本教材力图以高等数学中的微积分思想和方法作为引导，使学生能通过对本教材学习牢固掌握微积分的基本内容、方法及其概念，在推理、论证、演算等诸能力方面有所提高。同时学生能从教材中学到一些必要的微积分知识和得到一定的数学训练。本书通过以问题提出为导向，引导学生直观领会书中数学知识和概念，进而学会把微积分的思想和方法，把辩证法应用于解决或理解所遇到的现实问题。例如：微积分告诉人们变与不变是相对的，其实也可类比到对“危机”的理解，在一定条件下，危中潜在机会，同样机会中存在着某些风险。通过学习微积分提高人们正确应用辩证法的思想思考和解决所面临的问题提供有力的思想武器和技术支持。  

邬冬华，上海大学教授。上海大学理学博士学位，南京大学数学系博士后。2005年获宝钢全国*秀教师奖，2006年度获上海大学教学名师奖。1986年与人合作出版《初等数学八讲》，1987年出版《黎曼猜想》一书，该书获得中国首届教育图书一等奖。陆续主编出版了大学本科的《高等数学教程》、《文科高等数学》、成人教育《高等数学》、高职高专《工科数学》等等教材8部。获得上海大学教学成果特等奖一项，上海市教学成果二等奖一项。  
唐一鸣，楼烨，虞红斌，上海大学教师。  

 
第一章 函数及其基本性质  

　　第一节预备知识  

　　*二节函数  

　　第三节函数的几种特性  

　　第四节反函数和复合函数  

　　第五节初等函数  

　　第六节函数关系中的数学建模  



*二章 极限与连续  

　　第一节数列的极限  

　　*二节函数的极限  

　　第三节无穷小量与无穷大量  

　　第四节极限的运算法则  

　　第五节极限存在准则与两个重要极限  

　　第六节函数的连续性与间断点  



第三章 导数与微分  

　　第一节导数的概念  

　　*二节导数  

　　第三节导数的基本公式与运算法则  

　　第四节高阶导数  

　　第五节微分  



第四章 微分中值定理及导数的应用  

　　第一节中值定理  

　　*二节未定式的定值法——洛必达法则  

　　第三节函数的单调性  

　　第四节曲线的凹向与拐点  

第五节函数的极值和*值  

　　第六节导数在经济学中的应用  

第七节函数图形的作法  

第八节建模和*优化  



第五章 不定积分  

　　第一节不定积分的概念  

　　*二节基本积分公式  

　　第三节不定积分的性质  

　　第四节换元积分法  

　　第五节分部积分法  



第六章 定积分  

　　第一节定积分的概念  

　　*二节定积分的性质  

　　第三节定积分与原函数的联系  

　　第四节定积分的换元积分法  

　　第五节定积分的分部积分法  

　　第六节*广义积分  

第七节定积分在几何中的应用  

第八节定积分在经济学中的应用  



第七章 无穷级数  

　　第一节无穷级数的基本概念和性质  

　　*二节正项级数  

　　第三节交错项级数与任意项级数  

　　第四节幂级数  

　　第五节函数展开为幂级数  

　　第六节傅立叶级数  



第八章 微分方程  

　　第一节微分方程的例子  

　　*二节微分方程的基本概念  

　　第三节一阶微分方程  

　　第四节可降阶的高阶微分方程  

　　第五节二阶常系数齐次线性微分方程  

　　第六节二阶常系数非齐次线性微分方程  

　　第七节数学建模——微分方程的应用举例  



第九章 空间解析几何  

　　第一节空间中的笛卡尔（直角）坐标向量  

　　*二节空间向量的数量积、向量积、混合积  

　　第三节空间中的直线和平面  

　　第四节柱面和二次曲面  



第十章 多元函数微分学  

　　第一节多元函数的基本概念  

　　*二节偏导数  

　　第三节全微分  

　　第四节多元复合函数的求导法则  

　　第五节隐函数的求导公式  

　　第六节方向导数、梯度  

　　第七节多元微分学的几何应用  

　　第八节*优化及其模型  



第十一章 重积分  

　　第一节二重积分的定义与性质  

　　*二节二重积分的计算法  

　　第三节三重积分  

第十二章 曲线积分与曲面积分  

　　第一节对弧长的曲线积分（第一类曲线积分）  

　　*二节对坐标的曲线积分（*二类曲线积分）  

　　第三节格林公式及其应用  

　　第四节关于面积的曲面积分（第一类曲面积分）  

　　第五节关于坐标的曲面积分（*二类曲面积分）  

　　第六节高斯公式与散度  

　　第七节斯托克斯公式与旋度  

微积分是关于运动和变化的数学，哪里有运动与变化，哪里用到的数学必定就是微积分.微积分的诞生初期是这样，现-在仍然还是这样.  
微积分首先是为了满足16、17世纪科学家对数学方面的需求，本质上说是为满足力学发展的需要而发明的.微分学所处理的是计算变化的问题，它使人们能够定义曲线的斜率，计算运动物体的速度和加速度，求得炮弹能达到其*大射程的发射角，预测何时行星靠得*近或离得*远.积分学所处理的是从函数变化率的信息确定函数自身的问题，它使人们能够从物体现在的位置和作用在物体上力的信息计算出该物体未来的位置，计算出平面上不规则区域的面积，度量曲线的长度，以及求出任意空间物体的体积和质量.  
现在，微积分及其在数学分析方面的延伸确实是意义深远.假如早年发明微积分的物理学家、数学家和天文学家能了解到微积分能够解决如此大量的问题，以及现在用来理解我们周围的宇宙和世界的数学模型所涉及的众多领域的话，他们肯定会感到十分欣慰.  
从古到今，整个数学的发展大体可分为五个时期：（1）公元前600年以前的数学萌芽时期；（2）公元前600年到17世纪中叶的初等数学时期；（3）17世纪中叶到19世纪20年代的变量时期；（4）19世纪20年代到*二次世界大战的近代数学时期；（5）20世纪40年代以来的现代数学时期.  
每一数学时期的发展，从来就是和生产实践、科学技术的水平密切相关的.首先，生产实践和科学技术向数学提出需要解决的问题，刺激数学向生产实践和科学技术发展的方向发展.其次，生产实践和科学技术向数学提供丰富的研究资料和物质条件，计算机技术的发展推动整个数学的发展就是*典型的案例.此外，生产实践和科学技术为检验数学结论的正确性提供了真理性的标准.因此数学的发生和发展归根到底是由生产实践决定的.同时数学发展到一定阶段，对于生产实践具有一定的相对独立性.  
本章将在复习中学教材中有关函数内容的基础上，进一步研究函数的性质，分析初等函数的结构.  
第一节预备知识  
一、集合  
“集合”是现代数学中的一个重要的基本概念.集合是指具有某种特定性质的事物的全体.组成这一集合的事物称为该集合的元素.  
例1所有皮制火炬牌篮球构成一个集合，那么每一只皮制的且是火炬牌的篮球都是该集合的元素.  
例2所有正整数的全体构成一个集合，那么每一个正整数都是该集合的元素.  
通常，我们用英文大写字母如A，B，X，Y等表示集合，用英文小写字母如a，b，x，y等表示集合中的元素.如果a为集合A中的元素，则记作a∈A，读作a属于A或a在A中；如果a不是集合A中的元素，则记为aA，读作a不属于A或a不在A中.  
如果集合中所包含的元素的个数只有有限多个，则称这种集合为有限集.如果集合中所包含的元素的个数有无限多个，则称这种集合为无限集.不包含任何元素的集合称为空集，记为Φ.