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书名：常微分方程及其应用（第二版）
定价：49.0
ISBN：9787030265111
作者：编者#cln#周义仓//靳祯//秦军林
版次：2
出版时间：2010-02
内容提要：
本书是常微分方程理论、方法与应用有机结合的一本教材，保持了我国现行教材理论性强、方法多样、技巧和实例丰富等特点，并结合国外教材强调建模、应用和计算机等特点，形成理论、方法、建模、应用、计算机互相渗透与补充的新体系。不仅能够训练学生严密的数学思维方式，而且可以引导学生通过建立数学模型解决实际问题。既讲述求解各类微分方程解析解、数值解的方法，又介绍用计算机进行理论分析、求解方程和给出图形显示的过程。本书的主要内容包括求解各类微分方程的方法，常微分方程的基本理论、近似方法及其实现，以及建立微分方程模型解决实际问题。
目录：
目录
第二版前言
**版前言
第1章 引论 1
1.1 微分方程的概念和实例 1
1.1.1 导出微分方程的一些实际例子 1
1.1.2 微分方程的概念 3
1.1.3 微分方程的发展 6
习题1.1 8
1.2 解的存在**性 9
1.2.1 例子和思路 10
1.2.2 存在**性定理及其证明 12
1.2.3 存在**性定理的说明及例子 16
习题1.2 20
1.3 一阶微分方程的向量场 22
1.3.1 向量场 22
1.3.2 积分曲线的图解法 26
习题1.3 28
复习题1 28
第2章 一阶微分方程 32
2.1 线性方程 32
2.1.1 线性齐次方程 32
2.1.2 线性非齐次方程 33
2.1.3 Bernoulli方程 36
2.1.4 线性微分方程的应用举例 37
习题2.1 40
2.2 变量可分离的方程 42
2.2.1 变量可分离方程的求解 42
2.2.2 齐次方程 44
2.2.3 变量可分离方程的应用 46
习题2.2 49
2.3 全微分方程 51
2.3.1 全微分方程的定义与充要条件 51
2.3.2 全微分方程的积分 54
2.3.3 积分因子 56
习题2.3 61
2.4 变量替换法 63
2.4.1 形如的方程 63
2.4.2 形如yf（xy）dx+xg（xy）dy=0的方程 64
2.4.3 其他变换举例 65
2.4.4 Riccati方程 67
习题2.4 70
2.5 一阶隐式微分方程 71
2.5.1 可解出x或y的方程与微分法 71
2.5.2 不显含x或y的方程与参数法 75
2.5.3 奇解与包络 78
习题2.5 80
2.6 近似解法 81
2.6.1 逐次迭代法 81
2.6.2 Taylor级数法 83
2.6.3 Euler折线法 85
习题2.6 88
2.7 一阶微分方程的应用 88
2.7.1 曲线族的等角轨线 89
2.7.2 放射性废物的处理问题 91
2.7.3 我国人口的发展预测 92
习题2.7 94
复习题2 95
第3章 二阶及高阶微分方程 99
3.1 可降阶的高阶方程 99
3.1.1 不显含未知函数x的方程 99
3.1.2 不显含自变量t的方程 100
3.1.3 全微分方程和积分因子 101
3.1.4 可降阶的高阶方程的应用举例 102
习题3.1 108
3.2 线性微分方程的基本理论 109
3.2.1 线性微分方程的有关概念 109
3.2.2 齐次线性方程解的性质和结构 111
3.2.3 非齐次线性方程解的结构 117
习题3.2 120
3.3 线性齐次常系数方程 121
3.3.1 复值函数 121
3.3.2 常系数齐次线性方程 123
3.3.3 某些变系数线性齐次微分方程的解法 128
习题3.3 130
3.4 线性非齐次常系数方程的待定系数法 132
3.4.1 非齐次项为多项式的情形 132
3.4.2 非齐次项为多项式与指数函数之积的情形 134
3.4.3 非齐次项为多项式与指数函数、正余弦函数之积的情形 135
习题3.4 138
3.5 高阶微分方程的应用 138
3.5.1 机械振动 138
3.5.2 RLC电路 142
习题3.5 145
复习题3 146
第4章 微分方程组 148
4.1 微分方程组的概念 148
4.1.1 微分方程组的实例及有关概念 148
4.1.2 函数向量和函数矩阵 152
4.1.3 微分方程组解的存在**性定理 156
习题4.1 158
4.2 微分方程组的消元法和首次积分法 160
4.2.1 微分方程组的消元法 160
4.2.2 微分算子与线性微分方程组 162
4.2.3 微分方程组的首次积分法164
习题4.2 167
4.3 线性微分方程组的基本理论 168
4.3.1 线性齐次方程组解的结构 168
4.3.2 非齐次线性微分方程组解的结构 176
习题4.3 179
4.4 常系数齐次线性微分方程组 180
4.4.1 系数矩阵A有单特征根时的解 180
4.4.2 系数矩阵A具有重特征根时的解 185
4.4.3 矩阵指数函数的定义和性质 192
习题4.4 198
4.5 常系数非齐次线性微分方程组 199
4.5.1 常数变易法 199
4.5.2 线性变换法 201
4.5.3 待定系数法 203
习题4.5 207
4.6 微分方程组应用举例 208
4.6.1 两个弹簧和物体的竖直运动 209
4.6.2 复杂电路的计算 210
4.6.3 人造卫星的轨道方程 211
习题4.6 216
复习题4 217
第5章 非线性微分方程组 221
5.1 非线性方程研究的例子与概念 221
5.1.1 例子 221
5.1.2 自治微分方程与非自治微分方程、动力系统 223
5.1.3 基本定义 225
习题5.1 231
5.2 自治微分方程组解的性质 231
5.2.1 自治系统轨线的特点 232
5.2.2 自治系统解的基本性质 234
习题5.2 237
5.3 平面线性系统的奇点及相图 238
5.3.1 几个线性系统的计算机相图 239
5.3.2 平面线性系统的初等奇点 242
习题5.3 248
5.4 几乎线性系统解的稳定性 250
5.4.1 平面几乎线性系统的稳定性 250
5.4.2 高维几乎线性微分方程组的稳定性 257
习题5.4 260
5.5 Lyapunov第二方法 262
5.5.1 定号函数 262
5.5.2 稳定性基本定理 263
5.5.3 稳定性定理的几何意义 267
5.5.4 二次型形式的V函数 267
习题5.5 268
5.6 二维自治微分方程组的周期解和极限环 270
5.6.1 周期解与极限环 270
5.6.2 极限环的存在性 273
5.6.3 极限环的不存在性 274
5.6.4 极限环的稳定性 275
习题5.6 276
复习题5 276
第6章 Maple简介与应用 279
6.1 Maple的基本功能 279
6.1.1 Maple的工作环境 279
6.1.2 Maple的基本运算 280
6.1.3 多项式 282
6.1.4 转换为其他语言 282
6.2 微积分运算 283
6.2.1 极限和连续 284
6.2.2 导数和极值 284
6.2.3 积分 285
6.2.4 级数和积分变换 286
6.3 线性代数 287
6.3.1 矩阵的建立和基本运算 287
6.3.2 矩阵的初等变换和线性方程组求解 288
6.3.3 矩阵的特征值、特征向量和相似 290
6.4 图形 291
6.4.1 二维图形 291
6.4.2 三维绘图 293
6.4.3 动画 295
6.5 方程求解 297
6.5.1 代数方程 297
6.5.2 常微分方程求解 298
6.5.3 微分方程的向量场 301
6.6 Maple编程 302
6.6.1 子程序 302
6.6.2 几种常用的程序结构 303
6.6.3 Maple在微分方程中的应用举例 304
参考文献 308
在线试读：
第1章 引论
常微分方程是现代数学的一个重要分支，是人们解决各种实际问题的有效工具，它在几何、力学、物理、电子技术、自动控制、航天、生命科学、经济等领域都有着广泛的应用。本章介绍常微分方程的一般概念、导出微分方程的一些典型例子、常微分方程解的存在**性、向量场等内容，为求解微分方程和进行理论分析做准备。
1.1 微分方程的概念和实例
弄清一个问题中变量之间的函数关系或其变化趋势对问题的解决往往有着至关重要的作用，但在一些较复杂的变化过程中，变量之间的函数关系无法直接得到。这时就需要在一些理论或经验的基础上找到问题中的一些变量及其导数之间的关系，也就是先找出一个含有未知函数及其导数所满足的方程（称为微分方程），然后通过求解这个方程得到变量间的函数关系，或者在微分方程的基础上进行数值计算和渐近性态研究，从而了解一个系统的发展变化规律。本节先给出一些导出微分方程的例子，再给出微分方程中所涉及的一些定义。
1.1.1 导出微分方程的一些实际例子
为了定量地研究一些实际问题的变化规律，往往是要对所研究的问题进行适当的简化和假设，建立起数学模型，当问题中涉及变量的变化率时，该模型就是一个微分方程。下面通过几个典型的例子来说明建立微分方程模型的过程。
例1.1.1 镭的衰变规律 设镭的衰变速率与该时刻现有的量成正比，并且已知t=0时，镭元素的量为R0g，试确定在任意时刻t镭元素的量。
解 记t时刻镭元素的量为R（t），要直接得出R（t）的函数表达式是比较困难的，因此，通过建立R（t）所满足的微分方程来得到R（t）。由于镭元素的衰变率就是R（t）对时间的变化率dR（t）。根据题目中给出的衰变规律，可以得到下面的一阶微分方程及初始条件：（1.1.1）其中，k>0是比例系数。式（1.1.1）中右端的负号是由于函数R（t）是随时间的增加而单调减少的，故它的导数应该是负的。
寻找t时刻镭含量的函数表达式R（t）就转化为求满足式（1.1.1）中微分方程和初始条件的解R（t）。由数学分析中求导的经验知道函数（1.1.2）满足式（1.1.1）中的微分方程，其中，c为任意常数。为了使式（1.1.2）中的函数再满足R（0）=R0，只需选取c=R0即可。于是得到了镭元素的存量随时间变化的函数表达式为（1.1.3）式（1.1.3）表明，镭元素的量R（t）是按指数规律衰减的。
从例1.1.1可以看到为了求得描述镭元素存量随着时间变化的关系，先建立起这个未知函数所满足的微分方程，然后通过求解得到了所需的函数关系。
图1.1
例1.1.2 在一根长为L的轻杆下端，悬挂一质量为m的质点，略微移动后，该质点在重力作用下来回摆动（图1.1），这种装置叫做单摆（或数学摆）。假设轻杆不会伸长又无质量，在悬点没有摩擦力，试建立单摆的运动方程。
解 取轻杆的铅直位置为摆的平衡位置。设在时刻t时，质点对平衡位置的位移为s=AB。于是有s=Lθ，其中，θ为杆的瞬时位置与平衡位置所成的角，逆时针方向为正，因s与θ同方向，所以s以AB为正方向。使质点运动的力F为质点的重力mg在切线方向的分力F=mgsinθ，而质点的加速度为a根据牛顿第二定律得到。
上式右端的负号是由于力F与位移s的正方向AB相反的缘故。上式可化简为（1.1.4）此即为单摆的运动方程，它是一个二阶非线性微分方程（因为方程中含有sinθ，它关于未知函数θ不是线性的）。为了确定单摆的运动方程，还需要知道初始时刻单摆的角位移θ和角速度dθdt，故还需要加上初始条件（1.1.5）
在例1.1.2中所建立的微分方程的解析解无法得到，将在第5章中对其解的性态进行分析。
用微分方程解决实际问题的基本步骤为①建立起实际问题的模型，也就是建立反映这个实际问题的微分方程，提出相应的定解条件；②求出这个微分方程的解析解或数值解，或者对方程解的性态进行分析；③用所得的结果来解释实际现象，或对问题的发展变化趋势进行预测。
要建立适合实际问题的数学模型一般是比较困难的，这需要对问题的机理有一个清楚的了解，同时需要一定的数学知识和建立数学模型的经验。常微分方程是应用背景比较强的一门课程，在学习过程中*好有意识地培养建模能力，使得数学知识和解决实际问题的能力都有大的提高。
1.1.2 微分方程的概念
含有未知量的等式称为方程，它表达了未知量所必须满足的某些条件。方程是根据对未知量所进行的运算来分类的，如代数方程、**方程等。微分方程与代数方程和**方程不同，它的未知量是函数，对其所施加的运算涉及求导或微分。凡含有自变量、未知函数以及未知函数的导数（或微分）的方程称为微分方程。
下面是一些微分方程的例子：
（1.1.6）
（1.1.7）
（1.1.8）
（1.1.9）
（1.1.10）
（1.1.11）
如果微分方程中的未知函数只依赖于一个自变量，就称为常微分方程；如果未知函数依赖于两个或更多的自变量，就称为偏微分方程。（1.1.6）～（1.1.9）中的4个方程都是常微分方程，（1.1.10）和（1.1.11）是偏微分方程。本书主要是讨论常微分方程，今后所讲到的“微分方程”一词，没有特别声明时均理解为常微分方程。
一个微分方程中，未知函数*高阶导数的阶数，称为方程的阶数。如果一个微分方程关于未知函数及其各阶导数都是线性的，则称它为线性微分方程，否则称为非线性微分方程。例如，（1.1.6）是一阶微分方程，也是线性方程，称这类方程为一阶线性方程。同理，（1.1.7）是二阶非线性方程，（1.1.8）是四阶线性方程。一般的n阶微分方程的形式为（1.1.12）其中，F为其变量x，y，dy/dx，…，dny/dxn的已知函数，而且一定含有dny/dxn，y是未知函数，x是自变量。
设y=（x）是定义在区间（a，b）上的n阶可微函数，若分别将y（x）代入（1.1.12）后能使其成为恒等式，即x∈（a，b），则称y=φ（x）是微分方程（1.1.12）在区间（a，b）上的一个解。例如，y=e-kx是微分方程（1.1.6）在的一个解，y=tanx是微分方程y=1+y2在区间的一个解。
如果关系式F（x，y）=0决定的隐函数y=φ（x）是方程（1.1.12）的解，则称F（x，y）=0是方程（1.1.12）的一个隐式解。例如，一阶微分方程xdx+ydy=0有隐式解x2+y2-c=0。
把含有n个相互独立的任意常数c1，c2，…，cn的解y=φ（x，c1，c2，…，cn）称为n阶微分方程（1.1.12）的通解。此处y=φ（x，c1，c2，…，cn）含有n个相互独立的常数的含义是指存在（x，c1，c2，…，cn）的某一个邻域，使得（1.1.13）的通解，而y=c1cosx+c2cosx不是该方程的通解。
在通解之中，当一组任意常数确定时所得到的解称为特解。y1=cosx，y2=sinx，y3=cosx+sinx都是微分方程（1.1.13）的特解。为了确定微分方程的一个特解，可以给出这个微分方程所满足的定解条件，常见的定解条件是初始条件，即指定n阶微分方程（1.1.12）在某一点x0所满足的条件（1.1.14）微分方程（1.1.12）连同初始条件（1.1.14）一起称为初始值问题。例如，式（1.1.1）就是一阶微分方程的初始值问题。
近几十年来，计算机技术发展很快，在各个领域都有广泛的应用，在数学的各个分支中也发挥了很大的作用。在学习常微分方程课程的同时，不但要掌握基本的理论和方法，而且对一些思路明确、方法简单、计算量大的问题，也应该会用计算机处理，以提高学习、工作效率，更重要的是培养尽量利用当代*新科技成果的意识，以便今后能自觉地将*新的成果应用到解决实际问题的过程之中。在常微分方程课程中，将利用Maple软件包来处理一些问题，Mathematica等其他软件包也可以进行类似的工作。
例1.1.3 用Maple验证y=2是微分方程（1.1.15）的一个解。
解 要用计算机验证一个函数是方程的解，首先需要定义这个函数，然后再求它的导数，计算方程右端的值，进行化简，比较左右两端是否相等。此问题思路清楚，但计算过程有点繁琐，可以用下面的Maple命令实现。回车运行后Maple的输出为difference-left-right：=0。
由输出结果看出将代入后，方程（1.1.15）的左右端相等，故它是方程（1.1.15）的一个解。有兴趣的读者可以把前三行命令中的“：”改为“；”以观察中部结果。
例1.1.4 用Maple验证由方程
tx-lnx-t2=0（1.1.16）所确定的隐函数x=x（t）是微分方程（1.1.17）的一个解。
解 根据验证方程隐式解的方法，利用下面的Maple指令：回车后Maple的输出为x。
由输出结果看出由方程（1.1.16）所确定的隐函数是微分方程（1.1.17）的一个解。
1.1.3 微分方程的发展
常微分方程是数学的一个重要分支，也是偏微分方程、变分法、控制论等数学分支的基础。微分方程的理论和方法从17世纪末开始发展起来，很快成了研究自然现象的强有力的工具。在17～18世纪，在力学、天文、物理和技术科学中，就已借助微分方程取得了巨大的成就。质点动力学和刚体动力学的问题很容易化为微分方程的求解问题。1864年，Leverrer根据微分方程预见到了海王星的存在，并确定出了海王星在天空中的位置。现在，常微分方程在许多方面获得了广泛的应用。这些应用也为微分方程的进一步发展提出了新的问题，促使人们对微分方程进行更深入的研究，以便适应科学技术飞速发展的需要。
微分方程的首要问题是如何求一个给定方程的通解或特解。到目前为止，人们已经对许多微分方程得出了求解的一般方法。例如，一阶微分方程中的变量可分离
定价：49.0
ISBN：9787030265111
作者：编者#cln#周义仓//靳祯//秦军林
版次：2
出版时间：2010-02
内容提要：
本书是常微分方程理论、方法与应用有机结合的一本教材，保持了我国现行教材理论性强、方法多样、技巧和实例丰富等特点，并结合国外教材强调建模、应用和计算机等特点，形成理论、方法、建模、应用、计算机互相渗透与补充的新体系。不仅能够训练学生严密的数学思维方式，而且可以引导学生通过建立数学模型解决实际问题。既讲述求解各类微分方程解析解、数值解的方法，又介绍用计算机进行理论分析、求解方程和给出图形显示的过程。本书的主要内容包括求解各类微分方程的方法，常微分方程的基本理论、近似方法及其实现，以及建立微分方程模型解决实际问题。
目录：
目录
第二版前言
**版前言
第1章 引论 1
1.1 微分方程的概念和实例 1
1.1.1 导出微分方程的一些实际例子 1
1.1.2 微分方程的概念 3
1.1.3 微分方程的发展 6
习题1.1 8
1.2 解的存在**性 9
1.2.1 例子和思路 10
1.2.2 存在**性定理及其证明 12
1.2.3 存在**性定理的说明及例子 16
习题1.2 20
1.3 一阶微分方程的向量场 22
1.3.1 向量场 22
1.3.2 积分曲线的图解法 26
习题1.3 28
复习题1 28
第2章 一阶微分方程 32
2.1 线性方程 32
2.1.1 线性齐次方程 32
2.1.2 线性非齐次方程 33
2.1.3 Bernoulli方程 36
2.1.4 线性微分方程的应用举例 37
习题2.1 40
2.2 变量可分离的方程 42
2.2.1 变量可分离方程的求解 42
2.2.2 齐次方程 44
2.2.3 变量可分离方程的应用 46
习题2.2 49
2.3 全微分方程 51
2.3.1 全微分方程的定义与充要条件 51
2.3.2 全微分方程的积分 54
2.3.3 积分因子 56
习题2.3 61
2.4 变量替换法 63
2.4.1 形如的方程 63
2.4.2 形如yf（xy）dx+xg（xy）dy=0的方程 64
2.4.3 其他变换举例 65
2.4.4 Riccati方程 67
习题2.4 70
2.5 一阶隐式微分方程 71
2.5.1 可解出x或y的方程与微分法 71
2.5.2 不显含x或y的方程与参数法 75
2.5.3 奇解与包络 78
习题2.5 80
2.6 近似解法 81
2.6.1 逐次迭代法 81
2.6.2 Taylor级数法 83
2.6.3 Euler折线法 85
习题2.6 88
2.7 一阶微分方程的应用 88
2.7.1 曲线族的等角轨线 89
2.7.2 放射性废物的处理问题 91
2.7.3 我国人口的发展预测 92
习题2.7 94
复习题2 95
第3章 二阶及高阶微分方程 99
3.1 可降阶的高阶方程 99
3.1.1 不显含未知函数x的方程 99
3.1.2 不显含自变量t的方程 100
3.1.3 全微分方程和积分因子 101
3.1.4 可降阶的高阶方程的应用举例 102
习题3.1 108
3.2 线性微分方程的基本理论 109
3.2.1 线性微分方程的有关概念 109
3.2.2 齐次线性方程解的性质和结构 111
3.2.3 非齐次线性方程解的结构 117
习题3.2 120
3.3 线性齐次常系数方程 121
3.3.1 复值函数 121
3.3.2 常系数齐次线性方程 123
3.3.3 某些变系数线性齐次微分方程的解法 128
习题3.3 130
3.4 线性非齐次常系数方程的待定系数法 132
3.4.1 非齐次项为多项式的情形 132
3.4.2 非齐次项为多项式与指数函数之积的情形 134
3.4.3 非齐次项为多项式与指数函数、正余弦函数之积的情形 135
习题3.4 138
3.5 高阶微分方程的应用 138
3.5.1 机械振动 138
3.5.2 RLC电路 142
习题3.5 145
复习题3 146
第4章 微分方程组 148
4.1 微分方程组的概念 148
4.1.1 微分方程组的实例及有关概念 148
4.1.2 函数向量和函数矩阵 152
4.1.3 微分方程组解的存在**性定理 156
习题4.1 158
4.2 微分方程组的消元法和首次积分法 160
4.2.1 微分方程组的消元法 160
4.2.2 微分算子与线性微分方程组 162
4.2.3 微分方程组的首次积分法164
习题4.2 167
4.3 线性微分方程组的基本理论 168
4.3.1 线性齐次方程组解的结构 168
4.3.2 非齐次线性微分方程组解的结构 176
习题4.3 179
4.4 常系数齐次线性微分方程组 180
4.4.1 系数矩阵A有单特征根时的解 180
4.4.2 系数矩阵A具有重特征根时的解 185
4.4.3 矩阵指数函数的定义和性质 192
习题4.4 198
4.5 常系数非齐次线性微分方程组 199
4.5.1 常数变易法 199
4.5.2 线性变换法 201
4.5.3 待定系数法 203
习题4.5 207
4.6 微分方程组应用举例 208
4.6.1 两个弹簧和物体的竖直运动 209
4.6.2 复杂电路的计算 210
4.6.3 人造卫星的轨道方程 211
习题4.6 216
复习题4 217
第5章 非线性微分方程组 221
5.1 非线性方程研究的例子与概念 221
5.1.1 例子 221
5.1.2 自治微分方程与非自治微分方程、动力系统 223
5.1.3 基本定义 225
习题5.1 231
5.2 自治微分方程组解的性质 231
5.2.1 自治系统轨线的特点 232
5.2.2 自治系统解的基本性质 234
习题5.2 237
5.3 平面线性系统的奇点及相图 238
5.3.1 几个线性系统的计算机相图 239
5.3.2 平面线性系统的初等奇点 242
习题5.3 248
5.4 几乎线性系统解的稳定性 250
5.4.1 平面几乎线性系统的稳定性 250
5.4.2 高维几乎线性微分方程组的稳定性 257
习题5.4 260
5.5 Lyapunov第二方法 262
5.5.1 定号函数 262
5.5.2 稳定性基本定理 263
5.5.3 稳定性定理的几何意义 267
5.5.4 二次型形式的V函数 267
习题5.5 268
5.6 二维自治微分方程组的周期解和极限环 270
5.6.1 周期解与极限环 270
5.6.2 极限环的存在性 273
5.6.3 极限环的不存在性 274
5.6.4 极限环的稳定性 275
习题5.6 276
复习题5 276
第6章 Maple简介与应用 279
6.1 Maple的基本功能 279
6.1.1 Maple的工作环境 279
6.1.2 Maple的基本运算 280
6.1.3 多项式 282
6.1.4 转换为其他语言 282
6.2 微积分运算 283
6.2.1 极限和连续 284
6.2.2 导数和极值 284
6.2.3 积分 285
6.2.4 级数和积分变换 286
6.3 线性代数 287
6.3.1 矩阵的建立和基本运算 287
6.3.2 矩阵的初等变换和线性方程组求解 288
6.3.3 矩阵的特征值、特征向量和相似 290
6.4 图形 291
6.4.1 二维图形 291
6.4.2 三维绘图 293
6.4.3 动画 295
6.5 方程求解 297
6.5.1 代数方程 297
6.5.2 常微分方程求解 298
6.5.3 微分方程的向量场 301
6.6 Maple编程 302
6.6.1 子程序 302
6.6.2 几种常用的程序结构 303
6.6.3 Maple在微分方程中的应用举例 304
参考文献 308
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第1章 引论
常微分方程是现代数学的一个重要分支，是人们解决各种实际问题的有效工具，它在几何、力学、物理、电子技术、自动控制、航天、生命科学、经济等领域都有着广泛的应用。本章介绍常微分方程的一般概念、导出微分方程的一些典型例子、常微分方程解的存在**性、向量场等内容，为求解微分方程和进行理论分析做准备。
1.1 微分方程的概念和实例
弄清一个问题中变量之间的函数关系或其变化趋势对问题的解决往往有着至关重要的作用，但在一些较复杂的变化过程中，变量之间的函数关系无法直接得到。这时就需要在一些理论或经验的基础上找到问题中的一些变量及其导数之间的关系，也就是先找出一个含有未知函数及其导数所满足的方程（称为微分方程），然后通过求解这个方程得到变量间的函数关系，或者在微分方程的基础上进行数值计算和渐近性态研究，从而了解一个系统的发展变化规律。本节先给出一些导出微分方程的例子，再给出微分方程中所涉及的一些定义。
1.1.1 导出微分方程的一些实际例子
为了定量地研究一些实际问题的变化规律，往往是要对所研究的问题进行适当的简化和假设，建立起数学模型，当问题中涉及变量的变化率时，该模型就是一个微分方程。下面通过几个典型的例子来说明建立微分方程模型的过程。
例1.1.1 镭的衰变规律 设镭的衰变速率与该时刻现有的量成正比，并且已知t=0时，镭元素的量为R0g，试确定在任意时刻t镭元素的量。
解 记t时刻镭元素的量为R（t），要直接得出R（t）的函数表达式是比较困难的，因此，通过建立R（t）所满足的微分方程来得到R（t）。由于镭元素的衰变率就是R（t）对时间的变化率dR（t）。根据题目中给出的衰变规律，可以得到下面的一阶微分方程及初始条件：（1.1.1）其中，k>0是比例系数。式（1.1.1）中右端的负号是由于函数R（t）是随时间的增加而单调减少的，故它的导数应该是负的。
寻找t时刻镭含量的函数表达式R（t）就转化为求满足式（1.1.1）中微分方程和初始条件的解R（t）。由数学分析中求导的经验知道函数（1.1.2）满足式（1.1.1）中的微分方程，其中，c为任意常数。为了使式（1.1.2）中的函数再满足R（0）=R0，只需选取c=R0即可。于是得到了镭元素的存量随时间变化的函数表达式为（1.1.3）式（1.1.3）表明，镭元素的量R（t）是按指数规律衰减的。
从例1.1.1可以看到为了求得描述镭元素存量随着时间变化的关系，先建立起这个未知函数所满足的微分方程，然后通过求解得到了所需的函数关系。
图1.1
例1.1.2 在一根长为L的轻杆下端，悬挂一质量为m的质点，略微移动后，该质点在重力作用下来回摆动（图1.1），这种装置叫做单摆（或数学摆）。假设轻杆不会伸长又无质量，在悬点没有摩擦力，试建立单摆的运动方程。
解 取轻杆的铅直位置为摆的平衡位置。设在时刻t时，质点对平衡位置的位移为s=AB。于是有s=Lθ，其中，θ为杆的瞬时位置与平衡位置所成的角，逆时针方向为正，因s与θ同方向，所以s以AB为正方向。使质点运动的力F为质点的重力mg在切线方向的分力F=mgsinθ，而质点的加速度为a根据牛顿第二定律得到。
上式右端的负号是由于力F与位移s的正方向AB相反的缘故。上式可化简为（1.1.4）此即为单摆的运动方程，它是一个二阶非线性微分方程（因为方程中含有sinθ，它关于未知函数θ不是线性的）。为了确定单摆的运动方程，还需要知道初始时刻单摆的角位移θ和角速度dθdt，故还需要加上初始条件（1.1.5）
在例1.1.2中所建立的微分方程的解析解无法得到，将在第5章中对其解的性态进行分析。
用微分方程解决实际问题的基本步骤为①建立起实际问题的模型，也就是建立反映这个实际问题的微分方程，提出相应的定解条件；②求出这个微分方程的解析解或数值解，或者对方程解的性态进行分析；③用所得的结果来解释实际现象，或对问题的发展变化趋势进行预测。
要建立适合实际问题的数学模型一般是比较困难的，这需要对问题的机理有一个清楚的了解，同时需要一定的数学知识和建立数学模型的经验。常微分方程是应用背景比较强的一门课程，在学习过程中*好有意识地培养建模能力，使得数学知识和解决实际问题的能力都有大的提高。
1.1.2 微分方程的概念
含有未知量的等式称为方程，它表达了未知量所必须满足的某些条件。方程是根据对未知量所进行的运算来分类的，如代数方程、**方程等。微分方程与代数方程和**方程不同，它的未知量是函数，对其所施加的运算涉及求导或微分。凡含有自变量、未知函数以及未知函数的导数（或微分）的方程称为微分方程。
下面是一些微分方程的例子：
（1.1.6）
（1.1.7）
（1.1.8）
（1.1.9）
（1.1.10）
（1.1.11）
如果微分方程中的未知函数只依赖于一个自变量，就称为常微分方程；如果未知函数依赖于两个或更多的自变量，就称为偏微分方程。（1.1.6）～（1.1.9）中的4个方程都是常微分方程，（1.1.10）和（1.1.11）是偏微分方程。本书主要是讨论常微分方程，今后所讲到的“微分方程”一词，没有特别声明时均理解为常微分方程。
一个微分方程中，未知函数*高阶导数的阶数，称为方程的阶数。如果一个微分方程关于未知函数及其各阶导数都是线性的，则称它为线性微分方程，否则称为非线性微分方程。例如，（1.1.6）是一阶微分方程，也是线性方程，称这类方程为一阶线性方程。同理，（1.1.7）是二阶非线性方程，（1.1.8）是四阶线性方程。一般的n阶微分方程的形式为（1.1.12）其中，F为其变量x，y，dy/dx，…，dny/dxn的已知函数，而且一定含有dny/dxn，y是未知函数，x是自变量。
设y=（x）是定义在区间（a，b）上的n阶可微函数，若分别将y（x）代入（1.1.12）后能使其成为恒等式，即x∈（a，b），则称y=φ（x）是微分方程（1.1.12）在区间（a，b）上的一个解。例如，y=e-kx是微分方程（1.1.6）在的一个解，y=tanx是微分方程y=1+y2在区间的一个解。
如果关系式F（x，y）=0决定的隐函数y=φ（x）是方程（1.1.12）的解，则称F（x，y）=0是方程（1.1.12）的一个隐式解。例如，一阶微分方程xdx+ydy=0有隐式解x2+y2-c=0。
把含有n个相互独立的任意常数c1，c2，…，cn的解y=φ（x，c1，c2，…，cn）称为n阶微分方程（1.1.12）的通解。此处y=φ（x，c1，c2，…，cn）含有n个相互独立的常数的含义是指存在（x，c1，c2，…，cn）的某一个邻域，使得（1.1.13）的通解，而y=c1cosx+c2cosx不是该方程的通解。
在通解之中，当一组任意常数确定时所得到的解称为特解。y1=cosx，y2=sinx，y3=cosx+sinx都是微分方程（1.1.13）的特解。为了确定微分方程的一个特解，可以给出这个微分方程所满足的定解条件，常见的定解条件是初始条件，即指定n阶微分方程（1.1.12）在某一点x0所满足的条件（1.1.14）微分方程（1.1.12）连同初始条件（1.1.14）一起称为初始值问题。例如，式（1.1.1）就是一阶微分方程的初始值问题。
近几十年来，计算机技术发展很快，在各个领域都有广泛的应用，在数学的各个分支中也发挥了很大的作用。在学习常微分方程课程的同时，不但要掌握基本的理论和方法，而且对一些思路明确、方法简单、计算量大的问题，也应该会用计算机处理，以提高学习、工作效率，更重要的是培养尽量利用当代*新科技成果的意识，以便今后能自觉地将*新的成果应用到解决实际问题的过程之中。在常微分方程课程中，将利用Maple软件包来处理一些问题，Mathematica等其他软件包也可以进行类似的工作。
例1.1.3 用Maple验证y=2是微分方程（1.1.15）的一个解。
解 要用计算机验证一个函数是方程的解，首先需要定义这个函数，然后再求它的导数，计算方程右端的值，进行化简，比较左右两端是否相等。此问题思路清楚，但计算过程有点繁琐，可以用下面的Maple命令实现。回车运行后Maple的输出为difference-left-right：=0。
由输出结果看出将代入后，方程（1.1.15）的左右端相等，故它是方程（1.1.15）的一个解。有兴趣的读者可以把前三行命令中的“：”改为“；”以观察中部结果。
例1.1.4 用Maple验证由方程
tx-lnx-t2=0（1.1.16）所确定的隐函数x=x（t）是微分方程（1.1.17）的一个解。
解 根据验证方程隐式解的方法，利用下面的Maple指令：回车后Maple的输出为x。
由输出结果看出由方程（1.1.16）所确定的隐函数是微分方程（1.1.17）的一个解。
1.1.3 微分方程的发展
常微分方程是数学的一个重要分支，也是偏微分方程、变分法、控制论等数学分支的基础。微分方程的理论和方法从17世纪末开始发展起来，很快成了研究自然现象的强有力的工具。在17～18世纪，在力学、天文、物理和技术科学中，就已借助微分方程取得了巨大的成就。质点动力学和刚体动力学的问题很容易化为微分方程的求解问题。1864年，Leverrer根据微分方程预见到了海王星的存在，并确定出了海王星在天空中的位置。现在，常微分方程在许多方面获得了广泛的应用。这些应用也为微分方程的进一步发展提出了新的问题，促使人们对微分方程进行更深入的研究，以便适应科学技术飞速发展的需要。
微分方程的首要问题是如何求一个给定方程的通解或特解。到目前为止，人们已经对许多微分方程得出了求解的一般方法。例如，一阶微分方程中的变量可分离
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