内容简介

《数学哲学讲义》是基于哈姆金斯教授在牛津大学开设的数学哲学课程整理而成的数学哲学教材与科普读物。哈姆金斯教授以其清晰、引人入胜的写作风格，带领读者探索数学哲学中的核心议题。

与通常的数学哲学教材不同，作为一名受过良好哲学训练的真正的数学家，作者在本书中并没有简单地罗列各种哲学立场，而是从具体数学实践中出现的困惑出发，通过启发性的对话，巧妙地引入复杂的哲学概念，并结合具体的数学实例进行分析。这种写作编排让没有深厚哲学背景的读者也能轻松理解并沉浸其中。本书适合所有对数学基础、数学的确定性以及数学知识的本质抱有好奇心的人。无论数学专业的学生、研究者，还是仅仅对哲学思辨感兴趣的普通读者，都能从中获得宝贵的知识和全新的视角。

作者简介

乔伊·大卫·哈姆金斯 (Joel David Hamkins)，美国圣母大学哲学系教授，曾任牛津大学哲学系逻辑学教授，纽约城市大学数学、哲学和计算机科学杰出教授。哈姆金斯既是数学家又是哲学家，研究领域为数理逻辑和哲学逻辑，重点关注关于无穷的数学和哲学，特别是集合论、集合论哲学以及关于潜在主义的数学和哲学。他是同时也是专业数学问答网站MathOverflow的高排名活跃用户。   

译者简介

郝兆宽，复旦大学哲学学院教授，博士生导师。主要研究方向为数理逻辑、数学哲学、哥德尔思想。

高坤，北京大学哲学博士，现任教于山西大学科学技术哲学研究中心，主要从事逻辑与数学哲学方面的研究工作。

单芃舒，复旦大学逻辑学博士。   

目录

序言 ix

关于作者 xiii

第一章 数 1

第一节 数与数字 1

第二节 数系 3

第三节 不可公度数 5

第四节 柏拉图主义 8

第五节 逻辑主义 11

第六节 解释算术 19

第七节 数不能是什么 30

第八节 戴德金算术 34

第九节 数学归纳法 37

第十节 结构主义 42

第十一节 实数是什么？ 56

第十二节 超越数 65

第十三节 复数 67

第十四节 当代类型论 73

第十五节 其他数类 75

第十六节 哲学有什么意义？ 75

第十七节 说到最后，究竟什么是数？ 76

思考题 77

扩展阅读 80

致谢与出处 81

第二章 严格性 83

第一节 连续性 83

第二节 瞬时变化 89

第三节 概念词汇的扩大 92

第四节 最小上界原则 95

第五节 数学的不可或缺性 100

第六节 函数概念中的抽象化 105

第七节 再谈无穷小量 113

思考题 125

扩展阅读 128

致谢与出处 129

第三章 无穷 131

第一节 希尔伯特旅馆 131

第二节 可数集合 134

第三节 等数性 137

第四节 希尔伯特杯半程马拉松 140

第五节 不可数性 141

第六节 康托论超越数 146

第七节 论集合子集的数量 149

第八节 超越等数性：大小比较原则 158

第九节 什么是康托的连续统假设？ 163

第十节 超穷基数——“阿列夫”序列和“贝斯”序列 165

第十一节 芝诺悖论 169

第十二节 如何计数 171

思考题 174

扩展阅读 178

致谢与出处 179

第四章 几何 181

第一节 几何构造 182

第二节 非规矩数 190

第三节 其他可选工具集 194

第四节 几何学的本体论 199

第五节 图示和图形的作用 200

第六节 非欧几何 212

第七节 欧几里得的错误？ 220

第八节 几何学与物理空间 223

第九节 庞加莱论几何的性质 225

第十节 塔斯基论几何的可判定性 226

思考题 228

扩展阅读 230

致谢与出处 231

第五章 证明 233

第一节 句法-语义之分 234

第二节 什么是证明？ 236

第三节 形式证明和证明论 252

第四节 自动化定理证明和证明验证 264

第五节 完全性定理 268

第六节 非经典逻辑 272

第七节 结论 281

思考题 281

扩展阅读 284

致谢与出处 285

第六章 可计算性 287

第一节 原始递归 288

第二节 图灵论可计算性 297

第三节 算力：层谱观和阈值观 308

第四节 丘奇-图灵论题 310

第五节 不可判定性 312

第六节 可计算的数 315

第七节 带信息源的计算和图灵度 318

第八节 计算复杂度理论 320

思考题 329

扩展阅读 333

第七章 不完全性 335

第一节 希尔伯特计划 337

第二节 第一不完全性定理 341

第三节 第二不完全性定理 353

第四节 哥德尔-罗瑟不完全性定理 357

第五节 塔斯基的真之不可定义定理 359

第六节 费弗曼理论 360

第七节 无处不在的独立性 361

第八节 反推数学 363

第九节 古德斯坦定理 367

第十节 勒布定理 371

第十一节 两种不可判定性 373

思考题 374

扩展阅读 377

第八章 集合论 379

第一节 康托-本迪克森定理 380

第二节 作为数学基础的集合论 383

第三节 普遍概括原理 388

第四节 层垒的谱系 393

第五节 分离公理 396

第六节 外延性 400

第七节 替换公理 402

第八节 选择公理与良序定理 406

第九节 大基数 412

第十节 连续统假设 422

第十一节 单宇宙观 424

第十二节 新公理的标准 427

第十三节 数学需要新公理吗？ 432

第十四节 多宇宙观 437

思考题 443

扩展阅读 446

致谢与出处 447

参考文献 449

术语索引 461

主题索引 463

译后记 487