书名：泛函分析（第三版）
定价：35.0
ISBN：9787030438935
作者：刘炳初
版次：1
出版时间：2018-11

内容提要：
本书是作者多年来在南开大学数学系讲授泛函分析课程的基础上写成的.全书共六章：**章，距离空间与拓扑空间；第二章，赋范线性空间；第三章，有界线性算子；第四章，Hilbert空间；第五章，拓扑线性空间；第六章，Banach代数.每章末附有一定量的习题，书后有部分习题解答.

目录：
丛书第三版序 丛书**版序 **章距离空间与拓扑空间(1) §1.1距离空间的基本概念(1) §1.2距离空间中的点集(7) §1.3完备距离空间(11) §1.4压缩映射原理(16) §1.5拓扑空间的基本概念(20) §1.6紧性(27) §1.7距离空间的紧性(29) 习题一(33) 第二章赋范线性空间(36) §2.1赋范空间的基本概念(36) §2.2空间Lp(p≥1)(42) §2.3赋范空间进一步的性质(48) §2.4有穷维赋范空间(53) 习题二(55) 第三章有界线性算子(58) §3.1有界线性算子与有界线性泛函(58) §3.2BanachSteinhaus定理及其某些应用(64) §3.3开映射定理与闭图像定理(69) §3.4HahnBanach定理及其推论(77) §3.5某些赋范空间上有界线性泛函的一般形式(83) §3.6自反性？弱收敛(90) §3.7紧算子(96) 习题三(100) 第四章Hilbert空间(104) §4.1内积空间的基本概念？例(104) §4.2正交性？正交系(110) §4.3Riesz表示定理,Hilbert空间的共轭空间(119) 习题四(123) 第五章拓扑线性空间(125) §5.1拓扑线性空间的基本性质(125) §5.2半范数？局部凸空间(135) §5.3弱拓扑(142) 习题五(151) 第六章Banach代数(153) §6.1定义与例(153) §6.2正则点与谱(155) §6.3极大理想与商代数(158) §6.4交换Banach代数的基本定理(160) 习题六(168) 参考文献(169) 部分习题解答(170) 后记(214)

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§1.1距离空间的基本概念 **章距离空间与拓扑空间 §1.1距离空间的基本概念 一？ 定义与例 极限运算是数学分析中*重要的运算之一,我们来回忆分析中的极限概念:{xn}是一个实数列,x是一个实数,如果对任意给定的ε>0,存在自然数N,当n>N时,|xn-x|<ε,我们就说当n→∞时,{xn}以x为极限. 在上面的定义中,|xn-x|表示直线 R上的点xn与点x之间的“距离”,因此它可以重新叙述为:对任意给定的ε>0,存在自然数N,当n>N时,xn与x之间的“距离”小于ε. 类似地,平面R2上的点列xn=(ξn, ηn),当n→∞时以点x=(ξ,η)为极限可以定义为:对于充分大的自然数n,点xn与点x的“距离”可以任意小,不过这里点xn=(ξn, ηn)与点x=(ξ,η)之间的距离为(ξn-ξ)2+(ηn-η)2. 从上面的例子中可以看出,不论是 R中的点还是R2中的点,甚至任意集合中的点,只要在其中定义了距离,我们就可以用它来衡量两点的接近程度,就可以在其中定义极限. 事实上,在分析中当我们考虑用多项式序列一致逼近区间[a,b]上的连续函数时,就曾用max0≤t≤1|p(t)-x(t)|来表示多项式p(t)与函数x(t)之间的“距离”. 我们把“距离”*基本的性质抽象化就得到距离空间的概念. 定义1.1.1设X是任一非空集,对X中任意两点x,y有一实数d(x,y)与之对应且满足: 1) d(x,y)≥0;且d(x,y)=0,当且仅当x=y; 2) d(y,x)=d(x,y)(对称性); 3) d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y)(三角形不等式). 称d(x,y)为X中的一个距离,定义了距离d的集X称为一个距离空间,记为(X,d),在不引起混乱的情形下简记为X. 下面给出距离空间的一些例子,其中有些在分析中起着很重要的作用. 例1.1.1设X是n元实数组全体,定义 其中,x=(ξ1,ξ2,…,ξn),y=(η1,η2,…,ηn). 我们证明(X,d)是一个距离空间,为此我们需要验证d满足距离的三条公理. 1),2)显然成立,关键是证明三角形不等式成立. 我们先证明以下Cauchy不等式:对任意实数ak,bk(k=1,…,n),我们有 事实上,任取实数λ,则 上面等式左端是λ的一个二次三项式,于是它的判别式不大于0,即Cauchy不等式成立. 现在证明三角形不等式成立,由Cauchy不等式,得 设x=(ξ1,ξ2,…,ξn),y=(η1,η2,…,ηn),z=(ζ1,ζ2,…,ζn)是任意三点,在上面不等式中令ak=(ξk-ζk), bk=(ζk-ηk), 则nk=1(ξk-ηk)212≤nk=1(ξk-ζk)212+nk=1(ζk-ηk)212,即d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y). 所以(X,d)是一个距离空间,以后把这个空间简记为Rn,本节开头提到的R1,R2都是Rn的特殊情形. 例1.1.2考虑区间[a,b]上所有连续函数集,设x(t),y(t)是[a,b]上任意两个连续函数,定义 d(x,y)=maxa≤t≤b|x(t)-y(t)|, 由于x(t)-y(t)也是[a,b]上的连续函数,因此有*大值. 距离公理1),2)显然成立. 设x(t),y(t),z(t)是[a,b]上任意三个连续函数,则t∈[a,b], |x(t)-y(t)|≤|x(t)-z(t)|+|z(t)-y(t)| [a,b]上的连续函数全体赋以上述距离d是一个距离空间,记它为C[a,b]. 例1.1.3空间s. 考虑实数列{ξk}的全体. 设x={ξk}, y={ηk}是两个实数列,定义上式右边的12k是一个收敛因子,保证级数收敛,距离公理的1),2) 显然成立,为证三角形不等式,考虑(0,∞)上的函数 易见ψ′(t)=1(1+t)2>0,所以ψ(t)是单增的. 由此,设x={ξk}, y={ηk},z={ζk}. 由于 则有 在上不等式两边乘12k并求和,则得这个距离空间记为s. 例1.1.4空间S. 与例1.1.3类似,设E-R是一个Lebesgue可测集,0 0,存在自然数N,当n>N时, d(xn,x0)<ε2, d(xn,y0)<ε2, 于是由三角形不等式,当n>N时 d(x0,y0)≤d(xn,x0)+d(xn,y0)<ε2+ε2=ε. 由于ε是任意的,所以d(x0,y0)=0, x0=y0. 2) 设xn→x0(n→∞),则ε>0,存在N,当n>N时,d(xn,x0)<ε,选取K,使得当k>K时nk>N,则当k>K时,d(xnk,x0)<ε,即xnk→x0(k→∞). 定理1.1.2设(X,d)是距离空间,则 |d(x,y)-d(x1,y1)|≤d(x,x1)+d(y,y1), (x,y,x1,y1,∈X). 证由三角形不等式 d(x,y)≤d(x,x1)+d(x1,y)≤d(x,x1)+d(x1,y1)+d(y1,y), 由于x,y与x1,y1的地位是对称的,所以 |d(x,y)-d(x1,y1)|≤d(x,x1)+d(y,y1). 由定理1.1.2可以看出,在距离空间中,当xn→x0及yn→y0(n→∞)时,必有d(xn,yn)→d(x0,y0)(n→∞). 我们看一看前面列举的几个具体的距离空间中收敛性的涵义. 在空间Rn中,易见空间的收敛就是按坐标收敛. 在C[a,b]中,如果d(xn,x0)→0(n→∞),即 maxa≤t≤b|xn(t)-x0(t)|→0(n→∞),于是对任意的ε>0,存在N,当n>N时,t∈[a,b],有即函数列{xn(t)}在[a,b]上一致收敛于函数x0(t). 反之,如果{xn(t)}一致收敛于x0(t),则d(xn,x0)→0(n→∞). 总之,C[a,b]的收敛是函数列在[a,b]上的一致收敛,大家都知道这种收敛在分析中有重要的作用. 我们证明空间S中的收敛等价于函数列依测度收敛. 设xn→x0(n→∞),则对于任意的σ>0,由于 d(xn,x0)=∫E|xn(t)-x0(t)|1+|xn(t)-x0(t)|dt≥∫{t∈E:|xn(t)-x0(t)|≥σ}|xn(t)-x0(t)|1+|xn (t)-x0(t)|dt≥σ1+σmt∈E:|xn(t)-x0(t)|≥σ. 所以,当n→∞时,mt∈E:|xn(t)-x0(t)|≥σ→0,即{xn}在E上依测度收敛于x0(t). 反之,设{xn(t)}在E上依测度收敛于x0(t),则对ε>0及σ>0,由于 d(xn,x0)=∫E|xn(t)-x0(t)|1+|xn(t)-x0(t)|dt≤σ1+σmE+∫{t∈E:|xn(t)-x0(t)|≥σ}| xn(t)-x0(t)|1+|xn(t)-x0(t)|dt≤σ1+σmE+m{t∈E:|xn(t)-x0(t)|≥σ}, 先选取σ,使σ1+σmE<ε2,再对上述σ选取自然数N,使当n>N时,m{t∈E:|xn(t)-x0(t)|≥σ}<ε2. 于是当n>N时,d(xn,x0)<ε2+ε2=ε,即d(xn,x0)→0 (n→∞). *后,在离散空间D中,{xn}收敛于x0,当且仅当,从某一下标开始{xn}为常驻列{x0}. 事实上,如果xn→x0(n→∞),取ε=12,则存在N,当n≥N时,d(xn,x0)<12,由此当n≥N时,xn=x0,反之显然.