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书名：高等代数（上册）
定价：39.0
ISBN：9787030593092
作者：曹重光 张龙 唐孝敏
版次：1
出版时间：2018-11
内容提要：
本书是编者在多年教学实践与教学改革的基础上编写而成的。本书注重概念和理论的导入，结构合理、层次清晰、论证简明，富于直观性和启发性。本节通过设置典型例题来阐明高等代数的思想与方法，配备了层次丰富的练习题和研讨题，有助于学生抽象思维能力和代数学能力的培养。
目录：
目录
前言
第1章 行列式 1
1.1 预备知识 1
1.1.1 数域 1
1.1.2 和号 2
1.1.3 排列 3
练习1.1 5
1.2 行列式的定义 5
练习1.2 8
1.3 行列式的性质 8
练习1.3 15
1.4 矩阵及其初等变换 16
练习1.4 19
1.5 行列式按一行(列)展开 21
练习1.5 26
问题与研讨1 27
总习题1 28
第2章 矩阵 32
2.1 矩阵的运算 32
2.1.1 线性运算 32
2.1.2 乘法运算 34
2.1.3 矩阵的转置 39
2.1.4 行列式乘法公式 41
练习2.1 43
2.2 逆矩阵和克拉默法则 45
练习2.2 49
2.3 分块矩阵 50
练习2.3 57
2.4 初等阵 58
练习2.4 63
2.5 矩阵的等价分解 64
练习2.5 68
2.6 矩阵秩的性质 68
练习2.6 71
2.7 初等块矩阵及等价分解之应用 71
练习2.7 75
问题与研讨2 76
总习题2 77
第3章 线性方程组 84
3.1 消去法 84
练习3.1 88
3.2 n维向量 89
3.2.1 线性表出 89
3.2.2 线性相关和线性无关 92
3.2.3 向量组的等价 95
练习3.2 97
3.3 向量组的秩 98
练习3.3 102
3.4 n维向量空间 103
3.4.1 子空间、基底、维数和坐标 103
3.4.2 基变换与坐标变换 106
3.4.3 n维向量空间的线性变换 108
练习3.4 110
3.5 线性方程组解的结构 111
3.5.1 齐次线性方程组 112
3.5.2 非齐次线性方程组 114
练习3.5 115
问题与研讨3 117
总习题3 118
第4章 特征值、特征向量与相似矩阵 126
4.1 特征值与特征向量 126
练习4.1 130
4.2 相似矩阵 131
练习4.2 135
4.3 特征根估计 135
练习4.3 138
问题与研讨4 139
总习题4 140
第5章 内积与二次型 143
5.1 Rn空间的内积 143
练习5.1 150
5.2 正交阵、实对称阵的正交对角化 152
练习5.2 156
5.3 奇异值分解及其应用 157
练习5.3 160
5.4 实二次型 161
练习5.4 167
5.5 正定二次型 167
练习5.5 172
5.6 半正定二次型及惯性定理 172
练习5.6 176
5.7 一般数域上的二次型 176
练习5.7 181
问题与研讨5 181
总习题5 182
部分习题答案与提示 188
参考文献 223
在线试读：
第1章 行列式
行列式是一个重要的数学工具，它不仅是线性代数必不可少的内容，而且在其他数学领域以及数学以外的许多领域都有着重要的意义和广泛的应用。本章介绍行列式的基本性质和计算。
1.1 预备知识
本节所叙述的几个预备知识对本章，乃至全书来说都是基本的知识。
1.1.1 数域
讨论某些代数问题时常常在一个确定的“数的范围”内来进行。例如，求一个实系数一元二次方程的实根、将一个有理系数多项式在有理数或实数范围内分解、求一个整系数方程的整数根等。代数问题常常关心数的集合在某些运算下的封闭性质，为此引出如下定义。
定义1.1 设 F是至少含有两个不同数的数集。如果对F中的任意数a和b来说，ab及总在F中，则称F是一个数域。
定义1.1 其实就是说，数集F对于加、减、乘和除四种运算是封闭的。如果只考虑加、减和乘三种运算的封闭性，还可以定义数环。按上面定义来衡量，容易看出全体复数构成复数域 C、全体实数构成实数域 R、全体有理数构成有理数域 Q、全体整数不构成数域（对除法不封闭），但构成数环，称为整数环 Z，自然数集连数环也不是。除了上面列举的通常数域外，我们可以举出一些新的数域。
例1.1 设，证明F是一个数域。
解 F中显然含有两个元素，例如1及0。
任取，则
故由可知。
当时，由知，故由乘法封闭性可得
由数域定义知 F 是一个数域。
命题1.1 任何数域 F 都包含有理数域。
证明 由数域 F 的定义可知，F 中含两个不同数，故存在，使得，从而由可知。
另一方面，对任意的正整数 n，由
1+1=2；1+2=3；… ；1 +（n-1）= n
及加法封闭性可知，再由减法封闭性可知，从而F含所有整数，即。再由除法封闭性可知。
1.1.2 和号
对于数域 F 中的任意 n个数 a1，a2，… ，an，为了将这些数的连加法缩写，常使用和号，即用表示
a1+a2+…+an。
使用和号可以使某些表达式更为简洁。例如，等比数列的前 n 项和
a+aq+aq2+…+aqn-1
可以记成n Pk=1aqk-1，二项式定理的展开公式可记为
反过来，看到用和号写出的式子，应正确理解其含义。例如，表示
2（12+1）+ 2（22+1）+ …+2（n2+1）；
则表示
k2-2k2+3k2-4k2+… +（-1）k-1kk2，
由和号的意义容易得出下面的公式，
公式（4）的左端实际是，即
a11+a12+…+a1n+a21+a22+…+a2n+…+am1+am2+…+amn；
而右端是，即
a11+a21+…+am1+a12+a22+…+am2+…+a1n+a2n+…+amn；
容易看出两端相等。
在公式（4）中，实际上出现了两个变动标号 i 和 j，还有更复杂的情况。例如，我们用 P j1j2j3a1j1a2j2a3j3 表示六项和，每一项由 j1j2j3 取 1，2，3 的一个全排列而定，于是这个和是
a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32+a13a22a31+a12a21a33+a11a23a32，
例1.2 设，求表达式 f（n）。
解 由和运算公式（2）得
1.1.3 排列
由1，2，… ，n 中取不同数组成的 n 元有序数组称为一个 n 级排列。在中学曾研究过排列的种数公式，现在讨论排列的奇偶性。
定义1.2 在一个 n 级排列 j1j2 … jn 中，如果 i<k 且 ji>jk，则称 jijk 构成排列 j1j2 … jn 的一个逆序，逆序的总个数称为排列 j1j2 … jn 的逆序数，记为。
例如，
定义1.3 对于给定的 n 级排列 j1j2 … jn，当为奇数时，称该排列为奇排列，当为偶数时，称该排列为偶排列。
例如，12 … n 是偶排列，3214 是奇排列，4321 又是偶排列。
定义1.4 在一个 n 级排列中将某两个数码的位置交换，其余数码不动，称对这个排列进行了一次对换。
例如，排列 32154 经数码2与5的对换变成了排列 35124。
命题1.2 对一个排列进行一次对换，则奇排列变成了偶排列，偶排列变成了奇排列，即对换改变排列的奇偶性。
证明 首先考虑相邻数码对换的情况。设排列写成
j1 … jk-1 jk jk+1 jk+2 … jm；
调换 jk 与 jk+1 的位置后，得到新排列为
j1 … jk-1 jk+1 jk jk+2 … jm，
注意在计算这两个排列的逆序数时，jk 与 jk+1 以外的数引起的逆序个数没有改变。当jk<jk+1 时，jk 与 jk+1 所引起的逆序个数（新排列比原排列）增加 1个，即
当 jk>jk+1 时，jk 与 jk+1 所引起逆序个数（新排列比原排列）减少 1个，即
因此，在调换 jk 与 jk+1 的位置后排列的奇偶性改变了。
下面考虑一般情况。设排列写成
j1 … jk-1 jk jk+1 … jk+l-1 jk+l jk+l+1 … jm；
调换 jk 与 jk+l 的位置后，得到新排列为
j1 … jk-1 jk+l jk+1 … jk+l-1 jk jk+l+1 … jm，
这个过程可以认为是下列连续施行的对换的结果： 先由 l-1个相邻对换使其变成
j1 … jk-1 jk+1 … jk+l-1 jk jk+l jk+l+1 … jm；
再经 l个相邻对换使其变成
j1 … jk-1 jk+l jk+1 … jk+l-1 jk jk+l+1 … jm；
这里一共进行了 2l-1 次相邻对换。由上述分析可知，新排列的奇偶性改变了.？
命题1.3 任意一个 n 级排列 j1 j2 … jn 可经有限次对换变为 1 2 … n，并且所使用对换次数的奇偶性与排列 j1 j2 … jn 的奇偶性一致。
证明 如果，可将 j1j2 … jn 经一次对换变为 1i2 … in。如果；又可经一次对换变为 12k3 … kn，如此继续，可经有限次对换将原排列变为 12 … n。因为 12 … n 是偶排列，由命题1.2 可知，本命题后一结论成立。
练习1.1
1.1.1 指出下列数集哪些构成数域，哪些不构成数域，并说明理由。
1.1.2 数域 F 不是复数域 C 时是否全由实数构成？
1.1.3 用和号表示（x-y）n 的展开式。
1.1.4 将 a1bn+a2bn-1+…+an-1b2+anb1 用和号表示。
1.1.5 设，求 f（n）的表达式。
1.1.6 对吗？为什么？
1.1.7 对吗？为什么？
1.1.8 确定下列排列的奇偶性，
（1）362514；（2）253461；
（3）436125；（4）n（n-1）… 21；
（5）23 … n1。
1.1.9 用数学归纳法证明命题1.3。
1.1.10 四级排列有多少个？其中奇排列及偶排列各多少个？
1.2 行列式的定义
对于二元一次方程组
当时，用加减消元法可求其解为
如果引进记号（称为二阶行列式）
（1.1）
上述方程组当时解可写成
类似地，对三元一次方程组
引进记号（称为三阶行列式）
（1.2）
当时，上面三元一次方程组有**解
其中
由（1.2）式可以看出，三阶行列式是 3！=6 项的和，每一项都是取自不同行不同列的三个元素先作乘积，然后放上适当的正负号。任意项可记为±a1j1a2j2a3j3 ，其中 j1j2j3 是任意一个三级排列，前面的符号随 j1j2j3 这个排列的奇偶性而定，当其为偶排列时取正号，当其为奇排列时取负号。二阶行列式也有类似的规律。现在将二、三阶行列式这种构造规律加以推广，定义 n 阶行列式。
定价：39.0
ISBN：9787030593092
作者：曹重光 张龙 唐孝敏
版次：1
出版时间：2018-11
内容提要：
本书是编者在多年教学实践与教学改革的基础上编写而成的。本书注重概念和理论的导入，结构合理、层次清晰、论证简明，富于直观性和启发性。本节通过设置典型例题来阐明高等代数的思想与方法，配备了层次丰富的练习题和研讨题，有助于学生抽象思维能力和代数学能力的培养。
目录：
目录
前言
第1章 行列式 1
1.1 预备知识 1
1.1.1 数域 1
1.1.2 和号 2
1.1.3 排列 3
练习1.1 5
1.2 行列式的定义 5
练习1.2 8
1.3 行列式的性质 8
练习1.3 15
1.4 矩阵及其初等变换 16
练习1.4 19
1.5 行列式按一行(列)展开 21
练习1.5 26
问题与研讨1 27
总习题1 28
第2章 矩阵 32
2.1 矩阵的运算 32
2.1.1 线性运算 32
2.1.2 乘法运算 34
2.1.3 矩阵的转置 39
2.1.4 行列式乘法公式 41
练习2.1 43
2.2 逆矩阵和克拉默法则 45
练习2.2 49
2.3 分块矩阵 50
练习2.3 57
2.4 初等阵 58
练习2.4 63
2.5 矩阵的等价分解 64
练习2.5 68
2.6 矩阵秩的性质 68
练习2.6 71
2.7 初等块矩阵及等价分解之应用 71
练习2.7 75
问题与研讨2 76
总习题2 77
第3章 线性方程组 84
3.1 消去法 84
练习3.1 88
3.2 n维向量 89
3.2.1 线性表出 89
3.2.2 线性相关和线性无关 92
3.2.3 向量组的等价 95
练习3.2 97
3.3 向量组的秩 98
练习3.3 102
3.4 n维向量空间 103
3.4.1 子空间、基底、维数和坐标 103
3.4.2 基变换与坐标变换 106
3.4.3 n维向量空间的线性变换 108
练习3.4 110
3.5 线性方程组解的结构 111
3.5.1 齐次线性方程组 112
3.5.2 非齐次线性方程组 114
练习3.5 115
问题与研讨3 117
总习题3 118
第4章 特征值、特征向量与相似矩阵 126
4.1 特征值与特征向量 126
练习4.1 130
4.2 相似矩阵 131
练习4.2 135
4.3 特征根估计 135
练习4.3 138
问题与研讨4 139
总习题4 140
第5章 内积与二次型 143
5.1 Rn空间的内积 143
练习5.1 150
5.2 正交阵、实对称阵的正交对角化 152
练习5.2 156
5.3 奇异值分解及其应用 157
练习5.3 160
5.4 实二次型 161
练习5.4 167
5.5 正定二次型 167
练习5.5 172
5.6 半正定二次型及惯性定理 172
练习5.6 176
5.7 一般数域上的二次型 176
练习5.7 181
问题与研讨5 181
总习题5 182
部分习题答案与提示 188
参考文献 223
在线试读：
第1章 行列式
行列式是一个重要的数学工具，它不仅是线性代数必不可少的内容，而且在其他数学领域以及数学以外的许多领域都有着重要的意义和广泛的应用。本章介绍行列式的基本性质和计算。
1.1 预备知识
本节所叙述的几个预备知识对本章，乃至全书来说都是基本的知识。
1.1.1 数域
讨论某些代数问题时常常在一个确定的“数的范围”内来进行。例如，求一个实系数一元二次方程的实根、将一个有理系数多项式在有理数或实数范围内分解、求一个整系数方程的整数根等。代数问题常常关心数的集合在某些运算下的封闭性质，为此引出如下定义。
定义1.1 设 F是至少含有两个不同数的数集。如果对F中的任意数a和b来说，ab及总在F中，则称F是一个数域。
定义1.1 其实就是说，数集F对于加、减、乘和除四种运算是封闭的。如果只考虑加、减和乘三种运算的封闭性，还可以定义数环。按上面定义来衡量，容易看出全体复数构成复数域 C、全体实数构成实数域 R、全体有理数构成有理数域 Q、全体整数不构成数域（对除法不封闭），但构成数环，称为整数环 Z，自然数集连数环也不是。除了上面列举的通常数域外，我们可以举出一些新的数域。
例1.1 设，证明F是一个数域。
解 F中显然含有两个元素，例如1及0。
任取，则
故由可知。
当时，由知，故由乘法封闭性可得
由数域定义知 F 是一个数域。
命题1.1 任何数域 F 都包含有理数域。
证明 由数域 F 的定义可知，F 中含两个不同数，故存在，使得，从而由可知。
另一方面，对任意的正整数 n，由
1+1=2；1+2=3；… ；1 +（n-1）= n
及加法封闭性可知，再由减法封闭性可知，从而F含所有整数，即。再由除法封闭性可知。
1.1.2 和号
对于数域 F 中的任意 n个数 a1，a2，… ，an，为了将这些数的连加法缩写，常使用和号，即用表示
a1+a2+…+an。
使用和号可以使某些表达式更为简洁。例如，等比数列的前 n 项和
a+aq+aq2+…+aqn-1
可以记成n Pk=1aqk-1，二项式定理的展开公式可记为
反过来，看到用和号写出的式子，应正确理解其含义。例如，表示
2（12+1）+ 2（22+1）+ …+2（n2+1）；
则表示
k2-2k2+3k2-4k2+… +（-1）k-1kk2，
由和号的意义容易得出下面的公式，
公式（4）的左端实际是，即
a11+a12+…+a1n+a21+a22+…+a2n+…+am1+am2+…+amn；
而右端是，即
a11+a21+…+am1+a12+a22+…+am2+…+a1n+a2n+…+amn；
容易看出两端相等。
在公式（4）中，实际上出现了两个变动标号 i 和 j，还有更复杂的情况。例如，我们用 P j1j2j3a1j1a2j2a3j3 表示六项和，每一项由 j1j2j3 取 1，2，3 的一个全排列而定，于是这个和是
a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32+a13a22a31+a12a21a33+a11a23a32，
例1.2 设，求表达式 f（n）。
解 由和运算公式（2）得
1.1.3 排列
由1，2，… ，n 中取不同数组成的 n 元有序数组称为一个 n 级排列。在中学曾研究过排列的种数公式，现在讨论排列的奇偶性。
定义1.2 在一个 n 级排列 j1j2 … jn 中，如果 i<k 且 ji>jk，则称 jijk 构成排列 j1j2 … jn 的一个逆序，逆序的总个数称为排列 j1j2 … jn 的逆序数，记为。
例如，
定义1.3 对于给定的 n 级排列 j1j2 … jn，当为奇数时，称该排列为奇排列，当为偶数时，称该排列为偶排列。
例如，12 … n 是偶排列，3214 是奇排列，4321 又是偶排列。
定义1.4 在一个 n 级排列中将某两个数码的位置交换，其余数码不动，称对这个排列进行了一次对换。
例如，排列 32154 经数码2与5的对换变成了排列 35124。
命题1.2 对一个排列进行一次对换，则奇排列变成了偶排列，偶排列变成了奇排列，即对换改变排列的奇偶性。
证明 首先考虑相邻数码对换的情况。设排列写成
j1 … jk-1 jk jk+1 jk+2 … jm；
调换 jk 与 jk+1 的位置后，得到新排列为
j1 … jk-1 jk+1 jk jk+2 … jm，
注意在计算这两个排列的逆序数时，jk 与 jk+1 以外的数引起的逆序个数没有改变。当jk<jk+1 时，jk 与 jk+1 所引起的逆序个数（新排列比原排列）增加 1个，即
当 jk>jk+1 时，jk 与 jk+1 所引起逆序个数（新排列比原排列）减少 1个，即
因此，在调换 jk 与 jk+1 的位置后排列的奇偶性改变了。
下面考虑一般情况。设排列写成
j1 … jk-1 jk jk+1 … jk+l-1 jk+l jk+l+1 … jm；
调换 jk 与 jk+l 的位置后，得到新排列为
j1 … jk-1 jk+l jk+1 … jk+l-1 jk jk+l+1 … jm，
这个过程可以认为是下列连续施行的对换的结果： 先由 l-1个相邻对换使其变成
j1 … jk-1 jk+1 … jk+l-1 jk jk+l jk+l+1 … jm；
再经 l个相邻对换使其变成
j1 … jk-1 jk+l jk+1 … jk+l-1 jk jk+l+1 … jm；
这里一共进行了 2l-1 次相邻对换。由上述分析可知，新排列的奇偶性改变了.？
命题1.3 任意一个 n 级排列 j1 j2 … jn 可经有限次对换变为 1 2 … n，并且所使用对换次数的奇偶性与排列 j1 j2 … jn 的奇偶性一致。
证明 如果，可将 j1j2 … jn 经一次对换变为 1i2 … in。如果；又可经一次对换变为 12k3 … kn，如此继续，可经有限次对换将原排列变为 12 … n。因为 12 … n 是偶排列，由命题1.2 可知，本命题后一结论成立。
练习1.1
1.1.1 指出下列数集哪些构成数域，哪些不构成数域，并说明理由。
1.1.2 数域 F 不是复数域 C 时是否全由实数构成？
1.1.3 用和号表示（x-y）n 的展开式。
1.1.4 将 a1bn+a2bn-1+…+an-1b2+anb1 用和号表示。
1.1.5 设，求 f（n）的表达式。
1.1.6 对吗？为什么？
1.1.7 对吗？为什么？
1.1.8 确定下列排列的奇偶性，
（1）362514；（2）253461；
（3）436125；（4）n（n-1）… 21；
（5）23 … n1。
1.1.9 用数学归纳法证明命题1.3。
1.1.10 四级排列有多少个？其中奇排列及偶排列各多少个？
1.2 行列式的定义
对于二元一次方程组
当时，用加减消元法可求其解为
如果引进记号（称为二阶行列式）
（1.1）
上述方程组当时解可写成
类似地，对三元一次方程组
引进记号（称为三阶行列式）
（1.2）
当时，上面三元一次方程组有**解
其中
由（1.2）式可以看出，三阶行列式是 3！=6 项的和，每一项都是取自不同行不同列的三个元素先作乘积，然后放上适当的正负号。任意项可记为±a1j1a2j2a3j3 ，其中 j1j2j3 是任意一个三级排列，前面的符号随 j1j2j3 这个排列的奇偶性而定，当其为偶排列时取正号，当其为奇排列时取负号。二阶行列式也有类似的规律。现在将二、三阶行列式这种构造规律加以推广，定义 n 阶行列式。