本书打破传统线性代数教材编排模式，以矩阵为主线重构知识体系，从低维直观引入抽象概念，贯穿问题驱动式教学，并设置大量引导性习题，旨在帮助非数学专业学生高效建立线性代数核心思维，切实提升解决实际问题的能力。《线性代数》是一本入门级教材，以线性方程组为切入点，围绕向量空间与线性映射这一主线，系统讲解矩阵代数、行列式、特征值、内积空间、二次型及奇异值分解等核心内容。本书注重与中学知识的衔接，通过实例引导抽象概念，强调矩阵作为线性变换工具的统一性，从基变换视角阐释标准形与矩阵分类，帮助学生构建整体认知。针对非数学专业需求，本书简化了抽象理论（如线性空间），将其转化为探究习题，侧重应用能力培养，采用“理论十实践”的习题设计，强化算法与问题解决能力。适用于不同课时安排：5学时可覆盖全书，4学时可跳过部分进阶内容（如正交子空间、奇异值分解），3学时可完成前五章基础教学。本书适合高校理工科师生及工程研究人员参考，兼具理论深度与实用价值。本书作为华东师范大学公共基础课教材。傅蔚，本科与硕士就读于上海大学，2018年获英国利兹大学博士学位，现为华东师范大学数学科学学院副教授，研究方向为可积系统。先后主持多项国家级与省部级科研项目，入选上海市浦江人才计划，曾获上海市自然科学三等奖。主讲《高等数学》与《线性代数》等本科生课程，曾获上海教育发展基金会申万宏源奖教金，华东师范大学本科教学优秀奖、青年教师教学比赛一等奖等。主持完成上海高校市级重点课程项目《线性代数A》以及华东师范大学本科在线开放课程项目《大学数学预备知识选讲》，参与建设的课程《高等数学A》入选上海高校市级一流课程。_x000D__x000D_**目录****第一章 预备知识**1.1 线性方程组与矩阵消元法1.1.1 二元一次方程组1.1.2 线性方程组的矩阵消元法1.1.3 齐次与非齐次线性方程组习题1.11.2 向量空间与线性相关性1.2.1 平面向量1.2.2 m维向量与向量空间R^m1.2.3 线性相关性习题1.21.3 线性映射与矩阵1.3.1 平面向量的线性变换1.3.2 矩阵诱导的线性映射1.3.3 常见矩阵习题1.3**第二章 矩阵**2.1 函数的运算2.2 矩阵的运算2.2.1 加法与数乘2.2.2 乘法2.2.3 方幂2.2.4 转置习题2.22.3 矩阵的逆2.3.1 可逆矩阵2.3.2 初等矩阵2.3.3 矩阵可逆的判别与逆矩阵的计算习题2.32.4 分块矩阵2.4.1 矩阵的分块表示2.4.2 加法与数乘2.4.3 乘法2.4.4 转置2.4.5 分块对角与反对角矩阵2.4.6 分块初等变换习题2.4**第三章 子空间与矩阵的秩**3.1 三元线性函数与空间平面3.2 向量空间的子空间3.2.1 子空间的定义3.2.2 四类基本子空间3.2.3 基、维数与坐标习题3.23.3 极大线性无关组与秩3.3.1 极大线性无关组3.3.2 向量组的线性表示与线性等价3.3.3 向量组的秩习题3.33.4 基与维数3.4.1 生成子空间的基与维数3.4.2 基的存在性与维数的唯一性3.4.3 基变换与坐标变换习题3.43.5 矩阵的秩3.5.1 列秩与行秩3.5.2 秩与矩阵运算习题3.53.6 矩阵的相抵标准形3.6.1 初等变换下的标准形3.6.2 相抵关系与不变量3.6.3 矩阵相抵与向量组线性等价习题3.63.7 线性方程组的解集3.7.1 零空间与齐次线性方程组的解集3.7.2 非齐次线性方程组的解集习题3.7**第四章 行列式**4.1 2阶行列式的几何意义4.2 行列式函数4.2.1 行列式函数的公理化定义4.2.2 行列式函数的逆序数定义4.2.3 初等列变换下的行列式性质4.2.4 行与列的对等4.2.5 方阵运算下的行列式性质4.2.6 行列式按一行（列）展开习题4.24.3 伴随矩阵与Cramer法则4.3.1 伴随矩阵4.3.2 Cramer法则习题4.34.4 行列式的子式4.4.1 行列式按k行（列）展开4.4.2 子式与矩阵的秩习题4.4**第五章 特征值与特征向量**5.1 平面上伸缩变换的特征5.2 方阵的特征值与特征向量5.2.1 特征值问题5.2.2 特征值与特征向量的性质5.2.3 迹与行列式习题5.25.3 方阵的对角化5.3.1 可对角化的方阵5.3.2 可对角化的判别习题5.35.4 方阵的相似标准形5.4.1 Jordan标准形5.4.2 相似关系与不变量习题5.4**第六章 正交性**6.1 平面向量的数量积6.2 内积空间6.2.1 内积函数6.2.2 度量与角度6.2.3 正交与投影习题6.26.3 正交向量组与Gram_Schmidt正交化6.3.1 正交向量组6.3.2 Gram_Schmidt正交化习题6.36.4 正交基与正交矩阵6.4.1 子空间的正交基6.4.2 正交矩阵习题6.46.5 正交子空间与正交投影6.5.1 子空间的正交性6.5.2 正交分解与最佳逼近6.5.3 最小二乘问题习题6.5**第七章 实对称矩阵**7.1 二次函数的标准形7.2 对称双线性函数与实对称矩阵7.2.1 对称双线性函数7.2.2 实对称矩阵的对角化7.2.3 正交相似关系与不变量习题7.27.3 实对称矩阵的合同标准形7.3.1 合同标准形7.3.2 合同关系与不变量7.3.3 正交相似标准形与对角形中的合同不变量习题7.37.4 实二次型与标准形7.4.1 实二次型与实对称矩阵7.4.2 实二次型的正交相似标准形与合同标准形7.4.3 标准实二次型与配方法习题7.47.5 实二次型的定值性7.5.1 正定矩阵7.5.2 其他定值矩阵7.5.3 定值性的主子式判别法习题7.5**第八章 奇异值分解**8.1 标准形诱导的矩阵分解8.2 实矩阵的奇异值分解8.2.1 奇异值问题与奇异值分解8.2.2 奇异值分解的应用习题8.2**参考文献**【书摘与插画】体系创新：以矩阵为核心重构教学逻辑，舍弃抽象理论，强调直观理解。学练结合：每章以问题导入，习题设计精妙，强调概念深化与计算熟练。面向应用：内容紧密联系工程与科学实际问题，为人工智能时代打下坚实基础。