处理多项式的有关问题中却起着关键的作用.这一点可在例1.1.1及例1.2.1等题中体会它独特的作用.
c．多项式的相等
要点数域P上以x为文字的两个一元多项式f(x)与g(x)相等是指它们对应的同次项系数均相等.
评析证明两个多项式的相等有如下方法：①利用定义；②在它们首项系数相等的情况下，证明这两个多项式相互整除；③在它们首项系数相等的情况下，证明这两个多项式在复数域上有相同的根；④一些特殊情况下，也可考虑用反证法，如例1.1.1.
二、多项式的运算
要点1°记，则可在集合P[x]上做与整数集合Z相类似的运算，即P[x]中的两个多项式可以进行加、减、乘运算，并具有与整数相类似的概念与结论(如可讨论互素、不可约等概念，并有带余除法定理等结论).
2°当f(x)≠0，g(x)≠0时，它们做运算后的次数有下列性质：
(1)当f(x)±g(x)≠0时，
(2).
例1.1.1(2007，大连理工大学)设f(x)，g(x)，h(x)均为实系数多项式，证明：
若有222f(x)=xg(x)+xh(x),
则f(x)=g(x)=h(x)=0.
证明若f(x)≠0，则为偶数，故g(x)，h(x)不能全为零，且.从而也是偶数，即得为奇数，这与222f(x)=xg(x)+xh(x)矛盾，故f(x)=0.此时由，易得g(x)=h(x)=0.
练习1.1
1.1.1当a,b,c取何值时，多项式相等.
1.2多项式的整除
一、带余除法和综合除法
a．带余除法
要点设f(x),g(x)∈P[x],g(x)≠0，则存在**的一对多项式q(x),r(x)∈P[x]，使
f(x)=q(x)g(x)+r(x),(1.2)
其中r(x)=0或.式(1.2)中的q(x)为g(x)除f(x)的商式，r(x)为g(x)除f(x)的余式.
需要强调的是，等式(1.2)中的余式r(x)必须满足r(x)=0或，这个条件是要牢记的.
评析带余除法是多项式理论中*重要、*基本的工具，表现在：
(1)它把两个多项式间可除性关系进行了完全的概括，包括除尽、除不尽两种情况.因而在证明两个多项式具有特殊的关系(如整除、相等、互素)等问题时，一般*先考虑的是它们之间必然存在着带余除法这个等式.然后再进一步结合已知条件分析.
(2)它是辗转相除法的理论基础，从而也是求两个多项式或多个多项式的*大公因式的理论基础.
例1.2.1(2013，华南理工大学)证明一个多项式f(x)可以**地表示成另一个多项式g(x)的多项式，这里，
其中，且或，且这种表示法是**的.
证明存在性.由带余除法有
此时，这时令，则有(1.3)即存在性得证.
**性.设
(1.4)
式(1.4)中或由式(1.3)和(1.4)有
比较两端次数得00s(x)=r(x).所以有
得11s(x)=r(x),如此进行下去，得
故**性得证.
b．综合除法要点设以除时，利用带余除法，所得的商及余式0r(x)=c，则比较f(x)=q(x)g(x)+r(x)两端同次项的系数可得
可将以上n+1个等式排成以下格式进行：
用这种方法对除式求商式和余数，称为综合除法.
例1.2.2把表示成的方幂和，即表示为
的形式.
解由例1.2.1，设用除f(x)所得的余数为0c，再用逐次除所得的商得到余数；这一过程可通过以下的连续施行综合除法来实现.由于
故
二、整除
a．整除的判定
要点设f(x),g(x)∈P[x]，如果存在q(x)∈P[x]，使得
f(x)=q(x)g(x),
则称g(x)整除f(x)，记为g(x)|f(x).此时称g(x)为f(x)的因式，f(x)为g(x)的倍式.整除的判定除利用定义外，常用的方法还有：
1°若g(x)≠0，则利用带余除法.即g(x)|f(x)当且仅当g(x)除f(x)所得的余式为0.
2°验根法.设c为g(x)在复数域C上的任一根，证明c也必为f(x)的根(见例1.3.6的评析及例1.3.10).
b．整除的性质
由整除的定义易得：
1°若f(x)|g(x)，g(x)|f(x)当且仅当存在c∈P，使得f(x)=cg(x)，其中c≠0.
2°若f(x)|g(x)，g(x)|h(x)，则f(x)|h(x).
3°若()|()(1,2,,)igxfxi=r，则
其中
例1.2.3设，若
则
证明由带余除法有，
则
故有
则由，
必有，即
因此
三、*大公因式及其求法
a．*大公因式
要点1°设f(x),g(x)∈P[x]，P[x]中的多项式d(x)称为f(x),g(x)的一个*大公因式，如果d(x)满足：
(1)d(x)是f(x),g(x)的公因式；
(2)f(x),g(x)的公因式全是d(x)的因式.
2°若d(x)是f(x),g(x)的*大公因式，则cd(x)也是f(x)与g(x)的*大公因式，其中c≠0.用(f(x),g(x))表示f(x)与g(x)的首一的*大公因式.
b．*大公因式的求法要点1°对P[x]中的两个多项式，求其*大公因式一般利用如下的辗转相除法(也称欧几里得算法).设f(x),g(x)∈P[x]，g(x)≠0，且有，使
(1.5)
其中，则是f(x)与g(x)的一个*大公因式.
2°对f(x),g(x)及d(x)，存在P[x]中的一对多项式u(x),v(x)使得
(1.6)
评析(1)辗转相除法中的每一个等式都是由带余除法保证的，所以带余除法是辗转相除法的理论基础.
(2)辗转相除法的整个过程中，对多项式的系数只是做了四则运算，因而如果数域1P包含数域P，即，则等式(1.6)在数域1P上仍成立.特别地，如果f(x),g(x)是有理数域上的多项式，那么等式(1.6)在有理数域上成立，则这个等式也必在实数域或复数域上成立.这一思想可在例1.2.6中有所体现.
(3)等式(1.6)揭示了f(x),g(x)与其*大公因式d(x)之间存在的一个等式关系，这个等式在证明*大公因式的有关问题中起着桥梁的关键作用.
例1.2.4(2013，北京科技大学；2003，东南大学)设，求(f(x),g(x))，并求u(x),v(x)，使得
u(x)f(x)+v(x)g(x)=(f(x),g(x)).
解由辗转相除法可得
其中
从而有，以及