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书名：高等代数
定价：59.0
ISBN：9787030541079
作者：无
版次：1
出版时间：2018-05
内容提要：
本书是一本高等院校数学专业的高等代数教材，共10章，内容包括基本知识、一元n次方程、行列式、矩阵、线性方程组、向量空间、线性变换及二次型等。每章后配有一定量的习题和补充习题，习题主要针对课程的基本要求，补充习题主要是难度更大一些的题目，并附所有问题的参考答案或提示。如同家风、家训一样，每门课程都有自身所秉承的一些理念、思想，本书在阐述高等代数的基本理念、基本概念、基本方法的同时，特别注重指导学生运用这些理念、思想理解高等代数的理论体系，提升解决实际问题的能力。
目录：
目录
前言
第1章 基础知识和基本理念 1
1.1 基本概念 1
1.2 整数知识 3
1.3 基本证明方法 9
1.4 基本理念 11
习题1 13
补充习题1 14
第2章 一元n次方程 15
2.1 一元二次方程 15
2.2 一元三、四次方程 21
2.3 方程、多项式、函数 25
2.4 一元n次方程的实根和复根 32
2.5 一元n次方程的有理根 34
2.6 一元n次方程的重根 37
2.7 方程间的公共根 39
2.8 一元五次方程的根号解问题 41
2.9 多元多项式方程 43
习题2 46
补充习题2 48
第3章 行列式与线性方程组 50
3.1 行列式的定义 50
3.2 行列式的性质 53
3.3 行列式的计算 63
3.4 线性方程组解*一的情形 68
3.5 线性方程组解不*一的情形 72
习题3 74
补充习题3 76
第4章 矩阵与线性方程组 79
4.1 线性方程组的加减消元法 79
4.2 矩阵运算 81
4.3 矩阵的逆 85
4.4 初等矩阵 87
4.5 矩阵的分块 93
4.6 初等分块矩阵 98
4.7 利用矩阵分析线性方程组 100
习题4 106
补充习题4 109
第5章 向量空间与线性方程组 111
5.1 向量空间 111
5.2 基本向量组、维数和坐标 113
5.3 过渡矩阵 117
5.4 秩与维数 119
5.5 子空间 120
5.6 子空间的交与和 122
5.7 利用向量分析线性方程组 126
5.8 利用向量给出线性方程组的通解 127
5.9 向量空间的同构 133
习题5 134
补充习题5 137
第6章 方阵与线性变换 139
6.1 线性变换及其运算 139
6.2 线性变换和矩阵 142
6.3 特征值与特征向量 144
6.4 不变子空间 150
6.5 线性变换和矩阵的对角化 151
习题6 154
补充习题6 156
第7章 方阵的标准形 158
7.1 λ-矩阵及其标准形 158
7.2 标准形的*一性 161
7.3 λ-矩阵与矩阵的相似 163
7.4 初等因子 165
7.5 若尔当标准形 167
7.6 有理标准形 173
习题7 176
补充习题7 177
第8章 欧氏空间与线性方程组 179
8.1 欧氏空间 179
8.2 *小误差解 186
8.3 线性方程组综述 188
8.4 利用软件解线性方程组 191
8.5 线性方程组的进一步讨论 193
8.6 正交变换与对称变换 195
8.7 酉空间 201
习题8 202
补充习题8 203
第9章 对称矩阵的应用：二次型 206
9.1 平面曲线的标准形问题 206
9.2 二次型的矩阵形式 208
9.3 正定二次型 213
9.4 一般数域上的二次型 216
9.5 规范形 221
9.6 二次曲线(面)方程的化简 224
习题9 228
补充习题9 229
第10章 多项式与不变子空间分解 231
10.1 极小多项式 231
10.2 向量空间的不变子空间分解 235
10.3 带有运算的经典集合 238
习题10 241
补充习题10 242
参考文献 244
参考答案或提示 245
在线试读：
第1章 基础知识和基本理念
一说起代数，人们自然想到解方程和方程组，实际上这种感觉是对的，代数就起源于解方程(组)。早在公元前1800年左右，古巴比伦人就知道了一些一元二次方程的解法，而至迟成书于公元1世纪的我国数学名著《九章算术》就已利用方程组解决实际问题了。实际上，解方程(组)也是数学发展的主线索。人们习惯于称中学时代的代数知识为初等代数，大学所学代数知识为高等代数(advanced algebra)，它们之间是一脉相承、逐步深入的关系。
我们认为高等代数主要研究的是：一元n次方程和n元一次方程组解的问题，并且对研究这一问题过程中所衍生的一些问题作了进一步的探讨。方程(组)解的问题是指：解的存在性问题、解的数量问题、解的公式(表达式或结构)问题。本章首先简单介绍一下在进一步学习中经常使用的概念、方法及秉承的理念等。
1.1 基本概念
读者对集合并不陌生，它就是一些对象的集体，其中的成员(对象)称为集合的元素，具有无序性、互异性、确定性。当集合中元素个数有限时，称为有限集，否则称为无限集。集合通常用大写字母表示，其中的元素用小写字母表示。集合之间存在着交、并、补、差的运算。设I是一个集合，分别是I的子集，即由I中某些元构成的集合。A与B的交(集)是刚好由两者共有的元构成的集合，即且。而并集或，差集但是。子集A在I中的补集。为了满足集合之间运算的需要，我们约定：不包含任何元素的集合为空集，它是任意集合的子集，记作。这样，我们有等。
集合之间的交、并、补运算之间也满足一些运算律。
交换律
结合律
分配律
关于补运算
证明上述等式都是通过推导左右两侧相互包含实现的。我们不妨通过下面命题的证明来观察具体过程。
命题1.1.1 假定集合都是集合I的子集，那么
证明 任取，则，并且。由后一事实可得或。所以且，或者且，即。因此。
任取，则或。得，且或，即。所以，因此等式成立。
命题1.1.2 假定集合A，B，C都是集合I的子集，那么
证明任选，则或，后者表示且。如果，那么且，即，如果，那么也得。故总有。反之，如果，那么且。故x至少属于下列四个集合之一：故得。因此得等。集合之间还可以通过对应关系联系起来。设G，N是任意两个非空集合，如果这两个集合的元之间存在对应关系使得G中任意一个元对应着N中*一一个元，则称这个对应关系是一个映射(map)，我们用f表示这个映射。具体地，若在映射f之下，G中元x映到N中的元y，即，则记f(x)=y。通常称y是x(在映射f下)的象，而x是y(在映射f下)的原象。若所有N中元都有原象，则称f是满射(surjective map)，若任意两个不同的原象的象也不同，则称f是单射(injective map)，进一步，若f既是单射又是满射，则称f是双射(bijective map)。当f是G到N的双射时，它能*一地确定一个N到G的映射，对于上述的称g是f的逆映射(方向与f刚好相反)，通常把f的逆映射记成形式。
我们使用的集合常常是数集，例如全体自然数N(或用N表示)，全体整数Z(或用Z表示)，有理数域Q(或用Q表示)，实数域R(或用R表示)，复数域C(或用C表示)。我们可以在数集之间建立一些对应关系。
例题1.1.1
通过简单的分析可知：上面例题中的三个对应都是映射，其中f既不是单射也不是满射，g是单的但不满，h是个双射，它的逆是。实际上映射f：就是我们通常所说的函数。
给定两个映射，我们可以自然地构作一个新的映射，这个映射称作g与f的复合映射(或称g与f的积)，记作g±f(简记gf)。特别地，gf(a)=g(f(a))。
类似地，给定两个集合A，B，我们也可构作一个新的集合，记作，具体地，，称之为A与B的卡氏积(Cartersian product)。
利用集合和映射的观点，可以统一认识数学中的很多事情，把它们说得更加清楚、充分、简洁。例如，关于无限集S的描述：S不是一个有限集，S中的元素取之不竭，S的元素要多少有多少，S中的元素当取到n个元时，总能接着取到第n+1个，此处的n是任意自然数，等等。实际上，利用映射可以给出无限集一个很简洁的描述：如果S与其一个真子集之间存在一个双射，则S就是一个无限集。这是因为有限集不可能与其真子集之间存在双射。算术里的加、减、乘运算就可以看作是的映射，其中A可以取数域等。例如，其中，减法及乘法同理可得。除法可定义为，其中，此处表示的全体非零元之集。实际上，我们学过的各种运算都可以通过映射以适当的方式加以表述。
1.2 整数知识
我们学习整数知识实际是从算术开始的，*初是自然数的加法、减法，由于实际需要，算的对象范围扩大到整数，之后算的对象的范围进一步扩大到有理数域、实数域、复数域，而算的种类逐步扩大到加、减、乘、除、乘方、开方(六则运算)。简单地说，数学发展的标志就是“算”的对象的范围不断扩大、“算”的种类不断增加的过程。我们*初算的对象是数，之后是式(单项式、多项式等)，进一步学习会发现更大的算的范围、更多的算的方式。有些同学认为算的对象就应当是数，不应是别的。这种理念是有偏颇的，实际“算术”一词可以直白地解释为：算的术，即算的技巧、方法、方式。但它并没有指出算的对象。为方便进一步学习，我们想回顾和丰富一下整数知识。
我们分别用N，Z表示全体自然数集和全体整数集。我们会发现N的任一非空子集必有*小数，这一基本的事实通常称为自然数的*小数原理。对于两个整数a，b，当|a|>|b|>0时，总可以相除，得a=bq+r，其中q称为商，称为余数，并且q，r都是*一的，实际上，当|a|=|b|时，也可以写成这种形式。具体地，若a=b，有，若，有，若|a|<|b|，且a，b均正时，有，其他情况同学自己给出。总之，在任何情况下，总有表达式a=bq+r，其中的是*一的，通常称之为关于整数a，b的带余除法表示形式。
在上述带余除法表示式中，若r=0，则称b整除a。由于整数之间的整除关系在整数理论中很重要，我们给出一个更清晰的定义：对于任意两个整数a，b，若存在整数q满足条件a=bq，则称b整除a，记作b|a。此时通常称b是a的一个因数，a是b的一个倍数。注意由于，故表达式0|0是有意义的3虽然表达式00没有意义。当b不整除a时，记作b-a。
关于整数间的整除关系有下列基本性质。这些性质利用整除定义易导出。
(1) 传递性 若a|b，b|c，则a|c；
(2) 和差性 若a|b，a|c，则；
(3) 积性 若a|b，则a|cb；
(4) 组合性 若，则；
(5) 相互整除性 若a|b且b|a，则a=±b。
如果c|a且c|b，则称c是a，b的一个公因数，当a，b不全为零时，称它们的公因数中*大者为a，b的*大公因数(greatest common divisor)，记作(a，b)。当a，b全为零时，由于任意整数均是它们的公因数，故公因数中没有*大者，另外，两个零的*大公因数比两个不全为零的数的*大公因数小，会让我们感觉更自然些，于是我们规定两个零的*大公因数是零，记作(0，0)=0。这种*大公因数的定义虽然比较通俗、直观，但有些烦琐。我们可以给出一个清晰，可操作的定义。
定义1.2.1 设A，B，C是三个整数，若c满足如下两个条件：
(1) c是a，b的一个公因数，
(2) a，b的所有公因数都整除c，
则称c是a，b的*大公因数。
由上述新定义可知，若c是a，b的*大公因数，则。c也是，通常将其中的非负*大公因数记作(a，b)。注意新定义是采用另一种方式反映出*大公因数是公因数中的*大者这样一种理念。而这两种定义方式本质上是一致的。
命题1.2.2 设d是a，b的*大公因数，则存在满足d=sa+tb。
证明若a=b=0，则结论显然。设a，b不全为零，假定，则S是自然数集的一个非空子集。由*小数原理，S中必有*小数，不妨设其为h，故有。若h-a，则由带余除法知a=hq+r，0<r<h，故，这与h是S中*小数矛盾，所以h|a，同理可得h|b，因此h是a，b的一个公因数。若，则，即c|h。所以h是*大公因数，可知若d>0，则d=h，若，则。
类似地可以给出n个整数，an的*大公因数d的定义为：d是这n个数的一个公因数，并且这n个数的所有公因数都整除d。可以证明：存在整数，sn满足。记非负*大公因数为。当时，通常称是互素的。
命题1.2.3 n个整数a1，a2，…，an互素的充要条件是存在整数s1，s2，…，sn满足s1a1+s2a2+…+snan=1.
证明必要性显然。我们证明充分性：设d是非负*大公因数，则得d|ai，i=1，2，…，n，故得d|s1a1+s2a2+…+snan，所以d|1，因此d=1。
互素还有如下基本性质。(作为练习，请同学自己证明。)
(1) 若(a，b)=1，(a，c)=1，则(a，bc)=1；
(2) 若a|bc，且(a，b)=1，则a|c；
(3) 若a|c，b|c，且(a，b)=1，则ab|c。
对于两个整数a，b，若有整数m满足a|m，b|m，则称m是a，b的一个公倍数。若a，b的一个公倍数c能整除它的所有公倍数，则称c是a，b的*小公倍数。可证两整数必存在*小公倍数。若c是*小公倍数，则。c也是*小公倍数，记其中的非负者为[a，b]。注意到*小公倍数有与*大公因数类似的定义方式。
设p是一个正整数，若它只有因数±1，±p，则称p为素数(也称质数)。除1外，素数是含有因数个数*少的正整数，它有如下基本性质。(请同学自证。)
(1) 设p是一个素数，a是一个整数，则p|a或(p，a)=1，
(2) 若p|ab，则p|a或p|b。
对于整数间的除法，当只关心余数，而不计较商时，有所谓同余(congruence)的概念。具体地，当整数a，c分别除以正整数m，所得余数相同时，我们称a，c模(modulo)m同余，记作a′cmodm。易证，a′cmodm的充要条件是。易证同余有如下关于四则运算的基本性质。(请同学自己证明。)对于整数a，b，c，d，如果a′bmodm，c′dmodm，那么。如ac′bcmodm并且(c，m)=1时，a′bmodm。同余还有下列费马(P.Fermat，1601-1665)和欧拉(L.Euler，1707-1783)的著名结果。
以m为模可以将整数集按余数分为m个不交子集，每一子集称作一个剩余类，这些类分别包含余数，包含i的类为。每一类中任取一个数作这个类的代表元，可得一数集a1，a2，…，am，称为模m的一个完全剩余系。当在与m互素的类中各取一代表元时，也可得一数集b1，b2，…，bt，通常称此数集为模m的一个缩剩余系。注意一个剩余类中若有一个数与m互素，则此类中任一数均与m互素。同余式有很多与等式相同的性质，故有的学者称同余式为“粗(糙)等式”。
定理1.2.4(费马) 设p是一个素数，a是一个整数且p-a，则。
证明由于，利用二项式定理得，反复利用二项式定理可得，进而得，即。因p-a，故，即。
为了给出欧拉的结果，我们首先介绍欧拉函数a(n)：n取正整数，a(n)表示不大于n的正整数中与n互素的正整数的个数。例如，a(1)=1，a(2)=1，a(4)=2，a(10)=4。易见模m剩余类中缩剩余系有a(m)个代表元。
命题1.2.5 设m是一个正整数，k是一个与m互素的整数。在模m的剩余类中，若a1，a2，…，aa(m)是一个缩剩余系，则ka1，ka2，…，kaa(m)也是一个缩剩余系。
证明因为(ai，m)=1，(k，m)=1，所以(kai，m)=1.故再要证明ka1，ka2，…，kaa(m)中两两互不同余即可。若其中某两项，不妨设kai，ka|同余，则有，又因(k，m)=1，故得，即ai′a|modm，矛盾。
定理1.2.6(欧拉) 设m是一个正整数，k是一个整数且(m，k)=1，则ka(m)′1modm。
证明设a1，a2，…，aa(m)是一个缩剩余系，则由上述命题知ka1，ka2，…，kaa(m)也是一个缩剩余系。因此前一个缩剩余系中任一代表元，在后一个缩剩余系中刚好有一个代表元与之同余，所以得到一个积同余式a1a2…aa(m)′ka1ka2…kaa(m)′ka(m)a1a2…aa(m)modm，又因(a1a2…aa(m)，m)=1，故得ka(m)′1modm。
易见欧拉定理是费马定理的推广，故费马定理可以作为欧拉定理的推论出现。由于此两定理的证明方法是同余方法的经典应用，故均给出了证明。同余的概念很早就有，我国古代著名的同余问题“物不知其数”已有1500多年的历史。同余也是很有用的概念。例如，我们知道，任何一个分数都可以写成一个循环小数的形式。利用同余知识可以给出一个很简洁的证明。设一个分数nm，m，n>0，可得n除以m所得余数至多有m种情形，因此连续作m+1次除法，必有某两次余数相同，因此出现循环小数。
为了把一些结果及证明过程表述得简洁清楚，我们要经常使用连加号(也称为和号)，偶尔使用连乘号，因此介绍它们的一些基本性质。
我们经常把a1+a2+…+an记作
例如
也可写成
定价：59.0
ISBN：9787030541079
作者：无
版次：1
出版时间：2018-05
内容提要：
本书是一本高等院校数学专业的高等代数教材，共10章，内容包括基本知识、一元n次方程、行列式、矩阵、线性方程组、向量空间、线性变换及二次型等。每章后配有一定量的习题和补充习题，习题主要针对课程的基本要求，补充习题主要是难度更大一些的题目，并附所有问题的参考答案或提示。如同家风、家训一样，每门课程都有自身所秉承的一些理念、思想，本书在阐述高等代数的基本理念、基本概念、基本方法的同时，特别注重指导学生运用这些理念、思想理解高等代数的理论体系，提升解决实际问题的能力。
目录：
目录
前言
第1章 基础知识和基本理念 1
1.1 基本概念 1
1.2 整数知识 3
1.3 基本证明方法 9
1.4 基本理念 11
习题1 13
补充习题1 14
第2章 一元n次方程 15
2.1 一元二次方程 15
2.2 一元三、四次方程 21
2.3 方程、多项式、函数 25
2.4 一元n次方程的实根和复根 32
2.5 一元n次方程的有理根 34
2.6 一元n次方程的重根 37
2.7 方程间的公共根 39
2.8 一元五次方程的根号解问题 41
2.9 多元多项式方程 43
习题2 46
补充习题2 48
第3章 行列式与线性方程组 50
3.1 行列式的定义 50
3.2 行列式的性质 53
3.3 行列式的计算 63
3.4 线性方程组解*一的情形 68
3.5 线性方程组解不*一的情形 72
习题3 74
补充习题3 76
第4章 矩阵与线性方程组 79
4.1 线性方程组的加减消元法 79
4.2 矩阵运算 81
4.3 矩阵的逆 85
4.4 初等矩阵 87
4.5 矩阵的分块 93
4.6 初等分块矩阵 98
4.7 利用矩阵分析线性方程组 100
习题4 106
补充习题4 109
第5章 向量空间与线性方程组 111
5.1 向量空间 111
5.2 基本向量组、维数和坐标 113
5.3 过渡矩阵 117
5.4 秩与维数 119
5.5 子空间 120
5.6 子空间的交与和 122
5.7 利用向量分析线性方程组 126
5.8 利用向量给出线性方程组的通解 127
5.9 向量空间的同构 133
习题5 134
补充习题5 137
第6章 方阵与线性变换 139
6.1 线性变换及其运算 139
6.2 线性变换和矩阵 142
6.3 特征值与特征向量 144
6.4 不变子空间 150
6.5 线性变换和矩阵的对角化 151
习题6 154
补充习题6 156
第7章 方阵的标准形 158
7.1 λ-矩阵及其标准形 158
7.2 标准形的*一性 161
7.3 λ-矩阵与矩阵的相似 163
7.4 初等因子 165
7.5 若尔当标准形 167
7.6 有理标准形 173
习题7 176
补充习题7 177
第8章 欧氏空间与线性方程组 179
8.1 欧氏空间 179
8.2 *小误差解 186
8.3 线性方程组综述 188
8.4 利用软件解线性方程组 191
8.5 线性方程组的进一步讨论 193
8.6 正交变换与对称变换 195
8.7 酉空间 201
习题8 202
补充习题8 203
第9章 对称矩阵的应用：二次型 206
9.1 平面曲线的标准形问题 206
9.2 二次型的矩阵形式 208
9.3 正定二次型 213
9.4 一般数域上的二次型 216
9.5 规范形 221
9.6 二次曲线(面)方程的化简 224
习题9 228
补充习题9 229
第10章 多项式与不变子空间分解 231
10.1 极小多项式 231
10.2 向量空间的不变子空间分解 235
10.3 带有运算的经典集合 238
习题10 241
补充习题10 242
参考文献 244
参考答案或提示 245
在线试读：
第1章 基础知识和基本理念
一说起代数，人们自然想到解方程和方程组，实际上这种感觉是对的，代数就起源于解方程(组)。早在公元前1800年左右，古巴比伦人就知道了一些一元二次方程的解法，而至迟成书于公元1世纪的我国数学名著《九章算术》就已利用方程组解决实际问题了。实际上，解方程(组)也是数学发展的主线索。人们习惯于称中学时代的代数知识为初等代数，大学所学代数知识为高等代数(advanced algebra)，它们之间是一脉相承、逐步深入的关系。
我们认为高等代数主要研究的是：一元n次方程和n元一次方程组解的问题，并且对研究这一问题过程中所衍生的一些问题作了进一步的探讨。方程(组)解的问题是指：解的存在性问题、解的数量问题、解的公式(表达式或结构)问题。本章首先简单介绍一下在进一步学习中经常使用的概念、方法及秉承的理念等。
1.1 基本概念
读者对集合并不陌生，它就是一些对象的集体，其中的成员(对象)称为集合的元素，具有无序性、互异性、确定性。当集合中元素个数有限时，称为有限集，否则称为无限集。集合通常用大写字母表示，其中的元素用小写字母表示。集合之间存在着交、并、补、差的运算。设I是一个集合，分别是I的子集，即由I中某些元构成的集合。A与B的交(集)是刚好由两者共有的元构成的集合，即且。而并集或，差集但是。子集A在I中的补集。为了满足集合之间运算的需要，我们约定：不包含任何元素的集合为空集，它是任意集合的子集，记作。这样，我们有等。
集合之间的交、并、补运算之间也满足一些运算律。
交换律
结合律
分配律
关于补运算
证明上述等式都是通过推导左右两侧相互包含实现的。我们不妨通过下面命题的证明来观察具体过程。
命题1.1.1 假定集合都是集合I的子集，那么
证明 任取，则，并且。由后一事实可得或。所以且，或者且，即。因此。
任取，则或。得，且或，即。所以，因此等式成立。
命题1.1.2 假定集合A，B，C都是集合I的子集，那么
证明任选，则或，后者表示且。如果，那么且，即，如果，那么也得。故总有。反之，如果，那么且。故x至少属于下列四个集合之一：故得。因此得等。集合之间还可以通过对应关系联系起来。设G，N是任意两个非空集合，如果这两个集合的元之间存在对应关系使得G中任意一个元对应着N中*一一个元，则称这个对应关系是一个映射(map)，我们用f表示这个映射。具体地，若在映射f之下，G中元x映到N中的元y，即，则记f(x)=y。通常称y是x(在映射f下)的象，而x是y(在映射f下)的原象。若所有N中元都有原象，则称f是满射(surjective map)，若任意两个不同的原象的象也不同，则称f是单射(injective map)，进一步，若f既是单射又是满射，则称f是双射(bijective map)。当f是G到N的双射时，它能*一地确定一个N到G的映射，对于上述的称g是f的逆映射(方向与f刚好相反)，通常把f的逆映射记成形式。
我们使用的集合常常是数集，例如全体自然数N(或用N表示)，全体整数Z(或用Z表示)，有理数域Q(或用Q表示)，实数域R(或用R表示)，复数域C(或用C表示)。我们可以在数集之间建立一些对应关系。
例题1.1.1
通过简单的分析可知：上面例题中的三个对应都是映射，其中f既不是单射也不是满射，g是单的但不满，h是个双射，它的逆是。实际上映射f：就是我们通常所说的函数。
给定两个映射，我们可以自然地构作一个新的映射，这个映射称作g与f的复合映射(或称g与f的积)，记作g±f(简记gf)。特别地，gf(a)=g(f(a))。
类似地，给定两个集合A，B，我们也可构作一个新的集合，记作，具体地，，称之为A与B的卡氏积(Cartersian product)。
利用集合和映射的观点，可以统一认识数学中的很多事情，把它们说得更加清楚、充分、简洁。例如，关于无限集S的描述：S不是一个有限集，S中的元素取之不竭，S的元素要多少有多少，S中的元素当取到n个元时，总能接着取到第n+1个，此处的n是任意自然数，等等。实际上，利用映射可以给出无限集一个很简洁的描述：如果S与其一个真子集之间存在一个双射，则S就是一个无限集。这是因为有限集不可能与其真子集之间存在双射。算术里的加、减、乘运算就可以看作是的映射，其中A可以取数域等。例如，其中，减法及乘法同理可得。除法可定义为，其中，此处表示的全体非零元之集。实际上，我们学过的各种运算都可以通过映射以适当的方式加以表述。
1.2 整数知识
我们学习整数知识实际是从算术开始的，*初是自然数的加法、减法，由于实际需要，算的对象范围扩大到整数，之后算的对象的范围进一步扩大到有理数域、实数域、复数域，而算的种类逐步扩大到加、减、乘、除、乘方、开方(六则运算)。简单地说，数学发展的标志就是“算”的对象的范围不断扩大、“算”的种类不断增加的过程。我们*初算的对象是数，之后是式(单项式、多项式等)，进一步学习会发现更大的算的范围、更多的算的方式。有些同学认为算的对象就应当是数，不应是别的。这种理念是有偏颇的，实际“算术”一词可以直白地解释为：算的术，即算的技巧、方法、方式。但它并没有指出算的对象。为方便进一步学习，我们想回顾和丰富一下整数知识。
我们分别用N，Z表示全体自然数集和全体整数集。我们会发现N的任一非空子集必有*小数，这一基本的事实通常称为自然数的*小数原理。对于两个整数a，b，当|a|>|b|>0时，总可以相除，得a=bq+r，其中q称为商，称为余数，并且q，r都是*一的，实际上，当|a|=|b|时，也可以写成这种形式。具体地，若a=b，有，若，有，若|a|<|b|，且a，b均正时，有，其他情况同学自己给出。总之，在任何情况下，总有表达式a=bq+r，其中的是*一的，通常称之为关于整数a，b的带余除法表示形式。
在上述带余除法表示式中，若r=0，则称b整除a。由于整数之间的整除关系在整数理论中很重要，我们给出一个更清晰的定义：对于任意两个整数a，b，若存在整数q满足条件a=bq，则称b整除a，记作b|a。此时通常称b是a的一个因数，a是b的一个倍数。注意由于，故表达式0|0是有意义的3虽然表达式00没有意义。当b不整除a时，记作b-a。
关于整数间的整除关系有下列基本性质。这些性质利用整除定义易导出。
(1) 传递性 若a|b，b|c，则a|c；
(2) 和差性 若a|b，a|c，则；
(3) 积性 若a|b，则a|cb；
(4) 组合性 若，则；
(5) 相互整除性 若a|b且b|a，则a=±b。
如果c|a且c|b，则称c是a，b的一个公因数，当a，b不全为零时，称它们的公因数中*大者为a，b的*大公因数(greatest common divisor)，记作(a，b)。当a，b全为零时，由于任意整数均是它们的公因数，故公因数中没有*大者，另外，两个零的*大公因数比两个不全为零的数的*大公因数小，会让我们感觉更自然些，于是我们规定两个零的*大公因数是零，记作(0，0)=0。这种*大公因数的定义虽然比较通俗、直观，但有些烦琐。我们可以给出一个清晰，可操作的定义。
定义1.2.1 设A，B，C是三个整数，若c满足如下两个条件：
(1) c是a，b的一个公因数，
(2) a，b的所有公因数都整除c，
则称c是a，b的*大公因数。
由上述新定义可知，若c是a，b的*大公因数，则。c也是，通常将其中的非负*大公因数记作(a，b)。注意新定义是采用另一种方式反映出*大公因数是公因数中的*大者这样一种理念。而这两种定义方式本质上是一致的。
命题1.2.2 设d是a，b的*大公因数，则存在满足d=sa+tb。
证明若a=b=0，则结论显然。设a，b不全为零，假定，则S是自然数集的一个非空子集。由*小数原理，S中必有*小数，不妨设其为h，故有。若h-a，则由带余除法知a=hq+r，0<r<h，故，这与h是S中*小数矛盾，所以h|a，同理可得h|b，因此h是a，b的一个公因数。若，则，即c|h。所以h是*大公因数，可知若d>0，则d=h，若，则。
类似地可以给出n个整数，an的*大公因数d的定义为：d是这n个数的一个公因数，并且这n个数的所有公因数都整除d。可以证明：存在整数，sn满足。记非负*大公因数为。当时，通常称是互素的。
命题1.2.3 n个整数a1，a2，…，an互素的充要条件是存在整数s1，s2，…，sn满足s1a1+s2a2+…+snan=1.
证明必要性显然。我们证明充分性：设d是非负*大公因数，则得d|ai，i=1，2，…，n，故得d|s1a1+s2a2+…+snan，所以d|1，因此d=1。
互素还有如下基本性质。(作为练习，请同学自己证明。)
(1) 若(a，b)=1，(a，c)=1，则(a，bc)=1；
(2) 若a|bc，且(a，b)=1，则a|c；
(3) 若a|c，b|c，且(a，b)=1，则ab|c。
对于两个整数a，b，若有整数m满足a|m，b|m，则称m是a，b的一个公倍数。若a，b的一个公倍数c能整除它的所有公倍数，则称c是a，b的*小公倍数。可证两整数必存在*小公倍数。若c是*小公倍数，则。c也是*小公倍数，记其中的非负者为[a，b]。注意到*小公倍数有与*大公因数类似的定义方式。
设p是一个正整数，若它只有因数±1，±p，则称p为素数(也称质数)。除1外，素数是含有因数个数*少的正整数，它有如下基本性质。(请同学自证。)
(1) 设p是一个素数，a是一个整数，则p|a或(p，a)=1，
(2) 若p|ab，则p|a或p|b。
对于整数间的除法，当只关心余数，而不计较商时，有所谓同余(congruence)的概念。具体地，当整数a，c分别除以正整数m，所得余数相同时，我们称a，c模(modulo)m同余，记作a′cmodm。易证，a′cmodm的充要条件是。易证同余有如下关于四则运算的基本性质。(请同学自己证明。)对于整数a，b，c，d，如果a′bmodm，c′dmodm，那么。如ac′bcmodm并且(c，m)=1时，a′bmodm。同余还有下列费马(P.Fermat，1601-1665)和欧拉(L.Euler，1707-1783)的著名结果。
以m为模可以将整数集按余数分为m个不交子集，每一子集称作一个剩余类，这些类分别包含余数，包含i的类为。每一类中任取一个数作这个类的代表元，可得一数集a1，a2，…，am，称为模m的一个完全剩余系。当在与m互素的类中各取一代表元时，也可得一数集b1，b2，…，bt，通常称此数集为模m的一个缩剩余系。注意一个剩余类中若有一个数与m互素，则此类中任一数均与m互素。同余式有很多与等式相同的性质，故有的学者称同余式为“粗(糙)等式”。
定理1.2.4(费马) 设p是一个素数，a是一个整数且p-a，则。
证明由于，利用二项式定理得，反复利用二项式定理可得，进而得，即。因p-a，故，即。
为了给出欧拉的结果，我们首先介绍欧拉函数a(n)：n取正整数，a(n)表示不大于n的正整数中与n互素的正整数的个数。例如，a(1)=1，a(2)=1，a(4)=2，a(10)=4。易见模m剩余类中缩剩余系有a(m)个代表元。
命题1.2.5 设m是一个正整数，k是一个与m互素的整数。在模m的剩余类中，若a1，a2，…，aa(m)是一个缩剩余系，则ka1，ka2，…，kaa(m)也是一个缩剩余系。
证明因为(ai，m)=1，(k，m)=1，所以(kai，m)=1.故再要证明ka1，ka2，…，kaa(m)中两两互不同余即可。若其中某两项，不妨设kai，ka|同余，则有，又因(k，m)=1，故得，即ai′a|modm，矛盾。
定理1.2.6(欧拉) 设m是一个正整数，k是一个整数且(m，k)=1，则ka(m)′1modm。
证明设a1，a2，…，aa(m)是一个缩剩余系，则由上述命题知ka1，ka2，…，kaa(m)也是一个缩剩余系。因此前一个缩剩余系中任一代表元，在后一个缩剩余系中刚好有一个代表元与之同余，所以得到一个积同余式a1a2…aa(m)′ka1ka2…kaa(m)′ka(m)a1a2…aa(m)modm，又因(a1a2…aa(m)，m)=1，故得ka(m)′1modm。
易见欧拉定理是费马定理的推广，故费马定理可以作为欧拉定理的推论出现。由于此两定理的证明方法是同余方法的经典应用，故均给出了证明。同余的概念很早就有，我国古代著名的同余问题“物不知其数”已有1500多年的历史。同余也是很有用的概念。例如，我们知道，任何一个分数都可以写成一个循环小数的形式。利用同余知识可以给出一个很简洁的证明。设一个分数nm，m，n>0，可得n除以m所得余数至多有m种情形，因此连续作m+1次除法，必有某两次余数相同，因此出现循环小数。
为了把一些结果及证明过程表述得简洁清楚，我们要经常使用连加号(也称为和号)，偶尔使用连乘号，因此介绍它们的一些基本性质。
我们经常把a1+a2+…+an记作
例如
也可写成