书名：数学之美 第三版  
定价：69.0  
ISBN：9787115537973  
作者：吴军  
版次：第1版  
出版时间：2020-05  
内容提要：  
八年前，“数学之美”系列文章原刊载于谷歌黑板报，获得上百万次点击，得到读者高度评价。读者说，读了“数学之美”，才发现大学时学的数学知识，比如马尔可夫链、矩阵计算，甚到余弦函数原来都如此亲切，并且栩栩如生，才发现自然语言和信息处理这么有趣。 在纸本书的创作中，作者几乎把所有文章都重写了一遍，为的是把高深的数学原理讲得更加通俗易懂，让非专业读者也能领略数学的魅力。读者通过具体的例子学到的是思考问题的方式 —— 如何化繁为简，如何用数学去解决工程问题，如何跳出固有思维不断去思考创新。 本书*一版荣获国家图书馆第八届文津图书奖。*二版增加了针对大数据和机器学习的内容。第三版增加了三章新内容，分别介绍当今非常热门的三个主题：区块链的数学基础，量子通信的原理，以及人工智能的数学极限。  

作者简介：  
吴军，学者，投资人，人工智能、语音识别和互联网搜索专家。毕业于清华大学和美国约翰?霍普金斯大学，现任丰元资本创始合伙人、上海交通大学客座教授、约翰?霍普金斯大学工学院董事等职。 吴军博士曾作为*深研究员和副总裁分别任职于Google公司和腾讯公司。在Google公司，他和同事一同开创了搜索反作弊研究领域，成立了中、日、韩文产品部门，设计了Google中、日、韩文搜索算法，领导了Google自然语言处理和自动问答等研究型项目，拥有近20项美国发明专利。在腾讯公司，他负责了搜索、搜索广告和街景地图等项目。作为风险投资人，他成功地投资了150家硅谷和中国的高科技企业。吴军博士对科技产业有深入的研究，是当今硅谷地区解读IT产业的专家。 吴军博士著有《数学之美》《大学之路》《文明之光》《智能时代》《见识》《态度》和《全球科技通史》等多部畅销书，并多次获得包括文津奖、中国好书奖、中华*秀出版物在内的图书大奖。  

目录：  
I *二版序言  
III 第 一版序言  
VI 第三版前言  
1 第 1章 文字和语言 vs 数字和信息  
文字和语言与数学，从产生起原本就有相通性，虽然它们的发展一度分道扬镳，但是*终还是能走到一起。  
1　信息  
2　文字和数字  
3　文字和语言背后的数学  
4　小结  
15 第 2章 自然语言处理—从规则到统计  
人类对机器理解自然语言的认识走了一条大弯路。早期的研究集中采用基于规则的方法，虽然解决了一些简单的问题，但是无法从根本上将自然语言理解实用化。直到 多年后，人们开始尝试用基于统计的方法进行自然语言处理，才有了突破性进展和实用的产品。  
1　机器智能  
2　从规则到统计  
目 录  
II 数学之美　第三版  
3　小结  
27 第3 章 统计语言模型  
统计语言模型是自然语言处理的基础，并且被广泛应用  
于机器翻译、语音识别、印刷体或手写体识别、拼写纠错、  
汉字输入和文献查询。  
1　用数学的方法描述语言规律  
2　延伸阅读：统计语言模型的工程诀窍  
3　小结  
41 第4 章 谈谈分词  
中文分词是中文信息处理的基础，它同样走过了一段弯  
路，目前依靠统计语言模型已经基本解决了这个问题。  
1　中文分词方法的演变  
2　延伸阅读：如何衡量分词的结果  
3　小结  
50 第5 章 隐含马尔可夫模型  
隐含马尔可夫模型*初应用于通信领域，继而推广到语  
音和语言处理中，成为连接自然语言处理和通信的桥梁。  
同时，隐含马尔可夫模型也是机器学习的主要工具之一。  
1　通信模型  
2　隐含马尔可夫模型  
目 录III  
3　延伸阅读：隐含马尔可夫模型的训练  
4　小结  
60 第6 章 信息的度量和作用  
信息是可以量化度量的。信息熵不仅是对信息的量化度  
量，也是整个信息论的基础。它对于通信、数据压缩、  
自然语言处理都有很强的指导意义。  
1　信息熵  
2　信息的作用  
3　互信息  
4　延伸阅读：相对熵  
5　小结  
72 第7 章 贾里尼克和现代语言处理  
作为现代自然语言处理的奠基者，贾里尼克教授成功地  
将数学原理应用于自然语言处理领域中，他的一生富于  
传奇色彩。  
1　早年生活  
2　从水门事件到莫妮卡·莱温斯基  
3　一位老人的奇迹  
82 第8 章 简单之美— 布尔代数和搜索引擎  
布尔代数虽然非常简单，却是计算机科学的基础，它不  
仅把逻辑和数学合二为一，而且给了我们一个全新的视  
角看待世界，开创了数字化时代。  
IV 数学之美　第三版  
1　布尔代数  
2　索引  
3　小结  
89 第9 章 图论和网络爬虫  
互联网搜索引擎在建立索引前需要用一个程序自动地将  
所有的网页下载到服务器上，这个程序称为网络爬虫，  
它的编写是基于离散数学中图论的原理。  
1　图论  
2　网络爬虫  
3　延伸阅读：图论的两点补充说明  
4　小结  
98 第 10章 PageRank — Google 的民主表决式网  
页排名技术  
网页排名技术 是早期 的杀手锏，它  
的出现使得网页搜索的质量上了一个大的台阶。它背后  
的原理是图论和线性代数的矩阵运算。  
1　PageRank 算法的原理  
2　延伸阅读：PageRank 的计算方法  
3　小结  
104 第 11 章 如何确定网页和查询的相关性  
确定网页和查询的相关性是网页搜索的根本问题，其中确  
目 录V  
定查询中每个关键词的重要性有多高是关键。 是目  
前通用的关键词重要性的度量，其背后的原理是信息论。  
1　搜索关键词权重的科学度量TF-IDF  
2　延伸阅读：TF-IDF 的信息论依据  
3　小结  
111 第 12章 有限状态机和动态规划— 地图与本地  
搜索的核心技术  
地图和本地服务中要用到有限状态机和动态规划技术。  
这两项技术是机器智能和机器学习的工具，它们的应用  
非常广泛，还包括语音识别、拼写和语法纠错、拼音输  
入法、工业控制和生物的序列分析等。  
1　地址分析和有限状态机  
2　全球导航和动态规划  
3　延伸阅读：有限状态传感器  
4 小结  
121 第 13 章 Google AK-47 的设计者— 阿米特·  
　辛格博士  
在所有轻武器中*有名的是 冲锋枪，因为它从不  
卡壳，不易损坏，可在任何环境下使用，可靠性好，杀  
伤力大并且操作简单。 的产品就是按照上述原  
则设计的。  
VI 数学之美　第三版  
127 第 14 章 余弦定理和新闻的分类  
计算机虽然读不懂新闻，却可以准确地对新闻进行分类。  
其数学工具是看似毫不相干的余弦定理。  
1　新闻的特征向量  
2　向量距离的度量  
3　延伸阅读：计算向量余弦的技巧  
4　小结  
136 第 15章 矩阵运算和文本处理中的两个分类问题  
无论是词汇的聚类还是文本的分类，都可以通过线性代  
数中矩阵的奇异值分解来进行。这样一来，自然语言处  
理的问题就变成了一个数学问题。  
1　文本和词汇的矩阵  
2　延伸阅读：奇异值分解的方法和应用场景  
3　小结  
142 第 16 章 信息指纹及其应用  
世间万物都有一个唯*标识的特征，信息也是如此。每  
一条信息都有它特定的指纹，通过这个指纹可以区别不  
同的信息。  
1　信息指纹  
2　信息指纹的用途  
3　延伸阅读：信息指纹的重复性和相似哈希  
4　小结  
目 录VII  
153 第 17 章 由电视剧《暗算》所想到的— 谈谈  
原理  
密码学的根本是信息论和数学。没有信息论指导的密码  
是非常容易被破解的。只有在信息论被广泛应用于密码  
学后，密码才真正变得安全。  
1　密码学的自发时代  
2　信息论时代的密码学  
3　小结  
162 第 18章 闪光的不一定是金子— 谈谈搜索引擎  
反作弊问题和搜索结果的*威性问题  
闪光的不一定是金子，搜索引擎中排名靠前的网页也  
未必是有用的网页。消除这些作弊网页的原理和通信  
中过滤噪音的原理相同。这说明信息处理和通信的很  
多原理是相通的。  
1　搜索引擎的反作弊  
2　搜索结果的*威性  
3　小结  
171 第 19 章 谈谈数学模型的重要性  
正确的数学模型在科学和工程中到关重要，而发现正确  
模型的途径常常是曲折的。正确的模型在形式上通常是  
简单的。  
179 第 20章 不要把鸡蛋放到一个篮子里— 谈谈*  
密码学的数学原理  
VIII 数学之美　第三版  
大熵模型  
*大熵模型是一个*美的数学模型。它可以将各种信息  
整合到一个统一的模型中，在信息处理和机器学习中有  
着广泛的应用。它在形式上非常简单、优美，而在实现  
时需要有精深的数学基础和高超的技巧。  
1　*大熵原理和*大熵模型  
2　延伸阅读：*大熵模型的训练  
3　小结  
186 第 21 章 拼音输入法的数学原理  
汉字的输入过程本身就是人和计算机之间的通信。好的  
输入法会自觉或不自觉地遵循通信的数学模型。当然要  
做出*有效的输入法，应当自觉使用信息论做指导。  
1　输入法与编码  
2　输入一个汉字需要敲多少个键— 谈谈香农  
第 一定理  
3　拼音转汉字的算法  
4　延伸阅读：个性化的语言模型  
5　小结  
197 第 22章 自然语言处理的教父马库斯和他的*秀  
弟子们  
将自然语言处理从基于规则的研究方法转到基于统计的  
研究方法上，宾夕法尼亚大学的教授米奇·马库斯功不  
目 录IX  
可没。他创立了现-在在学术界广泛使用的 语料库，  
同时培养了一大批精英人物。  
1　教父马库斯  
2　从宾夕法尼亚大学走出的精英们  
204 第 23 章 布隆过滤器  
日常生活中，经常要判断一个元素是否在一个集合中。  
布隆过滤器是计算机工程中解决这个问题*好的数学工  
具。  
1　布隆过滤器的原理  
2　延伸阅读：布隆过滤器的误识别问题  
3　小结  
209 第 24 章 马尔可夫链的扩展— 贝叶斯网络  
贝叶斯网络是一个加权的有向图，是马尔可夫链的扩展。  
而从认识论的层面看：贝叶斯网络克服了马尔可夫链那  
种机械的线性约束，它可以把任何有关联的事件统一到  
它的框架下面。它在生物统计、图像处理、决策支持系  
统和博弈论中都有广泛的使用。  
1　贝叶斯网络  
2　贝叶斯网络在词分类中的应用  
3　延伸阅读：贝叶斯网络的训练  
4　小结  
X 数学之美　第三版  
217 第 25 章 条件随机场、文法分析及其他  
条件随机场是计算联合概率分布的有效模型，而句法  
分析似乎是英文课上英语老师教的东西，这两者有什  
么联系呢？  
1　文法分析— 计算机算法的演变  
2　条件随机场  
3　条件随机场在其他领域的应用  
4　小结  
227 第 26 章 维特比和他的维特比算法  
维特比算法是现代数字通信中使用*频繁的算法，同时  
也是很多自然语言处理的解码算法。可以毫不夸张地讲，  
维特比是对我们现-在生活的影响力*大的科学家之一，  
因为如今基于 的 移动通信标准主要就是他创  
办的高通公司制定的。  
1　维特比算法  
2　CDMA 技术— 3G 移动通信的基础  
3　小结  
238 第 27 章 上帝的算法— 期望*大化算法  
只要有一些训练数据，再定义一个*大化函数，采用  
算法，利用计算机经过若干次迭代，就可以得到所  
需要的模型。这实在是太美妙了，这也许是我们的造物  
主刻意安排的。所以我把它称作上帝的算法。  
目 录XI  
1　文本的自收敛分类  
2　延伸阅读：期望*大化和收敛的必然性  
3　小结  
244 第 28 章 逻辑回归和搜索广告  
逻辑回归模型是一种将影响概率的不同因素结合在一起  
的指数模型，它不仅在搜索广告中起着重要的作用，而  
且被广泛应用于信息处理和生物统计中。  
1　搜索广告的发展  
2　逻辑回归模型  
3　小结  
249 第 29 章 各个击破算法和Google 云计算的基础  
颇为神秘的云计算中*重要的 工具，  
其原理就是计算机算法中常用的“各个击破”算法，它  
的原理原来这么简单— 将复杂的大问题分解成很多小  
问题分别求解，然后再把小问题的解合并成原始问题的  
解。由此可见，在生活中大量用到的、真正有用的方法  
常常都是简单朴实的。  
1　分治算法的原理  
2　从分治算法到MapReduce  
3　小结  
254 第30 章 Google 大脑和人工神经网络  
大脑并不是一个什么都能思考的大脑，而是一  
XII 数学之美　第三版  
个很能计算的人工神经网络。因此，与其说 大  
脑很聪明 不如说它很能算。不过，换个角度来说，随  
着计算能力的不断提高，计算量大但简单的数学方法有  
时能够解决很复杂的问题。  
1　人工神经网络  
2　训练人工神经网络  
3　人工神经网络与贝叶斯网络的关系  
4　延伸阅读：“Google 大脑”  
5　小结  
273 第31章 区块链的数学基础— 椭圆曲线加密原理  
希尔伯特讲，“我们直到能够把一门自然科学的数学内  
核剥出并完全地揭示出来，才能够掌握它。”以比特币  
为代表的加密货币的基础是数学的算法，只有搞清楚加  
密货币的数学内核，我们才能了解它的本质。  
1 不对称、不透明之美  
2 椭圆曲线加密的原理  
3 小结  
281 第32 章 大数据的威力— 谈谈数据的重要性  
如果说在过去的 年里，主导全球 产业发展的是摩  
尔定律，那么在今后的 年里，主导 行业继续发展  
的动力则将来自于数据。  
1　数据的重要性  
目 录XIII  
2　数据的统计和信息技术  
3　为什么需要大数据  
4　小结  
303 第33章 随机性带来的好处— 量子密钥分发  
的数学原理  
人们总是喜欢确定性而不喜欢随机性。但是从对  
确定性规律的把握上升到对随机性规律的把握，  
恰恰是近代数学进步的标志。量子通信，就是建  
立在把握了有关随机性规律的基础之上的。  
1 用（激光）量子的偏振方向传递信息  
2 利用随机性保证信息安全  
3　小结  
311 第34章 数学的极限— 希尔伯特第十问题和  
机器智能的极限  
世界上只有一小部分问题是数学问题，而数学问题  
中又只有极小的一部分问题有解。在这些问题中，  
现-在已经找到相应算法的少之又少。因此，数学  
不是*能的，我需要了解数学的边界在哪里。  
1 图灵划定计算机可计算问题的边界  
2 希尔伯特划定有解数学问题的边界  
3 小结  
XIV 数学之美　第三版  
322 附录 计算复杂度  
326 第三版后记  
332 索引