前言

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航天动力学是航空航天工程中的核心学科，研究航天器在复杂空间环境中的运动规律及其相互作用。它不仅关注航天器的轨道运动，还关注姿态控制、结构振动等多个方面的动力学特性。航天动力学的研究成果在航天器的设计、轨道优化、任务规划及控制策略的制定中具有至关重要的应用，是确保航天任务成功实施的关键因素之一。

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随着航天技术的不断进步，航天任务的复杂性和挑战性日益增加。传统的航天动力学理论面临前所未有的挑战，亟需更加精确、灵活且高效的数学工具和方法来应对这些问题。作为一个跨学科的领域，航天动力学融合了物理学、数学、控制理论和力学等多个知识体系。航天器在空间中的运动具有高度的复杂性，尤其是在深空探测、卫星编队飞行和空间站控制等领域，动力学模型的非线性特征尤为突出。因此，航天动力学研究依赖于大量数学工具，包括常微分方程、偏微分方程、数值积分方法、稳定性分析及优化算法等。

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航天动力学的研究历程可以追溯到 20 世纪 60 年代，当时的航天任务主要集中在卫星轨道设计和轨道转移问题的解决上。随着人类对空间探索的不断深入，航天器的任务逐渐从简单的卫星发射扩展到深空探测和空间站建设等更加复杂的任务。在这一过程中，航天动力学的理论也得到了不断丰富与发展。尤其在现代航天任务中，非线性动力学、控制策略设计和系统稳定性分析等方面，已成为航天动力学研究的关键方向。早期，航天动力学的研究依赖于经典的解析方法，如开普勒定律和牛顿力学，这些方法在理想条件下能够有效描述航天器的轨道运动。然而，随着任务复杂性的增加，传统的线性和近似方法逐渐暴露出局限性，尤其是在处理多体问题、非线性动力学系统和复杂边界条件时，解析解往往无法提供准确的结果。因此，现代航天动力学的研究更加侧重于数值计算方法和优化技术的应用，通过数值解法获得更精确且高效的结果。

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数学方法在航天动力学中的作用不仅是理论分析的基础，更是解决实际工程问题的关键工具。随着航天任务复杂性的不断提升，传统的物理模型已无法满足实际需求。数学方法的引入使得我们能够更深刻地分析并解决复杂的动力学问题。本书旨在为读者提供一套系统全面的数学方法框架，以应用于实际的航天动力学问题中。全书内容从基础的数学方法入手，逐步过渡到复杂的非线性系统和现代优化方法，确保读者能够逐步掌握航天动力学问题的求解技巧。全书章节安排如下：

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第 1 章 绪论

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介绍航天动力学的基本概念、发展历程及其在现代航天任务中的应用，重点阐述数学方法在航天动力学中的核心作用，为后续章节的展开奠定基础。

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第 2 章 航天动力学线性系统的解析求解方法

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介绍常微分方程的基础解法，包括分离变量法、变量替换法、积分因子法等，并将其应用于航天动力学线性系统的求解。深入探讨牛顿二体运动方程、Clohessyndash;Wiltshire（CW）方程、Tschaunerndash;Hempel（TH）方程及平动点附近的线性相对运动方程等求解方法。

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第 3 章 航天动力学非线性系统的近似解析求解方法

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介绍常见的非线性动力学系统，如 Duffing 系统、自激振荡系统、范德波尔ndash;杜芬系统等，并探讨针对非线性动力学系统的近似解析求解方法，包括摄动法、平均化法、多尺度法、渐进法和谐波平衡法等。此外，重点介绍航天器二阶 CW 方程和平动点附近近似周期轨道的高阶解析求解方法。

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第 4 章 航天动力学系统的稳定性分析方法

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首先介绍线性系统的基础概念及稳定性分析方法，包括基于系统矩阵特征值的稳定性分析和线性周期系统的单值矩阵特征乘子稳定性分析。然后，展示稳定性分析方法在典型航天动力学案例中的应用，如二体引力场下航天器相对运动的稳定性、三体系统平动点附近的运动稳定性、地月系统 DRO 轨道及其相对运动稳定性、绳系卫星系统稳定性、太阳帆姿态轨道耦合系统稳定性和电磁卫星编队稳定性等。

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第 5 章 航天动力学系统的状态转移矩阵构造方法

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介绍线性定常系统和线性时变系统的状态转移矩阵，讨论其基本性质与求解方法。探讨航天器相对运动的状态转移矩阵，并分析其在不同轨道条件下的应用。介绍状态转移张量的概念，帮助读者深入理解非线性系统状态转移分析的方法和思路。

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第 6 章 航天动力学微分方程的数值积分方法

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介绍常微分方程的数值积分方法，包括欧拉法、龙格ndash;库塔法等经典方法，以及伪谱法和配点法等高效数值积分方法，并探讨其在航天器轨道摄动方程积分中的应用。

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第 7 章 航天动力学非线性代数方程的数值计算方法

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介绍几种常用的非线性代数方程求解方法，如牛顿ndash;拉夫森方法和数值迭代法等，探讨其基本原理、收敛性、计算复杂度及稳定性等。

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第 8 章 航天动力学两点边值问题的数值计算方法

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深入探索航天动力学中边值问题的数学本质，以及打靶法、修正打靶法和同伦打靶法等数值计算技巧如何被巧妙地应用于求解这些复杂问题。展示这些方法如何克服非线性效应和复杂边界条件的挑战，为航天器设计和轨道规划提供坚实的数据支持。

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第 9 章 航天动力学中的计算力学方法

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介绍变分迭代法、Adomian 解耦法、Picard 迭代法及其内在的数学关联。这些方法不仅为非线性问题的求解提供了强大工具，而且揭示了拉格朗日乘子一般化思想的普遍性。通过研究局部变分迭代法（LVIM）及其在高维复杂系统中的应用，读者将学会如何在工程实践中驾驭混沌，预测并控制那些看似随机却深藏规律的动力学行为。

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第 10 章 航天动力学中的人工智能方法

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探讨基于人工智能的航天动力学方程求解方法，包括开普勒方程、二体问题和 TH 方程的求解。讨论基于人工智能的引力场计算及其应用，重点介绍基于神经网络的三体问题求解方案以及利用深度学习框架解决偏微分方程（PDE）等高维度动力学问题的方法。

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本书是作者及其研究生们数十年来关于航天动力学研究的阶段性成果总结。为使内容更加全面和丰富，我们参阅了大量其他航天动力学主题的文献资料，并加以整理和编撰。全书由党朝辉教授策划和统筹，主要编著了第 1、2、3、4、5 及 10 章内容；汪雪川副研究员负责规划、编著和整理第 6、7、8 及 9 章；焦博涵参与了第 1、3 和 5 章的编著工作；王翔宇则参与了第 6、8 和 9 章的编著。此外，参与本书部分章节编著和资料整理的学生包括侯卓君、孙钦伯、张志昊、张宇航、晋兴、刘昭阳、王柯鑫和韩鸿宇等。本书的研究工作得到了国家科技部重点研发青年科学家项目 ;空间引力波探测航天器编队构型快速优化与重构技术（No.2024YFC2207900）的资助，出版则获得西北工业大学研究生教材出版基金的支持，在此表示感谢！

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本书的目的是帮助读者掌握航天动力学中的数学工具，并能够将这些工具应用于实际工程中。通过对航天动力学问题的深入研究，读者不仅能够提升对复杂系统的理解，还能提高在工程实践中的应用能力。希望本书能够为航天动力学的研究和工程技术发展提供有力支持，为解决未来航天任务中的技术挑战做出贡献。

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编著者

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2024 年 12 月

本书围绕航天动力学问题，深入探讨了多种数学工具和方法的理论基础与实际应用。书中的内容旨在为读者提供全面的数学知识框架，并结合航天动力学中的实际问题，展示这些数学方法的应用与前沿发展。全书共包含 10 章内容，除绪论外，主要内容包括：航天动力学线性系统的解析求解方法、航天动力学非线性系统的近似解析求解方法、航天动力学系统的稳定性分析方法、航天动力学系统的状态转移矩阵构造方法、航天动力学微分方程的数值积分方法、航天动力学非线性代数方程的数值计算方法、航天动力学两点边值问题的数值计算方法、航天动力学中的计算力学方法、航天动力学中的人工智能方法。

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本书是航空航天工程领域的一本专业教材，适用于航空宇航科学与技术、控制理论与工程、计算力学等领域的科研人员和工程技术人员阅读与参考。也可作为高等院校航空航天专业研究生的教学参考书或数学专业学生的拓展阅读材料。

目录

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第 1 章 绪论

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1.1 航天动力学问题及其研究意义

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1.1.1 定义与概述

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1.1.2 发展历程

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1.2 数学方法在航天动力学中的应用

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1.2.1 轨道动力学中的数学方法

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1.2.2 姿态动力学中的数学方法

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1.2.3 航天器编队飞行中的数学方法

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1.2.4 多体动力学中的数学方法

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1.2.5 姿轨耦合动力学中的数学方法

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1.2.6 航天动力学中的智能计算方法

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1.3 本书的特点与贡献

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1.4 阅读本书的建议

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参考文献

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第 2 章 航天动力学线性系统的解析求解方法

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2.1 常微分方程初步

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2.1.1 常微分方程的概念

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2.1.2 常微分方程的基本解法

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2.1.3 一阶线性常微分方程与常数变易法

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2.1.4 一阶线性隐式常微分方程的求解

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2.1.5 高阶线性常微分方程的求解

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2.1.6 线性定常的常微分方程组的求解

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2.2 可线性化的非线性系统：二体运动方程的求解

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2.2.1 二体运动的微分方程

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2.2.2 轨道运动半径的积分计算

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2.2.3 其他积分常数的计算

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2.3 典型线性定常系统 Clohessy ndash; Wiltshire 方程的求解

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2.3.1 CW 方程及其状态空间模型

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2.3.2 矩阵指数解

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2.3.3 坐标分量解

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2.4 典型线性时变系统 Tschauner ndash; Hempel 方程的求解

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2.4.1 TH 方程及其状态空间模型

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2.4.2 Lawden 积分

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2.4.3 Carter 的解

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2.4.4 Y ndash; A 的解

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2.4.5 Dang 的解

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2.5 平动点附近线性相对运动微分方程的求解

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2.6 本章小结

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2.7 课后练习

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参考文献

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第 3 章 航天动力学非线性系统的近似解析求解方法

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3.1 常见非线性微分方程

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3.1.1 杜芬方程

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3.1.2 黏性阻尼振动方程

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3.1.3 自激振荡方程

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3.1.4 范德波尔 ndash; 杜芬方程

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3.1.5 二阶 Clohessy ndash; Wiltshire 方程

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3.2 非线性微分方程的求解方法

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3.2.1 摄动法

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3.2.2 平均化方法

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3.2.3 多尺度法

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3.2.4 渐进法

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3.2.5 谐波平衡法

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3.3 二阶 Clohessy ndash; Wiltshire 方程的求解

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3.3.1 基于直接摄动法的求解

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3.3.2 基于 LP 摄动法的求解

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3.3.3 基于多尺度法的求解

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3.4 平动点附近高阶拟周期轨道的求解

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3.4.1 Lissajous 轨道的求解

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3.4.2 Lyapunov 轨道的求解

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3.4.3 Halo 轨道及其高阶解的求解

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3.5 本章小结

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3.6 课后练习

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参考文献

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第 4 章 航天动力学系统的稳定性分析方法

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4.1 线性系统

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4.1.1 线性系统的定义

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4.1.2 线性系统的分类

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4.2 线性系统稳定性

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4.2.1 线性定常系统的稳定性

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4.2.2 线性周期系统的稳定性

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4.3 二体引力场下航天器相对运动的稳定性

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4.3.1 圆轨道附近相对运动的稳定性

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4.3.2 椭圆轨道附近相对运动的稳定性

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4.4 三体系统平动点附近运动的稳定性

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4.4.1 平动点

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4.4.2 平动点的稳定性

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4.5 地月系统 DRO 轨道及其相对运动的稳定性

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4.5.1 面内 DRO 轨道的稳定性

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4.5.2 DRO 轨道线性化相对运动

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4.6 绳系卫星系统的稳定性

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4.6.1 面内平衡点的稳定性

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4.6.2 面内周期运动的稳定性

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4.7 太阳帆姿态轨道耦合系统的稳定性

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4.7.1 太阳帆轨道耦合系统稳定性条件

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4.7.2 悬浮轨道太阳帆姿态轨道耦合系统稳定性

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4.8 小行星不规则引力场下航天器的运动稳定性

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4.9 航天器电磁编队系统的稳定性

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4.10 本章小结

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4.11 课后练习

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参考文献

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第 5 章 航天动力学系统的状态转移矩阵构造方法

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5.1 线性定常系统的状态转移矩阵

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5.1.1 状态转移矩阵和基本解阵

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5.1.2 状态转移矩阵的基本性质

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5.1.3 状态转移矩阵的计算方法

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5.2 线性时变系统的状态转移矩阵

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5.2.1 状态转移矩阵和基本解阵

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5.2.2 状态转移矩阵的基本性质

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5.3 航天器相对运动的状态转移矩阵

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5.3.1 CW 方程的状态转移矩阵

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5.3.2 TH 方程的状态转移矩阵

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5.4 状态转移张量及在航天中的应用

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5.4.1 状态转移张量的概念

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5.4.2 非线性绝对轨道状态转移张量

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5.4.3 非线性相对轨道状态转移张量

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5.5 本章小结

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5.6 课后练习

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参考文献

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第 6 章 航天动力学微分方程的数值积分方法

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6.1 常见数值积分方法

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6.1.1 有限差分法

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6.1.2 欧拉方法

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6.1.3 龙格 ndash; 库塔法

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6.2 高效数值积分方法

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6.2.1 伪谱法

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6.2.2 配点法

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6.3 轨道摄动方程的数值积分

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6.3.1 航天器轨道摄动

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6.3.2 轨道摄动方程

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6.3.3 数值积分示例

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6.4 本章小结

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6.5 课后练习

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参考文献

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第 7 章 航天动力学非线性代数方程的数值计算方法

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7.1 常见非线性方程求解方法

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7.1.1 二分法

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7.1.2 牛顿法

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7.1.3 同伦法

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7.2 超越方程的求解方法

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7.2.1 开普勒方程的初等求解方法

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7.2.2 广义开普勒方程的拉格朗日展开定理

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7.2.3 广义开普勒方程的级数反演和牛顿法

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7.3 高维非线性方程求解方法

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7.3.1 牛顿 ndash; 拉夫森方法

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7.3.2 梯度下降法

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7.4 数值迭代方法的稳定性和收敛性分析

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7.4.1 初值敏感性

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7.4.2 收敛域及收敛速度

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7.4.3 计算复杂度分析

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7.5 本章小结

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7.6 课后练习

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参考文献

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第 8 章 航天动力学两点边值问题的数值计算方法

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8.1 边值问题

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8.1.1 第一类边值：狄利克雷问题

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8.1.2 第二类边值：诺依曼问题

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8.1.3 第三类边值：鲁宾问题

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8.2 打靶法

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8.2.1 单步打靶法

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8.2.2 修正打靶法

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8.2.3 同伦打靶法

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8.3 差分法及配点方法

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8.3.1 差分法

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8.3.2 配点法

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8.4 轨道转移问题

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8.4.1 兰伯特定理

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8.4.2 多圈转移轨道

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8.5 相对运动周期解的计算方法

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8.5.1 周期轨道拟合

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8.5.2 周期轨道搜索算法

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8.6 本章小结

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8.7 课后练习

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参考文献

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第 9 章 航天动力学中的计算力学方法

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9.1 加权残余法基础

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9.1.1 基本方法

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9.1.2 混合方法

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9.1.3 配点法回顾

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9.2 渐进方法与泛函迭代

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9.2.1 渐进法简介

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9.2.2 Picard 迭代

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9.2.3 Adomian 迭代

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9.2.4 变分迭代

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9.3 渐进方法的离散化

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9.3.1 局部渐进方法

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9.3.2 局部离散化渐进方法

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9.4 高性能数值计算

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9.4.1 变步长机制

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9.4.2 局部变分迭代法的并行实现

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9.5 本章小结

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9.6 课后练习

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参考文献

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第 10 章 航天动力学中的人工智能方法

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10.1 基于深度神经网络的二体问题及相对运动问题求解

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10.1.1 开普勒方程的神经网络解法

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10.1.2 二体问题的神经网络解法

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10.1.3 TH 方程的神经网络解法

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10.2 基于物理信息神经网络的高阶引力场计算与应用

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10.2.1 基于物理信息神经网络的近球形天体高阶引力场建模

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10.2.2 基于物理信息神经网络的小行星引力场建模

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10.3 人工智能在航天动力学中的其他典型应用

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10.3.1 基于人工神经网络的三体问题求解

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10.3.2 航天动力学偏微分方程的深度神经网络求解

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10.4 本章小结

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10.5 课后练习

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参考文献