有限群表示论

本书是南开大学代数类课程整体规划系列教材的第四本，是在作者多年从事代数类系列课程的教学过程中逐渐完成的.在国内外已有的同类教材的基础上，编者根据自己对代数学的理解，按照有限群表示论发展的主要脉络来安排本书的内容全书分为8章，

包括预备知识、表示论的基本概念、特征标、McKay对应、群代数、对称群与交错群的表示、诱导表示和一般数域上的表示等.本书的编写原则是关注数学概念的起源，遵循数学理论的发展历程，强调理论的整体性和内在联系.书中配有大量编者精心挑选的思考题，

既有助于强化读者对课程内容的理解，也为后续的代数学课程埋下了伏笔。

Lie代数

本书是南开大学代数类课程整体规划系列教材的第三本。本书以高等代数和抽象代数为基础，主要讲述特征为零的代数闭域上的半单Lie代数的分类理论，同时讲述了实半单Lie代数的部分分类结果。

本书配备了比较多的习题，其中部分习题是由文献中的研究论文转化而来的，希望初学者独立思考，打好坚实的Lie代数基础。

高等代数与解析几何

本书是南开大学代数类课程整体规划系列教材的第一本，是在编者多年从事代数类课程及后续代数课程的教学过程中逐渐完成的。在国内外已有的同类教材的基础上，编者根据自己对代数学的理解，

按照代数学发展的主要脉络来安排本书的内容。全书分为8章，包括多项式、行列式、矩阵、线性空间、线性变换、线性函数与双线性函数、Euclid空间和二次…面等。

本书的编写原则是关注数学概念的起源，遵循数学理论的发展历程，强调理论的整体性和内在联系。书中配有大量编者精心挑选的习题和训练与提高题，既有助于强化读者对课程内容的理解，也为后续的代数学课程埋下了大量伏笔。

抽象代数

是南开大学代数类课程整体规划系列教材的第二本， 主要讲述群、环、模、域等理论中基础的知识， 以大学一年级的《高等代数》课程为基础.本书特别注意讲清定理、定义的来源以及其中包含的数学思想.书中配有大量精心挑选的习题和训练与提高题.本书可用于大学本科数学与应用数学专业两学期的《抽象代数》课程， 特别适合国内985 或211 学校或类似的本科学校的该课程的教学. 本书也可用于数学爱好者自学或数学工作者参考. 　　

作者团队介绍：
邓少强、朱富海、陈智奇、王秀玲等老师组成的南开大学代数类课程教学团队被评为天津市优秀教学团队，该团队在代数类课程的教学过程中有独特的见解，团队成员整体规划代数类课程，把本科代数类课程打通，关注数学概念的起源，遵循数学理论的发展历程，强调理论的整体性和内在联系，让读者对代数类课程有整体的把握.
代数教学团队负责人邓少强教授，荣获南开大学教学名师奖，天津市教学名师奖，主讲国家精品资源共享课“抽象代数”，主持教改项目《代数类课程的改革与实践》获南开大学教学成果一等奖.

编辑推荐
本套教材是南开大学代数类课程精品系列教材，把本科代数类课程打通，关注数学概念的起源，遵循数学理论的发展历程，强调理论的整体性和内在联系，书籍编写过程中注意“历史途径法”的应用，让读者对代数类课程知识背景熟悉，对所学课程有整体的把握.作者团队是天津市优秀教学团队，曾获南开大学教学成果一等奖，写作经验与教学经验丰富.
有限群表示论本身短小精悍, 其核心是特征标理论, 又可以发展到结合代数、诱导表示、模表示论等内容, 可以根据教学时间适当取舍.  课程的学习既可以强化学生的代数学基本功,加深对代数学基础理论的理解, 也可以让学生初步了解到数学研究的进程, 在这个过程中学会灵活运用高等代数、抽象代数的理论来解决问题.

有限群表示论

目录

前言 

引言 1 

第1章 预备知识 4 

1.1 矩阵可对角化 4 

1.2 同态与群作用 6 

1.3 几何图形的对称群 9 

1.4 张量 15 

1.5 代数数与代数整数 20 

第2章 表示论的基本概念 22 

2.1 表示的起源 22 

2.2 表示的基本概念 28 

2.3 不可约表示 37 

第3章 特征标 40 

3.1 Schur引理 40 

3.2 第一正交关系 44 

3.3 左正则表示 50 

3.4 类函数空间 56 

3.5 特征标表 61 

3.6 特征标中的正规子群 63 

3.7 第二正交关系 … 

第4章 McKay对应 66 

4.1 点群的表示 66 

4.1.1 二面体群 66

4.1.2 正八面体群 69 

4.1.3 正二十面体群 70 

4.2 McKay图 73 

第5章 群代数 80 

5.1 结合代数 80 

5.2 半单结合代数 84 

5.3 群代数CG的结构 91 

5.4 特征标的整性与paqb定理 95 

5.5 Hopf代数与Schur-Weyl对偶 99 

第6章 对称群与交错群的表示 104 

6.1 Young图与Young表 104 

6.2 Young对称化子 106 

6.3 Young图的应用 111 

6.4 交错群的表示 112 

第7章 诱导表示 116 

7.1 诱导表示的等价定义 116 

7.2 诱导表示的特征标 120 

第8章 一般数域上的表示 124 

8.1 实表示 124 

8.1.1 实形式与复化 124 

8.1.2 复表示的实形式 126 

8.1.3 实表示的复化 127 

8.1.4 实特征标 130 

8.1.5 不变双线性函数 131 

8.1.6 Frobenius-Schur指标 133 

8.2 分裂域 134 

8.3 有理群与有理表示群 136 

参考文献 139 

索引 141 

记号索引 144

Lie代数

目录
前言
第0章 预备知识 1
0.1 Jordan-Chevalley分解 1
0.2 线性空间的张量积 5
0.3 实线性空间的复化 9
第1章 Lie代数的基本概念 12
1.1 Lie代数的定义 12
1.2 Lie代数的同态 18
1.3 幂零Lie代数 21
1.4 可解Lie代数与Lie定理 25
1.5 半单Lie代数 29
1.6 Lie代数的表示 34
第2章 复半单Lie代数的Dynkin图 39
2.1 Casimir元 39
2.2 Weyl定理及其应用 42
2.3 sl（2，C）的表示 46
2.4 复半单Lie代数的根空间分解 49
2.5 复半单Lie代数的根系 55
2.6 Dynkin图 61
2.7 Dynkin图的实现 66
2.8 Weyl群 71
第3章 复半单Lie代数的分类 75
3.1 Cartan子代数 75
3.2 共轭定理 79
3.3 复半单Lie代数的分类定理 83
3.4 Serre定理 90
第4章 实半单Lie代数简介 101
4.1 紧Lie代数 101
4.2 Cartan分解 104
4.3 Cartan子代数 109
4.4 Satake图 111
参考文献 118
索引 119

高等代数与解析几何

目录

前言

引言 1

第1章 多项式 4

1.1 数域 4

1.2 一元多项式的基本概念与运算 10

1.3 辗转相除法 16

1.4 因式分解 22

1.5 不可约多项式 27

1.6 多元多项式 36

第2章 行列式 45

2.1 行列式的定义与完全展开 45

2.2 行列式的性质 51

2.3 行列式计算的典型方法 60

2.4 Cramer法则 68

第3章 矩阵 73

3.1 矩阵的基本概念与运算 73

3.2 可逆矩阵 84

3.3 矩阵的初等变换与初等矩阵 90

3.4 矩阵的相抵和秩 96

第4章 线性空间 105

4.1 线性空间的基本概念 105

4.2 基与维数 112

4.3 子空间 118

4.4 线性映射与商空间 124

4.5 线性方程组 132

4.6 矢量空间 141

第5章 线性变换 150

5.1 线性变换的基本概念与运算 150

5.2 线性变换的矩阵 155

5.3 特征值与特征向量 160

5.4 可对角化的线性变换 167

5.5 不变子空间 172

5.6 Jordan标准形 177

5.7 多项式矩阵 187

第6章 线性函数与双线性函数 197

6.1 对偶空间 197

6.2 双线性函数 203

6.3 对称双线性函数与二次型 211

6.4 惯性定理与正定二次型 219

第7章 Euclid空间 228

7.1 Euclid空间的基本概念 228

7.2 标准正交基 234

7.3 正交矩阵与正交变换 242

7.4 正规变换 249

7.5 酉空间 257

第8章 二次…面 262

8.1 二次超…面的分类 262

8.2 二次…面的分类 270

8.3 二次…面的性质 278

8.4 直纹面和旋转面 285

参考文献 293

名词索引 294

记号索引 301 

抽象代数

前言

引言　1

第1章 群　3

1.1 半群与群　3

1.2 子群与陪集　10

1.3 正规子群与商群　18

1.4 群的同态与同构　22

1.5 循环群　31

1.6 对称群与交错群　33

1.7 群的扩张与Jordan-H？lder定理　37

1.8 可解群和幕零群　44

1.9 群在集合上的作用　49

1.10 Sylow定理　56

1.11 本章小结　59

第2章 环　61

2.1 环的定义与基本性质　61

2.2 理想与商环　67

2.3 四元数体　73

2.4 环的同态　76

2.5 整环上的因子分解　83

2.6 素理想与极大理想　90

2.7 主理想整环与欧几里得环　94

2.8 环上的多项式　99

2.9 整环上的多项式环　107

2.10 对称多项式　111

2.11 本章小结　114

第3章 模　115

3.1 模的基本概念　115

3.2 环上的矩阵与模的自同态环　121

3.3 自由模　129

3.4 主理想整环上的有限生成模　133

3.5 有限生成的交换群　142

3.6 线性变换的标准形　144

3.7 本章小结　151

第4章 域　153

4.1 域的基本概念　153

4.2 代数扩张　158

4.3 尺规作图　163

4.4 分裂域　166

4.5 Galois群　171

4.6 Galms扩张与Galms对应　175

4.7 有限域　179

4.8 可分多项式与完备域　184

4.9 可分扩张　188

4.10 Galois逆问题　192

4.11 Abel扩张　196

4.12 方程的根式解　200

4.13 本章小结　203

参考文献　205

索引　206