编辑推荐：这是菲尔兹奖得主，华人数学家丘成桐的科普佳作，主要讲述了他的思想演化，同时引介了众多现代数学家。1976年，年方27岁的丘成桐解决了微分几何中的一个著名难题“卡拉比猜想”，其结果被称为“卡拉比-丘流形”，后来被应用在物理学的弦理论中，成为描述宇宙空间的理论基石。1979年，他又证明了每个符合爱因斯坦方程的解都具有正总质能量，确认平直时空的稳定性。因此，他的研究橫跨数学和物理两大领域。读者可以与物理学家的弦论经历相互参照，看到数学与物理的相互影响和促进。2018年新版的《第yi推动丛书》全新设计了版式和封面，简约个性，提升了阅读体验，让科普给你更多想象。随书附赠价值39.6元由汪洁、吴京平掰开揉碎,带你懂科学好书的《经典科普解读课》6折券。作者介绍：丘成桐，当代zui伟大的数学大师之一，著名科学家，哈佛大学数学系系主任、讲座教授，清华大学数学科学中心主任。他获得了菲尔兹奖、沃尔夫奖、克莱福特奖、美国国家科学奖等大奖，是美、俄、中、意四国科学院院士。丘成桐成功地解決了许多有名的数学难题，在偏微分方程、微分几何、复几何、代数几何以及广义相对论等都有影响深远的贡献。自1987年起，丘成桐在哈佛大学数学系任教，目前刚卸任该系系主任。史蒂夫·纳迪斯，《天文》杂志专栏作家，在MIT、“关心世事科学家联盟”担任过研究员，曾任世界资源研究所和WGBH、NOVA等机构的顾问。译者介绍：翁秉仁，毕业于加州大学圣地亚分校，现为台湾大学数学系副教授，研究领域为低维拓扑、微分几何。曾翻译《数学：确定性的失落》与《科学人》等。赵学信，成功大学建筑研究所建筑硕士，现任数学部编本网站工程师。曾翻译《Net&Ten》《现世》等。目录：时空统一颂中文版序希望年轻人能理解数学之美，以及我做学问的精神英文版序数学，是一场波澜壮阔的冒险！序曲从柏拉图到宇宙未来的形貌第1章 想象边缘的宇宙第2章 自然秩序中的几何第3章 打造数学新利器第4章 美到难以置信：卡拉比猜想第5章 证明卡拉比（是错？是对？）第6章 弦论的DNA第7章 穿越魔镜第8章 时空中的扭缠第9章 回归现实世界第10章超yue卡拉比一丘第11章 宇宙解体（想知道又不敢问的世界末日问题）第12章 寻找隐藏维度的空间第13章 数学·真·美第14章 几何的终结？后记每天吃个甜甜圈，想想卡拉比一丘流形终曲进入圣堂，必备几何庞卡莱之梦附录1 了解三个重要概念：空间、维度、曲率附录2 名词解释附录3 原文注释索引译后记对曲抚弦好时光内容简介：广义相对论研究巨大尺度的物体──例如星体、甚至整个宇宙；量子力学研究甚至整个极小尺度的奇妙现象──如原子世界。弦理论则企图成为两者间的桥梁。从微细的“弦”振动开始，弦理论认为我们生活在一个十维的世界中，其中四维是我们日常生活感知的时空，另外六维呢？物理学家发现，1976年出现的“卡拉比-丘流形” ，一个纯粹的数学几何结构，正好可以用来刻画六维空间的內在形状！本书中，丘成桐细说从古希腊时代柏拉图等几何学家、到爱因斯坦、卡拉比以及丘成桐自己的研究、他对几何学未来的看法等等；敘述了他几十年來所有成就的来龙去脉以及心路历程。读者可以深切了解近代数学和物理学研究的重要进展，更体会到第yi流科学家的研究精神。试读样章：第1章 想象边缘的宇宙（部分）对数学家而言，维度指的是一种“自由度”，也就是在空间中运动的独立程度。在我们头上飞来飞去的苍蝇可以向任何方向自由移动，只要没有碰到障碍，它就拥有三个自由度。但维度是不是就只有那么多？望远镜的发明以及随后多年以来的不断改良，帮助我们确认了一项事实：宇宙比我们能看到的还要浩瀚、广大。事实上，目前所能得到的zuijia证据显示，宇宙将近四分之三是以一种神秘、看不见的形式存在，称为“暗能量”，其余大部分则是“暗物质”，再剩下来构成一般物质（包括我们人类在内）的，只占百分之四。而且物如其名，暗能量和暗物质在各方面都是“暗的”：既看不见，也难以测度。我们所能看见的这一小部分的宇宙，构成了一个半径大约137亿光年的球体。这一球体有时被称为“哈勃体”，但是没人相信宇宙的整体范围只有如此而已。根据目前所得的zuijia数据，宇宙似乎是无穷延伸的 ——不管我们向哪个方向看去，如果你画一条直线，真的可以从这里一直延伸到永恒。不过，宇宙仍有可能是弯曲而且有界限的。但即使如此，可能的曲率也会非常微小，以至于根据某些分析显示，宇宙必然至少有上千个哈勃体那么大。zui近发射的普朗克太空望远镜，或许会在几年内揭露宇宙可能比一百万个哈勃体还大，而我们所在的哈勃体只是其中之一而已。我相信天文物理学家的这一说法，也了解有些人可能会对上面引述的数字有不同意见，但无论如何，有个事实是不容辩驳的：我们目前所见到的，不过是冰山一角。而在另一个极端，显微镜、粒子加速器以及各种显影仪器持续揭露宇宙在微小尺度上的面貌，显现了人类原先无法触及的世界，像细胞、分子、原子，以及更小的物体。如今我们不再对这一切感到惊讶，完全可以期待望远镜会向宇宙的更深处探索。另一方面，显微镜和其他仪器则会把更多不可见之物转为可见，呈现在我们眼前。zui近几十年间，由于理论物理学的发展，再加上一些我有幸参与的几何学进展，带来了一些更令人惊讶的观点：宇宙不仅超出我们所能看见的范围，而且可能还有更多的维度，比我们所熟悉的三个空间维度还要多一些。当然，这是个令人难以接受的命题。因为关于我们这个世界，假如有件事是我们确知的，假如有件事是从人类开始有知觉时就知道，是从开始探索世界时就晓得的，那就是空间维度的数目。这个数目是三。不是大约等于三，而是恰恰就是三。至少长久以来我们是这样认定的。但也许，只是也许，会不会还有其他维度的空间存在，只不过因为它太小，以至于我们无法察觉呢？而且尽管它很小，却可能扮演非常重要的角色，只是从人们习以为常的三维视野无法体认到这些罢了！这个想法虽然令人难以接受，但从过去一个世纪的历史得知，一旦离开日常经验的领域，我们的直觉就不管用了。如果运动速度非常快，狭义相对论告诉我们，时间就会变慢，这可不是凭直觉可以察觉到的。另外，如果我们把一个东西弄得非常非常小，根据量子力学，我们就无法确知它的位置。如果做实验来判定它在甲门或者乙门的后面，我们会发现它既不在这儿也不在那儿，因此它没有绝对的位置，有时它甚至可能同时出现在两个地方！换言之，怪事可能发生，而且必将发生。微小、隐藏的维度可能就是怪事之一。如果这种想法成真，那么可能会有一种边缘性的宇宙，一处卷折3 在宇宙侧边之外的地域，超出我们的感官知觉，而这会在两方面具有革命意义：单仅是更多维度的存在 ——这已经是科幻小说一百多年来的注册商标 ——这件事本身就够令人惊讶，足以列入物理学史上的zui重大发现了。而且这样的发现将会是科学研究的另一起点，而非终点。这就好像站在山丘或高塔上的将军，得益于新增加的垂直向度，而能把战场上的局势看得更清楚。当从更高维的视点观看时，我们的物理定律也可能变得更明晰，因而也更容易理解。从苍蝇的世界看维度的意义我们都很熟悉三个基本方向上的移动：东西、南北、上下（或者也可以说是左右、前后、上下）。不管我们去哪里 ——不论是开车上杂货店或是飞到大溪地 ——我们的运动都是这三个独立方向的某种基本组合。我们对这三个维度太过熟悉，以至于要设想另一个维度，并且指明它确切指向哪里，似乎是不可能的。长久以来，似乎我们所见的即是宇宙的一切。事实上，早在两千多年前，亚里士多德在《论天》中就论称：“可在一个方向上分割的量，称为线；如果可在两个方向上分割的量，称为面；如果可在三个方向上分割的量，则称为体。除此之外，再无其他量。因为维度只有三个。”公元150年时，天文学家、数学家托勒密尝试证明不可能有四个维度，坚持认为不可能画出四条相互垂直的直线。他主张，第四条垂直线“根本无法量度，也无法描述”。然而，与其说他的论点是严格的证明，还不如说是反映了人们没有能力看到并描绘四维空间的事实。对数学家而言，维度指的是一种“自由度”，也就是在空间中运动的独立程度。在我们头上飞来飞去的苍蝇可以向任何方向自由移动，只要没有碰到障碍，它就拥有三个自由度。现在假设这只苍蝇降落到一个停车场，而被一小块新鲜柏油黏住。当它动弹不得时，这只苍蝇只有零个自由度，实质上被限制在单一点上，亦即身处于一个零维的世界。但这小东西努力不懈，经过一番奋斗后从柏油中挣脱出来，只可惜不幸翅膀受了点伤。不能飞翔之后，它拥有两个自由度，可以在停车场的地面上随意漫步。然后，我们的主角察觉到有掠食者（或许是一只食虫的青蛙），因此逃进一根丢弃在停车场的生锈排气管，苍蝇此时只有一个自由度，暂时陷入这根细长管子的一维，亦即线状的世界。但维度是不是就只有那么多？一只苍蝇在天上飞，被柏油黏住，在地上爬，逃进一根管子里 ——这是否就囊括了一切可能性？亚里士多德或托勒密应该会回答“是”，对一只没有高度冒险精神的苍蝇而言，或许也确是如此，但是对当代数学家来说，故事并没有就此结束，因为他们通常不认为有什么明显理由只停留在三个维度。我们反而相信，想要真正理解几何学的观念，像是曲率或距离，需要从所有可能的维度，从零维到 n维来理解它（其中n可以是非常大的数）。如果只停留在三维，我们对这个概念的掌握就不算完整，理由是：比起只在某些特定情境才适用的断言，如果大自然的定律或法则在任何维度的空间中都有效，那么它的理论威力更大，也可能更基本。甚至即使你所要对付的问题仅限于二维或三维，也可能借由在各种维度中研究该问题而得到有利的线索。再回到我们那只在三维空间里嗡嗡飞的苍蝇，它可以在三个方向移动，亦即具有三个自由度。然而，假设还有另一只苍蝇在同一空间里自由移动；它同样也有三个自由度，整个系统就突然从三维变成六维的系统，具有六个独立的移动方向。随着更多的苍蝇在空间里穿梭，每一只都独立飞行而不与他者相关，那么系统的复杂度及其维度，也随之增加。窥探更高的维度研究高维度系统的好处之一是，可以发现一些无法从简单场景里看出的模式。例如在下一章，我们将讨论：在一个被巨大海洋覆盖的球形行星上，洋流不可能在任何点都朝同一个方向流动（例如全部从西流向东）。事实上一定会发生的是：一定存在着某些点，海水是静止不动的。虽然这条规则适用于二维曲面，但我们只有从更高维的系统观察，也就是考虑水分子在曲面上所有可能运动的情况，才能导出这个规则。这是为何我们不断向更高维度推进的原因，希望看看这样能把我们带到什么方向并学习到什么。很自然的，考虑更高维度的结果之一是更大的复杂度。例如所谓“拓扑学”是一门将物体依zui广义的形状加以分类的学问。根据拓扑学，一维空间只有两种：直线（或两端无端点的曲线）和圆圈（没有端点的封闭曲线），此外再无其他可能性。你或许会说，线也可以是弯弯曲曲的，或者封闭曲线也可能是长方形的，但这些是几何学的问题，不属于拓扑学的范畴。说到几何学和拓扑学的差别，前者就像拿着放大镜研究地球表面，而后者则像搭上太空船，从外太空观察整个地球。选择何者，要视底下的问题而定：你是坚持要知道所有细节，比方说地表上的每一峰脊、起伏和沟壑，抑或只要大致的全貌（“一个巨大圆球”）便已足够？几何学家所关切的通常是物体精确的形状和曲率，而拓扑学家只在乎整体形貌。就这层意义而言，拓扑学是一门整体性的学问，这和数学的其他领域恰恰形成明显对比，因为后者的进展，通常是借由把复杂的物件分割成较小较简单的部分而达成。也许你会问：这些和维度的讨论有何关系？如上所述，拓扑学中只有两种基本的一维图形，但直线和歪歪扭扭的线是“相同”的，正圆也和任何你想象得出的“闭圈”，不论是如何弯的，多边形、长方形，乃至于正方形都是相同的。二维空间同样也只有两种基本形态：不是球面就是甜甜圈面。拓扑学家把任何没有洞的二维曲面都视为球面，这包括常见的几何形体，像立方体、角柱、角锥的表面，甚至形状像西瓜的椭球面。在此，一切的差别就在于甜甜圈有洞，而球面没有洞：无论你怎样把球面扭曲变形（当然不包括在它中间剪洞），都不可能弄出一个甜甜圈来，反之亦然。换句话说，如果不改变物体的拓扑形态，你就无法在它上面产生新的洞或是撕裂它。反过来说，假如一个形体借由挤压或拉扯，但非撕裂（假设它是由玩具黏土做成的），变成另一个形体，拓扑学家就把这两个形体看成是相同的。只有一个洞的甜甜圈，术语称为“环面”，但是一般甜甜圈可以有任意数目的洞。“紧致”（封闭且范围有限）且“可赋向”（有内外两面）的二维曲面可以依洞的数目来分类，6/7这个数目称为“亏格”。外观回异的二维物体，如果亏格相同，在拓扑上被视为是相同的。先前提到二维形体只有球面与洞数不同的甜甜圈面两大类，这只有在可赋向曲面的情况才成立，本书所讨论的通常都是可赋向曲面。比方说，海滩球有两个面，即里面和外面，轮胎的内胎也有两个面。然而，对于比较复杂的情况，例如单面或“不可赋向”的曲面如 “克莱因瓶”和“莫比乌斯带”，上述说法并不成立。序曲从柏拉图到宇宙未来的形貌在伟大的前科学时代，柏拉图就指出，我们所见的世界，只是这个不可见几何形体的反映罢了。这个观念深得我心，也和我zui知名的数学证明紧密相关。神以几何造世。——柏拉图大约公元前360年，柏拉图完成了《蒂迈欧斯篇》，这是一篇以对话形式呈现的创世故事，对话者包括他的老师苏格拉底以及其他三位贤者：蒂迈欧斯、赫谟克拉提、克里底亚斯。蒂迈欧斯应该是个虚构的角色，据说他从南意大利的洛克利城来到雅典，是一个“天文学专家，志在理解大自然的本质。 ”通过蒂迈欧斯之口，柏拉图陈述了自己的万有引力理论，其中的核心角色是几何学。柏拉图尤其着迷于一组几何形体，这组特别的多面体也从此被称为“柏拉图立体”。这些多面体的各面是全等的正多边形，例如正四面体的四个面是全等的正三角形；正六面体（俗称的正方体）是六个全等的正方形；正八面体是八个正三角形；正十二面体是正五边形；正二十面体则又是由二十个正三角形构成。柏拉图并不是这些以他为名的立体的发明者，事实上没有人确实知道发明者是谁。不过一般相信是柏拉图的当代学者泰阿泰德证明了这五种“正多面体” 的存在，并且就只有五种。欧几里得在《原本》一书中，为这些几何形体给出详细的数学描述。柏拉图立体有许多迷人的性质。检视任一种正多面体可以发现，与每一顶点（尖角的点）相邻的多边形数目都一样多；每个多边形的各角都一样大；可以找到一个圆球通过所有的顶点（一般多面体并没有这个性质）；而且，顶点的数目加面的数目等于边的数目加2。柏拉图赋予这些立体形而上学的意义，这也是他的名字与这些立体永远牵连的原因。事实上，根据《蒂迈欧斯篇》的内容细节，正多面体是柏拉图宇宙论的根本要素。在他宏伟的万物架构里，宇宙有四种基本元素：土、气、火、水。如果检视这些元素的微小细节，就会发现它们是由微小的柏拉图立体构成的：“土”由小正方体构成；“气”由正八面体构成；“火”是正四面体；“水”是正二十面体。关于正十二面体，在《蒂迈欧斯篇》中柏拉图写道：“还剩下一种构造，第五种元素，上帝用于整个宇宙，编织各种物象于其上。 ”受益于两千多年来的科学发展，现在看来柏拉图的猜想当然很可疑。虽然，今日我们对于宇宙的基本构造元素并没有绝对一致的结论，zui后被证明为正确的，或许是轻子与夸克，也许是理论上的次夸克粒子“先子”，又或者是还在理论阶段却更微小的“弦”，不过我们很确定，并不是把土、气、火、水编织在巨大的正十二面体上而已。我们也不相信，仅仅由柏拉图立体的形状就能决定这些基本元素的性质。话说回来，柏拉图从未宣称他完成了大自然的确定理论，他认为《蒂迈欧斯篇》只是“可能的解释”，是当时所能得到的zuijia见解，并且承认他之后的学者，尽可以去改良他的理论，甚至是大幅修改。就像蒂迈欧斯在他的对话中说的：“如果有人测试我的宣告，发现并非事实，我们将恭贺他获得荣耀。 ”柏拉图的想法无疑有许多错误，但从宽广的角度审视他的思想，柏拉图显然也有正确的地方。这位卓绝的哲学家在承认他可能犯错，但以他的观念为本的理论却可能成真时，展露了或许是zuigao的智慧。举例来说，正多面体具有高度对称性，正十二面体和正二十面体有60种不改变其呈现的旋转方式（60恰巧是其面、体边数的两倍的事实，并非偶然）。当柏拉图以这些形体作为宇宙论的基础时，他正确地指出了：任何企图描述大自然的可行理论中，对称性必须是它的核心性质。如果想要构筑万有理论，统一所有的作用力，而且所有构成要素只需遵守一两组法则，我们就必须发现潜藏其中的对称性，因为这是足以生发万物、以简驭繁的法则。显然地，这些形体的对称性质直接源自其几何形状。这是柏拉图的第二个重要贡献：除了理解数学是测度宇宙的关键之外，他提出了今日所谓物理几何化的思考理路，就像爱因斯坦所促成的大飞跃一样。在伟大的前科学时代，柏拉图就指出大自然的元素与其性质，还有作用其上的力，可能都可归源于某个潜藏于幕后的几何结构，它主导了这一切。换句话说，我们所见的世界，只是这个不可见几何形体的反映罢了。这个观念深得我心，也和我zui知名的数学证明紧密相关（对于曾听说过我名字的人而言）。虽然有些人可能觉得这太牵强，只是大张旗鼓为几何宣传罢了，但是，这个想法或有真意，各位不妨拭目以待，静心阅读下去。名人推荐本书引ling读者探索一个奇怪又奇妙的可能性：我们看到的三维空间可能不是宇宙中唯yi的几个维度。由数学大师为我们从头细说，深度讲解这个近代理论物理学zui令人兴奋、争论缤纷的发展。──格林 (哥伦比亚大学物理教授，《宇宙的琴弦》等畅销书作者)爱因斯坦的想像：物理定律从空间的形狀涌现出来。弦理论的更高维度将爱因斯坦的概念往前拓展，不仅改变了近代物理，也改变了数学的形貌，而丘成桐正是身处于这些发展的中心。在这本雄心十足的书中，丘成桐敘述了他在数学世界的经验、弦理论和数学结合、尝试了解空间的努力。──波钦斯基 (加州大学圣塔芭芭拉校区物理教授)《大宇之形》风格独特：在描述过去四十年几何分析和弦理论的发展，以及指出未来的方向之外，同时也是本半自传。这本书让我们得以了解近代zui重要、zui有影响力数学家之一的思维以及洞见。──多纳森 (伦敦皇家学院理论数学教授兼数学研究院院长)一般读者在《大宇之形》中会发现许多充满挑战的概念和想法；学者则在了解丘成桐的成长过程和研究工作时，会觉得兴趣盎然。──威滕(普林斯顿高研究院教授)这是弦理论的数学如何被发现的第yi手报道。菲尔茨奖得主丘成桐和科普高手纳迪斯联手，让我们见识到位于宇宙中心的深层次的几何。──史特格茲 (《纽约时报》专栏作家，康奈尔大学数学系教授)丘成桐和纳迪斯的这本不寻常的书，带给爱好者关于数学中zui美丽和zui重要的神秘内部世界的出色一瞥。——科茨（剑桥大学，赛迪纯粹数学教授）《大宇之形》把读者带上了探访现代几何与物理学的美丽领域，以及当代做出贡献的人物的奇妙旅程，我极力推荐给富有求知欲的读者。——格罗斯(诺贝尔物理学奖获得者，格鲁克理论物理教授)