为什么孩子在列举答案时经常会漏掉一些可能性？为什么孩子经常丢三落四？这其实是孩子还没有形成有序思考的习惯，而这种思考习惯就跟数学思维中的有序思维是紧密相关的。数学思维不仅影响到学习兴趣，学习能力和学习中的成就感，而且也会影响到日常生活的效率。

本书将详细地讲解如何培养孩子的概率思维、有序思维、抽象思维、空间思维、计算思维、极限思维、对称思维。作为父母，也许你不是数学学霸，但在本书的帮助下，你一样可以轻松地培养好孩子的数学思维，让他对数学产生兴趣，认识到数学之美，并成功跨越数学能力的分水岭，为他一生的理性思维和严谨习惯打下基础。

绪论 数学源于生活

历史上的数学故事

一 思维自疑问和惊奇开始

 为什么飞机的往返飞行时间不一样

 小学门口放学点的标牌设计

 神秘读心术背后的奥妙

 99% 的人都不知道的闰年

 为什么外星人用素数作为宇宙间的沟通信号

二 巧合与概率思维

 奇妙的钥匙开门经历

 同年同月同日生的可能性有多大

 顺子与同花哪个可能性大

三 有序思维

 5颗连着的围棋子能摆出多少种不同的图案

 字典序与有序思维

四 抽象思维

 抽象思维的培养：家长切莫操之过急

 脑洞大开，原来蛋糕可以这么切

 如何找最佳的聚会地点

 方程思维对小学生是洪水猛兽吗

五 几何与空间思维

 用 6根火柴如何拼出4个正三角形

 小学生也能读懂的“维度”

 七巧板中的数学

 小小的立方体，竟有这么多的学问

 时差与进制

六 逆向和递归思维

 报数游戏

 汉诺塔游戏

 大自然的数学奥秘—斐波那契数列

七 整体思维

 时针和分针重合了多少次

 桌球到底进了哪个球袋

 三阶幻方的中间为什么要填

八 极限与极值思维

 岛主怎么选更公平

 照片打印机中的数学问题

 圆周率的那点儿事

 怎么让孩子理解芝诺悖论

九 对称思维

 生活中的对称美与对称思维

 硬币的两面与奇偶性

 斯诺克解球与对称

十 人工智能时代的计算思维

 连环画为什么整理得这么慢

 原来生活中也可以这么交流

 盲文、莫尔斯电码与二进制

 编程与数学—计算思维与数学思维的碰撞

后记

昍爸，中国科学院计算机博士，南京师范大学计算机专业教授，获得“南京师范大学百名青年领军人才”“江苏省青蓝工程优秀青年骨干教师”等称号，美国加州大学访问学者。在国内外高水平期刊和国际会议发表论文60余篇，主持国家自然科学基金项目3项，获得国家授权的发明专利20余项，美国授权发明专利2项。昍爸从小爱好数学，曾在初中和高中时期获得全国数学联赛一等奖，江苏赛区第一名，高考数学满分。成为父亲后，他注重孩子数学思维的培养，尤其注重培养和提升孩子解决未知问题的热情与能力。在陪伴孩子成长的过程中，他将自己的科研方向与育儿实践结合在一起，做了积极探索，形成别具一格的少儿数学思维和计算思维的科学训练体系，因此特意开设了微信公众号xuanbamath（昍爸说数学与计算思维），分享研究心得和实战经验，受到数十万家长的喜爱。

昍妈，硕士研究生，某211高校教育类杂志编辑，十余年来一直工作在教育教学一线，关注当前国内外教育理论发展，对基础教育阶段的课堂教学有深入了解，在家庭教育实践中积极践行科学教育理念，在各级刊物发表论文多篇。

对于一个没有学过面积计算的孩子来说，他的第一反应是拿着两个图形去比对。如第2 个问题，孩子很容易将两个三角形拼成一个正方形，因此得出第④块是第③块的2倍这一结论。但对于第5个问题，直接比较第⑥块和第⑦块两个图形就不再奏效。拿着两块着实比较了好一会儿，仍然无果。

偶然一个机会，他发现⑦可以由③和⑤拼成，而⑥同样也可以由③和⑤拼成，这就得出了第⑥块和第⑦块同样大的结论。这是一个转折点，以此为基础，他发现七巧板中的任何一块，都可以由若干个第③块（最小的单元）组成，进而可以据此计算各块之间的数量关系。

好！到达最后一题，整个正方形是第④块正方形的多少倍？按照上面的方法，将每一块都表示为若干个第③块的组合，就得到下面的推导：

① = ② = 4× ③

④ = ⑥ = ⑦ = 2× ③

⑤ = ③

因此， 整个正方形的面积为16× ③， 而正方形④ 的面积为2× ③，从而大正方形的面积是第④个正方形的8 倍。

事实上，这一做法蕴含着可公度的原始思想，即把两个不同的图形用一个更小的图形来度量。

七巧板与第一次数学危机

至此，我们对七巧板面积问题的讨论基本结束。高年级学过有理数且善于观察的学生，会提出这样的问题：如果一个大正方形的面积是一个小正方形的8 倍，那么大正方形的边长是小正方形边长的几倍呢？

类似这一看起来平常的问题，曾在公元前5 世纪的希腊引发了数学领域的巨震，并引发历史上第一次数学危机。毕达哥拉斯是古希腊的大数学家，缔造了一个政治、学术、宗教三位一体的神秘主义派别——毕达哥拉斯学派。由毕达哥拉斯提出的著名命题“万物皆数”是该学派的哲学基石：数的元素就是万物的元素，世界是由数组成的，世界上的一切没有不可以用数来表示的，数本身就是世界的秩序。而“一切数均可表示成整数或整数之比”则是这一学派的数学信仰。

但是，毕达哥拉斯学派中的希伯索斯a 发现，一个正方形的对角线与其一边的长度是不可公度的（即若正方形的边长为1，则对角线的长不是一个有理数）。

如果回到那个年代，我们就会发现这个现在看来理所当然的结果在当时有多么石破天惊！事实上，如果现在的小学生善于思考，也会有这一发现。所以，不要小看生活中的数学，影响数学发展历史的契机或许就隐藏在其中。

证明正方形对角线与边长之比非有理数其实很简单，这是一道集反证法、互素和奇偶性于一体的绝佳练习题。假定对角线c 与边长a 之比c/a=p/q为有理数（其中，p、q 互素），那么，根据勾股定理：c2 = a2 a2 = 2a2，将c/a=p/q代入后得：p2 = 2q2。由此可得p 为偶数，设p = 2t（t 为自然数），则p2 = 4t2 = 2q2，可得q2 = 2t2，从而q 亦为偶数。这与假设p、q 互素矛盾。

这一不可公度的发现使毕达哥拉斯学派的领导人十分惶恐，他认为这将动摇他们在学术界的统治地位，于是极力封锁该真理的流传。

希伯索斯被迫流亡他乡，不幸的是，他在一条海船上遇到两个毕氏门徒，被他们残忍地杀害。

与哥白尼的“日心说”类似，科学史上很多真理的发现常常充满悲剧色彩。希伯索斯的发现，第一次向人们揭示了有理数系的缺陷，证明了它不能同连续的无限直线等同看待，有理数并没有布满数轴上的点，在数轴上存在着不能用有理数表示的“孔隙”。“不可公度量”的发现与“芝诺悖论”一同被称为数学史上的第一次数学危机，对以后的数学发展产生了深远的影响，促使人们从依靠直觉、经验而转向依靠证明，并且推动了几何学公理和逻辑学的发展。

P123-125

《给孩子的数学思维课》这本书最大的特点是汇集了从生活中发现数 学思维的案例，把抽象的数学思维方法讲得明明白白、引人入胜。用一 个班36个学生存在两人同年同月同日生的可能性高与80％的“生日悖 论”解释了概率思维：从三刀能将生日蛋糕切成多少块提炼了抽象思维：从报数游戏和汉诺塔游戏中总结出逆向思维和递归思维：书中还有 许多有趣的生活案例，分别阐述了整体思维、极限思维、对称思维等。这些思维方式都是数学的真谛。数学思维能力的培养比死记硬背数学公式、用题海战术对付考试重要得多

——中国工程院院

第三世界科学院院士

中国计算机学会原理事长

李国杰

在《给孩子的数学思维课》这本书里，阳爸从看得见、摸得着的生活案例出发，讲述它们背后的数学故事，剖析其中的数学原理，激发孩子的数学兴趣，培养孩子的数学思维，角度非常独特。本书许多问题的讲解方式与传统的数学解题不同，是从一个研究者解决未知问题的角度出发，通过一步步的尝试，从已知到未知、从简单到复杂，中间不乏曲折，但结果令人豁然开朗。作者以一种孩子可以触摸和感知的方式，为孩子们打开了数学的大门。

——南京师范大学数学科学学院教授

江苏省数学学会普委会原副主任

罗马尼亚大师杯中国对原领队

夏建国

源于生活的数学，对于培养孩子的数学学习兴趣和探索精神是非常重要的。在《给孩子的数学思维课》这本书里，阳爸从看得见、摸得着的生活案例出发，讲述它们背后的数学故事，剖析其中的数学原理，激发孩子的数学兴趣，培养孩子的数学思维，角度非常独特。本书中许多问题的讲解方式与传统的数学解题方式不同，是从一个研究者解决未知问题的角度出发，通过一步步尝试，从已知到未知、从简单到复杂，过程虽然曲折，但结果令人豁然开朗。作者以一种孩子可以触摸和感知的方式，为孩子们打开了数学的大门。