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解析几何的奠基之作。作者认为古希腊人发明的几何学过于依赖图形，束缚了人的想象力，而且没有说明得出结论的原因；代数学则从属于法则和公式，不能成为改进智力的科学；而三段论的逻辑不能产生任何新的知识。他创造的“真正的数学”，结合三者优点，去掉它们的缺点，用自己发明的坐标系构建了几何图形与代数表达的桥梁，以此为工具研究了直线、曲线、圆和立体图的性质和作图问题，使变数进入数学，创立了解析几何学，为微积分的产生奠定了基础。全书共3章，分别论述仅使用直线和圆的作图问题、曲线的性质，以及立体及超立体问题的作图。作者是杰出的哲学家，曾提出宇宙运动不灭原理，著有《方法谈》和《探求真理的指导原则》等方法论名著。——《中国教育报》
《笛卡儿几何》为著名哲学家、数学家笛卡儿的典著作。本书为中学生量身打造，分为上篇、中篇和下篇三部分。上篇为阅读指导，由中国科学院袁向东研究员撰写，深入浅出地介绍了笛卡儿的生平、《笛卡儿几何》的主要内容及笛卡儿的数学思想，并为学生提供切实的阅读建议。中篇精选《笛卡儿几何》原著精华，为袁向东研究员翻译，将这部解析几何的奠基之作突出呈现。下篇为学习资源，包括扩展阅读、数字课程、思考题、阅读笔记。名著名译，名家导读，配备优质融媒体学习资源，有助于中学生更好地阅读典、理解典、感受典魅力。

目 录
弁　言/ 1
上篇 阅读指导
笛卡儿是谁 / 3
笛卡儿《几何》的主要内容 / 12
笛卡儿的数学思想 / 22
中篇 笛卡儿几何
1章 仅使用直线和圆的作图问题 / 37
第2章 曲线的性质 / 60
第3章 立体及超立体问题的作图 / 125
附录 方法谈(节选) / 179
下篇 学习资源
扩展阅读 / 203
数字课程 / 205
思考题 / 206
阅读笔记 / 208

笛卡儿（René Descartes，1596—1650），法国著名的哲学家、数学家、物理学家，西方近代哲学奠基人之一。他既被尊为近代哲学之父，又被奉为近代科学的旗手。他探求真理的方法，孕育了影响西方世界几百年的哲学思想。他创建的解析几何，开创了数学史上的新纪元。
译者 袁向东，中国科学院数学与系统科学研究院研究员。

笛卡儿的数学思想
中国科学院数学与系统科学研究院研究员
笛卡儿的数学观跟他的哲学观是相辅相成的。这里主要就他对欧几里得的《几何原本》(以下简称《原本》)的体系及内容(以下简称“欧氏几何”)的看法做一分析。
一、 笛卡儿是否喜欢欧氏几何
1. 欧氏几何是以构造方法为基础的公理体系对欧几里得《原本》作为公理体系的特色,已有大量著述,不再赘言,此处只简要提一提其构造方法的特征。
应该说,人类早期发展起来的几何、算术和代数,都以其研究对象的直观性存在或构造性存在为基础。《原本》的基础仍在于几何对象的构造性存在: ① 它的5 条(公设)是为作图而设的;② 它只讨论可规、尺作图的图形。它规定的工具(不带刻度的直尺和离开作图平面即失效的原始圆规)虽使人感到一种浓烈的公理味,但欧几里得的目的可能是为了作图的规格化、统一化。用现代的观点看,《原本》中的作图过程,大都可看成一种简单的algorithm(可译作算法∙∙)———使用一组特定的数学工具去解决一类给定问题的一个程序。在讨论平面几何的卷Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ和Ⅵ中,共有基本作图题48 个,每个都给出一种简单算法,典型的如卷Ⅱ命题2:
分割给定直线(段),使得整段与其中一分段所作的矩形等于所余另一分段上所成的正方形。
为了指出这种算法不是太平凡的,只消说明它相当于代数中求解x2 +ax =a2 这类方程。
值得注意的是,《原本》中涉及图形间关系的不少命题,也是通过直接作图再加全等公理来证明的,如卷Ⅱ中的命题1,2,3,4,5,6,7,8。
2. 笛卡儿对《原本》的公理形式和几何内容“分而治之”,各作取舍
在笛卡儿的著作中,我们尚未找到他对欧氏几何的系统评价,但从他建立他的哲学体系的方法,可以看出他在如下意义上,并不排斥由定义、公理到定理的这种形式的知识结构,即认为它是证明各种知识的确实性(或者说真理性)的一可靠的方法。他也确实把他的哲学体系全部建立在“我思故我在”这条“一原理”之上了。在《哲学原理》的序言中,笛卡儿写道: “要寻找一原因和真正的原理,由此演绎出人所能知的一切事物的理由。”
同时,笛卡儿也指出了这种综合的、演绎的数学体系的局限,说它虽“给出了大量真理”,但无法使人明白“事情为什么会是这样,也没有说明这些真理是如何被发现的”。因此,在具体的研究工作中,笛卡儿明显喜欢分析的几何而不是综合的几何。
对于《原本》的具体几何内容,笛卡儿的态度是矛盾的,他觉得这种几何只研究一些非常抽象而看来无用的问题,这跟他的强调实用的科学观相悖;但那些几何命题确实具有大的简明性,而又不求助经验,这正是他所追求的具有确实性的知识的典范。不过,笛卡儿显然不满足于书斋式的研究,而强调几何与自然的结合,在《哲学原理》第4 章中,他明确提出:
关于物质事物的明白而清晰的概念有形相、体积、运动及其变化的各种法则,这些法则就是几何和机械学的法则。
3. 笛卡儿扩大了几何的研究对象
笛卡儿取消了欧氏几何对构造性存在的苛刻限制,为扩大几何的研究对象,从而为几何研究自然现象开辟了道路。
笛卡儿在《几何》中分析了古希腊人在作图问题上的局限性,次提出几何的精确性终依赖于推理,因此比欧氏尺、规复杂的工具,只要在机械学中允许使用,就应视为跟尺、规有同样的精确性,它们作出的图形,应该和圆与直线一样有资格作为几何的研究对象。他在给贝克曼的一封信中说,算术问题根据各自的特点加以解决,“有的问题用有理数解,另一些仅用到无理数,还有一些仅可以想象而无法解出”。在涉及连续量的问题中,他说:
某些仅用直线和圆就可解决,其他的要由别种曲线来解,不过要求它们由单一的运动给出,因此,可用新形式的各种作图规画出(我想这些新作图规在几何上的精确性不会亚于通常用来画圆的圆规)。
为此,他提议增加一条用于作图的假定:
两条或两条以上的线可以一条随一条地运动,并由它们的交点确定出其他曲线。
笛卡儿还真的设计了一种带滑槽和活动轴的作图工具。
笛卡儿甚至主张尚无法用当时的工具画出的曲线,也应被接纳入几何。他说: “还有另一些问题可以仅用各种互不从属的运动产生的曲线来解,这些曲线肯定只能想象(如著名的割圆曲线),我想不出还有什么问题不能用这样的曲线来解决。”(见致贝克曼的信)
笛卡儿如此热衷于扩大几何曲线的领域,目的是明确的。他认为,提出更广的曲线来研究是恰当的,这“将为实践活动提供巨大的机会”。他本人就花了很大努力,利用几何来研究光学现象。
笛卡儿能突破直到韦达为止人们一直坚守的以尺、规作图决定几何对象存在的防线,跟他的哲学思维似有联系。他在《一哲学沉思集》第六部分中,提出所谓“想象”和“纯粹理解(或理会)”之间的区分:
当我想象一个三角形时,我不仅理会到这是一个由3 条线组成的形相,而且同时直观到可以说由我的心智的能力或内视力提供出来的3 条线……可是如果我要去思想一个千边形,我虽然明白地理会到这是一个由一千条边组成的形相……可是无论如何不能想象出千边形的一千条边,即不能用我的心灵的眼睛看到那一千条边。
这说明即使是简单的直线图形,有些也是无法想象的,当然也不能具体地作图了。那么笛卡儿放弃尺、规作图的限制是顺理成章的了。