除了很小的孩子，几乎每个人都会对数字、加减乘除规则了然于胸，但却未必真正理解其背后的数学逻辑。这部满怀热情的《极简算术史：关于数学思维的迷人故事》，带领我们以全新的目光去发现：看似简单的算术，其实奠定了数学王国的根基。作者保罗·洛克哈特是一位满怀激情的传奇数学家，在他看来，数学是一门艺术。出于对数学及数学教育的热爱，他撰写了这本书，展现算术背后数学思维的美妙，为我们打开数学王国的大门。这本书尤其适合父母及教师阅读。对任何一个热爱数学的人来说，都是绝佳的入门读物。

事物

 我们为什么要计数？

语言

 数是最基本的数学信息

重复

 如何记数才能“一看即知”？

三个原始部落

 三种分组与记数语言

埃及

 标值系统与堆叠

罗马

 亚组的引入与位值系统

中国和日本

 繁多的符号与风靡的算盘

印度

 标值与位值系统的结合

欧洲

 公制系统与小数

乘法

 倍数的计算与乘法的特性

除法

 分享——倍数计算的逆过程

机械计数器

 将记数变为纯粹机械活动

分数

 保存精确的信息

负数

 数那美丽的对称性

计数的艺术

 发现通用的规律

后记

译后记

保罗·洛克哈特（Paul Lockhart）在大概十四岁时对数学产生兴趣（他特别指出，不是由于学校的数学课程），并开始大量的阅读。大学上了一个学期，他就退学，以专心研究数学，同时靠编程和当小学老师维生。后来他与加州大学洛杉矶分校的数学家恩斯特·施特劳斯（Ernst Strauss）合作，一同发表了多篇论文，并成为该校的研究生。1990年在哥伦比亚大学获得博士学位后，他先后在加州大学伯克利分校的数学科学研究中心（MSRI）和布朗大学任职，并在加州大学圣克鲁斯分校任教。他当时的主要研究方向是自守形式和丢番图几何。在高校教授数学多年后，他开始厌倦，决定回去教小孩子。他在2000年加入纽约的独立学校圣安妮学校（Saint Ann's School），并任教至今。

事物

我们为什么要计数？

我们生活在一个充满了各种事物的世界，这里有植物和动物，有岩石和树木，还有天上的繁星和海滩上的沙子。当然，我们周围还有很多人。有时我们不免要去数一数(count)。那么，我们到底为什么要费心去数这些事物呢？事实是，通常情况下我们并不会这样做。在大多数情况下我们也无须仔细地去数，只要能够区分“我们还很富余”或者“我们十分短缺”就足够了。比较(compare)是我们需要计数的主要原因。这些比较一般都很简单，比如“所有东西加起来大约需要16美元，而我有一张20美元，足够了”。事实上，如今大多数交易听起来不再是“收您16加71，一共是87美元，正好是3个29美元，祝您购物愉快”，而是“哔哔”的银行卡刷卡声。大多数时候，我们并不需要做太多的实际计数。尽管如此，还是会有些时候，我们想准确地知道某些东西自己到底拥有多少。那么，我们会记录哪些东西，又为什么会去记录呢？

时间可以说是我们最早记录的事物之一。我们可以想象，史前部落之间的聚集会被安排在狩猎之后的若干天，这若干天则是通过刻在树上的月亮数或痕迹数来计算的。如果你问我，我会说我们太会记录时间了。当然，还有一个事物是金钱，人们肯定会十分仔细地记录它(不过不要和我提这个)。此外，还有财产，例如小孩可能会说“我所有的玻璃弹珠都在弹珠袋里了吗？”大人则会说“我希望我们有足够多的银器”。土地、谷物、牲畜，所有这些财产都会被记录。七年的饥荒紧跟在七年的丰收之后。由此看来，我们的确喜欢计数。

此外还有好奇性计数，纯粹因为好奇而去计数。比如，人们会问“银河中有多少个星星？…‘我能够屏住呼吸多少秒？”也有更数学一些的问题，比如“可以有多少种不同的方法摆放书架上的书？”

无论目的或理由是什么，偶尔我们会发现自己想要知道某个事物的数量。这就是算术的开始，人们有了求知的欲望(desire)。对你不在乎的事物进行计数是没有任何意义的，永远不要那样做。这样做很无趣，也会让你对计数心生讨厌。事实上有很多人都讨厌算术(多得简直数不清！)，说到这里我感到很难过，这通常是因为他们被迫做了一些自己不感兴趣的事情，我不希望我的读者也成为他们中的一员。

这里的关键是，有些事物我们有时候想去数一数。实际上，有些数量，我们与其说是数，不如说是量。当我们需要量某些东西时，这些东西可能是一定量的牛奶，某个人的身高，或者一块土地，我们则需要根据事先约定的被称为单位的数量(例如一杯、一英寸或一英亩)来对它们进行计数。这样做的效果是，我们将平滑连续的东西变成了离散块状的。为简单起见，我们只考虑对明显的独立个体进行计数。

前面我说过，计数其实就是在比较。即使你是出于好奇而去数某个东西，比如说你恰好有32便士，你“知道”你有多少便士的意义，也是通过与其他某个特定数量(比如30)进行比较而得到的，这一数量在你的语言中会有特殊的名字并作为人们熟悉的大小基准而存在。说出32这个词，就意味着你在不知不觉中已经进行了一次比较：它要比三双手手指的数量多一些。

比较始终是关键所在。“我们拥有的足够多吗？”“这一切都合适吗？”“以前有的更多，它们都去哪儿了？”我们计数是为了进行比较。如果只需要看一眼，我们就能够知道两堆东西哪个多哪个少，就好像我们拥有与嗅觉或者味觉类似的“数字感”，那就太好了。也许会有这样的生物存在，偶尔有些人(通常是一些神经严重损伤的人)也基本上能够做到这一点，但是我们中的大多数人却不能。我认为几乎每个人都有“数字感3”——无须逐个去数就知道有3个东西，但是如果超过6或7，再依靠数字感结果就有些不确定了。

尝试一下你直接感知数量的能力。

我想知道，这种能力是否可以通过练习逐步提高呢？

P1-3

今天的世界比人类历史上任何时候都更加依赖数字，廉价、可靠的计算设备的出现，并未减少我们对掌握算术的需求。保罗·洛克哈特在这本精彩的书中指出，我们从手工计算的苦差事中解脱出来，使得我们有可能，也有必要回过头来反思几千年来算术的整个发展过程。什么是数？它们是如何产生的？为什么我们的祖先发明了数？他们又是如何表示数的？毕竟，数是人类杰出的发明之一，可以说对我们生活的影响比轮子更大。洛克哈特讲述了它们的精彩故事。

——齐斯·德福林，数学家、斯坦福大学教授

这既是一本数学书、一本历史书，也是一本讲述思考方法的书。世界各主要文明中数字的起源和发展占了很大篇幅，在我阅读本书之前，完全没有想到有人能将这个问题描述得如此丰富有趣，可见作者对数学起源发展研究的深厚功底……我从自身学习和工作的经历中深刻体会到，个体掌握的基础的深度与所能达到的创新高度是成正比的。知其然是一座房子，知其所以然是这个房子的根基，有了根基的房子才能对抗风雨和时间的考验。培养知其然，且知其所以然的学习习惯，一定会受益终身。

——杨孟飞，中国科学院院士

这本书邀请我们通过一个数学老师的眼睛体验数学之美。书中涉及记数系统的简略发展历史，从人们为什么要计数，数是什么，再到最原始的石子计数，到不同进制与语言的记数法，从原始部落、埃及、罗马、中国和日本，到印度和欧洲，加减法是如何在不同的记数法中实现的。之后又延伸至十进制下的加减乘除运算原理，还涉及负数和分数系统，讲述为何人们最终选择了十进制，它背后又怎样的人类历史故事，十进制和公制带来的优势是什么？

保罗通过一个个风趣幽默的小故事，为我们展现数字发展背后的数学思维与人们的考量。哪些方法太过于费时费力，我们便会因为“懒”舍弃它，以一种更简洁、便利的方法取而代之，人类的“懒”，竟然是推动数不断向前发展的动因！