商品详情
书名：高等代数
定价：54.0
ISBN：9787030578143
作者：刘丽,韩本三
版次：1
出版时间：2018-08
内容提要：
本书是大学本科非理科专业必修课“高等代数”课程教材。全书共九章：行列式、矩阵、线性方程组与n维向量空间、矩阵的特征值与特征向量、二次型、多项式、线性空间、线性变换、欧氏空间。本书将特征值与特征向量分为矩阵的特征值与特征向量(第四章)和线性变换的特征值与特征向量(8.4节)两部分，力求使得只修高等代数Ⅰ(**章至第五章)的学生学完非数学类专业考研数学二、三的全部代数内容。本书按节配置了习题，每章还配置了(A)与(B)两组习题，(A)组题是填空题与单项选择题，(B)组题是综合练习题。带*的习题是有一定难度的，读者可根据自己的情况选做。
目录：
目录
前言
**章 行列式 1
1.1 行列式定义 1
习题1.1 6
1.2 行列式的性质 7
习题1.2 12
1.3 行列式按行(列)展开定理 14
习题1.3 23
1.4 克拉默法则 25
习题1.4 29
习题一 30
第二章 矩阵 36
2.1 矩阵及其运算 36
习题2.1 47
2.2 逆矩阵 48
习题2.2 54
2.3 分块矩阵 55
习题2.3 60
2.4 矩阵的初等变换与秩 61
习题2.4 72
2.5 分块矩阵的广义初等变换 73
习题2.5 78
习题二 78
第三章 线性方程组与n维向量空间 84
3.1 消元法 84
习题3.1 92
3.2 n维向量与向量组的线性组合 93
习题3.2 99
3.3 向量组的线性相关性 100
习题3.3 105
3.4 向量组的秩 107
习题3.4 114
3.5 向量的内积与Rn 的标准正交基 116
习题3.5 123
3.6 线性方程组解的结构 123
习题3.6 133
习题三 136
第四章 矩阵的特征值与特征向量 143
4.1 矩阵的特征值与特征向量的概念及计算 143
习题4.1 150
4.2 相似矩阵与矩阵的相似对角化 151
习题4.2 159
4.3 实对称矩阵的相似对角化 160
习题4.3 165
习题四 166
第五章 二次型 170
5.1 二次型的概念 170
习题5.1 174
5.2 标准形 174
习题5.2 189
5.3 正定二次型 190
习题5.3 195
习题五 196
第六章 多项式 200
6.1 多项式的概念与基本运算 200
习题6.1 202
6.2 整除 202
习题6.2 206
6.3 *大公因式 206
习题6.3 210
6.4 因式分解与重因式 210
习题6.4 213
6.5 多项式函数 214
习题6.5 215
6.6 复系数、实系数与有理系数多项式 215
习题6.6 221
习题六 221
第七章 线性空间 224
7.1 线性空间的概念和一些性质 224
习题7.1 225
7.2 维数 基 坐标 226
习题7.2 231
7.3 线性子空间 232
习题7.3 233
7.4 子空间的交与和 234
习题7.4 236
7.5 子空间的直和 236
习题7.5 237
7.6 线性空间的同构 238
习题7.6 240
习题七 241
第八章 线性变换 244
8.1 线性变换的概念 244
习题8.1 246
8.2 线性变换的运算 247
习题8.2 250
8.3 线性变换的矩阵 251
习题8.3 259
8.4 线性变换的特征值与特征向量 260
习题8.4 267
8.5 线性变换的像集与核 268
习题8.5 272
8.6 线性变换的不变子空间 273
习题8.6 275
习题八 276
第九章 欧氏空间 281
9.1 欧氏空间的概念 281
习题9.1 285
9.2 标准正交基 286
习题9.2 290
9.3 同构 290
习题9.3 291
9.4 正交变换 291
习题9.4 293
9.5 子空间的正交 294
习题9.5 296
9.6 实对称矩阵的标准形 297
习题9.6 299
习题九 300
在线试读：
**章 行列式
高等代数是初等代数理论的延伸，其理论和方法在各个学科中得到了广泛的应用。解方程是代数的一个基本问题，而n元线性方程组（由m个方程组成的含有n个变量的一次方程组）是高等代数的主要研究内容之一。行列式是高等代数中一个基本而重要的工具，它源于解线性方程组。通过本章的学习，我们将看到正是行列式的引入，才使得方程个数m与变量个数n相同的线性方程组的解以极其完美的形式展现于人们面前。本章主要介绍行列式的定义、性质、计算及其在求解线性方程组中的应用——克拉默（Cramer）法则。
1.1 行列式定义
一、数域
定义1.1 设P是含有0和1的一个数集。若P中任意两个数的和、差、积、商（除数不为0）仍在P中，则称P为一个数域。
如果数集P中任意两个数作某一运算后的结果仍在P中，那么称P对这个运算封闭。因此数域的定义也可简单叙述为：含有0和1且对加法、减法、乘法、除法（除数不为0）封闭的数集称为数域。全体有理数组成的集合、全体实数组成的集合、全体复数组成的集合都是数域，分别称为有理数域、实数域、复数域，依次用Q，R，C来记。而全体整数组成的集合不是数域，因为任意两个整数的商不一定是整数。
根据定义容易得知所有的数域都包含有理数域Q。事实上，如果P是一个数域，那么1在P中且因P对加法封闭，进而1+1=2，2+1=3，…，n+1，…全在P中，即P包含全体自然数；又因0在P中且P对减法封闭，于是0-n=-n在P中，所以P包含全体整数。因为任意一个有理数都可表为两个整数的商，再由P对除法的封闭性知P包含全体有理数，因此任何一个数域都包含有理数域。
本书所论及的数都是指某一固定数域中的数，一般不再特别加以说明。
二、行列式的引入
在本章中，我们主要试图解决系数在数域P上由n个方程组成的n元线性方程组
（1.1）
在解决数学中的复杂问题时，人们经常会首先考虑简单情形，然后试图去找到规律并且证明。因为一元一次方程的解法中学已学过，所以我们首先考虑解二元一次方程组。用消元法解
（1.2）
可得：当a11a22-a12a21≠0时，（1.2）式有**解
（1.3）
于是可以用公式（1.3）来解方程组（1.2）。但是（1.3）不容易记住。记
（1.4）
并称（1.4）式为一个2阶行列式。那么可以按此规律，（1.2）的解可表示为
这相对于（1.3）就容易记住了。进一步地，对于三元一次线性方程组
（1.5）
引入3阶行列式
用消元法可解得：当D≠0时，（1.5）式有**解
因此，推广到解n个方程的n元线性方程组，可引进n阶行列式的概念。注意到3阶行列式的一般项是±a1j1a2j2a3j3，当j1，j2，j3取遍1，2，3的所有排列时，就得到了3阶行列式的全部项，3项带正号，3项带负号，各项符号与j1，j2，j3的顺序有关。为此，我们需要先介绍n级排列的一些知识。
三、排列
定义1.2 由自然数1，2，…，n组成的全排列称为n级排列，记作i1i2…in。
显然n级排列共有n！=1×2×…×n个。
n级排列中任意两个数，如果大数排在小数之前，那么称这两个数构成一个逆序，否则称为顺序。一个n级排列i1i2…in的逆序总数称为此排列的逆序数，记作τ（i1i2…in）。逆序数为奇数的排列称为奇排列；逆序数为偶数的排列称为偶排列。因为τ（12…n）=0，所以排列12…n是偶排列。我们称此排列为自然排列。
在计算排列的逆序数时，为了不重复和不漏掉，可从排列的**个数开始计算它与后面的数构成的逆序数，然后再将这些逆序数相加即可得排列的逆序数。
例1 求下列排列的逆序数并确定其奇偶性。
（1）45213 （2）35214
（3）n（（n-1）…321 （4）24…（2n）13…（2n-1）
解 （1）在排列45213中，数4与后面的数构成3个逆序，数5与后面的数构成3个逆序，数2与后面的数构成1个逆序，数1与后面的数没有构成逆序，数3后面没有数。因此τ（45213）=3+3+1+0+0=7，该排列为奇排列。
（2）τ（35214）=2+3+1+0+0=6，该排列为偶排列。
（3）τ（n（n-1）…321）=（n-1）+（n-2）+…+2+1=n（n-1）/2。
或者根据该排列中任何两个数组成的数对都构成逆序（通常称此排列为完全逆序排列），计算出该排列所有可能组成的数对的个数，它就是排列的逆序数，即
当n=4k或n=4k+1（k=0，1，2，…）时，此排列为偶排列；当n=4k+2或n=4k+3（k=0，1，2，…）时，此排列为奇排列。
（4）其奇偶性讨论同（3）中排列的奇偶性讨论。
n级排列中互换两数的位置称为一次对换。若互换的是相邻两数，则称作相邻对换。
注意到例1中排列（2）是由排列（1）互换3和4而得到的。结果（1），（2）两个排列具有不同的奇偶性。一次对换是否一定改变排列的奇偶性呢？对此有以下的结论。
定理1.1 一次对换改变排列的奇偶性。
证 （1）相邻对换情形。设n级排列
…jk…
互换j，k两数，经相邻对换后排列变成
…kj…
其中“…”表示那些在变换中不动的数。
显然，这一变化只使j，k两数间的“序”发生变化：若它们原来为逆序，则变换后为顺序；若原来为顺序，则变换后为逆序。而它们与其余任意数间的序都保持不变，变换前后两个排列的逆序数只是多1或少1，从而一次相邻对换改变排列的奇偶性。由此还可得出：作奇数次相邻对换改变排列的奇偶性；作偶数次相邻对换不改变排列的奇偶性。
（2）不相邻对换情形。设n级排列
…ji1i2…isk…
直接互换j，k两数后排列变成
…ki1i2…isj…
这一结果可通过相邻对换后得到。首先将原排列中的数j依次与其后的i1…isk作s+1次相邻对换变后为
…i1i2…iskj…
再将数k依次与其前面的is…i1作s次相邻对换后得
…ki1i2…isj…
这一结果是经过奇数次（2s+1次）相邻对换所得，因此排列的奇偶性改变。
推论 在全部n！个n（n≥2）级排列中，奇排列、偶排列各占一半。
证 设全部n级排列中，奇排列、偶排列个数分别为s和t。因为将每个奇排列的前两个数作对换，即可得到s个不同的偶排列，从而s≤t；同理可得t≤s。于是s=t，即奇偶排列各占一半。
容易证明（证略）：任意n级排列都可经有限次对换变成自然排列。
四、n阶行列式定义
定义1.3 将n2个数aij（i，j=1，2，…，n）排成n行n列，记
它表示所有位于不同行及不同列的n个元素乘积的代数和，当这n个元素的行标按自然顺序排列时，各项以列标排列j1j2…jn的逆序数的奇偶性按下式冠以符号：
即列标排列为偶排列时带正号，列标排列为奇排列时带负号，称D为n阶行列式，即n阶行列式
（1.6）
其中符号表示对全部n级排列求和。称行列式从左上角至右下角的对角线为主对角线，从右上角至左下角的对角线为副对角线或次对角线。
由于全部n级排列共n！个，所以n阶行列式的展开式共有n！项。
当行列式的元素全是数域P中的数时，行列式的值也是数域P中的数。
当n=1时，1阶行列式a11=a11。为了不与绝对值混淆，今后直接用数表示。
当n=2时，2阶行列式
2阶行列式的展开式等于主对角线上两个元素的乘积减去副对角线上两个元素的乘积。
当n=3时，3阶行列式
事实上，由于2，3阶行列式的展开式分别只有2项和6项，其符号规律比较容易掌握，读者不妨自己总结并牢记。下图展示了3阶行列式中正项与负项的构成规则：
例2 4阶行列式中是否有a12a24a31a41与a23a31a12a44这两项，如果有，应带什么符号？
解 a12a24a31a41的元素的行标构成自然排列，只需看列标的排列。因2411不是1，2，3，4的4级排列，即a12a24a31a41不是D的位于不同行不同列的4个元素的乘积，所以4阶行列式中没有a12a24a31a41这一项；a23a31a12a44的行标2314和列标3124均是1，2，3，4的4级排列，所以a23a31a12a44是D的位于不同行不同列的4个元素的乘积，因此4阶行列式中有a23a31a12a44这一项。当a23a31a12a44按照行标自然顺序我们可得a12a23a31a44。由于（-1）τ（2314）=1，所以这一项带正号。
例3 计算下列行列式。
分析 因为求和时只需找出非零项，所以只需找出行列式展开式中的可能非零的项。
解 根据行列式的定义可知，D可能的非零项在第n行中的元素只能取ann，在第n-1行中的元素只能取an-1，n-1，…，在第1行中的元素只能取a11。于是行列式D可能的非零项只有1项：a11a22…an-1，n-1ann。从而
类似于例3的解法，可得
称主对角线以上的元全为零元的行列式为下三角行列式。主对角线以下的元全为零元的行列式为上三角行列式。上、下三角行列式统称为三角行列式。
例3以及上面结果表明：三角行列式等于其主对角线上元素的乘积。
*后，我们给出n阶行列式的另一定义。
定义1.4
（1.7）
有兴趣的读者可以证明（1.6）和（1.7）式右端的展开式完全相同，从而证明定义1.3与定义1.4完全等价。
习题1.1
1. 求以下排列的逆序数，并指出排列的奇偶性：
（1）14253 （2）528497631
（3）135…（2n-1）246…（2n） （4）24…（2n）（2n-1）（2n-3）…31
2. 确定i，j，使下面的8级排列为偶排列：
（1）62i418j3 （2）4i13j765
3. 证明：
4. 确定i，j，使
（1）a13a29a37a42a5ia61a75a8ja94为9阶行列式|aij|带负号的项；
（2）a12a21a3ia43a57a68a7ja84a96为9阶行列式|aij|带正号的项。
5. 计算下列行列式：
定价：54.0
ISBN：9787030578143
作者：刘丽,韩本三
版次：1
出版时间：2018-08
内容提要：
本书是大学本科非理科专业必修课“高等代数”课程教材。全书共九章：行列式、矩阵、线性方程组与n维向量空间、矩阵的特征值与特征向量、二次型、多项式、线性空间、线性变换、欧氏空间。本书将特征值与特征向量分为矩阵的特征值与特征向量(第四章)和线性变换的特征值与特征向量(8.4节)两部分，力求使得只修高等代数Ⅰ(**章至第五章)的学生学完非数学类专业考研数学二、三的全部代数内容。本书按节配置了习题，每章还配置了(A)与(B)两组习题，(A)组题是填空题与单项选择题，(B)组题是综合练习题。带*的习题是有一定难度的，读者可根据自己的情况选做。
目录：
目录
前言
**章 行列式 1
1.1 行列式定义 1
习题1.1 6
1.2 行列式的性质 7
习题1.2 12
1.3 行列式按行(列)展开定理 14
习题1.3 23
1.4 克拉默法则 25
习题1.4 29
习题一 30
第二章 矩阵 36
2.1 矩阵及其运算 36
习题2.1 47
2.2 逆矩阵 48
习题2.2 54
2.3 分块矩阵 55
习题2.3 60
2.4 矩阵的初等变换与秩 61
习题2.4 72
2.5 分块矩阵的广义初等变换 73
习题2.5 78
习题二 78
第三章 线性方程组与n维向量空间 84
3.1 消元法 84
习题3.1 92
3.2 n维向量与向量组的线性组合 93
习题3.2 99
3.3 向量组的线性相关性 100
习题3.3 105
3.4 向量组的秩 107
习题3.4 114
3.5 向量的内积与Rn 的标准正交基 116
习题3.5 123
3.6 线性方程组解的结构 123
习题3.6 133
习题三 136
第四章 矩阵的特征值与特征向量 143
4.1 矩阵的特征值与特征向量的概念及计算 143
习题4.1 150
4.2 相似矩阵与矩阵的相似对角化 151
习题4.2 159
4.3 实对称矩阵的相似对角化 160
习题4.3 165
习题四 166
第五章 二次型 170
5.1 二次型的概念 170
习题5.1 174
5.2 标准形 174
习题5.2 189
5.3 正定二次型 190
习题5.3 195
习题五 196
第六章 多项式 200
6.1 多项式的概念与基本运算 200
习题6.1 202
6.2 整除 202
习题6.2 206
6.3 *大公因式 206
习题6.3 210
6.4 因式分解与重因式 210
习题6.4 213
6.5 多项式函数 214
习题6.5 215
6.6 复系数、实系数与有理系数多项式 215
习题6.6 221
习题六 221
第七章 线性空间 224
7.1 线性空间的概念和一些性质 224
习题7.1 225
7.2 维数 基 坐标 226
习题7.2 231
7.3 线性子空间 232
习题7.3 233
7.4 子空间的交与和 234
习题7.4 236
7.5 子空间的直和 236
习题7.5 237
7.6 线性空间的同构 238
习题7.6 240
习题七 241
第八章 线性变换 244
8.1 线性变换的概念 244
习题8.1 246
8.2 线性变换的运算 247
习题8.2 250
8.3 线性变换的矩阵 251
习题8.3 259
8.4 线性变换的特征值与特征向量 260
习题8.4 267
8.5 线性变换的像集与核 268
习题8.5 272
8.6 线性变换的不变子空间 273
习题8.6 275
习题八 276
第九章 欧氏空间 281
9.1 欧氏空间的概念 281
习题9.1 285
9.2 标准正交基 286
习题9.2 290
9.3 同构 290
习题9.3 291
9.4 正交变换 291
习题9.4 293
9.5 子空间的正交 294
习题9.5 296
9.6 实对称矩阵的标准形 297
习题9.6 299
习题九 300
在线试读：
**章 行列式
高等代数是初等代数理论的延伸，其理论和方法在各个学科中得到了广泛的应用。解方程是代数的一个基本问题，而n元线性方程组（由m个方程组成的含有n个变量的一次方程组）是高等代数的主要研究内容之一。行列式是高等代数中一个基本而重要的工具，它源于解线性方程组。通过本章的学习，我们将看到正是行列式的引入，才使得方程个数m与变量个数n相同的线性方程组的解以极其完美的形式展现于人们面前。本章主要介绍行列式的定义、性质、计算及其在求解线性方程组中的应用——克拉默（Cramer）法则。
1.1 行列式定义
一、数域
定义1.1 设P是含有0和1的一个数集。若P中任意两个数的和、差、积、商（除数不为0）仍在P中，则称P为一个数域。
如果数集P中任意两个数作某一运算后的结果仍在P中，那么称P对这个运算封闭。因此数域的定义也可简单叙述为：含有0和1且对加法、减法、乘法、除法（除数不为0）封闭的数集称为数域。全体有理数组成的集合、全体实数组成的集合、全体复数组成的集合都是数域，分别称为有理数域、实数域、复数域，依次用Q，R，C来记。而全体整数组成的集合不是数域，因为任意两个整数的商不一定是整数。
根据定义容易得知所有的数域都包含有理数域Q。事实上，如果P是一个数域，那么1在P中且因P对加法封闭，进而1+1=2，2+1=3，…，n+1，…全在P中，即P包含全体自然数；又因0在P中且P对减法封闭，于是0-n=-n在P中，所以P包含全体整数。因为任意一个有理数都可表为两个整数的商，再由P对除法的封闭性知P包含全体有理数，因此任何一个数域都包含有理数域。
本书所论及的数都是指某一固定数域中的数，一般不再特别加以说明。
二、行列式的引入
在本章中，我们主要试图解决系数在数域P上由n个方程组成的n元线性方程组
（1.1）
在解决数学中的复杂问题时，人们经常会首先考虑简单情形，然后试图去找到规律并且证明。因为一元一次方程的解法中学已学过，所以我们首先考虑解二元一次方程组。用消元法解
（1.2）
可得：当a11a22-a12a21≠0时，（1.2）式有**解
（1.3）
于是可以用公式（1.3）来解方程组（1.2）。但是（1.3）不容易记住。记
（1.4）
并称（1.4）式为一个2阶行列式。那么可以按此规律，（1.2）的解可表示为
这相对于（1.3）就容易记住了。进一步地，对于三元一次线性方程组
（1.5）
引入3阶行列式
用消元法可解得：当D≠0时，（1.5）式有**解
因此，推广到解n个方程的n元线性方程组，可引进n阶行列式的概念。注意到3阶行列式的一般项是±a1j1a2j2a3j3，当j1，j2，j3取遍1，2，3的所有排列时，就得到了3阶行列式的全部项，3项带正号，3项带负号，各项符号与j1，j2，j3的顺序有关。为此，我们需要先介绍n级排列的一些知识。
三、排列
定义1.2 由自然数1，2，…，n组成的全排列称为n级排列，记作i1i2…in。
显然n级排列共有n！=1×2×…×n个。
n级排列中任意两个数，如果大数排在小数之前，那么称这两个数构成一个逆序，否则称为顺序。一个n级排列i1i2…in的逆序总数称为此排列的逆序数，记作τ（i1i2…in）。逆序数为奇数的排列称为奇排列；逆序数为偶数的排列称为偶排列。因为τ（12…n）=0，所以排列12…n是偶排列。我们称此排列为自然排列。
在计算排列的逆序数时，为了不重复和不漏掉，可从排列的**个数开始计算它与后面的数构成的逆序数，然后再将这些逆序数相加即可得排列的逆序数。
例1 求下列排列的逆序数并确定其奇偶性。
（1）45213 （2）35214
（3）n（（n-1）…321 （4）24…（2n）13…（2n-1）
解 （1）在排列45213中，数4与后面的数构成3个逆序，数5与后面的数构成3个逆序，数2与后面的数构成1个逆序，数1与后面的数没有构成逆序，数3后面没有数。因此τ（45213）=3+3+1+0+0=7，该排列为奇排列。
（2）τ（35214）=2+3+1+0+0=6，该排列为偶排列。
（3）τ（n（n-1）…321）=（n-1）+（n-2）+…+2+1=n（n-1）/2。
或者根据该排列中任何两个数组成的数对都构成逆序（通常称此排列为完全逆序排列），计算出该排列所有可能组成的数对的个数，它就是排列的逆序数，即
当n=4k或n=4k+1（k=0，1，2，…）时，此排列为偶排列；当n=4k+2或n=4k+3（k=0，1，2，…）时，此排列为奇排列。
（4）其奇偶性讨论同（3）中排列的奇偶性讨论。
n级排列中互换两数的位置称为一次对换。若互换的是相邻两数，则称作相邻对换。
注意到例1中排列（2）是由排列（1）互换3和4而得到的。结果（1），（2）两个排列具有不同的奇偶性。一次对换是否一定改变排列的奇偶性呢？对此有以下的结论。
定理1.1 一次对换改变排列的奇偶性。
证 （1）相邻对换情形。设n级排列
…jk…
互换j，k两数，经相邻对换后排列变成
…kj…
其中“…”表示那些在变换中不动的数。
显然，这一变化只使j，k两数间的“序”发生变化：若它们原来为逆序，则变换后为顺序；若原来为顺序，则变换后为逆序。而它们与其余任意数间的序都保持不变，变换前后两个排列的逆序数只是多1或少1，从而一次相邻对换改变排列的奇偶性。由此还可得出：作奇数次相邻对换改变排列的奇偶性；作偶数次相邻对换不改变排列的奇偶性。
（2）不相邻对换情形。设n级排列
…ji1i2…isk…
直接互换j，k两数后排列变成
…ki1i2…isj…
这一结果可通过相邻对换后得到。首先将原排列中的数j依次与其后的i1…isk作s+1次相邻对换变后为
…i1i2…iskj…
再将数k依次与其前面的is…i1作s次相邻对换后得
…ki1i2…isj…
这一结果是经过奇数次（2s+1次）相邻对换所得，因此排列的奇偶性改变。
推论 在全部n！个n（n≥2）级排列中，奇排列、偶排列各占一半。
证 设全部n级排列中，奇排列、偶排列个数分别为s和t。因为将每个奇排列的前两个数作对换，即可得到s个不同的偶排列，从而s≤t；同理可得t≤s。于是s=t，即奇偶排列各占一半。
容易证明（证略）：任意n级排列都可经有限次对换变成自然排列。
四、n阶行列式定义
定义1.3 将n2个数aij（i，j=1，2，…，n）排成n行n列，记
它表示所有位于不同行及不同列的n个元素乘积的代数和，当这n个元素的行标按自然顺序排列时，各项以列标排列j1j2…jn的逆序数的奇偶性按下式冠以符号：
即列标排列为偶排列时带正号，列标排列为奇排列时带负号，称D为n阶行列式，即n阶行列式
（1.6）
其中符号表示对全部n级排列求和。称行列式从左上角至右下角的对角线为主对角线，从右上角至左下角的对角线为副对角线或次对角线。
由于全部n级排列共n！个，所以n阶行列式的展开式共有n！项。
当行列式的元素全是数域P中的数时，行列式的值也是数域P中的数。
当n=1时，1阶行列式a11=a11。为了不与绝对值混淆，今后直接用数表示。
当n=2时，2阶行列式
2阶行列式的展开式等于主对角线上两个元素的乘积减去副对角线上两个元素的乘积。
当n=3时，3阶行列式
事实上，由于2，3阶行列式的展开式分别只有2项和6项，其符号规律比较容易掌握，读者不妨自己总结并牢记。下图展示了3阶行列式中正项与负项的构成规则：
例2 4阶行列式中是否有a12a24a31a41与a23a31a12a44这两项，如果有，应带什么符号？
解 a12a24a31a41的元素的行标构成自然排列，只需看列标的排列。因2411不是1，2，3，4的4级排列，即a12a24a31a41不是D的位于不同行不同列的4个元素的乘积，所以4阶行列式中没有a12a24a31a41这一项；a23a31a12a44的行标2314和列标3124均是1，2，3，4的4级排列，所以a23a31a12a44是D的位于不同行不同列的4个元素的乘积，因此4阶行列式中有a23a31a12a44这一项。当a23a31a12a44按照行标自然顺序我们可得a12a23a31a44。由于（-1）τ（2314）=1，所以这一项带正号。
例3 计算下列行列式。
分析 因为求和时只需找出非零项，所以只需找出行列式展开式中的可能非零的项。
解 根据行列式的定义可知，D可能的非零项在第n行中的元素只能取ann，在第n-1行中的元素只能取an-1，n-1，…，在第1行中的元素只能取a11。于是行列式D可能的非零项只有1项：a11a22…an-1，n-1ann。从而
类似于例3的解法，可得
称主对角线以上的元全为零元的行列式为下三角行列式。主对角线以下的元全为零元的行列式为上三角行列式。上、下三角行列式统称为三角行列式。
例3以及上面结果表明：三角行列式等于其主对角线上元素的乘积。
*后，我们给出n阶行列式的另一定义。
定义1.4
（1.7）
有兴趣的读者可以证明（1.6）和（1.7）式右端的展开式完全相同，从而证明定义1.3与定义1.4完全等价。
习题1.1
1. 求以下排列的逆序数，并指出排列的奇偶性：
（1）14253 （2）528497631
（3）135…（2n-1）246…（2n） （4）24…（2n）（2n-1）（2n-3）…31
2. 确定i，j，使下面的8级排列为偶排列：
（1）62i418j3 （2）4i13j765
3. 证明：
4. 确定i，j，使
（1）a13a29a37a42a5ia61a75a8ja94为9阶行列式|aij|带负号的项；
（2）a12a21a3ia43a57a68a7ja84a96为9阶行列式|aij|带正号的项。
5. 计算下列行列式：