对于大多数学生来说，微积分或许是他们曾经上过的倍感迷茫且很受挫折的一门课程了。本书不仅让学生们能有效地学习微积分，更重要的是提供了战胜微积分的可靠工具。
本书源于靡美国普林斯顿大学的阿德里安.班纳教授的微积分复习课程，他激励了一些考试前想获得成功但考试结果却平平的学生。
作者班纳是美国普林斯顿大学的知名数学教授，并担任新技术研究中心主任。他的授课风格非正式、有吸引力并完全不强求，甚至在不失其详尽性的基础上又增添了许多娱乐性，而且他不会跳过讨论一个问题的任何步骤。
这本典著作将易用性与可读性以及内容的深度与数学的严谨美地结合在一起。对于每一个想要掌握微积分的学生来说，本书都是好的资源。当然，非数学专业的学生也将大大受益。
本书是作者多年来给普林斯顿大学本科一年级学生开设微积分的每周复习课。本书专注于讲述解题技巧，目的是帮助读者学习一元微积分的主要概念。深入处理一些基本内容，还复习一些主题。本书不仅可以作为参考书，也可以作为教材，定会成为任何一位需要微积分知识人学习一元微积分的非常好的指导书。
1 章函数、图像和直线… … … … … … … …1
1．1　函数… … … … … … … …1
1．1．1　区间表示法… … … … … … … …3
1．1．2　求定义域… … … … … … … …3
1．1．3　利用图像求值域… … … … … … … …4
1．1．4　垂线检验… … … … … … … …5
1．2　反函数… … … … … … … …6
1．2．1　水平线检验… … … … … … … …7
1．2．2　求反函数… … … … … … … …8
1．2．3　限制定义域… … … … … … … …　8
1．2．4　反函数的反函数… … … … …　9
1．3　函数的复合… … … … … … … … … … … … …　10
1．4　奇函数和偶函数… … … … … … … … … …　12
1．5　线性函数的图像… … … … … … … … … …　14
1．6　常见函数及其图像… … … … … … … … …　16
第2　章三角学回顾… … … … … … … … … … … … …　21
2．1　基本知识… … … … … … … … … … … … … … …　21
2．2　扩展三角函数定义域… … … … … … …　23
2．2．1　ASTC 方法… … … … … … … …　25
2．2．2　[0， 2π] 以外的三角函数… … … … … … … … … … … … …　27
2．3　三角函数的图像… … … … … … … … … …　29
2．4　三角恒等式… … … … … … … … … … … … …　32
第3　章极限导论… … … … … … … … … … … … … … …　34
3．1　极限：基本思想… … … … … … … … … …　34
3．2　左极限与右极限… … … … … … … … … …　36
3．3　何时不存在极限… … … … … … … … … …　37
3．4　在∞和-∞处的极限… … … … …　38
3．5　关于渐近线的两个常见误解… … …　41
3．6　三明治定理… … … … … … … … … … … … …　43
3．7　极限的基本类型小结… … … … … … …　45
第4　章求解多项式的极限问题… … … … … …　47
4．1　x → a 时的有理函数的极限… … …　47
4．2　x → a 时的平方根的极限… … … …　50
4．3　x → ∞时的有理函数的极限… …　51
4．4　x → ∞时的多项式型函数的极限… …　56
4．5　x → -∞ 时的有理函数的极限… … … … …　59
4．6　包含绝对值的函数的极限… … … …　61
第5　章连续性和可导性… … … … … … … … … …　63
5．1　连续性… … … … … … … … … … … … … … … …　63
5．1．1　在一点处连续… … … … … … …　63
5．1．2　在一个区间上连续… … … …　64
5．1．3　连续函数的一些例子… …　65
5．1．4　介值定理… … … … … … … … … …　67
5．1．5　一个更难的介值定理
例子…　… … … … … … … … … … … …　69
5．1．6　连续函数的大值和
小值…　… … … … … … … … … …　70
5．2　可导性… … … … … … … … … … … … … … … …　71
5．2．1　平均速率… … … … … … … … … …　72
5．2．2　位移和速度… … … … … … … …　72
5．2．3　瞬时速度… … … … … … … … … …　73
5．2．4　速度的图像阐释… … … … …　74
5．2．5　切线… … … … … … … … … … … … …　75
5．2．6　导函数… … … … … … … … … … …　77
5．2．7　作为极限比的导数… … … …　78
5．2．8　线性函数的导数… … … … …　80
5．2．9　二阶导数和更高阶导数… … … … … … … … … … … … …　80
5．2．10　何时导数不存在… … … … …　81
5．2．11　可导性和连续性… … … … …　82
第6　章求解微分问题… … … … … … … … … … …　84
6．1　使用定义求导… … … … … … … … … … … …　84
6．2　用更好的办法求导… … … … … … … … …　87
6．2．1　函数的常数倍… … … … … … …　88
6．2．2　函数和与函数差… … … … …　88
6．2．3　通过乘积法则求积函数的导数… … … … … … … … … …　88
6．2．4　通过商法则求商函数的导数… … … … … … … … … …　90
6．2．5　通过链式求导法则求复合函数的导数… … … …　91
6．2．6　那个难以处理的例子… …　94
6．2．7　乘积法则和链式求导法则的理由… … … … … … …　96
6．3　求切线方程… … … … … … … … … … … … …　98
6．4　速度和加速度… … … … … … … … … … … …　99
6．5　导数伪装的极限… … … … … … … … … …　101
6．6　分段函数的导数… … … … … … … … … …　103
6．7　直接画出导函数的图像… … … … … …　106
第7　章三角函数的极限和导数… … … … … …　111
7．1　三角函数的极限… … … … … … … … … …　111
7．1．1　小数的情况… … … … … … … …　111
7．1．2　问题的求解——小数的情况… … … … … … … … … … …　113
7．1．3　大数的情况… … … … … … … …　117
7．1．4　其他的" 情况… … … … … …　120
7．1．5　一个重要极限的证明… …　121
7．2　三角函数的导数… … … … … … … … … …　124
7．2．1　求三角函数导数的例子… … … … … … … … … … … … …　127
7．2．2　简谐运动… … … … … … … … … …　128
7．2．3　一个有趣的函数… … … … …　129
第8　章隐函数求导和相关变化率… … … …　132
8．1　隐函数求导… … … … … … … … … … … … …　132
8．1．1　技巧和例子… … … … … … … …　133
8．1．2　隐函数求二阶导… … … … …　137
8．2　相关变化率… … … … … … … … … … … … …　138
8．2．1　一个简单的例子… … … … …　139
8．2．2　一个稍难的例子… … … … …　141
8．2．3　一个更难的例子… … … … …　142
8．2．4　一个非常难的例子… … … …　144
第9　章指数函数和对数函数… … … … … … …　148
9．1　基础知识… … … … … … … … … … … … … … …　148
9．1．1　指数函数的回顾… … … … …　148
9．1．2　对数函数的回顾… … … … …　149
9．1．3　对数函数、指数函数及反函数… … … … … … … … … …　150
9．1．4　对数法则… … … … … … … … … …　151
9．2　e 的定义… … … … … … … … … … … … … … …　153
9．2．1　一个有关复利的问题… …　153
9．2．2　问题的答案… … … … … … … …　154
9．2．3　更多关于e 和对数函数的内容… … … … … … … …　156
9．3　对数函数和指数函数求导… … … …　158
9．4　求解指数函数或对数函数的极限… … … … … … …… … … …　161
9．4．1　涉及e 的定义的极限… …　161
9．4．2　指数函数在0 附近的行为… … … … … … … … … … … … …　162
9．4．3　对数函数在1 附近的行为… … … … … … … … … … … … …　164
9．4．4　指数函数在∞或-∞附近的行为… … … … …　164
9．4．5　对数函数在∞附近的行为… … … … … … … … … … … … …　167
9．4．6　对数函数在0 附近的行为… … … … … … … … … … … … …　168
9．5　取对数求导法… … … … … … … … … … … …　169
9．6　指数增长和指数衰变… … … … … … …　173
9．6．1　指数增长… … … … … … … … … …　174
9．6．2　指数衰变… … … … … … … … … …　176
9．7　双曲函数… … … … … … … … … … … … … … …　178
10　章反函数和反三角函数… … … … … …　181
10．1　导数和反函数… … … … … … … … … … …　181
10．1．1　使用导数证明反函数存在… … … … … … … … … … … …　181
10．1．2　导数和反函数：可能出现的问题… … … … … … … …　182
10．1．3　求反函数的导数… … … … …　183
10．1．4　一个综合性例子… … … … …　185
10．2　反三角函数… … … … … … … … … … … …　187
10．2．1　反正弦函数… … … … … … … …　187
10．2．2　反余弦函数… … … … … … … …　190
10．2．3　反正切函数… … … … … … … …　192
10．2．4　反正割函数… … … … … … … …　194
10．2．5　反余割函数和反余切函数… … … … … … … … … … … …　195
10．2．6　计算反三角函数… … … … …　196
10．3　反双曲函数… … … … … … … … … … … …　199
11　章导数和图像… … … … … … … … … … … …　202
11．1　函数的极值… … … … … … … … … … … …　202
11．1．1　全局极值和局部极值… …　202
11．1．2　极值定理… … … … … … … … …　203
11．1．3　求全局大值和小值… … … … … … … … … … … …　204
11．2　罗尔定理… … … … … … … … … … … … … …　206
11．3　中值定理… … … … … … … … … … … … … …　209
11．4　二阶导数和图像… … … … … … … … …　212
11．5　对导数为零点的分类… … … … … …　215
11．5．1　使用一次导数… … … … … …　215
11．5．2　使用二阶导数… … … … … …　217
12　章绘制函数图像… … … … … … … … … … …　219
12．1　建立符号表格… … … … … … … … … … …　219
12．1．1　建立一阶导数的符号表格… … … … … … … … … … … …　221
12．1．2　建立二阶导数的符号表格… … … … … … … … … … … …　222
12．2　绘制函数图像的全面方法… … …　224
12．3　例题… … … … … … … … … … … … … … … … …　225
12．3．1　一个不使用导数的例子… … … … … … … … … … … …　225
12．3．2　完整的方法：例一… … …　227
12．3．3　完整的方法：例二… … …　229
12．3．4　完整的方法：例三… … …　231
12．3．5　完整的方法：例四… … …　234
13　章优化和线性化… … … … … … … … …　239
13．1　优化… … … … … … … … … … … … … … …　239
13．1．1　一个简单的优化例子… … … … … … … … … … … …　239
13．1．2　优化问题：一般方法… … … … … … … … … … … …　240
13．1．3　一个优化的例子… … …　241
13．1．4　另一个优化的例子… …　242
13．1．5　在优化问题中使用隐函数求导… … … … … … … …　246
13．1．6　一个较难的优化例子… … … … … … … … … … … …　246
13．2　线性化… … … … … … … … … … … … … … …　249
13．2．1　线性化问题：一般方法… … … … … … … … … … … …　251
13．2．2　微分… … … … … … … … … … … …　252
13．2．3　线性化的总结和例子… …　254
13．2．4　近似中的误差… … … … … …　256
13．3　牛顿法… … … … … … … … … … … … … … …　258
14　章洛达法则及极限问题总结… …　263
14．1　洛达法则… … … … … … … … … … … …　263
14．1．1　类型A：0/0 … … … … … … …　263
14．1．2　类型A：±∞/±∞ … …　266
14．1．3　类型B1： (∞-∞) … …　267
14．1．4　类型B2： (0 x±∞) … …　269
14．1．5　类型C： 1±∞，00 或∞0… … … …　270
14．1．6　洛达法则类型的总结… … … … … … … … … … … …　272
14．2　关于极限的总结… … … … … … … … …　273
15　章积分… … … … … … … … … … … … … … … …　276
15．1　求和符号… … … … … … … … … … … … … …　276
15．1．1　一个有用的求和… … … … …　279
15．1．2　伸缩求和法… … … … … … … …　280
15．2　位移和面积… … … … … … … … … … … …　283
15．2．1　三个简单的例子… … … … …　283
15．2．2　一段更常规的旅行… … …　285
15．2．3　有向面积… … … … … … … … …　287
15．2．4　连续的速度… … … … … … … …　288
15．2．5　两个特别的估算… … … … …　291
16　章定积分… … … … … … … … … … … … … … …　293
16．1　基本思想… … … … … … … … … … … … … …　293
16．2　定积分的定义… … … … … … … … … … …　297
16．3　定积分的性质… … … … … … … … … … …　301
16．4　求面积… … … … … … … … … … … … … … …　305
16．4．1　求通常的面积… … … … … …　306
16．4．2　求解两条曲线之间的面积… … … … … … … … … … … …　308
16．4．3　求曲线与y 轴所围成的面积… … … … … … … … … … …　310
16．5　估算积分… … … … … … … … … … … … … …　313
16．6　积分的平均值和中值定理… … …　316
16．7　不可积的函数… … … … … … … … … … …　319
17　章微积分基本定理… … … … … … … … …　321
17．1　用其他函数的积分来表示的函数… … … … … … … … … …… …　321
17．2　微积分的一基本定理… … … … …　324
17．3　微积分的第二基本定理… … … … …　328
17．4　不定积分… … … … … … … … … … … … … …　329
17．5　怎样解决问题：微积分的一基本定理… … … … … … … … … … … …　331
17．5．1　变形1：变量是积分下限… … … … … … … … … … … …　332
17．5．2　变形2：积分上限是一个函数… … … … … … … … …　332
17．5．3　变形3：积分上下限都为函数… … … … … … … … …　334
17．5．4　变形4：极限伪装成导数… … … … … … … … … … … …　335
17．6　怎样解决问题：微积分的第二基本定理… … … … … … … … … … … …　336
17．6．1　计算不定积分… … … … … …　336
17．6．2　计算定积分… … … … … … … …　339
17．6．3　面积和绝对值… … … … … …　341
17．7　技术要点… … … … … … … … … … … … … …　344
17．8　微积分一基本定理的证明… …　345
18　章积分的方法I… … … … … … … … … … …　347
18．1　换元法… … … … … … … … … … … … … … …　347
18．1．1　换元法和定积分… … … … …　350
18．1．2　如何换元… … … … … … … … …　353
18．1．3　换元法的理论解释… … …　355
18．2　分部积分法… … … … … … … … … … … …　356
18．3　部分分式… … … … … … … … … … … … … …　361
18．3．1　部分分式的代数运算… …　361
18．3．2　对每一部分积分… … … … …　365
18．3．3　方法和一个完整的例子… … … … … … … … … … … …　367
19　章积分的方法II … … … … … … … … … …　373
19．1　应用三角恒等式的积分… … … … …　373
19．2　关于三角函数的幂的积分… … …　376
19．2．1　sin 或cos 的幂… … … … …　376
19．2．2　tan 的幂… … … … … … … … …　378
19．2．3　sec 的幂… … … … … … … … … …　379
19．2．4　cot 的幂… … … … … … … … … …　381
19．2．5　csc 的幂… … … … … … … … … …　382
19．2．6　约化公式… … … … … … … … …　382
19．3　关于三角换元法的积分… … … … …　384
19．3．1　类型1：pa2 ? x2 … … …　384
19．3．2　类型2：px2 + a2 … … …　386
19．3．3　类型3：px2 ? a2 … … …　387
19．3．4　配方和三角换元法… … …　388
19．3．5　关于三角换元法的总结… … … … … … … … … … … …　389
19．3．6　平方根的方法和三角换元法… … … … … … … … … … …　389
19．4　积分技巧总结… … … … … … … … … … …　391
第20　章反常积分：基本概念… … … … … …　393
20．1　收敛和发散… … … … … … … … … … … …　393
20．1．1　反常积分的一些例子… …　395
20．1．2　其他破裂点… … … … … … … …　397
20．2　关于无穷区间上的积分… … … … …　398
20．3　比较判别法(理论)… … … … … … … …　400
20．4　极限比较判别法(理论)… … … … …　402
20．4．1　函数互为渐近线… … … … …　402
20．4．2　关于判别法的陈述… … …　404
20．5　p 判别法(理论) … … … … … … … … …　405
20．6　绝对收敛判别法… … … … … … … … …　407
第21　章反常积分：如何解题… … … … … …　410
21．1　如何开始… … … … … … … … … … … … … …　410
21．1．1　拆分积分… … … … … … … … …　410
21．1．2　如何处理负函数值… … …　411
21．2　积分判别法总结… … … … … … … … …　413
21．3　常见函数在∞ 和-∞附近的表现… … … … … … … … … …　414
21．3．1　多项式和多项式型函数在∞ 和-∞ 附近的表现… … … … … … … … …　415
21．3．2　三角函数在∞ 和-∞ 附近的表现… … … …　417
21．3．3　指数在∞和-∞附近的表现… … … … … … … … …　419
21．3．4　对数在∞ 附近的表现… … … … … … … … … … … …　422
21．4　常见函数在0 附近的表现… … …　426
21．4．1　多项式和多项式型函数在0 附近的表现… … …　426
21．4．2　三角函数在0 附近的表现… … … … … … … … … … … …　427
21．4．3　指数函数在0 附近的表现… … … … … … … … … … … …　429
21．4．4　对数函数在0 附近的表现… … … … … … … … … … … …　430
21．4．5　更一般的函数在0 附近的表现… … … … … … … … …　431
21．5　如何应对不在0 或1 处的瑕点… … … … … … … … … … …… … …　432
第22　章数列和级数：基本概念… … … … …　434
22．1　数列的收敛和发散… … … … … … … …　434
22．1．1　数列和函数的联系… … …　435
22．1．2　两个重要数列… … … … … …　436
22．2　级数的收敛与发散… … … … … … … …　438
22．3　第n 项判别法(理论) … … … … … …　442
22．4　无穷级数和反常积分的性质… …　443
22．4．1　比较判别法(理论) … … …　443
22．4．2　极限比较判别法(理论) … … … … … … … … … … …　444
22．4．3　p 判别法(理论)… … … … …　444
22．4．4　绝对收敛判别法… … … … …　445
22．5　级数的新判别法… … … … … … … … …　447
22．5．1　比式判别法(理论) … … …　447
22．5．2　根式判别法(理论) … … …　449
22．5．3　积分判别法(理论) … … …　450
22．5．4　交错级数判别法(理论) … … … … … … … … … … …　453
第23　章求解级数问题… … … … … … … … … …　455
23．1　求几何级数的值… … … … … … … … …　455
23．2　应用第n 项判别法… … … … … … …　457
23．3　应用比式判别法… … … … … … … … …　457
23．4　应用根式判别法… … … … … … … … …　461
23．5　应用积分判别法… … … … … … … … …　462
23．6　应用比较判别法、极限比较判别法和p 判别法… … … … … … … …　463
23．7　应对含负项的级数… … … … … … … …　468
第24　章泰勒多项式、泰勒级数和幂级数导论… … … … … … … … …　472
阿德里安·班纳，著，阿德里安.班纳（Adrian Banner），澳大利亚新南威尔士大学数学学士及硕士，普里斯顿大学数学博士。2002年起任职于INTECH公司，现为INTECH公司首席执行官兼首席投资官。同时，他在普林斯顿大学教学数学系任兼职教师。