书名：变分法与偏微分方程
定价：49.0
ISBN：9787030494689
作者：无
版次：1
出版时间：2016-08

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引言
“变分法”(the calculus of variations) 是 Euler 看了 Lagrange 的工作后给出的 名字 它是数学的一个古老分支，*老的问题就是等周不等式 具有重要影响的问 题包括 Fermat 的几何光学问题、极小曲面问题 这个方面起决定性的进展是 Euler 和 Lagrange 的工作，例如，我们将看到 Euler-Lagrange 方程 随着数学的发展， 特别受 Hilbert 1900年在巴黎国际数学家大会上的 23个问题中第19，20和第23个问题的影响，变分方法已经成为研究椭圆型偏微分方程解的存在性的主要方法 它在处理数学物理问题，包括弹性力学、塑性力学、生物膜方程，*优控制、图像 处理、几何问题等发挥着越来越重要作用 (张恭庆, 2011, 1986; Dacorogna, 2004, 1989, 1982; 等)
等周不等式 假设 A =Rn 是一个有界光滑区域,
称为等周不等式 这里n是Rn中单位球面的面积，*分别表示 A 的边的 面积和A的体积 设 n = 2, 我们描述*, 则
这里*假设*, 问题的提法是
Fermat 原理 光在任意介质中从一点传播到另一点时，沿所需时间*短的 路径传播 又称*小时间原理或极短光程原理，由法国数学家费马于1657年首先提出假v是光在介质中的传播速度*, 这里 s 是曲线的弧长, c 是光在真 空中的传播速度, *是折射率于是光从 A 到 B 所需时间
如果定义从 A 到 B 的曲线集合: = fx(t) 2 R3 : x(a) = A; x(b) = Bg; 折射率 n = n(x); 变分问题是*
*速下降线 在垂直的平面上有两点 A(0; a);B(0; b); a; b > 0, 一质点从B点在重力 (0; g) 的作用下，以初始速度为零向下沿着连接 A;B 两点的曲线滑动到 A，怎样的曲线使得滑行时间*短？假设曲线集合*.由于
我们有*
总时间*
问题的提法是*
极小旋转曲面xy平面上的一条曲线 y = u(x); u(x) > 0; u(0) = a; u(1) = b, 这条曲线绕 x 轴旋转一周得到的旋转曲面 §u, 其面积
设*; 问题的提法是
极小曲面 设*是 R3 中的 Jordan 曲线,*是张在*上的曲面，问题是在所有这些曲面中寻找一个曲面使得面积*小
非参数化曲面
这里*是有界区域 这些曲面都是图:*于是设 W = fu 2 C1(-) : u = u0(x); x 2 @-g, 则问题成为
参数化曲面 设曲面*用参数表示为*则曲面的面积
这里*是 n×n 的 Jacobi 行列式 例如，当 n = 2 时, 问题成为
调和映射 设*(单位球面) 映射, Dirichlet 积分
设*, 如果存在u0使得*则称 u0 为调和映射
特征值问题 求*小特征值λ> 0 满足:
于是在方程两边乘以u后积分有
设*
第*特征问题成为* ？
随着变分问题的深入研究, 人们发现变分问题*理想的空间是 Sobolev 空间,一般的泛函是多重变分泛函*
允许空间*
变分问题 *
第1章 函数空间
这一章主要介绍一些基本的函数空间，Holder 连续空间和 Sobolev 空间等
1.1 连续与 Holder 连续空间
定义 1.1 设*是开集，k > 0 是整数, 定义*是k阶连续导数的向量函数a; 特别地，当 N = 1 时，记为 Ck(Ω);
(ii) Ck(Ω) 是所有连续 k 阶偏导数到边界的函数全体, 范数
这里多重指标*
(iii)*是紧的; 这里
定义1.2设*, 定义半范数
(i)特别地,而且定义范数
α= 1 称为 Lipschtz 连续；
(ii)*，多重指标β满足 :
特别地，*; 多重指标β满足 : *, 而且定义范数
我们有下面的一些基本性质
定理1.1(Ascoli-Arzela 定理) 设Ω是有界开集，K= C(Ω) 是有界等度连续的，则 K 是紧的.
定理 1.2 设Ω=Rn 是开集,
(i)*和*是 Banach 空间；
(ii) 设*且 k > 0 是整数，则
(iii) 如果Ω是有界凸集，则
1.2 Lp 空间
Lp空间是基本的函数空间，这一节主要介绍它的定义和基本性质.
1. 定义和性质
定义 1.3 设ΩRn 是开集,*, 定义Lp(Ω) 空间的一些基本性质.
命题 1.1 (1) Hoder 不等式, 对偶数 p;
(2) Minkowski 不等式 假设 (S1; μ1) 和 (S2; μ2) 是两个测度空间，F : S1×S2→R 可测, 则 Minkowski 不等式
如果 p > 1; 不等式两边有限，则等式成立的充要条件是*这里φ和ψ是非负可测函数. 如果 μ1是数数测度 S1 = {1; 2}, 则 Minkowski 积分不等式给出经典的 Minkowski 不等式: 令 fi(y) = F(i; y), i = 1; 2; 积分不等式给出