第1章 n阶行列式
行列式是线性代数中的重要概念之一，在数学的许多分支和工程技术中有着广泛的应用.本章主要介绍n阶行列式的概念、性质、计算方法以及利用行列式来求解一类特殊线性方程组的克拉默法则.
1.1n阶行列式的概念
行列式的概念起源于用消元法解线性方程组.设有二元一次方程组
用加减消元法得
当a11a22-a12a21≠0时，方程组(1.1)有*一解
为了进一步讨论方程组的解与未知量的系数和常数项之间的关系，引入下面记号:
并称之为二阶行列式，它表示数值a11a22-a12a21，即a11a12
a21a22=a11a22-a12a21.行列式中横排的叫做行，纵排的叫做列，数aij( i，j=1，2)称为行列式的元素，i为行标，j为列标.由上述定义得b1a12
若记
则方程组(1.1)的解可用二阶行列式表示为x1=D1D，x2=D2D (D≠0).对于三元一次方程组
如果满足一定条件，则其解也可通过加减消元法求出，但解的表达式较为复杂，难于看出解与系数、常数项之间的规律性联系.为寻求这种联系，下面引入三阶行列式的概念.我们称记号
为三阶行列式，它由三行三列共9个元素组成，表示数值a11a22a33+a13a21a32+a12a23a31-a13a22a31-a11a23a32-a12a21a33，(1.3)
(1.4)这种方法称为计算行列式的对角线法则.例1求下列行列式的值:(1)
cab.解(1)
若记
则容易验证，方程组(1.2)的解可表示为
引入了二阶、三阶行列式的概念之后，二元、三元线性方程组的解可以很方便地由二阶、三阶行列式表示出来.那么对于n元线性方程组a11x1+a12x2+ +a1nxn=b1，
在一定条件下它的解能否有类似的结论?这里首先要解决的问题是定义n阶行列式.为此，我们观察方程组(1.1)、(1.2)的系数与对应的二阶、三阶行列式的元素的位置关系，暂且把记号
称为n阶行列式(简记为Δ(aij))，它是由n行n列共n2个元素组成.在明确(1.6)式的意义之前，我们先来定义n阶行列式中元素aij( i，j=1，2， ，n )的余子式、代数余子式.
定义1.1.1把n阶行列式(1.6)中元素aij所在的第i行和第j列删去后留下的n-1阶行列式称为元素aij的余子式，记作Mij，即
为元素aij的代数余子式.例如，对于三阶行列式a11a12a13
第*行元素的代数余子式分别为A11=(-1)1+1a22a23
利用以上结果可将(1.4)式化简为a11a12a13
此式表明，三阶行列式的值等于它的第*行元素a11，a12，a13与所对应的代数余子式A11，A12，A13乘积的和.这与(1.4)式的定义是一致的，这种用低阶行列式定义高一阶行列式的方法具有一般意义.按照这一思想我们给出n阶行列式(1.6)的归纳法定义.定义1.1.2n阶行列式(1.6)是由n2个元素aij(i，j=1，2， ，n )所决定的一个数.当n=2时，定义a11a12
a21a22=a11a22-a12a21 .假设n-1阶行列式已经定义，则定义n阶行列式a11a12 a1n
其中A1j( j=1，2， ，n )是n阶行列式中元素a1j( j=1，2， ，n )的代数余子式.显然，对任意自然数n，由此归纳定义可求n阶行列式的值.特别地，当n=1时，行列式a11=a11，不能与数的绝对值相混淆.
例2求下列行列式的值：
这个行列式称为下三角行列式，它的特点是当i＜j时aij=0 ( i，j=1，2， ，n).
解由行列式的定义，得
D=a11A11+0A12+ +0A1n，
A11是一个n-1阶下三角行列式，由定义A11=a22a330 0
依次类推，不难求出D=a11a22 ann，
即下三角行列式等于主对角线上的诸元素的乘积.作为下三角行列式的特例，主对角行列式λ
证由行列式的定义D=(-1)1+na1n0 0a2 n-1
特别地，次对角行列式