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书名：力学（第二版）（下册）
定价：59.0
ISBN：9787030583468
作者：无
版次：2
出版时间：2018-09
内容提要：
“物理学大题典”是一套大型工具性、综合性物理题解丛书。丛书内容涵盖综合性大学本科物理课程内容：从普通物理的力学、热学、光学、电学、近代物理到“四大力学”，以及原子核物理、粒子物理、凝聚态物理、等离子体物理、天体物理、激光物理、量子光学、量子信息等。内容新颖、注重物理、注重学科交叉、注重与科研结合。
《力学(第二版)》下册共3章，包括力学的拉格朗日表述、有限多自由度系统的小振动、力学的哈密顿表述等内容。
目录：
目录
丛书序
前言
第九章 力学的拉格朗日表述 1
9.1 广义力、虚功原理 1
9.2 达朗贝尔原理、达朗贝尔——拉格朗日方程 36
9.3 拉格朗日方程 43
9.4 冲击运动 机电模拟 108
第十章 有限多自由度系统的小振动 135
10.1 自由的小振动 135
10.2 有阻尼和(或)有周期性外力作用下的小振动 217
第十一章 力学的哈密顿表述 235
11.1 哈密顿正则方程 235
11.2 泊松括号和泊松定理 260
11.3 哈密顿原理 275
11.4 正则变换 293
11.5 哈密顿-雅可比方程 310
11.6 作用变量、角变量及其应用 334
在线试读：
第九章 力学的拉格朗日表述
9.1 广义力、虚功原理
9.1.1 一半径为R的圆盘在水平的xy平面上做纯滚动，盘面保持竖直，可绕竖直轴自由转动。试写出质心的x、y、z坐标xc、yc、zc，绕盘面的对称轴的转角θ以及绕铅直直径的转角φ之间满足的约束关系、虚位移满足的关系，并说明此系统具有多少个独立的广义坐标和多少个独立的虚位移？
解 xyz是静坐标系，z轴竖直向上，原点取在水平面上。
盘面保持竖直，有约束关系。
(1)
纯滚动，圆盘与水平面的接触点速度为零，
(2)
用关于定点转动的角速度在静坐标系中分量表达式(欧拉运动学方程)
用于本题，上述欧拉运动学方程中的分别改为x、y、z，φ改为，φ不变，公式中的
φ角如图9.1所示，O为圆盘中心，？轴固连于圆盘，取圆盘的对称轴，x、y分别与前述的静坐标x、y平行，x、y三轴均在同一水平面上，ON为固连于圆盘的坐标与部分固连于圆盘(O点固连)的平动坐标系的xy平面的交线，自然，ON也在x、y所在的水平面上；φ是ON与x轴的夹角，ON与轴垂直。
(3)
与用欧拉运动学方程得到的完全相同。
图9.1
将式(1)、(3)代入式(2)，
三个约束关系中只有一个是完整约束，后两个是微分约束(非完整约束)，五个坐标xc、yc、zc、φ中独立的广义坐标有4个，它们是xc、yc、θ和φ。
虚位移满足的关系为
五个虚位移满足三个约束关系，独立的虚位移有两个，它们是δφ和δxc、δyc、δθ三个虚位移中的任一个。
9.1.2 如图9.2所示，一个均质的、半径为R的圆盘沿水平的x轴做纯滚动，一根长2l的均质细棒与圆盘保持无滑动接触，一端沿x轴滑动。运动时，圆盘与棒保持在同一竖直平面内，选取适当的坐标，写出约束关系，并说明描述系统需用多少个独立坐标。
图9.2
解法一 选x1、y1表示细棒的质心的位置，细棒与x轴的夹角θ表示细棒绕质心的转角，选x2表示圆盘的质心位置，θ2表示圆盘绕其质心的转角，用棒与圆盘的切点至棒的质心的距离s，共六个原用坐标。
显然y1与之间有约束关系
(1)
圆盘做纯滚动，圆盘与x轴的接触点速度为零。
选择x2和θ2的零点，可积出
考虑棒与圆盘间做纯滚动，两接触点有相同的速度，
可得
(3)
(4)
式(3)、(4)两个约束关系均为微分约束。
六个原用坐标，已写出两个几何约束，两个微分约束，是否有四个独立的广义坐标？回答是否定的，还有一个几何约束，它是
因此独立的广义坐标是三个。
解法二 由式(3)、(4)可消去s，式(3)乘cosθ1加式(4)乘sinθ1，则式(3)、(4)的约束关系变为
(5)
仍是微分约束，但现在原用坐标只有五个(不再取s)。两个几何约束、一个微分约束，独立的广义坐标为三个。
解法三 前两种方法都先引入广义坐标s，这里一开始就不引入s，用圆盘质心平动参考系来获得式(5)的约束关系。
在圆盘质心平动参考系中，棒的质心的速度为，两接触点的速度均沿圆盘的切线方向，也是沿棒的方向，考虑到刚体上任何两点在其连线方向的速度分量相等，由此可写棒上接触点的速度大小为
圆盘上接触点的速度大小为，所以
这就得到了式(5)的约束关系。
9.1.3 一根长为2a、质量为m的杆BC用一根未伸长时长为b、劲度系数为k的系在杆的B端的弹簧悬于固定点A，如图9.3所示。系统的运动限于包含杆与弹簧的铅直平面内，选择适当的广义坐标，求作用于杆上的广义力分量。
解 取图9.4中r、θ、φ为广义坐标，弹簧的作用力必沿弹簧的方向，取杆的质心为D，
作用于杆的弹簧力和重力做的虚功为
所以作用于杆的广义力分量为
图9.3
图9.4
9.1.4 一个在均匀重力场中运动的质点，如用球坐标来描述质点的运动，取竖直向上方向为极轴，求重力的三个广义力分量。
解
所以
9.1.5 一个质量为m、半径为a的均质薄圆筒，在另一个质量为M、半径为2a的均质薄圆筒内部做无滑滚动，后者又在水平面上做无滑滚动。选大圆筒的角位移θ以及两圆筒的轴构成的平面与铅直面的夹角φ为广义坐标，求作用于系统的所有力的广义力分量Qθ和Qφ。
解 作用于系统的主动力只有作用于小圆筒的重力，水平面对大圆筒的支持力和静摩擦力均不做功，作用于大圆筒的重力也不做功，大圆筒对小圆筒的支持力及其反作用力(小圆筒对大圆筒的压力)，由于在它们的作用线方向两接触点无相对速度，做功之和为零，两圆筒之间的一对静摩擦力也因在作用线方向两接触点无相对速度，做功之和为零。由于与这些力有关的约束都是稳定的双面几何约束，可能位移与虚位移完全一致，约束力在一切可能位移时不做实功，也对一切虚位移不做虚功。
取z轴竖直向上，原点取在水平面上，小圆筒质心的坐标为
小圆筒所受重力做的虚功为
作用于系统的所有力的广义力分量为
9.1.6 如图9.5所示，一个质量为m、半径为a的均质圆柱体，在一个质量为M的木块中割出一个半径为b的半圆柱形空心槽内做纯滚动，木块又由一个劲度系数为k的弹簧支承着，可沿竖直导轨做无摩擦运动。取木块的竖直向上的位移x和圆柱中心的角位移θ为广义坐标，x和θ的零点选在系统的平衡位置。求作用于系统的所有力的广义力分量。
图9.5
解法一 作用于系统的主动力，有作用于圆柱的重力mg，作用于木块的重力Mg和弹簧力。
用木块中割出的半圆柱形空槽的圆心B表示木块的位置，A为圆柱的对称轴。
设弹簧原长为l0，平衡时的弹簧长度为l，则
处于平衡时，B点的x为零，
所以
解法二 求Qx时，令，
用平衡时，
得到
所以
求时，令δx=0，
所以
9.1.7 xy平面内的任何点可改用c、y为坐标或c、x为坐标，其中c满足xy=c。如重力沿y轴负向，求质量为m的质点所受重力的广义力。
解取c、y为广义坐标时，
取c、x为广义坐标时，
因为
所以
9.1.8 一个质量为m的质点系在不可伸长的绳子上，绳子穿过板B的小孔栓于固定点，板以沿竖直轴y做上下运动，其中A、w为常量，质点在图9.6所示的xy平面内运动，求质点受到的广义力(不计小孔处的摩擦力)。
解可以证明绳子张力T仍然是约束力。设图中从固定的O点到质点这一段绳子长度为l，l=s+r=常量，
图9.6
定价：59.0
ISBN：9787030583468
作者：无
版次：2
出版时间：2018-09
内容提要：
“物理学大题典”是一套大型工具性、综合性物理题解丛书。丛书内容涵盖综合性大学本科物理课程内容：从普通物理的力学、热学、光学、电学、近代物理到“四大力学”，以及原子核物理、粒子物理、凝聚态物理、等离子体物理、天体物理、激光物理、量子光学、量子信息等。内容新颖、注重物理、注重学科交叉、注重与科研结合。
《力学(第二版)》下册共3章，包括力学的拉格朗日表述、有限多自由度系统的小振动、力学的哈密顿表述等内容。
目录：
目录
丛书序
前言
第九章 力学的拉格朗日表述 1
9.1 广义力、虚功原理 1
9.2 达朗贝尔原理、达朗贝尔——拉格朗日方程 36
9.3 拉格朗日方程 43
9.4 冲击运动 机电模拟 108
第十章 有限多自由度系统的小振动 135
10.1 自由的小振动 135
10.2 有阻尼和(或)有周期性外力作用下的小振动 217
第十一章 力学的哈密顿表述 235
11.1 哈密顿正则方程 235
11.2 泊松括号和泊松定理 260
11.3 哈密顿原理 275
11.4 正则变换 293
11.5 哈密顿-雅可比方程 310
11.6 作用变量、角变量及其应用 334
在线试读：
第九章 力学的拉格朗日表述
9.1 广义力、虚功原理
9.1.1 一半径为R的圆盘在水平的xy平面上做纯滚动，盘面保持竖直，可绕竖直轴自由转动。试写出质心的x、y、z坐标xc、yc、zc，绕盘面的对称轴的转角θ以及绕铅直直径的转角φ之间满足的约束关系、虚位移满足的关系，并说明此系统具有多少个独立的广义坐标和多少个独立的虚位移？
解 xyz是静坐标系，z轴竖直向上，原点取在水平面上。
盘面保持竖直，有约束关系。
(1)
纯滚动，圆盘与水平面的接触点速度为零，
(2)
用关于定点转动的角速度在静坐标系中分量表达式(欧拉运动学方程)
用于本题，上述欧拉运动学方程中的分别改为x、y、z，φ改为，φ不变，公式中的
φ角如图9.1所示，O为圆盘中心，？轴固连于圆盘，取圆盘的对称轴，x、y分别与前述的静坐标x、y平行，x、y三轴均在同一水平面上，ON为固连于圆盘的坐标与部分固连于圆盘(O点固连)的平动坐标系的xy平面的交线，自然，ON也在x、y所在的水平面上；φ是ON与x轴的夹角，ON与轴垂直。
(3)
与用欧拉运动学方程得到的完全相同。
图9.1
将式(1)、(3)代入式(2)，
三个约束关系中只有一个是完整约束，后两个是微分约束(非完整约束)，五个坐标xc、yc、zc、φ中独立的广义坐标有4个，它们是xc、yc、θ和φ。
虚位移满足的关系为
五个虚位移满足三个约束关系，独立的虚位移有两个，它们是δφ和δxc、δyc、δθ三个虚位移中的任一个。
9.1.2 如图9.2所示，一个均质的、半径为R的圆盘沿水平的x轴做纯滚动，一根长2l的均质细棒与圆盘保持无滑动接触，一端沿x轴滑动。运动时，圆盘与棒保持在同一竖直平面内，选取适当的坐标，写出约束关系，并说明描述系统需用多少个独立坐标。
图9.2
解法一 选x1、y1表示细棒的质心的位置，细棒与x轴的夹角θ表示细棒绕质心的转角，选x2表示圆盘的质心位置，θ2表示圆盘绕其质心的转角，用棒与圆盘的切点至棒的质心的距离s，共六个原用坐标。
显然y1与之间有约束关系
(1)
圆盘做纯滚动，圆盘与x轴的接触点速度为零。
选择x2和θ2的零点，可积出
考虑棒与圆盘间做纯滚动，两接触点有相同的速度，
可得
(3)
(4)
式(3)、(4)两个约束关系均为微分约束。
六个原用坐标，已写出两个几何约束，两个微分约束，是否有四个独立的广义坐标？回答是否定的，还有一个几何约束，它是
因此独立的广义坐标是三个。
解法二 由式(3)、(4)可消去s，式(3)乘cosθ1加式(4)乘sinθ1，则式(3)、(4)的约束关系变为
(5)
仍是微分约束，但现在原用坐标只有五个(不再取s)。两个几何约束、一个微分约束，独立的广义坐标为三个。
解法三 前两种方法都先引入广义坐标s，这里一开始就不引入s，用圆盘质心平动参考系来获得式(5)的约束关系。
在圆盘质心平动参考系中，棒的质心的速度为，两接触点的速度均沿圆盘的切线方向，也是沿棒的方向，考虑到刚体上任何两点在其连线方向的速度分量相等，由此可写棒上接触点的速度大小为
圆盘上接触点的速度大小为，所以
这就得到了式(5)的约束关系。
9.1.3 一根长为2a、质量为m的杆BC用一根未伸长时长为b、劲度系数为k的系在杆的B端的弹簧悬于固定点A，如图9.3所示。系统的运动限于包含杆与弹簧的铅直平面内，选择适当的广义坐标，求作用于杆上的广义力分量。
解 取图9.4中r、θ、φ为广义坐标，弹簧的作用力必沿弹簧的方向，取杆的质心为D，
作用于杆的弹簧力和重力做的虚功为
所以作用于杆的广义力分量为
图9.3
图9.4
9.1.4 一个在均匀重力场中运动的质点，如用球坐标来描述质点的运动，取竖直向上方向为极轴，求重力的三个广义力分量。
解
所以
9.1.5 一个质量为m、半径为a的均质薄圆筒，在另一个质量为M、半径为2a的均质薄圆筒内部做无滑滚动，后者又在水平面上做无滑滚动。选大圆筒的角位移θ以及两圆筒的轴构成的平面与铅直面的夹角φ为广义坐标，求作用于系统的所有力的广义力分量Qθ和Qφ。
解 作用于系统的主动力只有作用于小圆筒的重力，水平面对大圆筒的支持力和静摩擦力均不做功，作用于大圆筒的重力也不做功，大圆筒对小圆筒的支持力及其反作用力(小圆筒对大圆筒的压力)，由于在它们的作用线方向两接触点无相对速度，做功之和为零，两圆筒之间的一对静摩擦力也因在作用线方向两接触点无相对速度，做功之和为零。由于与这些力有关的约束都是稳定的双面几何约束，可能位移与虚位移完全一致，约束力在一切可能位移时不做实功，也对一切虚位移不做虚功。
取z轴竖直向上，原点取在水平面上，小圆筒质心的坐标为
小圆筒所受重力做的虚功为
作用于系统的所有力的广义力分量为
9.1.6 如图9.5所示，一个质量为m、半径为a的均质圆柱体，在一个质量为M的木块中割出一个半径为b的半圆柱形空心槽内做纯滚动，木块又由一个劲度系数为k的弹簧支承着，可沿竖直导轨做无摩擦运动。取木块的竖直向上的位移x和圆柱中心的角位移θ为广义坐标，x和θ的零点选在系统的平衡位置。求作用于系统的所有力的广义力分量。
图9.5
解法一 作用于系统的主动力，有作用于圆柱的重力mg，作用于木块的重力Mg和弹簧力。
用木块中割出的半圆柱形空槽的圆心B表示木块的位置，A为圆柱的对称轴。
设弹簧原长为l0，平衡时的弹簧长度为l，则
处于平衡时，B点的x为零，
所以
解法二 求Qx时，令，
用平衡时，
得到
所以
求时，令δx=0，
所以
9.1.7 xy平面内的任何点可改用c、y为坐标或c、x为坐标，其中c满足xy=c。如重力沿y轴负向，求质量为m的质点所受重力的广义力。
解取c、y为广义坐标时，
取c、x为广义坐标时，
因为
所以
9.1.8 一个质量为m的质点系在不可伸长的绳子上，绳子穿过板B的小孔栓于固定点，板以沿竖直轴y做上下运动，其中A、w为常量，质点在图9.6所示的xy平面内运动，求质点受到的广义力(不计小孔处的摩擦力)。
解可以证明绳子张力T仍然是约束力。设图中从固定的O点到质点这一段绳子长度为l，l=s+r=常量，
图9.6