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书名：共轭曲面的数字仿真原理及其工程应用
定价：78.0
ISBN：9787030530332
作者：阎长罡
版次：31
出版时间：2017-06
内容提要：
共轭曲面原理是高副机构的理论基础，本书主要介绍基于数学规划研究共轭曲面原理的新方法——数字仿真方法以及该方法的一些应用实例。
本书内容共有9章，分为两部分：理论部分与应用部分。第1章为共轭曲面原理基础，第2章介绍共轭曲面的数字仿真原理，这两章属于理论部分。第3章～第9章为应用部分，其中，第3章介绍一种特殊原理的传动类型——0°渐开线包络蜗杆传动；第4章为齿条加工齿轮的仿真过程；第5章为螺杆加工用指状铣刀廓形的计算；第6章为螺杆加工用盘铣刀廓形的计算；第7章为双圆弧齿轮滚刀铲磨砂轮的廓形计算；第8章为螺杆磨削砂轮廓形的计算；第9章介绍共轭曲面的数字仿真原理在数控侧铣加工中的应用。本书内容是根据作者多年的研究成果和工程实践撰写的，在强调理论严密性、科学性的基础上，更加注重方法的实用性和操作的便利性。
目录：
目录
前言
第1章 共轭曲面原理基础 1
1.1 回转运动群与圆矢量函数 1
1.1.1 回转运动群 1
1.1.2 圆矢量函数 4
1.2 研究曲面的标架方法 5
1.3 共轭曲面的基本方程及微分关系式 6
1.3.1 共轭曲面的基本方程 6
1.3.2 微分关系式 7
1.4 共轭曲面的求解 11
1.5 诱导曲率 13
1.6 隐函数的存在性与函数的奇异性 15
1.6.1 f(u,v,w)=0形式的隐函数存在性及解的奇异特征 15
1.6.2 函数方程组解的存在性及奇异特征 17
1.7 共轭的两类界限与奇点共轭 22
1.7.1 一类界限 22
1.7.2 二类界限 23
1.7.3 奇点共轭 24
参考文献 26
第2章 共轭曲面的数字仿真原理 27
2.1 共轭曲面数字仿真原理的产生过程 27
2.2 共轭过程的数字仿真模型 29
2.2.1 数字仿真的基本构思 29
2.2.2 数字仿真的数学模型 30
2.3 标杆函数的存在性及*小值条件 32
2.3.1 标杆函数的存在性 32
2.3.2 标杆函数的*小值条件 33
2.4 共轭的界限 34
2.4.1 解存在性的基础方程 34
2.4.2 一类界点条件 35
2.4.3 二类界点条件 36
2.4.4 奇解点条件 37
2.5 标杆函数的性质与共轭曲面基本特征的关系 37
2.5.1 一般共轭情形 37
2.5.2 奇点共轭情形 41
2.6 接触域的仿真分析 44
2.6.1 概述 44
2.6.2 诱导曲率 45
2.6.3 曲面离差与接触域的确定 46
2.7 共轭曲面第二类问题的数字仿真研究 48
2.7.1 共轭曲面的第二类问题 48
2.7.2 数字仿真模型的建立 48
2.7.3 算例 50
参考文献 53
第3章 0°渐开线包络蜗杆传动 55
3.1 二次包络与奇点共轭 55
3.1.1 奇点共轭的二次包络实现 55
3.1.2 对二次包络的再认识 57
3.2 一次包络下渐开线螺旋面的奇点共轭实现 58
3.3 0°渐开线包络蜗杆传动概述 59
3.4 啮合面 61
3.5 蜗杆廓面方程 65
3.6 0°渐开线包络蜗杆啮合过程的数字仿真 68
3.6.1 0°渐开线包络蜗杆传动的仿真模型 68
3.6.2 蜗杆廓面上的一类界点条件 70
3.7 0°渐开线包络蜗杆齿面构成的数字分析 72
3.8 0°渐开线包络蜗杆传动的仿真接触域分析 80
3.8.1 仿真接触线分析 80
3.8.2 仿真接触域分析 82
参考文献 83
第4章 齿条加工齿轮的仿真过程 84
4.1 解析方法 84
4.2 共轭曲面的数字仿真方法 86
第5章 螺杆加工用指状铣刀廓形的计算 89
5.1 泛外摆线螺杆面方程的建立 89
5.1.1 螺杆面端面线形的构成 89
5.1.2 螺杆面方程的建立 91
5.2 指状铣刀廓形计算的解析方法与仿真方法 91
5.2.1 解析方法 91
5.2.2 仿真方法 94
5.3计算实例及计算结果 96
5.4 端面为离散点形式的螺杆加工指状铣刀的廓形计算 97
5.4.1 无侧隙时指状铣刀廓形的计算与校验 97
5.4.2 有侧隙时指状铣刀廓形的计算与校验 100
第6章 螺杆加工用盘铣刀廓形的计算 103
6.1 螺杆的端面齿形 103
6.1.1 阴螺杆的端面齿形 103
6.1.2 阳螺杆的端面齿形 105
6.2 盘铣刀廓形计算的解析方法 108
6.3 盘铣刀廓形计算的仿真方法 111
6.4 盘铣刀廓形的准确性校验 114
6.4.1 误差设为X方向 114
6.4.2 误差设为Y方向 115
6.4.3 误差的计算与分析 115
参考文献 116
第7章 双圆弧齿轮滚刀铲磨砂轮的廓形计算 117
7.1 双圆弧滚刀法向截形的描述 118
7.2 双圆弧齿轮滚刀铲磨砂轮廓形的解析计算 120
7.2.1 砂轮铲磨滚刀坐标系的建立 120
7.2.2 砂轮铲磨滚刀解析数学模型的建立 121
7.3 铲磨砂轮廓形计算的数字仿真方法 124
7.4 计算实例 125
7.5 铲磨砂轮廓形的准确性校验 126
7.6 滚刀重磨对滚齿加工齿形误差的影响 129
7.6.1 滚齿加工的通用数字仿真模型 129
7.6.2 滚刀重磨后的滚齿加工齿形误差计算 133
7.6.3 砂轮铲磨工艺参数对滚齿加工齿形误差的影响 135
参考文献 135
第8章 螺杆磨削砂轮廓形的计算 136
8.1 砂轮廓形计算的解析方法 136
8.1.1 问题的提出 136
8.1.2 螺杆面方程的建立 137
8.1.3 磨削加工中心距的确定 139
8.1.4 确定砂轮廓形的解析方法 139
8.2 砂轮廓形计算的仿真方法 143
8.2.1 *小值条件与啮合条件的对比 143
8.2.2 砂轮廓形的仿真计算 145
8.3 砂轮截形准确性的校验 146
参考文献 149
第9章 共轭曲面的数字仿真原理在数控侧铣加工中的应用 150
9.1 引言 150
9.2 叶片曲面的造型 151
9.3 两点偏置法确定初始刀位 152
9.4 圆锥刀侧铣加工刀位规划的*小二乘法 154
9.5 圆锥刀具面族的包络面与包络误差计算 157
9.5.1 解析方法 157
9.5.2 基于共轭曲面仿真原理的包络面与包络误差计算 163
9.6 加工过程中相邻叶片的干涉检查 165
9.7 基于共轭曲面仿真原理的侧铣刀位*优性条件的生成 166
9.7.1 单刀位优化的难点分析 166
9.7.2 刀位的*优性判定条件 167
参考文献 171
在线试读：
第1章 共轭曲面原理基础
本章主要介绍共轭曲面原理研究的基本工具、理论与方法，以及相关概念，为后续的研究和应用提供必备的知识。内容包括回转运动群与圆矢量函数、研究曲面的标架方法、共轭曲面的基本方程、共轭曲面的求解、诱导曲率、隐函数的存在性与函数的奇异性、共轭的两类界限与奇点共轭。
1.1 回转运动群与圆矢量函数
1.1.1 回转运动群
1．回转运动群的定义与性质
矢量R绕单位矢量为0的轴回转（角度）后成为矢量r，则有
（1.1）
式中，B为回转运动群，简称回转群[1]。回转运动群属于合同变换群的一种，因而满足群公理，即具有封闭性、满足结合律、并存在幺元和逆元。回转运动群方法描述了刚体的回转运动，给曲面问题的研究带来了方便。
在已知正交标架{o,ijk}中，有回转轴op，如图1.1所示，则单位矢量0可表示为
（1.2）
式中的坐标分量，且满足
回转运动群具有以下基本性质：
（1）即回转轴上的矢量回转后仍为自身；
（2）E为恒等变换，即幺元；
（3）为回转运动群的逆元，可描述逆方向回转运动；
图1.1 回转运动群
（4）即两矢量回转前的纯积等于回转后的纯积，特别地，[Ba]2a2，表明回转运动群仅回转矢量位置而不改变其大小；
（5）即两矢量回转的矢积等于矢积的回转；
（6）
（7）其中，是一反对称矩阵，其非零元素是0的坐标分量，即
因为具有重要性质：0RR。所以，有
2．回转运动群的矩阵表示法
回转运动群可有多种表示方法，其中，矩阵表示法应用*为广泛。下面就直角坐标系{O,XYZ}中，矢量R绕Z轴回转时回转运动群的矩阵表示进行描述。如图1.2所示，设坐标轴X,Y,Z的单位矢量分别为i,j,k，已知矢量R绕Z轴回转后成为矢量r，则R,r的坐标表示分别为
（1.3）
（1.4）
式中，X,Y,Z为R的坐标分量；x,y,z为r的坐标分量。可知
（1.5）
写成矩阵形式有
（1.6）
或可缩写成
式中
（1.7）
即为回转运动群的矩阵表示。此时回转轴的单位矢量为0k，据此可知：
（1.8a）
（1.8b）
图1.2 绕Z轴回转矢量
3．回转运动群的并矢表示法
回转运动群也可以写成如下形式：
（1.9a）
或者写成
（1.9b）
式中，表示并矢式，注意，它并不表示两矢量的数量积，而具有类似矩阵的性质；E称为恒等并矢，具有单位矩阵的性质，并矢的运算规则见文献[2]。
1.1.2 圆矢量函数
设B表示绕Z轴的回转运动群，如果将B作用于坐标轴X,Y的单位矢量i,j，则有
（1.10）
（1.11）
将以上结果分别用e,1e表示，则有
（1.12）
（1.13）
式中，e,1e称为圆矢量函数。可见，圆矢量函数在本质上与回转运动群是相通的，但是它表示的是二维平面内的回转运动。圆矢量函数具有以下重要性质：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
1.2 研究曲面的标架方法
活动标架方法是研究现代微分几何学的方法之一。活动标架系指依附于图形的正交单位坐标系。可令标架的原点p位于曲面rr(u,v)上，其中，u,v为曲面参数，标架1e,2e处于该曲面的切平面内，3e为曲面上的单位法矢，一般可将标架记为123{r(u,v),eee}。活动标架方法与回转运动群方法相结合，可以用来描述标架在所研究曲面上的几何运动和标架随该曲面的机械运动。活动标架在曲面上可以有两类无穷小的运动：无穷小平移和无穷小回转。这两类无穷小运动同曲面的形状特征密切相关，因此，产生了一种将运动学和几何学联系起来的研究方法。
矢径rr(u,v)的微分表达式可以写成
（1.14）
式中，ur,vr分别表示矢径r对u,v的偏导矢。可将dr进一步写成以下形式：
（1.15）
其中，
（1.16）
式（1.14）和式（1.15）即为标架的无穷小平移表达式。1,2表示标架原点在1e,2e方向的无穷小位移，即曲面沿1e,2e方向的弧微分。从解析上看，1,2又是关于u,v的一次微分形式，显然
（1.17）
式中，表示曲面上任意方向的弧微分；s表示弧长。
无穷小回转表达式为
（1.18）
式中，i（i1,2,3）具有明确的物理意义，它表示活动标架瞬时回转角速度矢量的分量，即
（1.19）
其中，1,2,3也是u,v的一次微分形式，可以表示为关于1,2的线性组合，即
（1.20）
其中，系数11c,12c,22c,1g,2g为1,2,3的协变导数，其几何意义如下：11c,22c分别是曲面在1e,2e方向的负法曲率；12c是曲面在1e方向的负测地挠率；1g,2g为曲面在1e,2e方向的测地曲率。
上面的五个微分形式1,2,1,2,3构成了曲面的不变式，其中，1,2决定曲面的尺度特征；1,2,3决定曲面的形状特征。在标架方法中，曲面的法曲率可以表示为
（1.21）
将式（1.15）、式（1.17）、式（1.18）及式（1.20）代入上式可得
（1.22）
式中，为法曲率所在方向与1e的夹角。
1.3 共轭曲面的基本方程及微分关系式
1.3.1 共轭曲面的基本方程
本章仅讨论固定中心距、定速比、无轴向进给条件下的共轭运动过程。符号规定：用大写字母表示回转前的诸几何与运动要素，回转后的要素则用对应的小写字母表示。针对两共轭曲面的相同要素，分别冠以上角标“1”“2”以示区别。
设分别表示两回转轴的单位方向矢量，(1),(2)为回转角速度矢
定价：78.0
ISBN：9787030530332
作者：阎长罡
版次：31
出版时间：2017-06
内容提要：
共轭曲面原理是高副机构的理论基础，本书主要介绍基于数学规划研究共轭曲面原理的新方法——数字仿真方法以及该方法的一些应用实例。
本书内容共有9章，分为两部分：理论部分与应用部分。第1章为共轭曲面原理基础，第2章介绍共轭曲面的数字仿真原理，这两章属于理论部分。第3章～第9章为应用部分，其中，第3章介绍一种特殊原理的传动类型——0°渐开线包络蜗杆传动；第4章为齿条加工齿轮的仿真过程；第5章为螺杆加工用指状铣刀廓形的计算；第6章为螺杆加工用盘铣刀廓形的计算；第7章为双圆弧齿轮滚刀铲磨砂轮的廓形计算；第8章为螺杆磨削砂轮廓形的计算；第9章介绍共轭曲面的数字仿真原理在数控侧铣加工中的应用。本书内容是根据作者多年的研究成果和工程实践撰写的，在强调理论严密性、科学性的基础上，更加注重方法的实用性和操作的便利性。
目录：
目录
前言
第1章 共轭曲面原理基础 1
1.1 回转运动群与圆矢量函数 1
1.1.1 回转运动群 1
1.1.2 圆矢量函数 4
1.2 研究曲面的标架方法 5
1.3 共轭曲面的基本方程及微分关系式 6
1.3.1 共轭曲面的基本方程 6
1.3.2 微分关系式 7
1.4 共轭曲面的求解 11
1.5 诱导曲率 13
1.6 隐函数的存在性与函数的奇异性 15
1.6.1 f(u,v,w)=0形式的隐函数存在性及解的奇异特征 15
1.6.2 函数方程组解的存在性及奇异特征 17
1.7 共轭的两类界限与奇点共轭 22
1.7.1 一类界限 22
1.7.2 二类界限 23
1.7.3 奇点共轭 24
参考文献 26
第2章 共轭曲面的数字仿真原理 27
2.1 共轭曲面数字仿真原理的产生过程 27
2.2 共轭过程的数字仿真模型 29
2.2.1 数字仿真的基本构思 29
2.2.2 数字仿真的数学模型 30
2.3 标杆函数的存在性及*小值条件 32
2.3.1 标杆函数的存在性 32
2.3.2 标杆函数的*小值条件 33
2.4 共轭的界限 34
2.4.1 解存在性的基础方程 34
2.4.2 一类界点条件 35
2.4.3 二类界点条件 36
2.4.4 奇解点条件 37
2.5 标杆函数的性质与共轭曲面基本特征的关系 37
2.5.1 一般共轭情形 37
2.5.2 奇点共轭情形 41
2.6 接触域的仿真分析 44
2.6.1 概述 44
2.6.2 诱导曲率 45
2.6.3 曲面离差与接触域的确定 46
2.7 共轭曲面第二类问题的数字仿真研究 48
2.7.1 共轭曲面的第二类问题 48
2.7.2 数字仿真模型的建立 48
2.7.3 算例 50
参考文献 53
第3章 0°渐开线包络蜗杆传动 55
3.1 二次包络与奇点共轭 55
3.1.1 奇点共轭的二次包络实现 55
3.1.2 对二次包络的再认识 57
3.2 一次包络下渐开线螺旋面的奇点共轭实现 58
3.3 0°渐开线包络蜗杆传动概述 59
3.4 啮合面 61
3.5 蜗杆廓面方程 65
3.6 0°渐开线包络蜗杆啮合过程的数字仿真 68
3.6.1 0°渐开线包络蜗杆传动的仿真模型 68
3.6.2 蜗杆廓面上的一类界点条件 70
3.7 0°渐开线包络蜗杆齿面构成的数字分析 72
3.8 0°渐开线包络蜗杆传动的仿真接触域分析 80
3.8.1 仿真接触线分析 80
3.8.2 仿真接触域分析 82
参考文献 83
第4章 齿条加工齿轮的仿真过程 84
4.1 解析方法 84
4.2 共轭曲面的数字仿真方法 86
第5章 螺杆加工用指状铣刀廓形的计算 89
5.1 泛外摆线螺杆面方程的建立 89
5.1.1 螺杆面端面线形的构成 89
5.1.2 螺杆面方程的建立 91
5.2 指状铣刀廓形计算的解析方法与仿真方法 91
5.2.1 解析方法 91
5.2.2 仿真方法 94
5.3计算实例及计算结果 96
5.4 端面为离散点形式的螺杆加工指状铣刀的廓形计算 97
5.4.1 无侧隙时指状铣刀廓形的计算与校验 97
5.4.2 有侧隙时指状铣刀廓形的计算与校验 100
第6章 螺杆加工用盘铣刀廓形的计算 103
6.1 螺杆的端面齿形 103
6.1.1 阴螺杆的端面齿形 103
6.1.2 阳螺杆的端面齿形 105
6.2 盘铣刀廓形计算的解析方法 108
6.3 盘铣刀廓形计算的仿真方法 111
6.4 盘铣刀廓形的准确性校验 114
6.4.1 误差设为X方向 114
6.4.2 误差设为Y方向 115
6.4.3 误差的计算与分析 115
参考文献 116
第7章 双圆弧齿轮滚刀铲磨砂轮的廓形计算 117
7.1 双圆弧滚刀法向截形的描述 118
7.2 双圆弧齿轮滚刀铲磨砂轮廓形的解析计算 120
7.2.1 砂轮铲磨滚刀坐标系的建立 120
7.2.2 砂轮铲磨滚刀解析数学模型的建立 121
7.3 铲磨砂轮廓形计算的数字仿真方法 124
7.4 计算实例 125
7.5 铲磨砂轮廓形的准确性校验 126
7.6 滚刀重磨对滚齿加工齿形误差的影响 129
7.6.1 滚齿加工的通用数字仿真模型 129
7.6.2 滚刀重磨后的滚齿加工齿形误差计算 133
7.6.3 砂轮铲磨工艺参数对滚齿加工齿形误差的影响 135
参考文献 135
第8章 螺杆磨削砂轮廓形的计算 136
8.1 砂轮廓形计算的解析方法 136
8.1.1 问题的提出 136
8.1.2 螺杆面方程的建立 137
8.1.3 磨削加工中心距的确定 139
8.1.4 确定砂轮廓形的解析方法 139
8.2 砂轮廓形计算的仿真方法 143
8.2.1 *小值条件与啮合条件的对比 143
8.2.2 砂轮廓形的仿真计算 145
8.3 砂轮截形准确性的校验 146
参考文献 149
第9章 共轭曲面的数字仿真原理在数控侧铣加工中的应用 150
9.1 引言 150
9.2 叶片曲面的造型 151
9.3 两点偏置法确定初始刀位 152
9.4 圆锥刀侧铣加工刀位规划的*小二乘法 154
9.5 圆锥刀具面族的包络面与包络误差计算 157
9.5.1 解析方法 157
9.5.2 基于共轭曲面仿真原理的包络面与包络误差计算 163
9.6 加工过程中相邻叶片的干涉检查 165
9.7 基于共轭曲面仿真原理的侧铣刀位*优性条件的生成 166
9.7.1 单刀位优化的难点分析 166
9.7.2 刀位的*优性判定条件 167
参考文献 171
在线试读：
第1章 共轭曲面原理基础
本章主要介绍共轭曲面原理研究的基本工具、理论与方法，以及相关概念，为后续的研究和应用提供必备的知识。内容包括回转运动群与圆矢量函数、研究曲面的标架方法、共轭曲面的基本方程、共轭曲面的求解、诱导曲率、隐函数的存在性与函数的奇异性、共轭的两类界限与奇点共轭。
1.1 回转运动群与圆矢量函数
1.1.1 回转运动群
1．回转运动群的定义与性质
矢量R绕单位矢量为0的轴回转（角度）后成为矢量r，则有
（1.1）
式中，B为回转运动群，简称回转群[1]。回转运动群属于合同变换群的一种，因而满足群公理，即具有封闭性、满足结合律、并存在幺元和逆元。回转运动群方法描述了刚体的回转运动，给曲面问题的研究带来了方便。
在已知正交标架{o,ijk}中，有回转轴op，如图1.1所示，则单位矢量0可表示为
（1.2）
式中的坐标分量，且满足
回转运动群具有以下基本性质：
（1）即回转轴上的矢量回转后仍为自身；
（2）E为恒等变换，即幺元；
（3）为回转运动群的逆元，可描述逆方向回转运动；
图1.1 回转运动群
（4）即两矢量回转前的纯积等于回转后的纯积，特别地，[Ba]2a2，表明回转运动群仅回转矢量位置而不改变其大小；
（5）即两矢量回转的矢积等于矢积的回转；
（6）
（7）其中，是一反对称矩阵，其非零元素是0的坐标分量，即
因为具有重要性质：0RR。所以，有
2．回转运动群的矩阵表示法
回转运动群可有多种表示方法，其中，矩阵表示法应用*为广泛。下面就直角坐标系{O,XYZ}中，矢量R绕Z轴回转时回转运动群的矩阵表示进行描述。如图1.2所示，设坐标轴X,Y,Z的单位矢量分别为i,j,k，已知矢量R绕Z轴回转后成为矢量r，则R,r的坐标表示分别为
（1.3）
（1.4）
式中，X,Y,Z为R的坐标分量；x,y,z为r的坐标分量。可知
（1.5）
写成矩阵形式有
（1.6）
或可缩写成
式中
（1.7）
即为回转运动群的矩阵表示。此时回转轴的单位矢量为0k，据此可知：
（1.8a）
（1.8b）
图1.2 绕Z轴回转矢量
3．回转运动群的并矢表示法
回转运动群也可以写成如下形式：
（1.9a）
或者写成
（1.9b）
式中，表示并矢式，注意，它并不表示两矢量的数量积，而具有类似矩阵的性质；E称为恒等并矢，具有单位矩阵的性质，并矢的运算规则见文献[2]。
1.1.2 圆矢量函数
设B表示绕Z轴的回转运动群，如果将B作用于坐标轴X,Y的单位矢量i,j，则有
（1.10）
（1.11）
将以上结果分别用e,1e表示，则有
（1.12）
（1.13）
式中，e,1e称为圆矢量函数。可见，圆矢量函数在本质上与回转运动群是相通的，但是它表示的是二维平面内的回转运动。圆矢量函数具有以下重要性质：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
1.2 研究曲面的标架方法
活动标架方法是研究现代微分几何学的方法之一。活动标架系指依附于图形的正交单位坐标系。可令标架的原点p位于曲面rr(u,v)上，其中，u,v为曲面参数，标架1e,2e处于该曲面的切平面内，3e为曲面上的单位法矢，一般可将标架记为123{r(u,v),eee}。活动标架方法与回转运动群方法相结合，可以用来描述标架在所研究曲面上的几何运动和标架随该曲面的机械运动。活动标架在曲面上可以有两类无穷小的运动：无穷小平移和无穷小回转。这两类无穷小运动同曲面的形状特征密切相关，因此，产生了一种将运动学和几何学联系起来的研究方法。
矢径rr(u,v)的微分表达式可以写成
（1.14）
式中，ur,vr分别表示矢径r对u,v的偏导矢。可将dr进一步写成以下形式：
（1.15）
其中，
（1.16）
式（1.14）和式（1.15）即为标架的无穷小平移表达式。1,2表示标架原点在1e,2e方向的无穷小位移，即曲面沿1e,2e方向的弧微分。从解析上看，1,2又是关于u,v的一次微分形式，显然
（1.17）
式中，表示曲面上任意方向的弧微分；s表示弧长。
无穷小回转表达式为
（1.18）
式中，i（i1,2,3）具有明确的物理意义，它表示活动标架瞬时回转角速度矢量的分量，即
（1.19）
其中，1,2,3也是u,v的一次微分形式，可以表示为关于1,2的线性组合，即
（1.20）
其中，系数11c,12c,22c,1g,2g为1,2,3的协变导数，其几何意义如下：11c,22c分别是曲面在1e,2e方向的负法曲率；12c是曲面在1e方向的负测地挠率；1g,2g为曲面在1e,2e方向的测地曲率。
上面的五个微分形式1,2,1,2,3构成了曲面的不变式，其中，1,2决定曲面的尺度特征；1,2,3决定曲面的形状特征。在标架方法中，曲面的法曲率可以表示为
（1.21）
将式（1.15）、式（1.17）、式（1.18）及式（1.20）代入上式可得
（1.22）
式中，为法曲率所在方向与1e的夹角。
1.3 共轭曲面的基本方程及微分关系式
1.3.1 共轭曲面的基本方程
本章仅讨论固定中心距、定速比、无轴向进给条件下的共轭运动过程。符号规定：用大写字母表示回转前的诸几何与运动要素，回转后的要素则用对应的小写字母表示。针对两共轭曲面的相同要素，分别冠以上角标“1”“2”以示区别。
设分别表示两回转轴的单位方向矢量，(1),(2)为回转角速度矢