商品详情
书名：一般拓扑学讲义
定价：49.0
ISBN：9787030300874
作者：彭良雪
版次：1
出版时间：2017-09
内容提要：
本书从拓扑学最基本的概念及构造拓扑的方法开始，通过最基本的例子，逐步介绍一般拓扑学的基本概念与基本理论，主要内容包括：集论初步知识、构造拓扑方法、几种可数性的关系、连续映射性质、紧性质、连通性质、分离性质、紧化与度量化定理等。
目录：
目录
前言
第1章 预备知识 1
1.1 集合的表示 1
1.2 集合的运算 1
1.3 映射 2
1.4 序 4
1.5 集合的势 6
1.6 超限归纳法 11
练习 11
第2章 拓扑空间的基本知识 13
2.1 开集 14
2.2 闭集 15
2.3 基 15
2.4 邻域 17
2.5 闭包、聚点与边缘 20
2.6 内部 25
2.7 生成拓扑的方法 27
2.7.1 构造拓扑的基 27
2.7.2 构造所需拓扑的开邻域基 28
2.7.3 子空间拓扑 30
2.7.4 子基生成的拓扑 31
2.7.5 积空间 32
2.8 几种可数性间的相互关系 36
练习 37
第3章 连续映射 39
3.1 几种等价命题 39
3.2 连续映射保持的一些特殊性质 41
3.3 开映射、闭映射及商映射 44
3.4 同胚映射 48
练习 50
第4章 连通空间与道路连通空间 52
4.1 连通空间与连通集的基本性质 52
4.2 实数直线上的连通集 54
4.3 连通空间的积空间及连通性质的应用 55
4.4 道路连通空间 58
练习 61
第5章 紧空间 62
5.1 紧空间与紧集的等价命题及性质 62
5.2 R中的紧集 63
5.3 Rn中的紧集 65
5.4 紧空间的无限积空间 68
5.5 完备映射 69
5.6 第一纲集与第二纲集 71
练习 72
第6章 分离性 74
6.1 To，T1，T2及正则空间 74
6.2 正规空间 77
6.3 遗传正规空间 81
6.4 Urysohn引理与Tietze扩张定理及应用 82
6.4.1 Urysohn引理与完全正规空间 82
6.4.2 Urysohn引理在势方面的应用 86
6.4.3 Tietze扩张定理 86
6.5 关于完全正则空间 89
6.6 与分离性有关的几个结论 90
练习 92
第7章 紧性的推广与紧化 93
7.1 局部紧空间 93
7.2 仿紧空间 94
7.3 可数紧空间 97
7.4 紧化 100
7.4.1 单点紧化 100
7.4.2 Stone-Cech紧化及紧化的某些应用 101
7.5 伪紧空间 111
练习 114
第8章 度量空间 116
8.1 基本性质 116
8.2 度量空间的可数积性质 119
8.3 度量空间的覆盖性质 121
8.4 度量化定理 123
8.5 度量空间中的几种可数性质及应用 125
练习 131
参考文献 132
索引 133
在线试读：
第1章 预备知识
一般拓扑学主要讲述拓扑空间的内部结构及拓扑空间相互间的关系，由于拓扑结构是在集合上建立的，因此有必要讨论一下集合的基本知识。
在学习一门课程的时候，往往要给出最基本定义，那什么是集合呢？以前往往这样定义：集合就是具有特定性质的事物的全体，如用符号表示应是：集合A={x：x具有性质P}。其实如上定义将会导致矛盾的出现，例如，令X={x：x是集合}，（其中譬为不属于符号，∈为属于符号），则A是集合，这样。如果，则；如果，则，这是相互矛盾的，因此说“集合就是具有特定性质的事物的全体”这句话是有问题的，这就是著名的Rusell悖论，为了避免上面所出现的矛盾，人们给出了有关集合的一些公理，可参阅文献[5]。
只需对集合有个初步的了解，即只需知道所用到的集合是有意义的，一些详细的知识可参阅文献[5]。下面来看集合的表示与运算。
1.1 集合的表示
一般用大写字母表示集合，如集合A，B，C等，用小写字母表示集合中的元素。
如，则称是集合的元素，用表示是集合的元素，若d不是A的元素，用表示，用R表示实数集，即R={x：x是实数}。令Q={x：x是有理数}，N={n：n是正整数}，X={n：礼是整数}，以后将用R，Q，N和X来分别表示实数集、有理数集、自然数集和整数集，用表示空集，即不含任何元素的集合，如果集合A中的每一元素都是集合B中的元素，则称集合A是集合B的子集，记为，如果不成立，记为。有时集合也简称为集，如果同时，则A=B：如果与不同时成立，则称A≠B。
1.2 集合的运算
定义集合的并、交、差运算：
常用u来表示一集族，即u中的每一元素也是集合，例如，定义集族u的交与并分别为：例如。
关于集合与集族，有下面的运算：
1.3 映射
定义1.1 设A与B是两个集合，集合称为集合A与集合B的笛卡儿积，记为AxB，读作“A叉乘B”或“A与B的积”，其中(a，b)为一有序偶，称a为(a，b)的第一个坐标，b为(a，b)的第二个坐标，称A为A×B的第一坐标集，B为AxB的第二坐标集，把AxB称为A与B的积集，简称为积。
定义1.2 设X与y是两集合，如果F是XxY的一个子集，即Fc X×y，则称F是从X到y的关系，如果(x，y)∈F，则称xFy。
定义1.3 若F是从A到B的关系，且对每一a∈A，都存在**的b∈B，使得aFb，则称F是从A到B的映射。
一般用f来表示一映射，即，称A是映射，的定义域，B是f的值域，值域为实数直线或实数直线子集的映射称为函数。因此，存在，使得，于是，称f(A)为A在f下的像，如果，则称，是满映射，简称为满射，对于任意若a≠b，有f (a)≠f(b)，则称f是单映射，简称为单射。如果f既是单映射又是满映射，则称f是一一映射，或称为双映射，对于，令。
若是一个映射，则f的一些基本性质如下：
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
如果是一个映射，是一个映射，则称是f与g的复合，即。
例1.4 X={1,2,3),y={a,b)。
下面几点是值得注意的：
(1) 一个单映射不一定是满映射。
例1.5令f1(1)=4，f1(2)=5，f1(3)=6，则f1是单映射，但不是满映射。
(2) 一个满映射不一定是单映射。
例1.6 令f2(1)=a，f2(2)=a，f2(3)=b，则f2是满映射，但不是单映射。
(3) 如果是一映射，则，但不一定有。若上述，是单映射且。
例如例1.6中的映射f2，若A={1}，则应说明的一点是若，是单映射，则一定有，其中。
(4) 如果是一映射，对任一，有，但不一定有。若上述，是满映射且，则。
对于例1.5中的映射f1，若令B={6，7），则。因此。应说明的一点是若，是满映射，则一定有，其中。
1.4 序
实数集R具有如下性质：
(1) 对于任意x∈R，y∈R，若x≠y，则有x<y或y<x；
(2) 若x∈R，y∈R，z∈R，且x<y，y<x，则一定有x<x成立；
把具有上述性质(1)与(2)的集合称为线性序集，下面是序的具体定义。
定义1.7 在集合A上的一关系F，如果满足如下条件，称之为序关系：
(1) 对任意x∈A，y∈A，如果x≠y，则有x Fy或yFx成立；
(2) 对任意x∈A，x Fx都不成立；
(3) 如果xFy，yFx，则有xFx。
如果在集合A上有如上的序关系，则称A是一线性序集，称F为A上的线性序关系。
定义1.8 如果X是一集合且<是X上的线性序关系，且a<b，用(a，b)表示集合，一般称(a，b)为一区间，如果，则称b是a的后继元。
定义1.9 如果A与B是两集合，且分别有序关系<A与<B，若存在一双映射，使得当时有；则称A与B有相同的序型，称这样的，是序保持双映射。
例1.10 实数直线R上的区间(-1，1)与R有相同的序型。
令，满足，则f是一序保持双映射。
定义1.11 若A是一序集，为A上的线性序关系。
(1) 如果b∈A0，且对每一个x∈A0，若x≠6，都有x<b，则称b是A0的**元，记为；
(2) 如果b∈A且对任意x∈A0都有x<b或x-b，则称b是A0的上界；
(3) 如果b是A0的上界，且对A0的每一上界c，若c≠6，都有b<c，则称b是A0的上确界，记为b= sup A0。
类似地有下界、最小元(min)及下确界(inf)的定义，这里不再重复。
定义1.12 若A是一线性序集，且对A的任一非空子集B都存在最小元，则称A是良序集。
定理1.13 自然数集Ⅳ是一良序集。
证明 按良序集的定义，只需证N的每一非空子集A都存在最小元，易知对任一的任一非空子集存在最小元，令，取，则有，使得。因此，且有，这样的最小元即是A的最小元。
注 整数集Z和实数集R都不是良序集，但它们都是线性序集。
有了上述良序集的定义，便有如下序数的概念。
定义1.14 如果集合A的每个元素都是A的子集，则称A是一传递集。
例如：是一传递集。
定义1.15 按∈关系是良序的传递集合称为序数，对于一序数，如果存在序数，使得则称的后继序数；如果序数不是后继序数且不等于0，则称是极限序数；如果，则称。
例如：令
定理1.16（良序化定理） 如果A是一集合，则在A上存在一序关系，使A是一良序集。
一般这样来用这个定理：对于给定的集A，不妨设，其中是一序数。
定义1.17 A是一集合，如果A上的一关系满足下述条件，则称A是一严格偏序集：
(1)
(2)
如果是A上的严格偏序关系，且满足对B中的任意两不同元a与b，都有或成立，则称B是A在关系下的线性序子集。
定理1.18 如果A是一集，是A上的严格偏序关系，则在A中存在极大的线性序子集B(即不存在线性序子集)。
定义1.19 如果A是一集合，是A上的严格偏序关系，如果对任一b∈B，都有，则称c是B的上界。A中的元c如果满足对任一都不成立，则称c是A的极大元。
引理1.20 (Zorn引理) A是一严格偏序集，如果A的每一线性序子集都有上界，则A有极大元。
选择公理1.21 A是一集合，召是由A的某些非空子集构成的集族，则存在一映射，使得对每一，都有f(B)∈B。
注 如果已知良序化定理，可以把集合A先良序化，对A中的任一非空子集B，可令，(B)为B中的最小元，因此，如果已知良序化定理，可证明选择公理，另一方面，若已知选择公理，也可证良序化定理。
1.5 集合的势
前面介绍了序数，对于自然数m与n，若m≠n，不可能找到m与n间的双映射，但对于，可建立与间的双映射，例如：令，因此，是一双映射，把与这样的序数称为基数。
定义1.22 如果一序数不能与比它小的序数建立双映射，则称是一基数。
因此与都是基数，但不是基数。
定义1.23 集合A的势是能与集合A建立双映射的最小序数，记为|A|。
由定义可知，|A|是一基数。
定价：49.0
ISBN：9787030300874
作者：彭良雪
版次：1
出版时间：2017-09
内容提要：
本书从拓扑学最基本的概念及构造拓扑的方法开始，通过最基本的例子，逐步介绍一般拓扑学的基本概念与基本理论，主要内容包括：集论初步知识、构造拓扑方法、几种可数性的关系、连续映射性质、紧性质、连通性质、分离性质、紧化与度量化定理等。
目录：
目录
前言
第1章 预备知识 1
1.1 集合的表示 1
1.2 集合的运算 1
1.3 映射 2
1.4 序 4
1.5 集合的势 6
1.6 超限归纳法 11
练习 11
第2章 拓扑空间的基本知识 13
2.1 开集 14
2.2 闭集 15
2.3 基 15
2.4 邻域 17
2.5 闭包、聚点与边缘 20
2.6 内部 25
2.7 生成拓扑的方法 27
2.7.1 构造拓扑的基 27
2.7.2 构造所需拓扑的开邻域基 28
2.7.3 子空间拓扑 30
2.7.4 子基生成的拓扑 31
2.7.5 积空间 32
2.8 几种可数性间的相互关系 36
练习 37
第3章 连续映射 39
3.1 几种等价命题 39
3.2 连续映射保持的一些特殊性质 41
3.3 开映射、闭映射及商映射 44
3.4 同胚映射 48
练习 50
第4章 连通空间与道路连通空间 52
4.1 连通空间与连通集的基本性质 52
4.2 实数直线上的连通集 54
4.3 连通空间的积空间及连通性质的应用 55
4.4 道路连通空间 58
练习 61
第5章 紧空间 62
5.1 紧空间与紧集的等价命题及性质 62
5.2 R中的紧集 63
5.3 Rn中的紧集 65
5.4 紧空间的无限积空间 68
5.5 完备映射 69
5.6 第一纲集与第二纲集 71
练习 72
第6章 分离性 74
6.1 To，T1，T2及正则空间 74
6.2 正规空间 77
6.3 遗传正规空间 81
6.4 Urysohn引理与Tietze扩张定理及应用 82
6.4.1 Urysohn引理与完全正规空间 82
6.4.2 Urysohn引理在势方面的应用 86
6.4.3 Tietze扩张定理 86
6.5 关于完全正则空间 89
6.6 与分离性有关的几个结论 90
练习 92
第7章 紧性的推广与紧化 93
7.1 局部紧空间 93
7.2 仿紧空间 94
7.3 可数紧空间 97
7.4 紧化 100
7.4.1 单点紧化 100
7.4.2 Stone-Cech紧化及紧化的某些应用 101
7.5 伪紧空间 111
练习 114
第8章 度量空间 116
8.1 基本性质 116
8.2 度量空间的可数积性质 119
8.3 度量空间的覆盖性质 121
8.4 度量化定理 123
8.5 度量空间中的几种可数性质及应用 125
练习 131
参考文献 132
索引 133
在线试读：
第1章 预备知识
一般拓扑学主要讲述拓扑空间的内部结构及拓扑空间相互间的关系，由于拓扑结构是在集合上建立的，因此有必要讨论一下集合的基本知识。
在学习一门课程的时候，往往要给出最基本定义，那什么是集合呢？以前往往这样定义：集合就是具有特定性质的事物的全体，如用符号表示应是：集合A={x：x具有性质P}。其实如上定义将会导致矛盾的出现，例如，令X={x：x是集合}，（其中譬为不属于符号，∈为属于符号），则A是集合，这样。如果，则；如果，则，这是相互矛盾的，因此说“集合就是具有特定性质的事物的全体”这句话是有问题的，这就是著名的Rusell悖论，为了避免上面所出现的矛盾，人们给出了有关集合的一些公理，可参阅文献[5]。
只需对集合有个初步的了解，即只需知道所用到的集合是有意义的，一些详细的知识可参阅文献[5]。下面来看集合的表示与运算。
1.1 集合的表示
一般用大写字母表示集合，如集合A，B，C等，用小写字母表示集合中的元素。
如，则称是集合的元素，用表示是集合的元素，若d不是A的元素，用表示，用R表示实数集，即R={x：x是实数}。令Q={x：x是有理数}，N={n：n是正整数}，X={n：礼是整数}，以后将用R，Q，N和X来分别表示实数集、有理数集、自然数集和整数集，用表示空集，即不含任何元素的集合，如果集合A中的每一元素都是集合B中的元素，则称集合A是集合B的子集，记为，如果不成立，记为。有时集合也简称为集，如果同时，则A=B：如果与不同时成立，则称A≠B。
1.2 集合的运算
定义集合的并、交、差运算：
常用u来表示一集族，即u中的每一元素也是集合，例如，定义集族u的交与并分别为：例如。
关于集合与集族，有下面的运算：
1.3 映射
定义1.1 设A与B是两个集合，集合称为集合A与集合B的笛卡儿积，记为AxB，读作“A叉乘B”或“A与B的积”，其中(a，b)为一有序偶，称a为(a，b)的第一个坐标，b为(a，b)的第二个坐标，称A为A×B的第一坐标集，B为AxB的第二坐标集，把AxB称为A与B的积集，简称为积。
定义1.2 设X与y是两集合，如果F是XxY的一个子集，即Fc X×y，则称F是从X到y的关系，如果(x，y)∈F，则称xFy。
定义1.3 若F是从A到B的关系，且对每一a∈A，都存在**的b∈B，使得aFb，则称F是从A到B的映射。
一般用f来表示一映射，即，称A是映射，的定义域，B是f的值域，值域为实数直线或实数直线子集的映射称为函数。因此，存在，使得，于是，称f(A)为A在f下的像，如果，则称，是满映射，简称为满射，对于任意若a≠b，有f (a)≠f(b)，则称f是单映射，简称为单射。如果f既是单映射又是满映射，则称f是一一映射，或称为双映射，对于，令。
若是一个映射，则f的一些基本性质如下：
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
如果是一个映射，是一个映射，则称是f与g的复合，即。
例1.4 X={1,2,3),y={a,b)。
下面几点是值得注意的：
(1) 一个单映射不一定是满映射。
例1.5令f1(1)=4，f1(2)=5，f1(3)=6，则f1是单映射，但不是满映射。
(2) 一个满映射不一定是单映射。
例1.6 令f2(1)=a，f2(2)=a，f2(3)=b，则f2是满映射，但不是单映射。
(3) 如果是一映射，则，但不一定有。若上述，是单映射且。
例如例1.6中的映射f2，若A={1}，则应说明的一点是若，是单映射，则一定有，其中。
(4) 如果是一映射，对任一，有，但不一定有。若上述，是满映射且，则。
对于例1.5中的映射f1，若令B={6，7），则。因此。应说明的一点是若，是满映射，则一定有，其中。
1.4 序
实数集R具有如下性质：
(1) 对于任意x∈R，y∈R，若x≠y，则有x<y或y<x；
(2) 若x∈R，y∈R，z∈R，且x<y，y<x，则一定有x<x成立；
把具有上述性质(1)与(2)的集合称为线性序集，下面是序的具体定义。
定义1.7 在集合A上的一关系F，如果满足如下条件，称之为序关系：
(1) 对任意x∈A，y∈A，如果x≠y，则有x Fy或yFx成立；
(2) 对任意x∈A，x Fx都不成立；
(3) 如果xFy，yFx，则有xFx。
如果在集合A上有如上的序关系，则称A是一线性序集，称F为A上的线性序关系。
定义1.8 如果X是一集合且<是X上的线性序关系，且a<b，用(a，b)表示集合，一般称(a，b)为一区间，如果，则称b是a的后继元。
定义1.9 如果A与B是两集合，且分别有序关系<A与<B，若存在一双映射，使得当时有；则称A与B有相同的序型，称这样的，是序保持双映射。
例1.10 实数直线R上的区间(-1，1)与R有相同的序型。
令，满足，则f是一序保持双映射。
定义1.11 若A是一序集，为A上的线性序关系。
(1) 如果b∈A0，且对每一个x∈A0，若x≠6，都有x<b，则称b是A0的**元，记为；
(2) 如果b∈A且对任意x∈A0都有x<b或x-b，则称b是A0的上界；
(3) 如果b是A0的上界，且对A0的每一上界c，若c≠6，都有b<c，则称b是A0的上确界，记为b= sup A0。
类似地有下界、最小元(min)及下确界(inf)的定义，这里不再重复。
定义1.12 若A是一线性序集，且对A的任一非空子集B都存在最小元，则称A是良序集。
定理1.13 自然数集Ⅳ是一良序集。
证明 按良序集的定义，只需证N的每一非空子集A都存在最小元，易知对任一的任一非空子集存在最小元，令，取，则有，使得。因此，且有，这样的最小元即是A的最小元。
注 整数集Z和实数集R都不是良序集，但它们都是线性序集。
有了上述良序集的定义，便有如下序数的概念。
定义1.14 如果集合A的每个元素都是A的子集，则称A是一传递集。
例如：是一传递集。
定义1.15 按∈关系是良序的传递集合称为序数，对于一序数，如果存在序数，使得则称的后继序数；如果序数不是后继序数且不等于0，则称是极限序数；如果，则称。
例如：令
定理1.16（良序化定理） 如果A是一集合，则在A上存在一序关系，使A是一良序集。
一般这样来用这个定理：对于给定的集A，不妨设，其中是一序数。
定义1.17 A是一集合，如果A上的一关系满足下述条件，则称A是一严格偏序集：
(1)
(2)
如果是A上的严格偏序关系，且满足对B中的任意两不同元a与b，都有或成立，则称B是A在关系下的线性序子集。
定理1.18 如果A是一集，是A上的严格偏序关系，则在A中存在极大的线性序子集B(即不存在线性序子集)。
定义1.19 如果A是一集合，是A上的严格偏序关系，如果对任一b∈B，都有，则称c是B的上界。A中的元c如果满足对任一都不成立，则称c是A的极大元。
引理1.20 (Zorn引理) A是一严格偏序集，如果A的每一线性序子集都有上界，则A有极大元。
选择公理1.21 A是一集合，召是由A的某些非空子集构成的集族，则存在一映射，使得对每一，都有f(B)∈B。
注 如果已知良序化定理，可以把集合A先良序化，对A中的任一非空子集B，可令，(B)为B中的最小元，因此，如果已知良序化定理，可证明选择公理，另一方面，若已知选择公理，也可证良序化定理。
1.5 集合的势
前面介绍了序数，对于自然数m与n，若m≠n，不可能找到m与n间的双映射，但对于，可建立与间的双映射，例如：令，因此，是一双映射，把与这样的序数称为基数。
定义1.22 如果一序数不能与比它小的序数建立双映射，则称是一基数。
因此与都是基数，但不是基数。
定义1.23 集合A的势是能与集合A建立双映射的最小序数，记为|A|。
由定义可知，|A|是一基数。