书名：几何学
定价：75.0
ISBN：9787301357583
作者：杨翎 编著
版次：1
出版时间：2025-10

内容提要：
本书为教育部数学101计划中几何学课程教材。本书主要介绍公理化几何和解析几何的内容。以向量代数（向量的加法、数乘、内积、外积、混合积运算）为基础，通过平面和直线的方程研究它们的几何性质。结合高等代数工具研究二次曲线和二次曲面的几何性质和分类问题。介绍Klein的Erlangen纲领，用变换群的观点探讨Euclid几何、仿射几何、射影几何等分支的区别和联系。最后，介绍非Euclid几何的发展史，用度量空间的观点构建非Euclid几何的各种模型并探讨其中的联系。



作者简介：
杨翎
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杨翎，复旦大学数学科学学院教授，博士生导师，主要研究方向为微分几何。先后开设过解析几何、微分几何、分形几何、李群和李代数等课程。



目录：
第一章 引论
1.1 公理化几何学的诞生
1.2 解析几何的诞生
第二章 向量代数, 平面和直线的方程
2.1 长度和角度
2.1.1 Dedekind 分割与实数公理系统
2.1.2 Hilbert 的《几何基础》
2.1.3 活动线段及其长度
2.1.4 活动角及其角度
2.1.5 面积和体积
2.2 向量
2.2.1 有向线段、直线坐标系
2.2.2 固定向量和(活动) 向量
2.2.3 向量的加法和数乘
2.2.4 基、仿射坐标系
2.2.5 重心坐标
2.3 内积
2.3.1 向量的长度和夹角
2.3.2 向量的内积
2.3.3 Gram 行列式
2.4 外积和混合积
2.4.1 有向角度、有向面积
2.4.2 右手系、外积
2.4.3 有向体积、混合积
2.4.4 双重外积公式
2.4.5 外积和混合积的应用
2.5 平面的方程
2.5.1 平面的参数方程和普通方程
2.5.2 点和平面的相对位置
2.5.3 平面和平面之间的位置关系
2.6 直线的方程
2.6.1 直线的参数方程和普通方程
2.6.2 点和直线的相对位置
2.6.3 直线和平面的位置关系
2.6.4 直线和直线的位置关系
第三章 二次曲线和二次曲面
3.1 圆锥曲线的方程
3.1.1 焦点、准线和离心率
3.1.2 圆锥曲线的分类
3.1.3 圆锥曲线的参数方程
3.2 二次曲线的分类
3.2.1 坐标变换
3.2.2 特征值
3.2.3 二次曲线方程的化简
3.2.4 不变量与半不变量
3.3 旋转曲面、柱面和锥面
3.3.1 球面和旋转曲面
3.3.2 圆柱面和柱面
3.3.3 圆锥面和锥面
3.4 二次曲面的分类
3.4.1 二次曲面方程的化简
3.4.2 双曲抛物面
3.4.3 直纹面
第四章 变换群与几何学
4.1 Erlangen 纲领
4.2 仿射变换和仿射几何
4.2.1 仿射变换与仿射向量变换
4.2.2 仿射变换的表示矩阵
4.2.3 仿射不变量
4.2.4 仿射等价类
4.3 射影变换与射影几何
4.3.1 中心投影
4.3.2 无穷远点、射影平面
4.3.3 齐次坐标
4.3.4 射影变换群、射影线性群
4.3.5 射影坐标系
4.3.6 交比
4.3.7 二次曲线的射影分类
4.3.8 射影变换在平面几何中的应用
4.4 保圆变换与M?bius 几何
4.4.1 反演变换
4.4.2 保圆变换和M?bius 变换
4.4.3 复交比
第五章 非Euclid 几何
5.1 平行公设之惑
5.1.1 Saccheri 四边形
5.1.2 非Euclid 几何的诞生
5.1.3 度量空间
5.2 抛物几何
5.2.1 等距覆盖映射和等距覆盖变换
5.2.2 完备局部Euclid 曲面的分类
5.2.3 曲面的定向
5.3 椭圆几何
5.3.1 球面几何
5.3.2 球极投影、复射影直线
5.3.3 球心投影, 椭圆平面
5.4 双曲几何
5.4.1 Minkowski 模型
5.4.2 Cayley-Klein 模型
5.4.3 Poincaré 模型
5.5 总结与展望
附录
A.1 集合、关系、映射
A.2 从属公理和顺序公理的推论
A.3 全等公理的推论
A.4 平行四边形的基本性质
A.5 关于直角和垂直的注记
A.6 圆的基本性质
A.7 关于“同向”的注记
A.7.1 命题2.25 的证明
A.7.2 命题2.29 的证明
A.7.3 命题2.62 的证明
A.8 四元数及运算
A.9 三角函数和双曲函数
参考文献
索引