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书名：古算诗词题今解
定价：48.0
ISBN：9787030556134
作者：徐品方
版次：1
出版时间：2018-02
内容提要：
古算诗词题是我国珍贵的文化遗产。我国古算家文理兼优，把博大精深的古算名题和算法推理编成耐人寻味、朗朗上口的诗词或歌谣，使抽象难懂的数学题形象生动、易于理解和记诵，同时激发人们学习数学的兴趣。本书精选出古代数学中的约200首中外诗词题进行注释，译为白话文，并且重点给出古今240多种不同解法，有的还补充出原著省略的算理。本书按主要解题的方法为序编排诗词题，方便读者查阅、使用。
目录：
目录
丛书修订版前言
第*版总序
前言
01 四则运算 1
1.1 排鱼求数 1
1.2 孝女归家（西江月） 1
1.3 粒米求程 3
1.4 经商纳税 4
1.5 巧对对联 5
1.6 轮流骑马 5
1.7 经商本钱（水仙子） 7
程大位简介 8
1.8 计算利息 10
1.9 唐僧取经 11
1.10 铺金问积 11
1.11 官兵分布 12
1.12 苏武流放 l3
1.13 推车问里 14
1.14 船载油盐 15
两个数学世家 l5
1.15 两求斤歌 17
1.16 买米运费（西江月） 18
1.17 幸福少女（印度） 19
婆什迦罗与女儿 20
1.18 寿星几岁 20
1.19 巧妙分金（西江月） 21
1.20 含金几成 22
1.21 银里加铜 22
1.22 鸡兔同笼 23
1.23 群羊逐草（凤栖梧） 25
1.24 僧分馒头 26
1.25 男女捉兔（鹧鸪天，又名思佳客） 26
1.26 增钱剥浅 27
1.27 甲追及乙（西江月） 28
1.28 将军追校（鹧鸪天，又名思佳客） 29
1.29 制笔用料 30
1.30 绩麻分布 31
1.31 纺织分配（西江月） 33
1.32 知碗求僧 34
1.33 河滨洗碗 35
1.34 勤奋读书 37
1.35 书生分卷 38
1.36 浮屠增级 39
1.37 盈不足术 4l
1.38 隔墙分银 43
1.39 客房有几 44
1.40 哑子买肉 45
1.41 隔墙分绫 46
1.42 牧童偷瓜（西江月） 46
1.43 牧童分瓜（浪淘沙） 47
1.44 牧童分杏 47
1.45 粮长奖工 48
1.46 牧童游戏 48
1.47 鳖龟有几（鹧鸪天，又名思佳客） 49
1.48 妙算羊数（西江月） 49
1.49 依等算钞 50
1.50 计算赔偿（鹧鸪天，又名思佳客） 51
1.51 粮食互换（梅气清） 52
附：连比定义 53
1.52 和面用油（西江月） 54
1.53 制器工钱 54
1.54 竿上安箍 55
1.55 五官分金 55
1.56 四商分银 56
1.57 春日沽酒 56
1.58 携酒春游 58
1.59 李白沽酒 60
1.60 沽酒探亲 61
1.61 四客分丝 62
1.62 一年口粮 62
附：复比概念 63
1.63 打工报酬 63
1.64 孙子定理 64
1.65 神奇妙算 66
1.66 红灯几盏（水仙子） 68
1.67 银元几何 69
1.68 求一之术 69
附：秦九韶 70
1.69 妙题妙解 71
1.70 巧算遗产（英国） 71
1.71 行程减等 72
1.72 赔偿青苗 73
02 一元一次方程 75
2.1 勤奋读书 75
2.2 春日沽酒 75
2.3 携酒春游 76
2.4 沽酒探亲 77
2.5 沽酒待客（西江月） 78
2.6 好酒次酒 79
朱世杰简介 80
2.7 李白沽酒 81
2.8 绩麻分布 81
2.9 解方程歌（阿拉伯） 82
方程简史 83
2.10 群羊逐草（凤栖梧） 84
2.11 纺织分配（西江月） 84
2.12 利滚利债 85
2.13 鸡兔同笼 86
2.14 书生分卷 87
2.15 按孝分绵 87
2.16 百花馨香（印度） 89
2.17 碑文之谜（希腊） 90
2.18 行程减等 91
2.19 知碗求僧 92
2.20 爱神哭泣（希腊） 93
2.21 绳索量竿 94
2.22 河滨洗碗 95
2.23 喷水铜像（希腊） 95
2.24 计算赔偿（鹧鸪天，又名思佳客） 96
古算特点与研究原则 97
2.25 五官分金 98
2.26 隔墙分银 99
2.27 牧童偷瓜（西江月） 99
2.28 客房有几 100
2.29 牧童游戏 100
2.30 隔墙分绫 101
2.31 牧童分瓜（浪淘沙） 101
2.32 哑子买肉 102
2.33 牧童分杏 102
2.34 粮长奖工 103
2.35 浮屠增级 103
吴敬 104
2.36 二果问价 104
2.37 均舟载盐 105
2.38 绢布几许 106
数学的作用 106
2.39 鸡鸭若干 107
2.40 巧算笔墨（西江月） 108
2.41 和尚算家 109
03 二元一次方程组 111
3.1 甲乙沽酒（西江月） 111
3.2 好酒次酒 111
3.3 钏钗重量（西江月） 112
3.4 鳖龟有几（鹧鸪天，又名思佳客） 113
3.5 哪吒夜叉 114
3.6 僧分馒头 114
3.7 妙算羊数（西江月） 115
3.8 画地计算（西江月） 116
3.9 均舟载盐 117
3.10 隔墙分银 117
3.11 牧童分瓜（浪淘沙） 118
3.12 客房有几 119
3.13 牧童分杏 119
3.14 巧算笔墨（西江月） 120
3.15 官兵分布 120
3.16 二果问价 121
算术与代数的区别 121
3.17 绳索量竿 122
3.18 绢布几许 122
3.19 鸡兔同笼 123
3.20 鸡鸭若干 123
3.21 长宽求积 124
04 元二次方程 126
4.1 船缸均载 126
4.2 船运税粮 126
4.3 猴子蹦跳（印度） 127
4.4 买椽几许 128
4.5 蜜蜂飞舞（印度） 129
4.6 求田长宽 130
4.7 求长阔差 130
4.8 圆中求方（西江月） 131
李冶的奇闻轶事 132
4.9 方形圆径（西江月） 133
4.10 铺砖重量 134
罗士琳，名、字、号 136
4.11 田中有竹 136
电脑证明梦想成真 137
05 无理方程 138
5.1 蜜蜂飞舞（印度） 138
婆什迦罗与无理数 139
5.2 激烈战斗（印度） 139
数学与古代战争 140
5.3 反演方法（印度） 140
反演法 142
06 数列问题 143
6.1 按孝分绵 143
6.2 九儿年龄 144
6.3 五官分金 144
6.4 浮屠增级 145
6.5 勤奋读书 146
6.6 诸葛统兵 146
古算诗词题探源 147
6.7 古怪谜题（美国） 147
谜题探源 148
6.8 行程减等 149
6.9 出门望堤 150
6.10 本利几何 151
6.11 赔偿青苗 152
6.12 竹筒盛米 152
6.13 依等算钞 154
6.14 蚂蚁爬竹 155
07 勾股定理 157
7.1 争荡秋千（西江月） 157
几何简史与译名 158
7.2 秋千跳起（西江月） 159
7.3 戏放风筝（西江月） 160
7.4 钓鱼乐趣 161
7.5 葭蒲多长（西江月） 162
7.6 蒲长水深（西江月） 163
薪尽火传的词题 164
7.7 出泥不染（印度） 161
7.8 门厅高低（西江月） 166
7.9 系马问索（西江月） 167
7.10 白杨多高（印度） 168
7.11 折竹抵地（西江月） 169
7.12 丈量田地 170
7.13 葛藤缠木 172
7.14 圆材埋壁 172
赵州桥与勾股 176
7.15 勾股容圆 176
7.16 勾股容方 178
08 面积问题 180
8.1 直田求积 180
8.2 坡田修平（西江月） 180
8.3 方斜种粮（凤栖梧） 181
8.4 三斜求积 182
等价的海伦公式 184
8.5 和尚算家 185
8.6 方内圆径（西江月） 186
8.7 系羊问索 187
8.8 圆环求周 187
8.9 环田求周（凤栖梧） 189
数学与诗词 190
8.10 古坟占地（双捣练） 191
8.11 量田方法 192
割补法 193
8.12 平方带纵 193
8.13 河穿圆田（西江月） 195
8.14 梯形截积 196
09 体积问题 200
9.1 方圆仓窖 200
面、体积公式起源 201
9.2 圆锥仓窖 202
9.3 台体仓窖 204
9.4 长城墙积 206
9.5 修渠雇工 207
9.6 *早公式（印度） 208
9.7 金球重量 209
古代球积公式 210
9.8 金球直径（驻马听） 212
科学、技术和创新问题 213
10 作图与测量 216
10.1 平分月饼 216
限制尺规之因 217
10.2 用矩之法 218
测量家商高、伏羲 219
10.3 日影测量 221
10.4 测量塔高 222
10.5 方城边长 224
10.6 编造幻方 225
幻方简史 226
11 不定方程 230
11.1 神奇妙算 230
11.2 红灯几盏（水仙子） 233
11.3 银元几何 234
11.4 求一之术 235
11.5 千钱百鸡 236
百鸡问题四海扬 238
附录 清朝“百钱买百牛”问题 240
11.6 妙题妙解 242
12 多元多次方程（组） 245
12.1 田中有竹 245
12.2 垛积问题 246
12.3 直田长平 247
12.4 求勾股弦 248
12.5 羊寄宿费 250
12.6 分牛问题（希腊） 251
难题与阿基米德 254
13 数学诗话 256
13.1 自然数诗 256
13.2 分数史趣 259
13.3 善待几何 260
13.4 学好数学 263
参考文献 267
后记 268
在线试读：
01 四则运算
1.1 排鱼求数
三寸鱼儿九里①沟，口尾相衔直到头。
试问鱼儿多少数，请君对面说因由。
——梅瑴成②《增删算法统宗》（1761）
[注释]①关于里、步的大小随朝代不同。周代1步=8尺。秦汉至南北朝1步=6尺，1里=300步。如《汉书？食货志》载：1里=300步，1步=6尺，简称秦汉制。约从隋唐改为1里=360步，1步=5尺。这是旧制以营造尺，五尺为步。②梅瑴成（1681—1763）清代数学家，“瑴”音同决，jué。
[译文]3寸长的一群小鱼儿，它们口尾相接在河里游玩，从头到尾排成了9里长。试问这群鱼儿有多少条？请说出你推算的理由。
[解法]（古算家解法）因为1里=360步，所以9里为
9×360=3240（步）
又因为1步=5尺=50寸
所以3240×50=162000（寸）
所以162000÷3=54000（条）
答：这群活泼可爱的小鱼儿共有5.4万条。
[说明]诗言志，歌咏言，数学诗题很迷人。这首朗朗上口的数学诗歌题仿佛把我们带到了孩提时代观赏游鱼的趣景。
1.2 孝女归家（西江月）①
张家三女孝顺，归家频望勤劳。
东村大女隔三朝，五日西村女到。
小女南乡路远，依然七日一遭。
何朝齐至饮香醪②，请问英贤回报。
——程大位《算法统宗》（1592）
[注释]①词是我国文学史上一种独特的文学形式，*早是配合隋唐“新声”（燕乐）而创作的歌词，它本是为唱而作，因此像歌曲一样有调子。词的调子叫作词调或词牌，是规定一首词的音乐腔调，表达作者的感情即“声情”的，词到了晚唐五代才逐渐脱离按曲拍谱词的约束，成为一种长短句的诗歌体裁，以格律诗的形式流传至今。词到了宋代发展到了鼎盛，上至帝王卿相，下至倡优歌伎，莫不作“新声”。故唐诗、宋词和元曲成为互相辉映的古代文苑中的三株奇葩。仅从现存的词集来看，词人已达200位以上，词牌就有800多个，如浪淘沙、满江红、水调歌头、菩萨蛮、西江月、水仙子等。本书至少选介了47个词牌，以西江月为*多。②“醪”，音同劳，láo，是汁滓混合的好酒，似今日醪糟，即由糯米酿成的糯米酒，又叫江米酒。
[译文]张家有三个已经出嫁的孝顺女儿，经常回娘家看望父母。住在东村的大女儿每隔3日回家一次，住在西村的二女儿每隔5日回家一次，就是住在南乡较远的小女儿也要每隔7日回家一趟。试问她们至少要多少日才能相会在一起，共饮气香味醇的好酒?请高明能算者告诉我。
[解法]（古算家解法）根据题意，因她们要同时相会，用今式表示，得
3×5×7=105（日）
答：三个女儿至少要105天才能相会在一起。
注：解法类似的词题，*早的数学家吴敬（约15世纪）在其著作《九章算法比类大全》（1450）一书中编了一首词题：
数珠一串（西江月）
今有数珠一串，数来仔细分明。
三枚无剩五无零，七个约之恰尽。
欲问共该多少，推穷妙法门庭。
知公能算惯纵横，此法不难易懂。
[译文]今有一串数珠，用三数（shǔ）、五数（shǔ）的数（shù）去数（shǔ）没有剩余，或用7去约恰好约尽。欲问这串数珠有多少，推究它的奇妙算法，对于计算自如的能人来说，此法不难易懂。
[解法]要想知道这串数珠至少有多少枚，必须同时满足数珠或相约的三个条件，故其解法就是求3，5，7的*小公倍数，即
3×5×7=105(枚)
答：这串数珠至少有105枚。
吴敬的生平，见后面2.35题后。
[说明]本题实质上是求她们同时归家的*小公倍数。关于程大位的生平简介，将在后文阐述。
这首词告诉我们，孝顺父母，赡养和敬重父母，是子女应尽的义务。子女要随时主动回家探望，给父母心灵上的安慰，保持情感的畅通。这种情感无法用语言表达、用画笔描绘，也是无法用美玉雕塑、用摄像再现的，只能用心去感受和体会。
关于“孝”“敬”“忠”问题，详见后面2.15题后“说明”。
1.3 粒米求程
庐山①山高②八十里③，山峰峰上一黍米④。
黍米一转只三分⑤，几转转到山脚底？
——梅瑴成《增删算法统宗》
[注释]①庐山，位于江西省北部。古代地理著作《禹贡》称之为敷浅原，《山海经》则名其为南障山。相传殷周之际，有匡俗者，结庐于山上学道求仙，后人称所居为“神仙之庐”，故名庐山，亦称匡山。庐山自古为我国风景游览胜地之一。②这里“山高”不是指庐山的海拔，而是指自山脚到山顶道路里程。③我国古代尺寸随时代发展由小变大。如夏禹时代1尺为16~18厘米，周代1尺约为19.91厘米，秦汉1尺为23~24厘米，隋唐1尺为29~31厘米，宋元明清1尺为31~32厘米，今天1尺约为33.3厘米。今若以1尺约为30厘米和本书常用1里=360步，1步=5尺估算，庐山山高80里≈80×360×5×0.3米=43200米，这是不可能的。或以夏朝1尺约为16厘米估算，庐山高也为23040米，这也不可能，因为世界*高的珠穆朗玛峰才8844.43米，所以“山高八十里”不是海拔。事实上，今测得庐山主峰大汉阳峰海拔才1474米。④“黍米”即黍子，去皮后叫黄米，比小米稍大，煮熟后有黏性。碾成的米叫黏黄米。⑤古代1尺=10寸，1寸=10分。
[译文]庐山山顶到山脚的路程为80里，一粒（黍）米从山顶沿着此路程滚下山，它滚一转之长为3分。试问滚多少转才能滚到山脚？
[解法]（古算家解法）因为1里=360步，1步=5尺，1尺=10寸，1寸=10分，所以80里为
80×360×5×10×10=14400000（分）
14400000÷3=4800000（转）
答：一粒黍米从山顶滚到山脚共转480万转。
[说明]美丽的庐山经冰川锉磨，奇峰险崖更增峥嵘峻峭之姿。因云气所钟，层峦叠嶂，显出变幻莫测之态。激流涌湍，劈出龙潭飞瀑；茂林修竹，生成幽雅妙境。湖光山色，风景如画；幽谷深涧，藏奇纳胜。对庐山的千姿万态，历代诗人留下不少千古绝唱，如诗仙李白赞之为“俊伟诡特，鲜有能过之者”。北宋苏轼《题西林壁》留下了“横看成岭侧成峰，远近高低各不同。不识庐山真面目，只缘身在此山中”。因此，庐山风光，更使诗题增光添彩。
1.4 经商纳税
昨日街头干事毕，闲来税局门前立。
见一客持三百布，每疋必须税二尺。
贴回铜钱六百文①，收布一十五半疋。
不知每疋价几何，只言每疋长四十②。
——梅瑴成《增删算法统宗》
[注释]①古代1贯=1000文。②这里1疋=40尺。
[译文]昨天我到街上办完事，悠闲地走到税局的门前停下来。看见一客商持300疋布前来纳税，按规定每疋布必须上税2尺。税局收去15疋半布作税款。因多收了布，税局补给他铜钱600文。已知每疋布长40尺，请问每疋布价是多少？
[解法]（古算家解法）根据古算书解法（因原解法的术文只写出以下数字的乘除法），用今式说明其解法理由因古人书上的解法未写出理由，我们“用今式说明其理由”补出。后同。。
应纳税300×2=600（尺）
税局实收布15.5×40=620（尺）
税局多收布620-600=20（尺）
每尺布价600÷20=30（文）
每疋布价30×40=1200（文）
答：每疋布价1200文钱，即一贯二百文。
[说明]经商做生意，向政府合理纳税，是天经地义的，因为赋税是维持国家生存、兴办民间百事的主要财力来源。
1.5 巧对对联
花甲①重逢，增加三七岁月②。
古稀③双庆，更多一度春秋。
——清代乾隆与纪晓岚对联句
这副对联还有另一种记载：
花甲重开，外加三七岁月。
古稀双庆，内多一个春秋。
[注释]①“花甲”，古代指60岁。②三七岁月即三个7岁为21岁。③唐代大诗人杜甫在《曲江》诗中说：“酒债寻常行处有，人生七十古来稀。”后人以“古稀”代称70岁。
[译文]上联：度过了两个花甲外加3乘7岁；下联：庆祝了两次古稀又过了1年。问老人共多少岁？
[解法]此对联实际上是一位141岁老人年龄的两种算法。根据译文，分别求得上、下联所云岁数
60×2+21=141（岁）
70×2+1=141（岁）
[说明]这副“算题”对联，是清朝乾隆五十年（1785），皇帝在乾清宫为千叟设宴，赴宴者3900人，内有一叟141岁，乾隆高兴地与才子纪晓岚对句。纪晓岚是河北献县人，经常给乾隆讲书、侍读，酒宴、闲玩之时常与皇帝吟诗对句为戏。他们二人对应如流，美句佳联传遍城乡，流芳后世。这里，乾隆先出上联，要求纪晓岚对下联，他略思片刻，唱对出了下联。
这副妙联，上下相应，十分恰当：古稀对花甲，双庆对重逢（重开），更多（内多）对外加；并且，它巧妙、隐晦地镶嵌了*长者之岁数。
对联在我国已有悠久的历史，目前我们所见到*早的一副春联：“新年纳余庆；嘉节号长春”，是后蜀之主孟昶于宋太祖乾德二年（964）除夕题于卧室门上的。到了宋代，对联的应用范围逐渐扩大，社会上的酬唱、亲朋间的庆贺和吊唁都使用它。明清时期，对联的应用范围又进一步扩大到名胜古迹、山水园林、茶馆酒肆、歌楼戏台、陵墓道碑、寺庵庙祠，可以说，达到了鼎盛的时期。
1.6 轮流骑马
今有程途二千七①，十八人骑马七匹。
言定十里轮转骑，各人骑行怎得知。
——梅瑴成《增删算法统宗》
[注释]①“二千七”即2700里。
[译文]今有18人骑7匹马，要走全程2700里的路，大家约定，每人骑一匹马，骑10里以后就轮流让给别人骑。试问骑马、步行各走多少里？
[解法一]（古算家解法）先录出古算书原解法的术文：“置程途二千七百里为实，以一十八人为法除之，得每人一百五十里。以马七匹乘之，得骑马一千零五十里，减程途总数，余得人行一千六百五十里。”
根据上面古算书解法，用今式说明其解法理由。因全程2700里，18人骑7匹马，每人骑一匹马行走里数为
2700÷18=150（里）
7匹马共行走
150×7=1050（里）
所以，人步行里数
2700-1050=1650（里）
答：人步行1650里，人骑马行走1050里。
[解法二]（算术法之一）根据题意，每人骑马718匹，所以每人骑马的里数为全程的718，即
2700×7/18=1050（里）
人步行的里数为
2700-1050=1650（里）
答：骑马行走1050里，人步行1650里。
[解法三]（算术法之二）根据题意，一匹马行走的里数为
2700/18=150（里）
每人骑10里后轮换，则18人骑马
2700÷10=270（次）
每人骑马次数为
270/18=15（次）
每人骑马所行里数
10×15=150（里）
定价：48.0
ISBN：9787030556134
作者：徐品方
版次：1
出版时间：2018-02
内容提要：
古算诗词题是我国珍贵的文化遗产。我国古算家文理兼优，把博大精深的古算名题和算法推理编成耐人寻味、朗朗上口的诗词或歌谣，使抽象难懂的数学题形象生动、易于理解和记诵，同时激发人们学习数学的兴趣。本书精选出古代数学中的约200首中外诗词题进行注释，译为白话文，并且重点给出古今240多种不同解法，有的还补充出原著省略的算理。本书按主要解题的方法为序编排诗词题，方便读者查阅、使用。
目录：
目录
丛书修订版前言
第*版总序
前言
01 四则运算 1
1.1 排鱼求数 1
1.2 孝女归家（西江月） 1
1.3 粒米求程 3
1.4 经商纳税 4
1.5 巧对对联 5
1.6 轮流骑马 5
1.7 经商本钱（水仙子） 7
程大位简介 8
1.8 计算利息 10
1.9 唐僧取经 11
1.10 铺金问积 11
1.11 官兵分布 12
1.12 苏武流放 l3
1.13 推车问里 14
1.14 船载油盐 15
两个数学世家 l5
1.15 两求斤歌 17
1.16 买米运费（西江月） 18
1.17 幸福少女（印度） 19
婆什迦罗与女儿 20
1.18 寿星几岁 20
1.19 巧妙分金（西江月） 21
1.20 含金几成 22
1.21 银里加铜 22
1.22 鸡兔同笼 23
1.23 群羊逐草（凤栖梧） 25
1.24 僧分馒头 26
1.25 男女捉兔（鹧鸪天，又名思佳客） 26
1.26 增钱剥浅 27
1.27 甲追及乙（西江月） 28
1.28 将军追校（鹧鸪天，又名思佳客） 29
1.29 制笔用料 30
1.30 绩麻分布 31
1.31 纺织分配（西江月） 33
1.32 知碗求僧 34
1.33 河滨洗碗 35
1.34 勤奋读书 37
1.35 书生分卷 38
1.36 浮屠增级 39
1.37 盈不足术 4l
1.38 隔墙分银 43
1.39 客房有几 44
1.40 哑子买肉 45
1.41 隔墙分绫 46
1.42 牧童偷瓜（西江月） 46
1.43 牧童分瓜（浪淘沙） 47
1.44 牧童分杏 47
1.45 粮长奖工 48
1.46 牧童游戏 48
1.47 鳖龟有几（鹧鸪天，又名思佳客） 49
1.48 妙算羊数（西江月） 49
1.49 依等算钞 50
1.50 计算赔偿（鹧鸪天，又名思佳客） 51
1.51 粮食互换（梅气清） 52
附：连比定义 53
1.52 和面用油（西江月） 54
1.53 制器工钱 54
1.54 竿上安箍 55
1.55 五官分金 55
1.56 四商分银 56
1.57 春日沽酒 56
1.58 携酒春游 58
1.59 李白沽酒 60
1.60 沽酒探亲 61
1.61 四客分丝 62
1.62 一年口粮 62
附：复比概念 63
1.63 打工报酬 63
1.64 孙子定理 64
1.65 神奇妙算 66
1.66 红灯几盏（水仙子） 68
1.67 银元几何 69
1.68 求一之术 69
附：秦九韶 70
1.69 妙题妙解 71
1.70 巧算遗产（英国） 71
1.71 行程减等 72
1.72 赔偿青苗 73
02 一元一次方程 75
2.1 勤奋读书 75
2.2 春日沽酒 75
2.3 携酒春游 76
2.4 沽酒探亲 77
2.5 沽酒待客（西江月） 78
2.6 好酒次酒 79
朱世杰简介 80
2.7 李白沽酒 81
2.8 绩麻分布 81
2.9 解方程歌（阿拉伯） 82
方程简史 83
2.10 群羊逐草（凤栖梧） 84
2.11 纺织分配（西江月） 84
2.12 利滚利债 85
2.13 鸡兔同笼 86
2.14 书生分卷 87
2.15 按孝分绵 87
2.16 百花馨香（印度） 89
2.17 碑文之谜（希腊） 90
2.18 行程减等 91
2.19 知碗求僧 92
2.20 爱神哭泣（希腊） 93
2.21 绳索量竿 94
2.22 河滨洗碗 95
2.23 喷水铜像（希腊） 95
2.24 计算赔偿（鹧鸪天，又名思佳客） 96
古算特点与研究原则 97
2.25 五官分金 98
2.26 隔墙分银 99
2.27 牧童偷瓜（西江月） 99
2.28 客房有几 100
2.29 牧童游戏 100
2.30 隔墙分绫 101
2.31 牧童分瓜（浪淘沙） 101
2.32 哑子买肉 102
2.33 牧童分杏 102
2.34 粮长奖工 103
2.35 浮屠增级 103
吴敬 104
2.36 二果问价 104
2.37 均舟载盐 105
2.38 绢布几许 106
数学的作用 106
2.39 鸡鸭若干 107
2.40 巧算笔墨（西江月） 108
2.41 和尚算家 109
03 二元一次方程组 111
3.1 甲乙沽酒（西江月） 111
3.2 好酒次酒 111
3.3 钏钗重量（西江月） 112
3.4 鳖龟有几（鹧鸪天，又名思佳客） 113
3.5 哪吒夜叉 114
3.6 僧分馒头 114
3.7 妙算羊数（西江月） 115
3.8 画地计算（西江月） 116
3.9 均舟载盐 117
3.10 隔墙分银 117
3.11 牧童分瓜（浪淘沙） 118
3.12 客房有几 119
3.13 牧童分杏 119
3.14 巧算笔墨（西江月） 120
3.15 官兵分布 120
3.16 二果问价 121
算术与代数的区别 121
3.17 绳索量竿 122
3.18 绢布几许 122
3.19 鸡兔同笼 123
3.20 鸡鸭若干 123
3.21 长宽求积 124
04 元二次方程 126
4.1 船缸均载 126
4.2 船运税粮 126
4.3 猴子蹦跳（印度） 127
4.4 买椽几许 128
4.5 蜜蜂飞舞（印度） 129
4.6 求田长宽 130
4.7 求长阔差 130
4.8 圆中求方（西江月） 131
李冶的奇闻轶事 132
4.9 方形圆径（西江月） 133
4.10 铺砖重量 134
罗士琳，名、字、号 136
4.11 田中有竹 136
电脑证明梦想成真 137
05 无理方程 138
5.1 蜜蜂飞舞（印度） 138
婆什迦罗与无理数 139
5.2 激烈战斗（印度） 139
数学与古代战争 140
5.3 反演方法（印度） 140
反演法 142
06 数列问题 143
6.1 按孝分绵 143
6.2 九儿年龄 144
6.3 五官分金 144
6.4 浮屠增级 145
6.5 勤奋读书 146
6.6 诸葛统兵 146
古算诗词题探源 147
6.7 古怪谜题（美国） 147
谜题探源 148
6.8 行程减等 149
6.9 出门望堤 150
6.10 本利几何 151
6.11 赔偿青苗 152
6.12 竹筒盛米 152
6.13 依等算钞 154
6.14 蚂蚁爬竹 155
07 勾股定理 157
7.1 争荡秋千（西江月） 157
几何简史与译名 158
7.2 秋千跳起（西江月） 159
7.3 戏放风筝（西江月） 160
7.4 钓鱼乐趣 161
7.5 葭蒲多长（西江月） 162
7.6 蒲长水深（西江月） 163
薪尽火传的词题 164
7.7 出泥不染（印度） 161
7.8 门厅高低（西江月） 166
7.9 系马问索（西江月） 167
7.10 白杨多高（印度） 168
7.11 折竹抵地（西江月） 169
7.12 丈量田地 170
7.13 葛藤缠木 172
7.14 圆材埋壁 172
赵州桥与勾股 176
7.15 勾股容圆 176
7.16 勾股容方 178
08 面积问题 180
8.1 直田求积 180
8.2 坡田修平（西江月） 180
8.3 方斜种粮（凤栖梧） 181
8.4 三斜求积 182
等价的海伦公式 184
8.5 和尚算家 185
8.6 方内圆径（西江月） 186
8.7 系羊问索 187
8.8 圆环求周 187
8.9 环田求周（凤栖梧） 189
数学与诗词 190
8.10 古坟占地（双捣练） 191
8.11 量田方法 192
割补法 193
8.12 平方带纵 193
8.13 河穿圆田（西江月） 195
8.14 梯形截积 196
09 体积问题 200
9.1 方圆仓窖 200
面、体积公式起源 201
9.2 圆锥仓窖 202
9.3 台体仓窖 204
9.4 长城墙积 206
9.5 修渠雇工 207
9.6 *早公式（印度） 208
9.7 金球重量 209
古代球积公式 210
9.8 金球直径（驻马听） 212
科学、技术和创新问题 213
10 作图与测量 216
10.1 平分月饼 216
限制尺规之因 217
10.2 用矩之法 218
测量家商高、伏羲 219
10.3 日影测量 221
10.4 测量塔高 222
10.5 方城边长 224
10.6 编造幻方 225
幻方简史 226
11 不定方程 230
11.1 神奇妙算 230
11.2 红灯几盏（水仙子） 233
11.3 银元几何 234
11.4 求一之术 235
11.5 千钱百鸡 236
百鸡问题四海扬 238
附录 清朝“百钱买百牛”问题 240
11.6 妙题妙解 242
12 多元多次方程（组） 245
12.1 田中有竹 245
12.2 垛积问题 246
12.3 直田长平 247
12.4 求勾股弦 248
12.5 羊寄宿费 250
12.6 分牛问题（希腊） 251
难题与阿基米德 254
13 数学诗话 256
13.1 自然数诗 256
13.2 分数史趣 259
13.3 善待几何 260
13.4 学好数学 263
参考文献 267
后记 268
在线试读：
01 四则运算
1.1 排鱼求数
三寸鱼儿九里①沟，口尾相衔直到头。
试问鱼儿多少数，请君对面说因由。
——梅瑴成②《增删算法统宗》（1761）
[注释]①关于里、步的大小随朝代不同。周代1步=8尺。秦汉至南北朝1步=6尺，1里=300步。如《汉书？食货志》载：1里=300步，1步=6尺，简称秦汉制。约从隋唐改为1里=360步，1步=5尺。这是旧制以营造尺，五尺为步。②梅瑴成（1681—1763）清代数学家，“瑴”音同决，jué。
[译文]3寸长的一群小鱼儿，它们口尾相接在河里游玩，从头到尾排成了9里长。试问这群鱼儿有多少条？请说出你推算的理由。
[解法]（古算家解法）因为1里=360步，所以9里为
9×360=3240（步）
又因为1步=5尺=50寸
所以3240×50=162000（寸）
所以162000÷3=54000（条）
答：这群活泼可爱的小鱼儿共有5.4万条。
[说明]诗言志，歌咏言，数学诗题很迷人。这首朗朗上口的数学诗歌题仿佛把我们带到了孩提时代观赏游鱼的趣景。
1.2 孝女归家（西江月）①
张家三女孝顺，归家频望勤劳。
东村大女隔三朝，五日西村女到。
小女南乡路远，依然七日一遭。
何朝齐至饮香醪②，请问英贤回报。
——程大位《算法统宗》（1592）
[注释]①词是我国文学史上一种独特的文学形式，*早是配合隋唐“新声”（燕乐）而创作的歌词，它本是为唱而作，因此像歌曲一样有调子。词的调子叫作词调或词牌，是规定一首词的音乐腔调，表达作者的感情即“声情”的，词到了晚唐五代才逐渐脱离按曲拍谱词的约束，成为一种长短句的诗歌体裁，以格律诗的形式流传至今。词到了宋代发展到了鼎盛，上至帝王卿相，下至倡优歌伎，莫不作“新声”。故唐诗、宋词和元曲成为互相辉映的古代文苑中的三株奇葩。仅从现存的词集来看，词人已达200位以上，词牌就有800多个，如浪淘沙、满江红、水调歌头、菩萨蛮、西江月、水仙子等。本书至少选介了47个词牌，以西江月为*多。②“醪”，音同劳，láo，是汁滓混合的好酒，似今日醪糟，即由糯米酿成的糯米酒，又叫江米酒。
[译文]张家有三个已经出嫁的孝顺女儿，经常回娘家看望父母。住在东村的大女儿每隔3日回家一次，住在西村的二女儿每隔5日回家一次，就是住在南乡较远的小女儿也要每隔7日回家一趟。试问她们至少要多少日才能相会在一起，共饮气香味醇的好酒?请高明能算者告诉我。
[解法]（古算家解法）根据题意，因她们要同时相会，用今式表示，得
3×5×7=105（日）
答：三个女儿至少要105天才能相会在一起。
注：解法类似的词题，*早的数学家吴敬（约15世纪）在其著作《九章算法比类大全》（1450）一书中编了一首词题：
数珠一串（西江月）
今有数珠一串，数来仔细分明。
三枚无剩五无零，七个约之恰尽。
欲问共该多少，推穷妙法门庭。
知公能算惯纵横，此法不难易懂。
[译文]今有一串数珠，用三数（shǔ）、五数（shǔ）的数（shù）去数（shǔ）没有剩余，或用7去约恰好约尽。欲问这串数珠有多少，推究它的奇妙算法，对于计算自如的能人来说，此法不难易懂。
[解法]要想知道这串数珠至少有多少枚，必须同时满足数珠或相约的三个条件，故其解法就是求3，5，7的*小公倍数，即
3×5×7=105(枚)
答：这串数珠至少有105枚。
吴敬的生平，见后面2.35题后。
[说明]本题实质上是求她们同时归家的*小公倍数。关于程大位的生平简介，将在后文阐述。
这首词告诉我们，孝顺父母，赡养和敬重父母，是子女应尽的义务。子女要随时主动回家探望，给父母心灵上的安慰，保持情感的畅通。这种情感无法用语言表达、用画笔描绘，也是无法用美玉雕塑、用摄像再现的，只能用心去感受和体会。
关于“孝”“敬”“忠”问题，详见后面2.15题后“说明”。
1.3 粒米求程
庐山①山高②八十里③，山峰峰上一黍米④。
黍米一转只三分⑤，几转转到山脚底？
——梅瑴成《增删算法统宗》
[注释]①庐山，位于江西省北部。古代地理著作《禹贡》称之为敷浅原，《山海经》则名其为南障山。相传殷周之际，有匡俗者，结庐于山上学道求仙，后人称所居为“神仙之庐”，故名庐山，亦称匡山。庐山自古为我国风景游览胜地之一。②这里“山高”不是指庐山的海拔，而是指自山脚到山顶道路里程。③我国古代尺寸随时代发展由小变大。如夏禹时代1尺为16~18厘米，周代1尺约为19.91厘米，秦汉1尺为23~24厘米，隋唐1尺为29~31厘米，宋元明清1尺为31~32厘米，今天1尺约为33.3厘米。今若以1尺约为30厘米和本书常用1里=360步，1步=5尺估算，庐山山高80里≈80×360×5×0.3米=43200米，这是不可能的。或以夏朝1尺约为16厘米估算，庐山高也为23040米，这也不可能，因为世界*高的珠穆朗玛峰才8844.43米，所以“山高八十里”不是海拔。事实上，今测得庐山主峰大汉阳峰海拔才1474米。④“黍米”即黍子，去皮后叫黄米，比小米稍大，煮熟后有黏性。碾成的米叫黏黄米。⑤古代1尺=10寸，1寸=10分。
[译文]庐山山顶到山脚的路程为80里，一粒（黍）米从山顶沿着此路程滚下山，它滚一转之长为3分。试问滚多少转才能滚到山脚？
[解法]（古算家解法）因为1里=360步，1步=5尺，1尺=10寸，1寸=10分，所以80里为
80×360×5×10×10=14400000（分）
14400000÷3=4800000（转）
答：一粒黍米从山顶滚到山脚共转480万转。
[说明]美丽的庐山经冰川锉磨，奇峰险崖更增峥嵘峻峭之姿。因云气所钟，层峦叠嶂，显出变幻莫测之态。激流涌湍，劈出龙潭飞瀑；茂林修竹，生成幽雅妙境。湖光山色，风景如画；幽谷深涧，藏奇纳胜。对庐山的千姿万态，历代诗人留下不少千古绝唱，如诗仙李白赞之为“俊伟诡特，鲜有能过之者”。北宋苏轼《题西林壁》留下了“横看成岭侧成峰，远近高低各不同。不识庐山真面目，只缘身在此山中”。因此，庐山风光，更使诗题增光添彩。
1.4 经商纳税
昨日街头干事毕，闲来税局门前立。
见一客持三百布，每疋必须税二尺。
贴回铜钱六百文①，收布一十五半疋。
不知每疋价几何，只言每疋长四十②。
——梅瑴成《增删算法统宗》
[注释]①古代1贯=1000文。②这里1疋=40尺。
[译文]昨天我到街上办完事，悠闲地走到税局的门前停下来。看见一客商持300疋布前来纳税，按规定每疋布必须上税2尺。税局收去15疋半布作税款。因多收了布，税局补给他铜钱600文。已知每疋布长40尺，请问每疋布价是多少？
[解法]（古算家解法）根据古算书解法（因原解法的术文只写出以下数字的乘除法），用今式说明其解法理由因古人书上的解法未写出理由，我们“用今式说明其理由”补出。后同。。
应纳税300×2=600（尺）
税局实收布15.5×40=620（尺）
税局多收布620-600=20（尺）
每尺布价600÷20=30（文）
每疋布价30×40=1200（文）
答：每疋布价1200文钱，即一贯二百文。
[说明]经商做生意，向政府合理纳税，是天经地义的，因为赋税是维持国家生存、兴办民间百事的主要财力来源。
1.5 巧对对联
花甲①重逢，增加三七岁月②。
古稀③双庆，更多一度春秋。
——清代乾隆与纪晓岚对联句
这副对联还有另一种记载：
花甲重开，外加三七岁月。
古稀双庆，内多一个春秋。
[注释]①“花甲”，古代指60岁。②三七岁月即三个7岁为21岁。③唐代大诗人杜甫在《曲江》诗中说：“酒债寻常行处有，人生七十古来稀。”后人以“古稀”代称70岁。
[译文]上联：度过了两个花甲外加3乘7岁；下联：庆祝了两次古稀又过了1年。问老人共多少岁？
[解法]此对联实际上是一位141岁老人年龄的两种算法。根据译文，分别求得上、下联所云岁数
60×2+21=141（岁）
70×2+1=141（岁）
[说明]这副“算题”对联，是清朝乾隆五十年（1785），皇帝在乾清宫为千叟设宴，赴宴者3900人，内有一叟141岁，乾隆高兴地与才子纪晓岚对句。纪晓岚是河北献县人，经常给乾隆讲书、侍读，酒宴、闲玩之时常与皇帝吟诗对句为戏。他们二人对应如流，美句佳联传遍城乡，流芳后世。这里，乾隆先出上联，要求纪晓岚对下联，他略思片刻，唱对出了下联。
这副妙联，上下相应，十分恰当：古稀对花甲，双庆对重逢（重开），更多（内多）对外加；并且，它巧妙、隐晦地镶嵌了*长者之岁数。
对联在我国已有悠久的历史，目前我们所见到*早的一副春联：“新年纳余庆；嘉节号长春”，是后蜀之主孟昶于宋太祖乾德二年（964）除夕题于卧室门上的。到了宋代，对联的应用范围逐渐扩大，社会上的酬唱、亲朋间的庆贺和吊唁都使用它。明清时期，对联的应用范围又进一步扩大到名胜古迹、山水园林、茶馆酒肆、歌楼戏台、陵墓道碑、寺庵庙祠，可以说，达到了鼎盛的时期。
1.6 轮流骑马
今有程途二千七①，十八人骑马七匹。
言定十里轮转骑，各人骑行怎得知。
——梅瑴成《增删算法统宗》
[注释]①“二千七”即2700里。
[译文]今有18人骑7匹马，要走全程2700里的路，大家约定，每人骑一匹马，骑10里以后就轮流让给别人骑。试问骑马、步行各走多少里？
[解法一]（古算家解法）先录出古算书原解法的术文：“置程途二千七百里为实，以一十八人为法除之，得每人一百五十里。以马七匹乘之，得骑马一千零五十里，减程途总数，余得人行一千六百五十里。”
根据上面古算书解法，用今式说明其解法理由。因全程2700里，18人骑7匹马，每人骑一匹马行走里数为
2700÷18=150（里）
7匹马共行走
150×7=1050（里）
所以，人步行里数
2700-1050=1650（里）
答：人步行1650里，人骑马行走1050里。
[解法二]（算术法之一）根据题意，每人骑马718匹，所以每人骑马的里数为全程的718，即
2700×7/18=1050（里）
人步行的里数为
2700-1050=1650（里）
答：骑马行走1050里，人步行1650里。
[解法三]（算术法之二）根据题意，一匹马行走的里数为
2700/18=150（里）
每人骑10里后轮换，则18人骑马
2700÷10=270（次）
每人骑马次数为
270/18=15（次）
每人骑马所行里数
10×15=150（里）