书名：样条函数与计算几何
定价：79.0
ISBN：9787030254467
作者：孙家昶
版次：1
出版时间：1982-12

内容提要：
　　由于航空、造船、机械设计和制造等行业应用计算机作辅助设计的需要，逐步形成了一个新的计算数学分支一一计算几何，这个分支与样条函数有着密切联系．本书叙述样条函数和计算几何的基本理论和方法，同时，总结了作者几年来在该领域中的研究成果．



目录：
目录
第一章 无穷区间上等距节点样条的引人 1
1.数据平滑化的定义与离散平滑公式 1
2.基型插值公式的平滑理论 5
3.中心插值公式与等距B-样条函数的引人 8
第二章 分段多项式的插值与逼近 22
1.经典函数逼近论中的某些概念与结果 22
2.Lagrange插值多项式及其不稳定性 28
3.分段线性插值和分段二次插值 33
4.分段二次Hermite插值 42
5.分段三次Hermite插值 64
第三章 二次样条与三次样条的计算及收敛性 83
1.有关三对角线矩阵的某些引理 83
2.二次插值样条及其计算 98
3.二次插值样条的误差估计 102
4.三次插值样条的计算 113
5.三次插值样条的误差估计 123
6.一般多项式样条理论简介 134
第四章 B-样条函数的性质及其计算 141
1.等距B-样条函数的几种等价定义 142
2.等距B-样条的分段矩阵表示 153
3.均差及其运算法则 158
4.不等距B-样条的引入基本定理 162
5.规范B-样条及其主要性质 169
6.B-样条插值与局部逼近法 179
第五章 二维样条函数 191
1.分片双线性插值——双一次样条 191
2.双二次与双三次Hermite插值 195
3.双二次样条与双三次样条 203
4.二维样条的张量积形式与“布尔和” 215
5.Coons曲面 220
6.边界曲线与混合函数的构成 230
7.双线性力矩曲面 234
第六章 局部坐标下的多项式样条 240
1.局部三次样条的建立与求解 240
2.局部三次样条的某些内在性质 248
3.收敛阶的估计 254
4.例子——单位圆的逼近 258
5.广义局部坐标样条 260
6.空间曲线中的局部坐标插值样条 266
第七章 圆弧样条与几何样条曲线 271
1.圆弧样条曲线及其应用效果 271
2.平面半活动标架及其曲线表示 279
3.三次几何样条与参数三角曲线 283
4.计算实例 286
5.空间半活动标架 291
第八章 参数样条和非线性样条 295
1.参数样条及其形状控制 295
2.Mehlum非线性样条 303
3.张力样条(简单双曲样条) 305
4 .某些其它非线性样条 307
第九章 控制顶点的曲线与曲面造型 311
1.控制多边形曲线造型的一般准则 312
2.参三次曲线造型的矩阵表示法 314
3.几类特殊参三次曲线造型的凸性分析 326
4.有理参数曲线广义二次曲线 334
5.n次参数曲线造型的系数矩阵 338
6.Bezier曲线的数学原理 342
7.B-样条参数曲线 348
8.曲面造型法简介 352
参考文献 357

在线试读：
第一章 无穷区间上等距节点样条的引人
　　样条函数最早是美国数学家I.J.Schoenberg在1946年的一篇文章[1)中提出的.当时他是以研究无穷区间上等距节点数据的平滑问题为背景引人样条函数的.该文的理论不仅在样条函数发展史上是一项奠基的工作，而且其中所用的思想和工具，例如样条与平滑的关系、样条与Fourier变换以及概率论之间的内在联系等，对近代样条函数理论和应用的发展仍有其指导意义.
　　1.数据平滑化的定义与离散平滑公式
　　我们考虑无限个整数节点处型值
　　的平滑问题，设平滑后的型值由原型值线性迭加而成，即
　　(1)
　　其中权因子{Lv}是偶序列.
　　之所以要求{Lv}是偶序列，是由于实际应用与理论两方面的需要.在实际应用中，希望原来对称的型值经(1)变换后对称性保持不变;理论上则可对公式(1)运用下面的Fourier变换.
　　显然，并非是任给一个偶序列，公式(1)都能起平滑作用.为此，首先要确定这里所用的“平滑”概念的含义，并弄清公式(1)要成为平滑公式，对于权因子{Lv}应有哪些要求?
　　所谓数据{Fn}比{yv)“平滑”，直观上就是新数据{F.}的“波动”不超过原数据的“波动”.对于整数节点处的型值而言，这种“波动”自然可用各阶差分度量.
　　特别，当yv恒为常数时，很自然要求Fn也等于同一个常数，这相当于规定
　　(2)
　　在一般情况下，希望新数据{Fn}任意一阶差分在所有节点上的平方和不超过原数据{yn}同阶差分在所有节点上的平方和，即对任意自然数1，恒有不等式
　　(3)
　　成立，且等号只是对很大的i或当Y。为常数时才允许成立.
　　为把不等式(3)转化为对权因子{Lv}的要求，下面应用离散Fourier变换.令以2为周期的复值函数
　　(4)
　　称T(u)为序列{yc}的特征函数(这里已假定
　　即级数{yv}绝对收敛).于是，一阶差分列{DY}的特征函数为
　　一般，任意阶差分序列{yv}的特征函数是
　　两边乘以自身的共扼函数，然后在[0,2π]上积分，注意到序列在中的正交性质，
　　于是，原序列{yv}任意阶差分在所有节点上的平方和可用特征函数T(u)的积分形式来表示，
　　(5)
　　为了得到新序列{Fn}的类似公式，先要导出权因子{Lv}的特征函数.当
　　时，偶序列{Lv}的特征函数
　　(6)
　　是实值函数.将两个Fourie:级数相乘，由(1),
　　(7)
　　因而，与(5)相仿，可得
　　(8)
　　因此，“平滑”所要求的不等式(3)满足的一个充分条件是权因子{Lv}的特征函数c(u)满足不等式
　　(9)
　　于是，可以这样来叙述数据平滑化的定义.
　　定义1.1. 由偶序列{Lv}给出的公式(1)称为离散平滑公式，是指该序列构成的级数绝对收敛，且该序列之和等于1，而它的特征函数(6)之值均介于-1与+1之间.
　　实际应用时不单要求经公式(1)处理后的数据要较前平滑，往往同时要求前后两组数据的“偏离”也不能过大.
　　由(4),(7)式，这时的“偏离”可表示为
　　于是，一方面由(8)可知，O(U)的绝对值越小，通过(1)式处理后的数据平滑程度愈好，另一方面，根据上式，接近于1，公式(1)的“偏离”程度愈小.这就清楚地表明，对于同一个平滑公式，其平滑性好与偏离程度小这两个要求是相互矛盾的.
　　根据上面的定义，我们可以直接构造出一类特殊的平滑公式.
　　定义1.1 如果对于所有的n均有
　　那么，由这样的偶序列{Lv}所构成的公式(1)必然是一个平滑公式.
　　事实上，只需指出
　　除了平滑度与偏离之外，平滑公式(1)还有另一个常用的标准:精确度.
　　定义1.2. 平滑公式(1)称为m次精确，是指它对于任意一组不超过m次的多项式的型值{yv}是精确的.
　　由(6),有展开式
　　将它代人
　　的左边，比较两边us项的系数，可得有关n的恒等式
　　根据定义1.2，这时平滑公式(1)为2p+1阶精确等价于下面2p+2个关系式成立:
　　定理1.2.平滑公式（1）为2p+1次精确的充要条件是函数，在u=0处为2p+2重零点.
　　2.基型插值公式的平滑理论
　　平滑公式中的权因子{L }可以看作是由一组特殊数据平滑后得到的值.事实上，若把下面这组称之为“初等点列”的特殊点列
　　代入1平滑公式(1)，即可给出.考虑把所得到的偶序列{Ln}延拓为整个实轴上的偶函数，且.这样，对于任意给定的一组离散数据{yv}，利用类似的平滑公式得到一个平滑函数
　　这时我们称L(幻为上式的基本函数.对于大多数只用到一系列等距离散点处型值的插值函数都可以表示成以上这种形式.
　　经典意义下的插值公式要求在插值节点处插值函数值严格等于给定的型值，这就必须且只须要求L(x)满足条件
　　(2)
　　否则，(1)式就是一种拟合公式，或按Schoenberg在[1]中的用语，是一种“平滑基型插值公式”.
　　设L(x)已延拓到全实轴，与离散时的情况相仿，现在应用Fourier积分，称函数
　　为权函数L(x)的特征函数，由于L(x)是偶函数，g(u)也为偶函数，且表达式(3)是可逆的.
　　注意，一般并不假定L(幻绝对可积，因而广义积分(3)的逆变换
　　(4)
　　一般只是理解为在Cauchy意义下收敛，即
　　很容易把上节关于离散的平滑公式概念推广到这里来.如果(1)式中连续变量二代之为离散变数。后所得到的是1离散形式下的平滑公式，则称(1)式为平滑的基型插值公式，或简称为平滑公式.
　　如果(1)式对于次数不超过k-1次的多项式Pk-(x)是精确的，则称该基型插值公式具有k一1次精度，即
　　这等价于要求对于，成立
　　(5)
　　还存在另一种比k-1次精度要求较弱的逼近概念，这就是所谓的k-1次保存:平滑公式(1)能把任一个次数不超过k-1次的多项式仍变成同一次数的多项式，且首项系数保持不变，即有关系式
　　显然，这等价于要求对于，有
　　(6)
　　其中，的形式为
　　在上述这些概念的基础上，Schoenberg在[1]中建立了以下有关基型插值公式的一般定理:
　　定理1.3 如果基型插值公式（1）中的权函数对一切x满足
　　(7)
　　这里A，B是；两个正常数，那么，有以下的结论成立：